sub groups

1. Definisi : Diberikan GrupG,dan himpunan bagian tidak kosong H G.
Himpunan Hdisebut subgrup dariGjika H juga merupakangrupterhadap operasi yang sama pada grup G,
dinotasikan dengan H G.
H
G Aksioma Grup
1. Sifat tertutup
a,b G ab G
2. Assosiatif
a,b,c G abc  abc
3. Terdapat unsur identitas
e G, a G, ae  ea  a
4. Invers
a G ,a1
 G,aa1
 a1
a  e

2. Contoh
Diberikan grup G=( Z, +) dan H Himpunan bilangan bulat kelipatan 5.
Selidiki apakah H Subgrup G ?
Penyelesaian :
1. H ≠ ∅
H = {…, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, …}
Himpunan H tidak kosong
2. H  G
Z
5Z

3. 3. Tertutup
a,b H ab H
pilih a = 5x , b = 5y maka a+ b = 5x+5y =5(x+y)  H
4. Asosiatif
a,b,c H abc  abc
MIsalnyaa=5x,b=5y,c=5z
abc  (5x + 5y) * c
 5x+5y)+5z
5x+(5y+5z)
5x+(b*c)
a*(b*c)

4. 5. Terdapat elemen identitas(e)
e = 0 H, a H, ae  ea  a
misalkan a=5x maka
a*e=5x+0=5x=a
ea = 0+5x = 5x = a
6. Elemen Invers
a H ,a1
 H,aa1
 a1
a  e
Misalkan a = 5x , a1
= - 5x
Maka a * a1
= 5x +(-5x) = 0 = e
Kesimpulan H G