Questões de matemática da prova do ITA.

1. ITA 2015 - FECHADA
1
01. (Ita 2015) Seja 1 2 3
(a ,a ,a ,...) a sequência definida da seguinte forma: 1
a 1,
= 2
a 1
= e n n 1 n 2
a a a
− −
= + para n 3.
≥
Considere as afirmações a seguir:
I. Existem três termos consecutivos, p,
a p 1,
a + p 2,
a + que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.
II. 7
a é um número primo.
III. Se n é múltiplo de 3, então n
a é par.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
02. (Ita 2015) Seja ij 5 5
A (a ) ×
= a matriz tal que i 1
ij
a 2 (2j 1),
−
= − 1 i,j 5.
≤ ≤ Considere as afirmações a seguir:
I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão i
2.
II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2.
III. tr A é um número primo.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
d) apenas I e III.
e) I, II e III.
03. (Ita 2015) Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do
vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original,
subirá de
a) 3
2 h.
−
b) 3
2 1.
−
c) 3
( 2 1)h.
−
d) h.
e)
h
.
2

2. ITA 2015 - FECHADA
2
04. (Ita 2015) Dados o ponto
25
A 4,
6
 
=  
 
e a reta r : 3x 4y 12 0,
+ − =considere o triângulo de vértices ABC, cuja base
BC está contida em r e a medida dos lados AB e AC é igual a
25
.
6
Então, a área e o perímetro desse triângulo são,
respectivamente, iguais a
a)
22
3
e
40
.
3
b)
23
3
e
40
.
3
c)
25
3
e
31
.
3
d)
25
3
e
35
.
3
e)
25
3
e
40
.
3
05. (Ita 2015) Considere os pontos A (0, 1),
= − B (0,5)
= e a reta r : 2x 3y 6 0.
− + = Das afirmações a seguir:
I. d(A,r) d(B,r).
=
II. B é simétrico de A em relação à reta r.
III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C ( 3 3,2)
= − ou C (3 3,2).
=
É (são) verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) I e II.
d) I e III.
e) II e III.
06. (Ita 2015) Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x y 0.
− =
Sabendo-se que a potência do ponto O (0,0)
= em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C
são, respectivamente, iguais a
a) (2, 2 2 2)
− e 2 2 2.
−
b)
2 1
2,
2 2
 
−
 
 
 
e
2 1
.
2 2
−
c) (2, 2 1)
− e 2 1.
−
d) (2, 2 2)
− e 2 2.
−
e) (2, 4 2 4)
− e 4 2 4.
−

3. ITA 2015 - FECHADA
3
07. (Ita 2015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x 4y 4 0
+ − = e s : 3x 4y 19 0.
+ − =A
área do círculo determinado por C é igual a
a)
5
.
7
π
b)
4
.
5
π
c)
3
.
2
π
d)
8
.
3
π
e)
9
.
4
π
08. (Ita 2015) Considere as afirmações a seguir:
I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB, com comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam
livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência.
II. O lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que 3 2 2 2
6x x y xy 4x 2xy 0
+ − − − =
é um conjunto finito no plano cartesiano
ℝ2
.
III. Os pontos (2,3), (4, 1)
− e (3,1) pertencem a uma circunferência.
Destas, é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) I e II.
e) I e III.
09. (Ita 2015) Considere as seguintes afirmações sobre números reais:
I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional.
II.
n
n 0
1 2
.
1 2 2
( 2 1) 2
∞
=
=
−
−
∑
III. ( )( )
3 2
3 4
ln e log 2 log 9
+ é um número racional.
É (são) verdadeira(s)
a) nenhuma.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) I, II e III.

