SlideShare a Scribd company logo
1 of 6
1
Презентация по
дискретной
математике
РЕШЕТКИ
2Глава 1. Множества и отношения.
1.3. Решетки
Решетка – это множество M с определенными на нем
двумя бинарными операциями ∩ и ∪, такими что:
1. a ∩ a = a, a ∪ a = a
2. a ∩ b = b ∩ a, a ∪ b = b ∪ a
идемпотентность
коммутативность
3. (a ∩ b) ∩ c = a ∩ (b ∩ c), (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c) ассоциативность
4. (a ∩ b) ∪ a = a, (a ∪ b) ∩ a = a поглощение
Решетка дистрибутивна, если:
5. a ∩ (b ∪ с) = (a ∩ b) ∪ (b ∩ c),a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) дистрибутивность
Решетка ограничена, если в ней существуют элементы 0 и 1 такие, что:
6. 0 ∩ a = 0, 1 ∪ a = 1 ограниченность
Ограниченная решетка называется решеткой с дополнением,
если в ней для любого элемента a найдется элемент a' такой, что:
7. a ∩ a' = 0, a ∪ a' = 1
3Глава 1. Множества и отношения.
Свойства дополнения в дистрибутивной ограниченной решетке
 единственность: для данного элемента a существует единственный элемент a';
 инволютивность: (a')' = a
 дополнительность: 1' = 0, 0' = 1
 законы де Моргана: (a ∪ b)' = a' ∩ b', (a ∩ b)' = a' ∪ b'
Если решетка дистрибутивна, то выполняются следующие свойства дополнения:
Свойства нуля и единицы:
0 ∪ a = a, 1 ∩ a = a
Действительно, 0 ∪ a = (0 ∩ a) ∪ a = (a ∩ 0) ∪ a = a,
1 ∩ a = (1 ∪ a) ∩ a = (a ∪ 1) ∩ a = a
Единственность: пусть a' и a'' – два различных дополнения к a.
Тогда a' = a' ∪ 0 = a' ∪ (a ∩ a'') = (a' ∪ a) ∩ (a' ∩ a'') = 1 ∩ (a' ∩ a'') = (a' ∩ a'')
Аналогично a'' = a'' ∪ 0 = a'' ∪ (a ∩ a') = (a'' ∪ a) ∩ (a'' ∩ a') = 1 ∩ (a'' ∩ a') = (a' ∩ a'')
Инволютивность:
очевидна, поскольку a' ∩ a = 0, a' ∪ a = 1
Дополнительность:
1' = 1' ∩ 1 = 0; 0' = 0' ∪ 0 = 1
Законы де Моргана:
Проверяем, что (a ∪ b) ∪ (a' ∩ b') = 1, (a ∪ b) ∩ (a' ∩ b') = 0,
(a ∩ b) ∪ (a' ∪ b') = 1, (a ∩ b) ∩ (a' ∪ b') = 0
Например, (a ∪ b) ∪ (a' ∩ b') = (a ∪ b ∪ a') ∩ (a ∪ b ∪ b') = 1 ∩ 1 = 1
4Глава 1. Множества и отношения.
Частичный порядок в решетке
Введем отношение порядка ≤ на элементах решетки
a ≤ b, если a ∩ b = a
Это действительно отношение частичного порядка, так как:
Это отношение рефлексивно: a ≤ a, так как a ∩ a = a
Это отношение антисимметрично: если a ≤ b и b ≤ a, то a = a ∩ b = b ∩ a = b
Это отношение транзитивно: если a ≤ b и b ≤ с, то a ∩ с = (a ∩ b) ∩ с = a ∩ (b ∩ с) = a ∩ b = a
Пусть задано множество с нестрогим порядком ≤, в котором для любых элементов a и b
существуют их нижняя и верхняя грани inf(a, b) и sup(a, b)
Тогда множество этих элементов образуют решетку относительно операций ∩ = inf, ∪ = sup
Очевидно, что для любых двух элементов такой решетки существуют верхняя и нижняя грани
относительно только что введенного отношения порядка ≤ : inf(a,b) = a ∩ b, sup(a,b) = a ∪ b
Доказательство (для нижней грани):
1. (a ∩ b) ≤ b, поскольку (a ∩ b ∩ b) = (a ∩ b) и (a ∩ b) ≤ a, поскольку (a ∩ b ∩ a) = (a ∩ b)
2. Пусть существует c такое, что (a ∩ b) ≤ c, c ≤ a, c ≤ b. Тогда c = c ∩ a = (c ∩ b) ∩ a = a ∩ b
Наоборот:
Таким образом, имеем два равносильных определения решетки: определение через свойства
заданных операций ∩ и ∪, и определение решетки как частично упорядоченного множества,
в котором для каждых двух элементов определены их верхняя и нижняя грань.
5Глава 1. Множества и отношения.
Булева алгебра
Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением называется
булевой алгеброй.
Минимальная булева алгебра содержит всего два элемента 0 и 1.
Операции решетки в этой алгебре принято обозначать символами ∨ и ∧,
а операцию дополнения – символом ¬.
Для булевой алгебры справедлива следующая таблица операций:
a b a∨b a∧b ¬a
0 0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1
Булеан некоторого множества U – это булева алгебра относительно операций ∪ и ∩.
Еще пример. Пусть Ap – множество всех простых чисел, не превосходящих p.
Рассмотрим всевозможные произведения чисел из Ap, в которые сомножители входят
не более, чем по одному разу.
Множество всех таких чисел образует решетку относительно операций НОД и НОК.
Число 1 является нулем решетки, произведение всех чисел из Ap – ее единицей.
Очевидно, что это тоже булева алгебра.
5Глава 1. Множества и отношения.
Булева алгебра
Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением называется
булевой алгеброй.
Минимальная булева алгебра содержит всего два элемента 0 и 1.
Операции решетки в этой алгебре принято обозначать символами ∨ и ∧,
а операцию дополнения – символом ¬.
Для булевой алгебры справедлива следующая таблица операций:
a b a∨b a∧b ¬a
0 0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1
Булеан некоторого множества U – это булева алгебра относительно операций ∪ и ∩.
Еще пример. Пусть Ap – множество всех простых чисел, не превосходящих p.
Рассмотрим всевозможные произведения чисел из Ap, в которые сомножители входят
не более, чем по одному разу.
Множество всех таких чисел образует решетку относительно операций НОД и НОК.
Число 1 является нулем решетки, произведение всех чисел из Ap – ее единицей.
Очевидно, что это тоже булева алгебра.

