Задача про кліку. Розфарбування графів.

1. Лекції №8. Теорія графів.
Для спеціальності 151 “Автоматизація та комп’ютерно-
інтегровані технології”
КНУБА, 2016
Соболевська Л.Г. sobolevska@atp.in.ua +38 066 251 89 80

2.  Задача про кліку відноситься до класу NP-
повних задач в області теорії графів. Вперше
вона була сформульована в 1972 році
Річардом Карпом.
 NP - nondeterministic polynomial.
 NP-повна задача (NP-complete) — в теорії
алгоритмів та теорії складності це задача,
що належить до класу NP та всі задачі з
класу NP можна звести до неї за
поліноміальний час.

3. 1 2
7
4
3
65
1 2
7
4
3
65

4.  Клікою в неорієнтованому
графі називається
підмножина вершин, кожні
дві з яких з'єднані ребром
графа.
 Кліка – це повний підграф
початкового графа.
 Розмір кліки – число вершин
в ній.
 Два варіанта задачі:
• задача розпізнавання – потрібно
визначити, чи існує в заданому
графі G кліка розміру k,
• обчислювальна задача –знайти в
заданому графі G кліку
максимального розміру.
1 2
7
4
3
65

5.  Як і для інших NP-повних задач,
ефективного алгоритму для пошуку кліки
заданого розміру на даний момент не
знайдено.
 Повний перебір всіх можливих підграфів
розміру k з перевіркою того, чи є хоча б
один з них повним, - неефективний,
оскільки повне число таких підграфов в
графі з V вершинами дорівнює
біноміальному коефіцієнту
 !!
!
kvk
v
k
v













7. При розфарбовуванні елементам графа
ставляться у відповідність мітки з
урахуванням певних обмежень
Мітки традиційно називаються
"кольорами".
Розфарбування:
• Вершин
• Ребер
• Областей планарного графа

11.  Намагаючись розфарбувати карту округів Англії, Францис
Гутрі сформулював проблему чотирьох фарб, зазначивши,
що чотирьох кольорів досить, щоб розфарбувати карту так,
щоб будь-які два суміжних регіону мали різні кольори.
 Артур Келі підняв цю проблему на зустрічі Лондонського
математичного співтовариства в 1878 році.
 У тому ж році Тейт було запропоновано перше рішення
цього завдання.
 У 1880 році Альфред Кемпе опублікував документ, в якому
стверджувалося, що йому вдалося встановити результат.
 У 1890 році Хівуд, що відзначив, аргументи, наведені Кемпе
були невірними.
 Теорема чотирьох фарб була остаточно доведена в 1977 році
вченими Кеннетом Аппелем і Вольфгангом Хакеном. Доказ
теореми чотирьох кольорів є одним з перших доказів, в яких
був використаний комп'ютер.

12. З'ясувати, чи можна будь-яку
розташовану на сфері карту
розфарбувати чотирма фарбами так, щоб
будь-які дві області, що мають спільну
ділянку межі, були розфарбовані в різні
кольори.
=
Показати, що хроматичне число плоского
графа не перевищує 4.

13. Розфарбування графів почало вивчатися
як алгоритмічна проблема з 1970-х років:
• визначення хроматичного числа - одна з 21 NP-
повних задач Карпа з 1972 року.
• приблизно в той же час були розроблені
різноманітні алгоритми.
З 1981 року розфарбування графа
застосовується для розподілу регістрів в
компіляторах.

15. Мультиграфи Шеннона – це мультиграфи
з трьома вершинами, для яких
виконується одна з умов:
• всі три вершини з'єднані однаковою кількістю
ребер;
• теж саме, але додане ще одне ребро.

16. Математичний апарат для моделювання
динамічних дискретних систем
Описані в дисертації Карла Петрі
"Kommunikation mit Automaten« в 1962
році.

17.  Елементи:
• множина позицій P (схематично позначаються
кружками),
• множина переходів T (позначаються рисками),
• вхідна функція I,
• вихідна функція O.
 Орієнтовані дуги з'єднують позиції і переходи,
при цьому деякі дуги спрямовані від позицій до
переходів, а інші - від переходів до позицій.
 Маркування μ - привласнення фішок позиціям
мережі Петрі. Фішки використовуються для
визначення виконання мережі Петрі.