4. ITA 2015 - FECHADA
4
10. (Ita 2015) Considere a equação 2
a b
5,
x 1/ 2
1 x
− =
−
−
com a e b números inteiros positivos. Das afirmações:
I. Se a 1
= e b 2,
= então x 0
= é uma solução da equação.
II. Se x é solução da equação, então
1
x ,
2
≠ x 1
≠ − e x 1.
≠
III.
2
x
3
= não pode ser solução da equação.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
11. (Ita 2015) Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR, respectivamente, tais
que o segmento MN seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR. Sabendo-se que o perímetro do triângulo
PQR é 25 e que a medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a
a) 5.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
e) 15.
12. (Ita 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o ângulo ˆ
ADB
reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diagonais se cortam é
a)
21
.
8
b)
27
.
8
c)
35
.
8
d)
37
.
8
e)
45
.
8

5. ITA 2015 - FECHADA
5
13. (Ita 2015) Se
10
1 3i
z ,
1 3i
 
+
=  
 
−
 
então o valor de 2arcsen(Re(z)) 5arctg(2Im(z))
+ é igual a
a)
2
.
3
π
−
b) .
3
π
−
c)
2
.
3
π
d)
4
.
3
π
e)
5
.
3
π
14. (Ita 2015) Sejam A, B e C os subconjuntos de ℂ definidos por 𝐴𝐴 = {𝑧𝑧 ∈ ℂ: |𝑧𝑧 + 2 − 3𝑖𝑖| < √19},
𝐵𝐵 = {𝑧𝑧 ∈ ℂ: |𝑧𝑧 + 𝑖𝑖| < 7/2} e 𝐶𝐶 = {𝑧𝑧 ∈ ℂ: 𝑧𝑧2
+ 6𝑧𝑧 + 10 = 0}. Então, (A B) C
∩ é o conjunto
a) { 1 3i, 1 3i}.
− − − +
b) { 3 i, 3 i}.
− − − +
c) { 3 i}.
− +
d) { 3 i}.
− −
e) { 1 3i}.
− +
15. (Ita 2015) Seja p o polinômio dado por
15
j
j
j 0
p(x) a x ,
=
= ∑ com 𝑎𝑎𝑗𝑗 ∈ ℝ, j 0,1,...,15,
= e 15
a 0.
≠ Sabendo-se que i é uma
raiz de p e que p(2) 1,
= então o resto da divisão de p pelo polinômio q, dado por 3 2
q(x) x 2x x 2,
= − + − é igual a
a) 2
1 1
x .
5 5
−
b) 2
1 1
x .
5 5
+
c) 2
2 2
x .
5 5
+
d) 2
3 3
x .
5 5
+
e) 2
3 1
x .
5 5
+

6. ITA 2015 - FECHADA
6
16. (Ita 2015) Considere o polinômio p dado por 3 2
p(x) 2 ax bx 16,
= × + + − com 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ. Sabendo-se que p admite raiz
dupla e que 2 é uma raiz de p, então o valor de b a
− é igual a
a) 36.
−
b) 12.
−
c) 6.
d) 12.
e) 24.
17. (Ita 2015) Considere a matriz ij 2 2
M (m ) ×
= tal que ij
m j i 1,
= − + i, j 1,2.
= Sabendo-se que
n
k
k 1
1 0
det M n 252,
1 1
=
 
 
 
− =
 
 
 
 
∑
então o valor de n é igual a
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
18. (Ita 2015) Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo a, 2 a e a. Dentre esses triângulos, o
de maior hipotenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a
a)
3
arctg .
4
b)
3
arctg .
3
c)
1
arctg .
2
d)
3
arctg .
5
e)
4
arctg .
5

7. ITA 2015 - FECHADA
7
19. (Ita 2015) Os valores de x [0,2 ]
π
∈ que satisfazem a equação 2senx cosx 1
− =
são
a)
3
arccos
5
 
 
 
e .
π
b)
3
arcsen
5
 
 
 
e .
π
c)
4
arcsen
5
 
−
 
 
e .
π
d)
4
arccos
5
 
−
 
 
e .
π
e)
4
arccos
5
 
 
 
e .
π
20. (Ita 2015) Sejam α e β números reais tais que ,
α ,
β ]0,2 [
α β π
+ ∈ e satisfazem as equações 2 4
4 1
cos cos
2 5 2 5
α α
= + e
2 4
4 3
cos cos .
3 7 3 7
β β
= + Então, o menor valor de cos( )
α β
+ é igual a
a) 1.
−
b)
3
.
2
−
c)
2
.
2
−
d)
1
.
2
−
e) 0.
GABARITO
1 - D 2 - E 3 - C 4 - E 5 - D
6 - A 7 - E 8 - A 9 - D 10 - E
11 - A 12 - E 13 - D 14 - C 15 - B
16 - B 17 - C 18 - C 19 - A 20 - B