More Related Content

What's hot

математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10narangerelodon
 
5.3. курс лекций афу
5.3. курс лекций афу5.3. курс лекций афу
5.3. курс лекций афуGKarina707
 
15 b obratnie funkcii
15 b obratnie funkcii15 b obratnie funkcii
15 b obratnie funkciiNarvatk
 
20081109 structuralcomplexitytheory lecture07-08
20081109 structuralcomplexitytheory lecture07-0820081109 structuralcomplexitytheory lecture07-08
20081109 structuralcomplexitytheory lecture07-08Computer Science Club
 
4.3. курс лекций афу
4.3. курс лекций афу4.3. курс лекций афу
4.3. курс лекций афуGKarina707
 
кин лекция 12
кин лекция 12кин лекция 12
кин лекция 12student_kai
 
Дифференцциальное исчисление
Дифференцциальное исчислениеДифференцциальное исчисление
Дифференцциальное исчислениеvladimiryaschuk
 
математик анализ хичээлийн лекц № 2
математик анализ хичээлийн лекц № 2математик анализ хичээлийн лекц № 2
математик анализ хичээлийн лекц № 2narangerelodon
 
Opredelennyj integral
Opredelennyj integralOpredelennyj integral
Opredelennyj integralDimon4
 
Rasstoyaniya mezhdu pryamymi
Rasstoyaniya mezhdu pryamymiRasstoyaniya mezhdu pryamymi
Rasstoyaniya mezhdu pryamymidimonz9
 
математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5narangerelodon
 
[Youdz.ru] первообразная.
[Youdz.ru] первообразная.[Youdz.ru] первообразная.
[Youdz.ru] первообразная.You DZ
 
