Лекції з теорії моделювання.

1. Теорія подібності. Моделювання в реальному часі.
Для спеціальності 151 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані
технології”
КНУБА, 2018
Соболевська Л.Г. sobolevska@atp.in.ua +38 066 251 89 80
ЧИСЛОВІ МЕТОДИ ТА
МОДЕЛЮВАННЯ НА ЕОМ

2. ТЕОРІЯ ПОДІБНОСТІ
 Теорія подібності (розмірності) – це наука про
розмірність фізичних величин, подібність фізичних
об’єктів, про критерії подібності.
 Теорія подібності дозволяє на основі здорового
глузду і аналізу розмірностей, при майже повній
відсутності інформації і математичних моделей,
робити вражаюче глибокі висновки і навіть
відкривати закони.
2 КНУБА, ФАІТ, 2018

3. Аксіома теорії подібності
Будь-яка чисельна модель
залишається адекватною
після довільної заміни
основних одиниць
вимірювання.
3 КНУБА, ФАІТ, 2018

4. Задача про цеглину
Геометричні параметри Чисельна модель №1
(значення в см)
Чисельна модель №2 (значення в м)
Довжина цеглини x2 30 0.3
Висота цеглини x3 6 0.06
Ширина цеглини x1 12 0.12
Геометричні параметри Значення (безрозмірне) Параметр
Висота цеглини 1 (перетворено на одиницю)
Ширина цеглини 2 X1 (безрозмірний параметр №1)
Довжина цеглини 5 X2 (безрозмірний параметр №2)
4 КНУБА, ФАІТ, 2018

5. -теорема теорії подібності
 Будь-яка математична модель
Model(x1, x2, x3, x4,..... xn),
 що залежить від n розмірних змінних або
параметрів x1, x2, ..... xn, може бути зведена (за
рахунок масштабних перетворювань) до
математичної моделі
MODEL(1, 1, 1, X4,..... Xn),
 в якій кількість визначаючих параметрів зменшена
на k, де k – кількість основних розмірностей (в
механіці k = 3 – метр, секунда, кілограм).
5 КНУБА, ФАІТ, 2018

6. Яка користь від переходу до
безрозмірних параметрів?
 По-перше, зменшується кількість визначаючих
параметрів і різко зменшується кількість можливих
комбінацій значень параметрів, які треба
розглянути при дослідженні. Якщо допустити 10
числових варіантів для кожного параметра, то в
типовому випадку зменшення кількості параметрів
на три, кількість досліджуваних варіантів
зменшується в 1000 разів.
 По-друге, результати дослідження стають
узагальненими, придатними не тільки для одного
конкретного числового варіанта, а для широкого
спектра подібних варіантів.
6 КНУБА, ФАІТ, 2018

7. Застосування -теореми
 По-перше, визначається перелік розмірних параметрів і
змінних моделі. Якщо задача описана математично,
достатньо просто виписати усі змінні, що входять до
математичних рівнянь. Якщо ж математичної моделі
нема, можна, просто спираючись на здоровий глузд,
перелічити всі суттєві фактори.
 По-друге, із вказаного списку треба скласти можливі
незалежні безрозмірні комбінації. Це і будуть критерії
подібності. Якщо числові значення критеріїв подібності
однакові для моделі і реального об’єкту (процесу),
значить модель адекватно імітує об’єкт (процес).
 По-третє, результати моделювання (комп’ютерного або
фізичного) також інтерпретуються в термінах
безрозмірних параметрів.
7 КНУБА, ФАІТ, 2018

8. Задача про маятник
 Рух маятника x(t) від п’яти
визначаючих параметрів:
 де t – час, с;
 L – довжина маятника, м;
 g – прискорення сили
тяжіння, м/с2;
 m – маса маятника, кг;
 x0 – початкове відхилення, м;
 F – деяка невідома нам
функція.
   0,,,,F xmgLttx 
8 КНУБА, ФАІТ, 2018

9. Задача про маятник
 З п’яти розмірних величин t, L, g, m, x0 можна
скласти тільки дві незалежні безрозмірні
комбінації:
 безрозмірне відхилення є функція цих двох
безрозмірних параметрів:
L
x0
L
g
t 
 









L
g
t
L
x
L
tx
,F 0
9 КНУБА, ФАІТ, 2018

10. Висновки задачі про маятник
 Рух маятника залежить тільки від безрозмірного
початкового відхилення і безрозмірного часу.
 Рух не залежить від маси маятника.
 Рух двох будь-яких маятників подібний
(відрізняється тільки масштабом), якщо однакові
безрозмірні початкові відхилення.
 Дослідження коливань маятника має сенс
проводити в безрозмірних змінних.
10 КНУБА, ФАІТ, 2018

11. Задача про водозлив Томсона
 Для непрямого вимірювання витрати води у
відкритих каналах використовується мірний
водозлив трикутної форми (Томсона).
11 КНУБА, ФАІТ, 2018