18. Перехід не
дозволено
Перехід
дозволено

19. Перехід не
дозволено
Перехід
дозволено

24.  Виконанням мережі Петрі керує кількість і
розподіл фішок в мережі.
 Фішки знаходяться в позиціях і керують
виконанням переходів мережі.
 Мережа Петрі виконується за допомогою
запуску переходів.
 Перехід може запускатися тільки в тому
випадку, коли він дозволений.
 Перехід називається дозволеним, якщо
кожна з його вхідних позицій має число
фішок, що принаймні дорівнює кількості
дуг з позиції в перехід.

25.  Часова мережа Петрі - така мережа, де переходи мають вагу, що
визначає тривалість спрацьовування (затримку).
 Стохастична мережа Петрі - мережа, в якій затримки є випадковими
величинами.
 Функціональна мережа Петрі - мережа, в якій затримки визначаються
як функції деяких аргументів, наприклад, кількості міток в будь-яких
позиціях, стану деяких переходів.
 Кольорова мережа Петрі - мережа, в якій мітки можуть бути різних
типів, які охоплюють квітами, тип мітки може бути використаний як
аргумент у функціональних мережах.
 Інгібіторна мережа Петрі - мережа, в якій можливі інгібіторні, тобто
пригнічуючі, дуги, які забороняють спрацьовування переходу, якщо у
вхідній позиції, пов'язаній з переходом інгібіторною дугою, знаходиться
мітка.
 Ієрархічна мережа Петрі - мережа, яка містить немиттєві переходи, в
які вкладені інші, можливо, також ієрархічні, мережі. Спрацьовування
такого переходу характеризує виконання повного життєвого циклу
вкладеної мережі.
 WF-мережі Петрі - підклас мереж Петрі, званий також мережами
потоків робіт. Формалізм WF-мереж введений Віл ван дер Аальстом (Wil
van der Aalst) для моделювання потоків робіт в workflow-системах.

26.  Мережа Петрі називається мережею потоків робіт (WF-мережею),
якщо виконуються наступні умови:
• існує тільки одна вихідна позиція i, така що відсутні переходи входять до i;
• існує тільки одна кінцева позиція o, така що відсутні переходи виходять з o;
• кожен вузол даної мережі розташований на шляху від i до о.
 WF-мережі використовуються для перевірки графів потоків робіт
на наявність таких структурних конфліктів, як "тупики" і
"недоліки синхронізації". Структурні конфлікти відсутні, якщо
WF-мережа є бездефектною.
 Властивість бездефектності, відповідає таким вимогам:
• кінцева позиція o досяжна при будь-якій послідовності переходів від позиції i;
• WF-мережа не містить зайвих позицій (які ніколи не будуть виконані);
• при досягненні кінцевої позиції даної мережі не повинно залишатися фішок в
проміжних позиціях.
 Властивість бездефектності відповідає двом властивостям мереж
Петрі - жвавості і обмеженості.

27. Основні властивості мережі Петрі:
 обмеженість - властивість мережі, число міток якої в
будь-якій позиції мережі не може перевищити деякого
значення K;
 безпека - окремий випадок обмеженості, K = 1;
 збереженість - є сталість завантаження ресурсів, коли ΣAi
Ni постійна. Де Ni - число маркерів в i-тій позиції, Ai -
ваговий коефіцієнт;
 досяжність - можливість переходу мережі з одного
заданого стану (що характеризується розподілом міток) в
інше;
 жвавість - можливість спрацьовування будь-якого
переходу при функціонуванні об'єкта, що моделюється.

29. Gantt chart, календарний графік - це
популярний тип стовпчастих діаграм
(гістограм), який використовується для
ілюстрації плану, графіка робіт з якого-
небудь проекту.
Є одним з методів планування проектів.
Використовується в додатках з управління
проектами.
Перший формат діаграми був розроблений
Генрі Л. Гантта в 1910 році.