логика к.поляков
логика к.поляковлогика к.поляков
логика к.поляковAndrey Dolinin
 
Что мы знаем о линейной функции?
Что мы знаем о линейной функции?Что мы знаем о линейной функции?
Что мы знаем о линейной функции?School 242
 

What's hot (20)

математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10
 
5.3. курс лекций афу
5.3. курс лекций афу5.3. курс лекций афу
5.3. курс лекций афу
 
15 b obratnie funkcii
15 b obratnie funkcii15 b obratnie funkcii
15 b obratnie funkcii
 
метод хорд
метод хордметод хорд
метод хорд
 
Lection09
Lection09Lection09
Lection09
 
20081109 structuralcomplexitytheory lecture07-08
20081109 structuralcomplexitytheory lecture07-0820081109 structuralcomplexitytheory lecture07-08
20081109 structuralcomplexitytheory lecture07-08
 
4.3. курс лекций афу
4.3. курс лекций афу4.3. курс лекций афу
4.3. курс лекций афу
 
кин лекция 12
кин лекция 12кин лекция 12
кин лекция 12
 
Дифференцциальное исчисление
Дифференцциальное исчислениеДифференцциальное исчисление
Дифференцциальное исчисление
 
10.3.
10.3.10.3.
10.3.
 
математик анализ хичээлийн лекц № 2
математик анализ хичээлийн лекц № 2математик анализ хичээлийн лекц № 2
математик анализ хичээлийн лекц № 2
 
Funkciya y cos_ee_svojstva_i_grafik
Funkciya y cos_ee_svojstva_i_grafikFunkciya y cos_ee_svojstva_i_grafik
Funkciya y cos_ee_svojstva_i_grafik
 
Opredelennyj integral
Opredelennyj integralOpredelennyj integral
Opredelennyj integral
 
Rasstoyaniya mezhdu pryamymi
Rasstoyaniya mezhdu pryamymiRasstoyaniya mezhdu pryamymi
Rasstoyaniya mezhdu pryamymi
 
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
20131013 h10 lecture4_matiyasevich20131013 h10 lecture4_matiyasevich
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
 
математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5
 
Углы Эйлера
Углы ЭйлераУглы Эйлера
Углы Эйлера
 
[Youdz.ru] первообразная.
[Youdz.ru] первообразная.[Youdz.ru] первообразная.
[Youdz.ru] первообразная.
 
логика к.поляков
логика к.поляковлогика к.поляков
логика к.поляков
 
Что мы знаем о линейной функции?
Что мы знаем о линейной функции?Что мы знаем о линейной функции?
Что мы знаем о линейной функции?
 

Similar to решетки

множества и отношения
множества и отношениямножества и отношения
множества и отношенияMariya_Lastochkina
 
19
1919
19JIuc
 
НИ_ИвановаСВ_черновик.pdf
НИ_ИвановаСВ_черновик.pdfНИ_ИвановаСВ_черновик.pdf
НИ_ИвановаСВ_черновик.pdfSrgioAlex
 
Теорема Алона о нулях и её применения
Теорема Алона о нулях и её примененияТеорема Алона о нулях и её применения
Теорема Алона о нулях и её примененияAlex Dainiak
 
матемтик анализ лекц№ 2
матемтик анализ лекц№ 2матемтик анализ лекц№ 2
матемтик анализ лекц№ 2narangerelodon
 
17
1717
17JIuc
 
019
019019
019JIuc
 
B41a47597b86e3d90866dc2532f73c65
B41a47597b86e3d90866dc2532f73c65B41a47597b86e3d90866dc2532f73c65
B41a47597b86e3d90866dc2532f73c65tomik1044
 
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.Vladimir Tcherniak
 
предел последовательности
предел последовательностипредел последовательности
предел последовательностиtomik1044
 
Лекция №1. Введение. Предмет "Теория вычислительных процессов"
Лекция №1. Введение. Предмет "Теория вычислительных процессов"Лекция №1. Введение. Предмет "Теория вычислительных процессов"
Лекция №1. Введение. Предмет "Теория вычислительных процессов"Nikolay Grebenshikov
 