12. Задача про водозлив Томсона
 Безпосередньо вимірюється рівень води у водозливі
h, а витрата Q потім вираховується.
 Витрата Q, кг/с залежить від таких параметрів:
 , кг/м3 – щільність рідини;
 g, м/с2 – прискорення сили тяжіння;
 h, м – висота рівня у водозливі.
 Примітка: від в’язкості для слабков’язких рідин (типу води)
практично не залежить.
 З вказаних змінних можна створити тільки одну
безрозмірну комбінацію:
 2521
hgQ 
12 КНУБА, ФАІТ, 2018

13. Задача про водозлив Томсона
 На основі теорії подібності можна стверджувати, що ця
єдина безрозмірна величина ні від чого не залежить, тобто є
якоюсь константою С:
 Звідси витрата Q пропорційна висоті рівня в ступіні 5/2:
 Числове значення константи С повинно бути визначене
експериментально. Для цього достатньо провести тільки
одне лабораторне вимірювання на зменшеній фізичній
моделі водозливу. Треба мати на увазі, що ця константа
залежить від кута водозливу , тобто є функцією С(), тому
при зміні кута  потрібно тарувати водозлив заново.
  ChgQ  2521

2521
hgCQ  
13 КНУБА, ФАІТ, 2018

14. Висновки задачі про водозлив
Томсона
 При повній відсутності експериментальних даних і
математичної моделі теорія подібності дозволила
встановити фізичний закон залежності витрати від
рівня, необхідний для тарування мірного
водозливу.
 В результаті обсяг потрібних лабораторних
експериментів різко звужений і чітко визначений.
Абсолютно ясно, як слід інтерпретувати
результати експерименту.
14 КНУБА, ФАІТ, 2018

15. Рекурсія
15 КНУБА, ФАІТ, 2018

16. Рекурсія
 визначення, опис, зображення якого-небудь
об'єкта або процесу всередині самого цього
об'єкта або процесу, тобто ситуація, коли об'єкт
є частиною самого себе.
 Рекурсивні акроніми:
 GNU (GNU Not Unix),
 PHP (PHP: Hypertext Preprocessor),
 WINE (Wine Is Not an Emulator)
16 КНУБА, ФАІТ, 2018

17. 17 КНУБА, ФАІТ, 2018

18. ПРОСТА РЕКУРСІЯ
 При моделюванні дуже часто приходиться знаходити
рішення нелінійних (або лінійних) рівнянь (або
системи таких рівнянь), заданих у неявній формі, типу:
наприклад
 Будь-які чисельні методи зводяться до того, що ми
генеруємо деяку послідовність значень x, яка сходиться
до точного рішення:
x0, x1, x2, .... xi, xi+1, ..... xn ,
 де x0 – початкове наближення, яким ми задаємось
довільно.
 Іншими словами, рішення це нерухома точка
відображення
f(xi)  f(xi+1).
 xx f
 xx cos
18 КНУБА, ФАІТ, 2018

19. ПРОСТА РЕКУРСІЯ
 Всі відомі методи рекурсивні, тобто для генерації
xi+1 ми беремо xi і використовуємо на кожному
кроці якийсь один і той же алгоритм А:
 ii xx A1 
19 КНУБА, ФАІТ, 2018

20. Лем С. «Звёздные дневники Ийона Тихого.
Путешествие четырнадцатое.»
 Нашёл следующие краткие сведения:
«СЕПУЛЬКИ — важный элемент цивилизации
ардритов (см.) с планеты Энтеропия (см.). См.
СЕПУЛЬКАРИИ».
 Я последовал этому совету и прочёл:
«СЕПУЛЬКАРИИ — устройства для сепуления
(см.)».
 Я поискал «Сепуление»; там значилось:
«СЕПУЛЕНИЕ — занятие ардритов (см.) с планеты
Энтеропия (см.). См. СЕПУЛЬКИ».
20 КНУБА, ФАІТ, 2018

21. Эффект Дросте
21 КНУБА, ФАІТ, 2018

22. МОДЕЛЮВАННЯ В РЕАЛЬНОМУ ЧАСІ
В РЕАЛЬНОМУ ЧАСІ В ЗАСТИГЛОМУ ЧАСІ
Рух
Динаміка
Точка
Статика
22 КНУБА, ФАІТ, 2018

23. Особливості моделювання в реальному часі:
 Розрахунки виконуються циклічно, по тактах.
 Обчислення в такті починаються циклічними командами
таймера або циклічними натисканнями клавіші вручну. Таким
чином досягається синхронізація обчислень з реальним часом.
 На кожному такті вираховуються дані тільки для даного такту
і виводяться на екран (у вигляді зображення). Послідовність
статичних зображень, що досить швидко змінюються в часі,
створює ефект руху.
 Обчислення виконуються рекурсивно. Значення змінних,
обчислені на попередньому такті, використовуються як
початкові умови для прорахунку значень змінних на даному
такті.
23 КНУБА, ФАІТ, 2018

24. 24
Дякую за увагу!
КНУБА, ФАІТ, 2018