Лекції з теорії моделювання.

1. Лекція №4. Теорія подібності.
Моделювання в реальному часі.
Для спеціальності 151 “Автоматизація та комп’ютерно-
інтегровані технології”
КНУБА, 2016
Соболевська Л.Г. sobolevska@atp.in.ua +38 066 251 89 80

2. Теорія подібності (розмірності) – це
наука про розмірність фізичних величин,
подібність фізичних об’єктів, про критерії
подібності.
Теорія подібності дозволяє на основі
здорового глузду і аналізу розмірностей,
при майже повній відсутності інформації
і математичних моделей, робити
вражаюче глибокі висновки і навіть
відкривати закони.

3. Будь-яка чисельна модель
залишається адекватною
після довільної заміни
основних одиниць
вимірювання.

4. Геометричні параметри Чисельна модель №1
(значення в см)
Чисельна модель №2 (значення в м)
Довжина цеглини x2 30 0.3
Висота цеглини x3 6 0.06
Ширина цеглини x1 12 0.12
Геометричні параметри Значення (безрозмірне) Параметр
Висота цеглини 1 (перетворено на одиницю)
Ширина цеглини 2 X1 (безрозмірний параметр №1)
Довжина цеглини 5 X2 (безрозмірний параметр №2)

5.  Будь-яка математична модель
Model(x1, x2, x3, x4,..... xn),
 що залежить від n розмірних змінних або
параметрів x1, x2, ..... xn, може бути зведена
(за рахунок масштабних перетворювань) до
математичної моделі
MODEL(1, 1, 1, X4,..... Xn),
 в якій кількість визначаючих параметрів
зменшена на k, де k – кількість основних
розмірностей (в механіці k = 3 – метр,
секунда, кілограм).

6.  По-перше, зменшується кількість визначаючих
параметрів і різко зменшується кількість
можливих комбінацій значень параметрів, які
треба розглянути при дослідженні. Якщо
допустити 10 числових варіантів для кожного
параметра, то в типовому випадку зменшення
кількості параметрів на три, кількість
досліджуваних варіантів зменшується в 1000
разів.
 По-друге, результати дослідження стають
узагальненими, придатними не тільки для одного
конкретного числового варіанта, а для широкого
спектра подібних варіантів.

7.  По-перше, визначається перелік розмірних параметрів і
змінних моделі. Якщо задача описана математично,
достатньо просто виписати усі змінні, що входять до
математичних рівнянь. Якщо ж математичної моделі
нема, можна, просто спираючись на здоровий глузд,
перелічити всі суттєві фактори.
 По-друге, із вказаного списку треба скласти можливі
незалежні безрозмірні комбінації. Це і будуть критерії
подібності. Якщо числові значення критеріїв подібності
однакові для моделі і реального об’єкту (процесу),
значить модель адекватно імітує об’єкт (процес).
 По-третє, результати моделювання (комп’ютерного або
фізичного) також інтерпретуються в термінах
безрозмірних параметрів.

8.  Рух маятника x(t) від
п’яти визначаючих
параметрів:
 де t – час, с;
 L – довжина маятника, м;
 g – прискорення сили
тяжіння, м/с2;
 m – маса маятника, кг;
 x0 – початкове
відхилення, м;
 F – деяка невідома нам
функція.
   0,,,,F xmgLttx 

9. З п’яти розмірних величин t, L, g, m, x0
можна скласти тільки дві незалежні
безрозмірні комбінації:
безрозмірне відхилення є функція цих
двох безрозмірних параметрів:
L
x0
L
g
t 
 









L
g
t
L
x
L
tx
,F 0

10. Рух маятника залежить тільки від
безрозмірного початкового відхилення і
безрозмірного часу.
Рух не залежить від маси маятника.
Рух двох будь-яких маятників подібний
(відрізняється тільки масштабом), якщо
однакові безрозмірні початкові
відхилення.
Дослідження коливань маятника має
сенс проводити в безрозмірних змінних.