Komplanarn vektor
Komplanarn vektorKomplanarn vektor
Komplanarn vektorgrin1964
 
векторная алгебра
векторная алгебравекторная алгебра
векторная алгебраVladimir Yaschuk
 
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyếtPhép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyếtVõ Hồng Quý
 
Линейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задачЛинейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задачDEVTYPE
 

Similar to решетки (17)

множества и отношения
множества и отношениямножества и отношения
множества и отношения
 
19
1919
19
 
НИ_ИвановаСВ_черновик.pdf
НИ_ИвановаСВ_черновик.pdfНИ_ИвановаСВ_черновик.pdf
НИ_ИвановаСВ_черновик.pdf
 
Теорема Алона о нулях и её применения
Теорема Алона о нулях и её примененияТеорема Алона о нулях и её применения
Теорема Алона о нулях и её применения
 
матемтик анализ лекц№ 2
матемтик анализ лекц№ 2матемтик анализ лекц№ 2
матемтик анализ лекц№ 2
 
17
1717
17
 
019
019019
019
 
B41a47597b86e3d90866dc2532f73c65
B41a47597b86e3d90866dc2532f73c65B41a47597b86e3d90866dc2532f73c65
B41a47597b86e3d90866dc2532f73c65
 
Matanal 31oct
Matanal 31octMatanal 31oct
Matanal 31oct
 
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
 
теория множеств
теория множествтеория множеств
теория множеств
 
предел последовательности
предел последовательностипредел последовательности
предел последовательности
 
Лекция №1. Введение. Предмет "Теория вычислительных процессов"
Лекция №1. Введение. Предмет "Теория вычислительных процессов"Лекция №1. Введение. Предмет "Теория вычислительных процессов"
Лекция №1. Введение. Предмет "Теория вычислительных процессов"
 
Komplanarn vektor
Komplanarn vektorKomplanarn vektor
Komplanarn vektor
 
векторная алгебра
векторная алгебравекторная алгебра
векторная алгебра
 
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyếtPhép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
 
Линейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задачЛинейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задач
 

