Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
ARITMÉTICA

2. ARITMÉTICA
1
01. (Ime 2020) Diversos modelos de placas de identificação de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os
seguintes modelos de placas e a descrição de sua composição alfanumérica:
- Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números)
- Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro números)
- Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro números)
- Modelo 4: ABC1C23 (três letras seguidas de um número, uma letra e dois números)
Sejam 1 2 3
c , c , c e 4
c as quantidades das combinações alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4,
respectivamente. Os números 1 2 3
c , c , c e 4
c são termos de uma progressão aritmética com infinitos termos com a
maior razão possível. A soma dos algarismos da razão dessa progressão é:
Observação: Considere o alfabeto com 26 letras.
a) 11
b) 12
c) 14
d) 16
e) 19
02. (Ime 2020) Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o
produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis números
das faces é
a) 22
b) 35
c) 40
d) 42
e) 50
03. (Epcar 2020) Dona Lourdes trabalha em uma livraria, precisa guardar 200 livros em x caixas e vai utilizar todas
elas. Se em 30 das x caixas ela guardar 4 livros em cada caixa e, nas demais, guardar 5 livros em cada caixa, então,
sobrarão alguns livros para serem guardados. Entretanto, se em 20 das x caixas ela guardar 4 livros em cada caixa e
5 livros em cada uma das demais, então, não haverá livros suficientes para ocupar todas as caixas.
Assim, a soma dos algarismos do número x é igual a
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
04. (Ime 2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo
a) [1
,16000]
b) [16001
,17000]
c) [17001
,18000]
d) [18001
,19000]
e) 1900
[ 1
, )


3. ARITMÉTICA
2
05. (Ime 2019) Definimos a função 𝑓: ℕ → ℕ da seguinte forma
2
f(0) 0
f(1) 1
f(2n) f(n), n 1
f(2n 1) n , n 1
=

 =

 = 

 + = 

Definimos a função 𝑔: ℕ → ℕ da seguinte forma: g(n) f(n)f(n 1).
= +
Podemos afirmar que
a) g é uma função sobrejetora.
b) g é uma função injetora.
c) f é uma função sobrejetora.
d) f é uma função injetora.
e) g(2018) tem mais do que 4 divisores positivos.
6. (Col. naval 2019) Coloque F (falso) ou V (verdadeiro) nas afirmativas abaixo, em relação aos números naturais,
assinalando a seguir a opção correta.
( ) Se dois números não primos são primos entre si então, ao menos um deles é ímpar.
( ) O produto de três números naturais consecutivos é um múltiplo de 6.
( ) A soma de três números naturais consecutivos é um múltiplo de 3.
( ) O número primo 13 divide a expressão 13
2019 2019.
−
a) (V) (V) (V) (V)
b) (F) (F) (V) (V)
c) (F) (V) (F) (V)
d) (F) (V) (V) (V)
e) (V) (F) (V) (F)
07. (Ime 2019) Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois já fizeram
aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual é
a soma das idades dos dois irmãos?
a) 23
b) 26
c) 29
d) 32
e) 39
08. (Ime 2018) Se X e Y são números naturais tais que 2 2
X Y 2017,
− = o valor de 2 2
X Y
+ é
a) 2008010
b) 2012061
c) 2034145
d) 2044145
e) 2052061

4. ARITMÉTICA
3
09. (Ime 2018) A soma dos algarismos de X com a soma dos quadrados dos algarismos de X é igual a X. Sabe-se
que X é um número natural positivo. O menor X possível está no intervalo
a) (0, 25]
b) (25, 50]
c) (50, 75]
d) (75,100]
e) (100,125]
10. (Ime 2018) Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1.041 e
na base x 1
− é 1.431
, então a sua representação na base binária é
a) 10001111
b) 11011011
c) 11100111
d) 11011110
e) 11110001
11. (Col. naval 2017) O produto das idades de quatro irmãos é 180. Além disso, todos os irmãos têm idades diferentes.
Se o mais velho tem menos de 12 anos, é correto afirmar que a maior soma possível dessas quatro idades é igual a
a) 16
b) 19
c) 20
d) 22
e) 25
12. (Col. naval 2017) Os números x e y pertencem ao conjunto C {17, 20, 23, 26, , 2018}
= e são tais que x y.

