Конспект

1. ТЕМА «ЗАКОНЫ ЛОГИКИ. УПРОЩЕНИЕ ФОРМУЛ»
Цель урока: знакомство с законами логики, способами преобразования логических формул.
Задачи урока:
образовательная – изучение законов логики, приемов использования законов логики для
преобразования логических формул, формирование умений и навыков применения законов
логики для преобразования логических выражений;
развивающие – развитие логического и комбинационного мышления, памяти, внимательности;
воспитательные – воспитание познавательного интереса учащихся, умения слушать,
аккуратности в работе, трудолюбия.
Тип урока: комбинированный урок.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная.
Наглядность и оборудование:
 компьютеры;
 файл д.з.2.doc;
 программа MATLOG;
 учебники Угриновича Н.Д. для 10-11 кл. (У. п.3.5), Шауцуковой Л.З. (Ш. п.5.9., 5.11).
ПЛАН УРОКА.
1. Анализ самостоятельной работы (8 минут).
2. Проверка домашнего задания (7 минут).
3. Изучение нового материала (70 минут):
а) законы логики (20 минут);
б) упрощение формул (8 минут);
в) преобразования “поглощение” и “склеивание” (8 минут).
г) замена отрицаний сложных высказываний (9 минут);
д) тождественные преобразования (10 минут);
е) замена эквиваленции и импликации на конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (15
минут).
4. Домашнее задание (5 минут).
ХОД УРОКА.
I Анализ самостоятельной работы.
Объявить оценки, выдать работы, проанализировать типичные ошибки.
II. Актуализация опорных знаний.
Проверка домашнего задания (файл д.з2.doc загружен на компьютере).
III. Подача нового материала. (Использовать программу MATLOG).
1. Законы логики.
Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Знание
законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Нарушения
этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. X≡X Закон тождества.
1

2. 2. X X∧ ≡ 0 Закон противоречия
3. X X∨ ≡ 1 Закон исключенного третьего
4. X X≡ Закон двойного отрицания
5. X∧X≡X  Законы идемпотентности
X∨X≡Χ
6. Χ∧Υ≡Υ∧Χ } Законы коммутативности
Χ∨Υ≡Υ∨Χ (переместительности)
7. (Χ∧Υ)∧Ζ≡Χ∧(Υ∧Ζ) } Законы ассоциативности
(Χ∨Υ)∨Ζ≡Χ∨(Υ∨Ζ) (сочетательности)
8. Χ∧(Υ∨Ζ)≡(Χ∧Υ)∨(Χ∧Ζ) } Законы дистрибутивности
Χ∨(Υ∧Ζ)≡(Χ∨Υ)∧(Χ∨Ζ) (распределительности)
9. X Y X Y∧ ≡ ∨ } Законы де Моргана
X Y X Y∨ ≡ ∧
10. X∧1≡Χ Χ∨0≡Χ
11. Χ∧0≡0; Χ∨1≡1
12. Χ∧(Χ∨Υ)≡Χ } Законы поглощения
Χ∨(Χ∧Υ)≡Χ
13. (Χ∨Υ)∧( X ∨Υ)≡Υ } Законы склеивания
(Χ∧Υ)∨( X ∨Υ)≡Υ
14. ( ) YXYXX
YXYXX
⋅≡+⋅
+≡⋅+
YXYXX
YXYXX
+≡⋅+
+≡⋅+
1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества
утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на
протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.
Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно
одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.
Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются
лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано.
“Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.
Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же,
что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2⋅2≠4”
Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов.
Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.
Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны
одноименным знакам умножения и сложения чисел.
2