30.  Ключовим поняттям діаграми Гантта є «віха» - мітка значимого
моменту в ході виконання робіт, спільний кордон двох або більше
завдань.
 Віхи:
• дозволяють наочно відобразити необхідність синхронізації, послідовності у
виконанні різних робіт.
• не є календарними датами.
• Зрушення віхи призводить до зрушення всього проекту.
 Недоліки:
• не є, графіком робіт;
• не відображує значущості або ресурсоємності робіт;
• не відображує сутності робіт (області дії);
• для великих проектів діаграма Гантта стає надмірно великою і втрачає будь-
яку наочність.
 У даний час діаграма Гантта є стандартом де-факто в теорії і
практиці управління проектами для відображення структури
переліку робіт за проектом.

32. техніка оцінки та аналізу програм
(проектів), яка використовується при
управлінні проектами.
PERT забезпечує:
• оцінку і аналіз часу виконання, трудовитрат і
потреби в інших ресурсах проекту, на основі
відповідних характеристик і залежностей.
• аналіз та оцінки часу, який потрібен для
виконання кожної окремої задачі, а також
мінімально необхідного часу для виконання
всього проекту.

34.  Найпопулярнішою частиною PERT є Метод
критичного шляху, який спирається на
побудову мережевого графіка (мережевої
діаграми PERT).
 Техніка PERT була розроблена в 1958 році
консалтинговою фірмою «Буз, Ален і
Гамільтон» спільно з корпорацією «Локхід»
на замовлення Підрозділу спеціальних
проектів ВМС США в складі Міністерства
Оборони США для проекту створення
ракетної системи «Polaris».

35.  PERT подія (PERT event): точка, що відзначає початок або
закінчення однієї або більше активностей (завдань, робіт,
заходів). Вона не вимагає часу або ресурсів. У разі, якщо вона
відноситься до однієї або більше завдань, подія не «наступає»
(не відбувається) до моменту, поки всі активності, що
призводять до події, не будуть завершені.
 Попередня подія (predecessor event): подія, яка безпосередньо
передує деякій іншій події, без інших проміжних подій. Подія
може мати кілька попередніх подій і може бути попередником
для кількох подій.
 Подальша подія (successor event): подія, яка безпосередньо
випливає з деякої іншої події, без інших проміжних подій.
Подія може мати кілька наступних подій і може бути
послідовником кількох подій.

36.  PERT активність (PERT activity): реальне виконання завдання,
яке вимагає час і ресурсів. Наприклад, працівників (робочої
сили), матеріалів, простору (приміщень), техніки
(обладнання). Може сприйматися як переміщення від однієї
події до іншої, що вимагає часу, трудовитрат і ресурсів.
Активність PERT не може бути виконана, поки не сталися
попередні події.
 Оптимістичний час (optimistic time) (O): мінімально
можливий час виконання завдання, в припущенні, що все
відбувається найкращим чином.
 Песимістичний час (pessimistic time) (P): максимально
можливий час потрібний для виконання завдання, в
припущенні, що все відбувається найгіршим чином
(виключаючи великі катастрофи).

37.  Найбільш ймовірний час (most likely time) (M): оцінка часу,
потрібного для виконання завдання, в припущенні, що все
відбувається як завжди.
 Очікуваний час (expected time) (TE): найкраща оцінка часу,
необхідного для виконання завдання, з огляду на, що речі не
завжди відбуваються як зазвичай. (Очікуване середнє час
виконання завдання, якщо вона буде повторюватися
багаторазово).
TE = (O + 4M + P) / 6
 Прослизання або провисання: міра додаткового часу і
ресурсів, доступних для виконання роботи. Час, на який
виконання завдання може бути зрушене без затримки будь-
яких подальших завдань (вільне прослизання) або всього
проекту (загальне прослизання). Позитивне провисання
показує випередження розкладу, негативне провисання
показує відставання і нульове провисання показує
відповідність розкладу.

38.  Критичний шлях (critical path): Найдовший маршрут від
початкової до фінального події. Він визначає загальний
календарний час, необхідний для проекту і, таким чином,
будь-які затримки на критичному шляху затримують
досягнення фінальної події.
 Критична активність (critical activity): Активність, загальне
прослизання якої дорівнює нулю. Активність з нульовим
прослизанням не обов'язково повинна перебувати на
критичному шляху.
 Швидкий прохід (fast tracking): метод стиснення розкладу
проекту, змінює логіку мережі шляхом накладання одної на
одну фаз, які в звичайній ситуації виконувалися б
послідовно (наприклад, накладання фаз проектування і
будівництва), або для паралельного виконання
запланованих операцій.