11.  Для непрямого вимірювання витрати води у
відкритих каналах використовується мірний
водозлив трикутної форми (Томсона).

12.  Безпосередньо вимірюється рівень води у
водозливі h, а витрата Q потім вираховується.
 Витрата Q, кг/с залежить від таких
параметрів:
 , кг/м3 – щільність рідини;
 g, м/с2 – прискорення сили тяжіння;
 h, м – висота рівня у водозливі.
 Примітка: від в’язкості для слабков’язких рідин (типу води) практично
не залежить.
 З вказаних змінних можна створити тільки
одну безрозмірну комбінацію:
 2521
hgQ 

13.  На основі теорії подібності можна стверджувати, що
ця єдина безрозмірна величина ні від чого не
залежить, тобто є якоюсь константою С:
 Звідси витрата Q пропорційна висоті рівня в ступіні
5/2:
 Числове значення константи С повинно бути
визначене експериментально. Для цього достатньо
провести тільки одне лабораторне вимірювання на
зменшеній фізичній моделі водозливу. Треба мати на
увазі, що ця константа залежить від кута водозливу
, тобто є функцією С(), тому при зміні кута 
потрібно тарувати водозлив заново.
  ChgQ  2521

2521
hgCQ  

14.  При повній відсутності експериментальних
даних і математичної моделі теорія
подібності дозволила встановити фізичний
закон залежності витрати від рівня,
необхідний для тарування мірного
водозливу.
 В результаті обсяг потрібних лабораторних
експериментів різко звужений і чітко
визначений. Абсолютно ясно, як слід
інтерпретувати результати експерименту.

16. визначення, опис, зображення якого-
небудь об'єкта або процесу всередині
самого цього об'єкта або процесу, тобто
ситуація, коли об'єкт є частиною самого
себе.
Рекурсивні акроніми:
GNU (GNU Not Unix),
PHP (PHP: Hypertext Preprocessor),
WINE (Wine Is Not an Emulator)

18.  При моделюванні дуже часто приходиться знаходити
рішення нелінійних (або лінійних) рівнянь (або системи
таких рівнянь), заданих у неявній формі, типу:
наприклад
 Будь-які чисельні методи зводяться до того, що ми
генеруємо деяку послідовність значень x, яка сходиться до
точного рішення:
x0, x1, x2, .... xi, xi+1, ..... xn ,
 де x0 – початкове наближення, яким ми задаємось довільно.
 Іншими словами, рішення це нерухома точка відображення
f(xi)  f(xi+1).
 xx f
 xx cos

19. Всі відомі методи рекурсивні, тобто для
генерації xi+1 ми беремо xi і
використовуємо на кожному кроці
якийсь один і той же алгоритм А:
 ii xx A1 

20.  Нашёл следующие краткие сведения:
«СЕПУЛЬКИ — важный элемент
цивилизации ардритов (см.) с планеты
Энтеропия (см.). См. СЕПУЛЬКАРИИ».

Я последовал этому совету и прочёл:
«СЕПУЛЬКАРИИ — устройства для
сепуления (см.)».

Я поискал «Сепуление»; там значилось:
«СЕПУЛЕНИЕ — занятие ардритов (см.) с
планеты Энтеропия (см.). См. СЕПУЛЬКИ».

22. В РЕАЛЬНОМУ ЧАСІ В ЗАСТИГЛОМУ ЧАСІ
Рух
Динаміка
Точка
Статика

23.  Розрахунки виконуються циклічно, по тактах.
 Обчислення в такті починаються циклічними
командами таймера або циклічними натисканнями
клавіші вручну. Таким чином досягається
синхронізація обчислень з реальним часом.
 На кожному такті вираховуються дані тільки для
даного такту і виводяться на екран (у вигляді
зображення). Послідовність статичних зображень, що
досить швидко змінюються в часі, створює ефект руху.
 Обчислення виконуються рекурсивно. Значення
змінних, обчислені на попередньому такті,
використовуються як початкові умови для прорахунку
значень змінних на даному такті.

24. Дякую за увагу!
24