3. В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение
равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна
относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.
Доказать законы логики можно:
1) с помощью таблиц истинности;
2) с помощью равносильностей;
3) диаграмм Эйлера-Венна;
4) с помощью логических рассуждений.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1) (Χ∨Υ)∧( X ∨Υ)≡(Χ+Υ)⋅( X +Υ)≡Χ⋅ X +Υ⋅ X +Υ⋅Υ+Χ⋅Υ≡Υ⋅ X +Υ+Χ⋅Υ≡Υ⋅ X +
+Υ(1+Χ)≡Υ⋅ X +Υ≡Υ( X +1)≡Υ склеивания
2) Χ∧(Χ∨Υ)≡Χ⋅Χ∨Χ⋅Υ≡Χ∨Χ⋅Υ≡Χ(1+Υ)≡Χ поглощения
2. Упрощение формул.
Пример 1. Упростить формулу (А+В)·(А+С)
Решение.
а) Раскроем скобки (A+B)·(A+C)≡Α⋅Α+Α⋅C+B·A+B·C
б) По закону идемпотентности A·A≡Α, следовательно, Α⋅Α+Α⋅C+B·A+B·C≡Α+Α⋅C+B·A+B·C
в) В высказываниях А и А·C вынесем за скобки А и используя свойство А+1≡1, получим
А+А⋅С+Β⋅Α+Β⋅C≡Α⋅(1+С)+Β⋅Α+Β⋅С≡Α+Β⋅Α+Β⋅С
г) Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.
Α+Β⋅Α+Β⋅С≡Α(1+Β)+ΒС≡Α+Β⋅С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.
3. Преобразования “поглощение” и “склеивание”
Пример 2. Упростить выражение А+Α⋅Β
Решение. Α+Α⋅Β≡Α(1+Β)≡Α - поглощение
Пример 3. Упростить выражение Α⋅Β+Α⋅ B
Решение. Α⋅Β+Α⋅ B ≡Α(Β+ B )≡Α - склеивание
4. Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний
сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к
простым высказываниям.
Пример 4. Преобразовать формулу A B C+ ⋅ так, чтобы не было отрицаний
сложных высказываний.
3

4. Решение. 1. Воспользуемся формулой де Моргана, получим: A B C+ ⋅ ≡ ⋅ ⋅A B C
2. Для выражения B C⋅ применим еще раз формулу де Моргана, получим:
( )A B C C⋅ ⋅ = ⋅ +Α Β
5. Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут
использованы:
- знаки логического сложения;
- знаки логического умножения,
а будут использованы:
- знаки отрицания и логического умножения
- знаки отрицания и логического сложения.
Пример 5. Преобразовать формулу A B+ так, чтобы в ней не использовались
знаки логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де
Моргана.
A B A B A B A B+ ≡ + ≡ ⋅ ≡ ⋅
Пример 6. Преобразовать формулу A B C⋅ ⋅ так, чтобы в ней не использовались
знаки логического умножения.
Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:
( )A B C A B C A B A C A B A C A B A C A B A C⋅ ⋅ ≡ ⋅ + ≡ ⋅ + ⋅ ≡ ⋅ + ⋅ ≡ + + + ≡ + + +
6. Замена эквиваленции и импликации на конъюнкцию, дизъюнкцию и
отрицание.
До сих пор мы занимались равносильными преобразованиями формул, не содержащих знаков
импликации и эквиваленции “→“ и “↔“. Сейчас покажем, что всякую формулу, содержащую
→ или ↔, можно заменить равносильной ей формулой, не содержащей этих знаков.
Имеют место следующие равносильности:
Χ→Υ≡ X ∨Υ (1)
Χ→Υ≡ X Y∧ (2)
Докажем равносильность (1) с помощью таблицы истинности:
X Y X→Υ X X ∨Υ
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 1 0 1
4

5. Эквиваленция выражается через конъюнкцию и импликацию
Χ↔Υ≡(Χ→Υ)⋅(Υ→Χ) (3)
Из (3) и (1) получаем
Χ↔Υ≡( X ∨Υ)⋅( Y ∨Χ)≡ X ⋅ Y ∨ Y⋅ Y ∨ X ⋅X ∨ Χ⋅Υ= X ⋅ Y ∨Χ⋅Υ (4)
Эта равносильность выражает эквиваленцию через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Из
равносильностей (3) и (2) получаем равносильность
Χ↔Υ= X Y∧ ∧ X Y∧ , (5) выражающую эквиваленцию через конъюнкцию и отрицание.
! Вывод: В алгебре логики всякую логическую функцию можно выразить через другие
логические функции, но их должно быть по меньшей мере 2 операции, при этом
одной из них обязательно должно быть отрицание.
Все операции можно выразить через конъюнкцию и отрицание, дизъюнкцию и отрицание,
импликацию и отрицание. Через эквиваленцию и отрицание остальные операции выразить
нельзя.
Домашнее задание.
1) выучить конспект.
2) выполнить задания:
1. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключив
логическое сложение:
а) A B+ ;
б) A B C⋅ + ;
в) A B A B⋅ + ⋅ .
2. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключить
логическое умножение.
а) A B⋅ ;
б) A B C+ ⋅ ;
в) ( ) ( )A B A B+ ⋅ + .
3. Упростить:
5

6. а) ( )( )A B C A B C D A D⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ;
б) ( )A B C A B C A C⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ;
5. С помощью таблиц истинности доказать законы поглощения и склеивания.
6

7. а) ( )( )A B C A B C D A D⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ;
б) ( )A B C A B C A C⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ;
5. С помощью таблиц истинности доказать законы поглощения и склеивания.
6