39.  інструмент планування розкладу та управління термінами
проекту.
 В основі методу лежить визначення найбільш тривалої
послідовності завдань від початку проекту до його
закінчення з урахуванням їх взаємозв'язку.
 Завдання, що лежать на критичному шляху (критичні
завдання), мають нульовий резерв часу виконання, і, в разі
зміни їх тривалості, змінюються терміни всього проекту.
 Критичні завдання вимагають більш ретельного контролю,
зокрема, своєчасного виявлення проблем та ризиків, що
впливають на терміни їх виконання і, отже, на терміни
виконання проекту в цілому.
 В процесі виконання проекту критичний шлях проекту
може змінюватися, так як при зміні тривалості завдань деякі
з них можуть виявитися на критичному шляху.

41.  — граф, який відображає роботи проекту, зв'язки між ними, стан проекту.
 — це динамічна модель виробничого процесу, що відображає
технологічну залежність і послідовність виконання комплексу робіт, що
погоджує їх завершення в часі з урахуванням витрат ресурсів і вартості
робіт з виділенням при цьому вузьких (критичних) місць.
 Може будуватися в 2-х варіантах:
 а) вершини графа відображають стан деякого об'єкта (наприклад,
будівництва), а дуги — роботи, що ведуться на цьому об'єкті. Кожній дузі
зіставляється час, за який здійснюється робота і/або число робітників, які
здійснюють роботу. Часто мережевий графік будується так, що
розташування вершин по горизонталі відповідає часу досягнення стану,
відповідного заданої вершині.
 б) вершини графа відбивають роботи, а зв'язки між ними — залежності
між роботами.

42. робота, події, шлях.
 Робота відображає трудовий процес, в якому беруть участь люди,
машини, механізми, матеріальні ресурси (проектування споруди,
поставки обладнання, кладка стін, рішення задач на ЕОМ і т.і.)
Або процес очікування (твердіння бетону, сушка штукатурки і т.і.
).
 Кожна робота мережевого графіка має конкретний зміст.
 Робота як трудовий процес вимагає витрат часу і ресурсів, а як
очікування - тільки часу. Для правильного і наочного
відображення порядку робіт при побудові мережі
використовують зображувані штриховими лініями додаткові
дуги, звані фіктивними роботами або зв'язками. Вони не
вимагають ні часу, ні ресурсів, а лише вказують, що початок
однієї роботи залежить від закінчення іншої.

43.  Дійсна робота в прямому сенсі слова
(наприклад — підготовка траси змагань), що
вимагає витрат праці, матеріальних ресурсів і
часу;
 Очікування — робота не вимагає витрат праці і
матеріальних ресурсів, але займає деякий час;
 Фіктивна робота (Залежність) — зв'язок між
двома або більше подіями, що не вимагає витрат
праці, матеріальних ресурсів і часу, але вказує, що
можливість початку однієї операції безпосередньо
залежить від виконання іншої. Тривалість такої
роботи = 0.

44.  Початкова подія — початок виконання комплексу
робіт;
 Завершальна подія — кінцева подія, що означає
досягнення кінцевої мети комплексу робіт;
 Проміжна подія, як результат однієї або декількох
робіт, що представляють можливість почати одну
або кілька безпосередньо наступних робіт.
Тривалість проміжного події в часі завжди = 0.
Подія визначає стан, а не процес.

45.  Будь-яка послідовність робіт в мережевому
графіку, в якому кінцева подія кожної роботи цієї
послідовності збігається з початковою подією
наступної за нею роботи, називається шляхом.
 Шляхи в мережевому графіку можуть бути 3 видів:
• Повний шлях — початок якого збігається з вихідною
подією мережі, а кінець — з завершальною, називається
повним шляхом;
• Шлях, що передує події — шлях від вихідної події мережі
до даної події;
• Шлях, наступний за подією — шлях, що з'єднує подію з
завершальною подією;
• Шлях між подіями — шлях, що з'єднує будь-які дві події, з
яких жодна не є вихідною або завершальною подією
мережевого графіка.

46. Дякую за увагу!
46