Sendo assim, pode-se concluir que x y
2017 2 8 ,
 + na divisão por 7, deixa resto
a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5
13. (Col. naval 2017) O número h tem 241 algarismos e x
h (z w) .
=  O MDC (x, 25), com x natural, resolvido pelo
algoritmo das divisões sucessivas de Euclides, gera o esquema a seguir:
y 1 4  quocientes
x 25 z w  dividendos e divisores
z w 0  restos
Sendo assim, é correto afirmar que a soma x y z w
+ + + é igual a
a) 274 b) 224 c) 199 d) 149 e) 99

5. ARITMÉTICA
4
14. (Col. naval 2016) Na divisão exata do número k por 50, uma pessoa, distraidamente, dividiu por 5, esquecendo
o zero e, dessa forma, encontrou um valor 22,5 unidades maior que o esperado. Qual o valor do algarismo das dezenas
do número k?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
15. (Acafe 2016) Na divisão de um número natural n por 12, o resto é igual a 7 e o numero natural r é o resto da
divisão do mesmo número por 4. Então, o valor de (7 r)
+ e igual a
a) 12.
b) 11.
c) 10.
d) 13.
16. (Col. naval 2016) Seja “A” o conjunto solução da inequação 2
1 1 1
x 1 x 1 x 1
− 
− + −
no universo dos números reais,
ℝ. O conjunto ℝ − 𝐴 é
a) [ 1
, 1].
− +
b) ] 1
, 1].
− +
c) [ 1
, 1].
− +
d) ] , 1].
−  +
e) ] 1
, [.
− 
17. (Acafe 2016) Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504 maçãs entre várias famílias de um
bairro carente. A exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo que cada família receba o mesmo e o
menor número possível de frutas de uma mesma espécie.
A quantidade total de frutas recebida por cada família representa um número
a) divisível por 9.
b) múltiplo de 7.
c) múltiplo de 12.
d) entre 40 e 50.
18. (Col. naval 2016) Considere as divisões de números naturais, em que D é o divisor. A soma de todos os restos
possíveis e pares dessas divisões é 182. Sabendo que D é ímpar e múltiplo de 3, o resto da divisão de
2016 2015
[(2 0 1 5) 2015] [(2 0 1 6) 2016]
+ + +  + + + +  por D é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 15
e) 16

6. ARITMÉTICA
5
19. (Acafe 2015) Um grupo de 216 mulheres e 180 homens inscreveram-se como voluntários para visitar pessoas
doentes em hospitais de uma cidade. Todas as pessoas inscritas serão divididas em grupos segundo o seguinte critério:
todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas, e em cada grupo só haverá pessoas do mesmo sexo.
Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar hospitais distintos, o menor número de hospitais a serem
visitados é um número
a) par
b) divisível por 6.
c) quadrado perfeito.
d) primo.
20. (Col. naval 2015) O número de divisores positivos de 2015
10 que são múltiplos de 2000
10 é
a) 152
b) 196
c) 216
d) 256
e) 276
21. (Col. naval 2015) Sejam  
A 1
, 2, 3,..., 4029, 4030
= um subconjunto dos números naturais e B A,
 tal que não
existem x e y, x y,
 pertencentes a B nos quais x divida y. O número máximo de elementos de B é N. Sendo
assim, a soma dos algarismos de N é
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
22. (Col. naval 2014) Um número natural N, quando dividido por 3, 5, 7 ou 11
, deixa resto igual a 1. Calcule o resto
da divisão de N por 1155, e assinale a opção correta.
a) 17
b) 11
c) 7
d) 5
e) 1

7. ARITMÉTICA
6
23. (Epcar 2013) Uma professora de Matemática do 5º ano do Ensino Fundamental, para dar início a um conteúdo
novo, levou para a sala de aula p bolinhas em uma única caixa. Ela chamou os alunos ,
α ,
β γ à frente da turma e
pediu a cada aluno que, um de cada vez, fizesse retiradas sucessivas de um mesmo número de bolinhas, conforme
descrito no quadro abaixo:
ALUNO
QUANTIDADE
DE RETIRADAS
QUANTIDADE
DE BOLINHAS
RETIRADAS POR
VEZ
SOBRA DE
BOLINHA
NA CAIXA
α x 2 0
β y 3 1
γ z 5 2
Sabe-se que:
I. 40 p 80.
 
II. Cada aluno, logo após a contagem das bolinhas por ele retiradas, devolveu todas as bolinhas para a caixa.
III. Não houve erro na contagem por parte dos alunos.
Com base nessas informações, é falso que
a) x y z p
+ +  b) x e y são primos entre si. c)
1
y p
3
 d) x – z é um número ímpar.
24. (Ita 2013) Seja n 6
 um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na divisão de n2
por 6, o quociente é um número
ímpar, então o resto da divisão de n por 6 é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
25. (Epcar 2011) Se somarmos sete números inteiros pares positivos e consecutivos, obteremos 770. O número de
divisores naturais do maior dos sete números citados é
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
GABARITO
1 - E 2 - B 3 - B 4 - C 5 - E
6 - A 7 - D 8 - C 9 - D 10 - E
11 - D 12 - E 13 - D 14 - B 15 - C
16 - A 17 - B 18 - B 19 - D 20 - D
21 -A 22 - E 23 - D 24 - C 25 - A