решетки

  • 2. 2Глава 1. Множества и отношения. 1.3. Решетки Решетка – это множество M с определенными на нем двумя бинарными операциями ∩ и ∪, такими что: 1. a ∩ a = a, a ∪ a = a 2. a ∩ b = b ∩ a, a ∪ b = b ∪ a идемпотентность коммутативность 3. (a ∩ b) ∩ c = a ∩ (b ∩ c), (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c) ассоциативность 4. (a ∩ b) ∪ a = a, (a ∪ b) ∩ a = a поглощение Решетка дистрибутивна, если: 5. a ∩ (b ∪ с) = (a ∩ b) ∪ (b ∩ c),a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) дистрибутивность Решетка ограничена, если в ней существуют элементы 0 и 1 такие, что: 6. 0 ∩ a = 0, 1 ∪ a = 1 ограниченность Ограниченная решетка называется решеткой с дополнением, если в ней для любого элемента a найдется элемент a' такой, что: 7. a ∩ a' = 0, a ∪ a' = 1
  • 3. 3Глава 1. Множества и отношения. Свойства дополнения в дистрибутивной ограниченной решетке  единственность: для данного элемента a существует единственный элемент a';  инволютивность: (a')' = a  дополнительность: 1' = 0, 0' = 1  законы де Моргана: (a ∪ b)' = a' ∩ b', (a ∩ b)' = a' ∪ b' Если решетка дистрибутивна, то выполняются следующие свойства дополнения: Свойства нуля и единицы: 0 ∪ a = a, 1 ∩ a = a Действительно, 0 ∪ a = (0 ∩ a) ∪ a = (a ∩ 0) ∪ a = a, 1 ∩ a = (1 ∪ a) ∩ a = (a ∪ 1) ∩ a = a Единственность: пусть a' и a'' – два различных дополнения к a. Тогда a' = a' ∪ 0 = a' ∪ (a ∩ a'') = (a' ∪ a) ∩ (a' ∩ a'') = 1 ∩ (a' ∩ a'') = (a' ∩ a'') Аналогично a'' = a'' ∪ 0 = a'' ∪ (a ∩ a') = (a'' ∪ a) ∩ (a'' ∩ a') = 1 ∩ (a'' ∩ a') = (a' ∩ a'') Инволютивность: очевидна, поскольку a' ∩ a = 0, a' ∪ a = 1 Дополнительность: 1' = 1' ∩ 1 = 0; 0' = 0' ∪ 0 = 1 Законы де Моргана: Проверяем, что (a ∪ b) ∪ (a' ∩ b') = 1, (a ∪ b) ∩ (a' ∩ b') = 0, (a ∩ b) ∪ (a' ∪ b') = 1, (a ∩ b) ∩ (a' ∪ b') = 0 Например, (a ∪ b) ∪ (a' ∩ b') = (a ∪ b ∪ a') ∩ (a ∪ b ∪ b') = 1 ∩ 1 = 1
  • 4. 4Глава 1. Множества и отношения. Частичный порядок в решетке Введем отношение порядка ≤ на элементах решетки a ≤ b, если a ∩ b = a Это действительно отношение частичного порядка, так как: Это отношение рефлексивно: a ≤ a, так как a ∩ a = a Это отношение антисимметрично: если a ≤ b и b ≤ a, то a = a ∩ b = b ∩ a = b Это отношение транзитивно: если a ≤ b и b ≤ с, то a ∩ с = (a ∩ b) ∩ с = a ∩ (b ∩ с) = a ∩ b = a Пусть задано множество с нестрогим порядком ≤, в котором для любых элементов a и b существуют их нижняя и верхняя грани inf(a, b) и sup(a, b) Тогда множество этих элементов образуют решетку относительно операций ∩ = inf, ∪ = sup Очевидно, что для любых двух элементов такой решетки существуют верхняя и нижняя грани относительно только что введенного отношения порядка ≤ : inf(a,b) = a ∩ b, sup(a,b) = a ∪ b Доказательство (для нижней грани): 1. (a ∩ b) ≤ b, поскольку (a ∩ b ∩ b) = (a ∩ b) и (a ∩ b) ≤ a, поскольку (a ∩ b ∩ a) = (a ∩ b) 2. Пусть существует c такое, что (a ∩ b) ≤ c, c ≤ a, c ≤ b. Тогда c = c ∩ a = (c ∩ b) ∩ a = a ∩ b Наоборот: Таким образом, имеем два равносильных определения решетки: определение через свойства заданных операций ∩ и ∪, и определение решетки как частично упорядоченного множества, в котором для каждых двух элементов определены их верхняя и нижняя грань.
  • 5. 5Глава 1. Множества и отношения. Булева алгебра Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением называется булевой алгеброй. Минимальная булева алгебра содержит всего два элемента 0 и 1. Операции решетки в этой алгебре принято обозначать символами ∨ и ∧, а операцию дополнения – символом ¬. Для булевой алгебры справедлива следующая таблица операций: a b a∨b a∧b ¬a 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 Булеан некоторого множества U – это булева алгебра относительно операций ∪ и ∩. Еще пример. Пусть Ap – множество всех простых чисел, не превосходящих p. Рассмотрим всевозможные произведения чисел из Ap, в которые сомножители входят не более, чем по одному разу. Множество всех таких чисел образует решетку относительно операций НОД и НОК. Число 1 является нулем решетки, произведение всех чисел из Ap – ее единицей. Очевидно, что это тоже булева алгебра.
  • 6. 5Глава 1. Множества и отношения. Булева алгебра Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением называется булевой алгеброй. Минимальная булева алгебра содержит всего два элемента 0 и 1. Операции решетки в этой алгебре принято обозначать символами ∨ и ∧, а операцию дополнения – символом ¬. Для булевой алгебры справедлива следующая таблица операций: a b a∨b a∧b ¬a 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 Булеан некоторого множества U – это булева алгебра относительно операций ∪ и ∩. Еще пример. Пусть Ap – множество всех простых чисел, не превосходящих p. Рассмотрим всевозможные произведения чисел из Ap, в которые сомножители входят не более, чем по одному разу. Множество всех таких чисел образует решетку относительно операций НОД и НОК. Число 1 является нулем решетки, произведение всех чисел из Ap – ее единицей. Очевидно, что это тоже булева алгебра.