Questões se matemática selecionadas dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
MATRIZES

2. MATRIZES
1
01. (Famerp 2019) A matriz quadrada
1 0
M
0 2
−
 
=  
 
representa uma mensagem codificada. A mensagem decodificada
é a matriz quadrada 1 x y
M ,
z w
−  
=  
 
tal que 1
M−
é a inversa da matriz M Sendo assim, o valor de x y z w
+ + + é
a) 1
−
b) 0
c) 1
d)
1
2
e)
1
2
−
02. (Fatec 2019) João, Sílvia e Pedro são funcionários de uma empresa. Considere as matrizes: ( )
A 10 12 8
= e
25 40 12 32
B 15 22 30 30 ,
30 25 25 18
 
 
=  
 
 
em que:
- a matriz A representa o valor, em reais, recebido por hora trabalhada de João, Sílvia e Pedro, respectivamente;
- a matriz B representa a quantidade de horas trabalhadas por semana dos mesmos funcionários, em cada uma das
quatro primeiras semanas no mês de julho de 2018;
- na matriz B, as linhas 1 a 3 são para João, Sílvia e Pedro, respectivamente; e as colunas de 1 a 4 são, nessa ordem,
para as quatro primeiras semanas do mês de julho, de modo que, por exemplo, o elemento 13
b é a quantidade de
horas que João trabalhou na terceira semana desse mês.
O valor pago pela empresa pelas horas trabalhadas por esses três funcionários na segunda semana de julho de 2018
será
a) R$ 670,00.
b) R$ 680,00.
c) R$ 824,00.
d) R$ 980,00.
e) R$ 984,00.
03. (Unicamp 2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz
1 2
A
0 1
 
=  
 
satisfaz a equação 2
A aA bI,
= + em que
I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a
a) 2.
−
b) 1.
−
c) 1.
d) 2.

3. MATRIZES
2
04. (Insper 2018) A tabela a seguir será usada para a transmissão de mensagens criptografadas em matrizes. A
criptografia é feita ao se multiplicar a matriz C pela matriz-mensagem M, gerando a matriz criptografada C
M C M.
= ⋅
0 7 G 14 N 21 U
1 A 8 H 15 O 22 V
2 B 9 I 16 P 23 W
3 C 10 J 17 Q 24 X
4 D 11 K 18 R 25 Y
5 E 12 L 19 S 26 Z
6 F 13 M 20 T 27 ?
2 1 1
C 1 1 1
2 3 2
 
 
=  
 
 
Por exemplo, a matriz-mensagem
5 19 20 15 21 0
M 14 15 0 0 0 0 ,
9 14 19 16 5 18
 
 
=  
 
 
que significa ESTOU NO INSPER, depois de
criptografada por C vira a matriz C
33 67 59 46 5 18
M 28 48 39 31 5 18 .
70 111 78 62 10 36
 
 
=  
 
 
Ao receber C
M , o destinatário deve multiplicá-
la pela matriz decodificadora D, da mesma ordem da matriz C, para recuperar a mensagem original. A matriz
decodificadora D será
a)
1 1 0
0 2 1
1 4 1
−
 
 
−
 
 
− −
 
b)
2 1 1
1 1 1
2 3 2
 
 
 
 
 
c)
7 6 5
5 5 4
11 11 9
 
 
 
 
 
d)
1
1 1
2
1 1 1
1 1 1
2 3 2
 
 
 
 
 
 
 
e)
1 0 1
1 2 4
0 1 1
−
 
 
− −
 
 
−
 

4. MATRIZES
3
05. (Unicamp 2017) Sendo a um número real, considere a matriz
1 a
.
0 1
 
 
−
 
Então, 2017
A é igual a
a)
1 0
.
0 1
 
 
 
b)
1 a
.
0 1
 
 
−
 
c)
1 1
.
1 1
 
 
 
d)
2017
1 a
.
0 1
 
 
 
−
 
06. (Fac. Albert Einstein - 2017) Uma matriz quadrada de ordem n é chamada triangular superior se ij
a 0
= para i j.
>
Os elementos de uma matriz triangular superior T, de ordem 3, onde i j,
≤ são obtidos a partir da lei de formação
2
ij
t 2i j.
= − Sendo A [ 1 1 1]
= − uma matriz de ordem 1 3
× e t
A sua transposta, o produto t
A T A
⋅ ⋅ é a matriz 1 1
×
cujo único elemento vale
a) 0.
b) 4.
c) 7.
d) 28.
07. (Fac. Albert Einstein - 2017) Uma matriz B possui i linhas e j colunas e seus elementos são obtidos a partir da
expressão ij
b i 2j.
= − Seja uma matriz ij 2 3
A (a ) ×
= cujos elementos da primeira coluna são nulos e 2
I a matriz
identidade de ordem 2, tal que 2
AB I .
= O valor numérico do maior elemento da matriz A é igual a
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

5. MATRIZES
4
08. (Fatec 2017) Uma tela de computador pode ser representada por uma matriz de cores, de forma que cada
elemento da matriz corresponda a um 1
pixel na tela. Numa tela em escala de cinza, por exemplo, podemos atribuir
256 cores diferentes para cada pixel, do preto absoluto (código da cor: 0) passando pelo cinza intermediário (código
da cor: 127) ao branco absoluto (código da cor: 255). Menor elemento em uma tela ao qual é possível atribuir-se
uma cor.
Suponha que na figura estejam representados 25 pixels de uma tela.
A matriz numérica correspondente às cores da figura apresentada é dada por
255 0 127 0 255
0 127 0 255 0
127 0 255 0 127
0 255 0 127 0
255 0 127 0 255
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma matriz ij
M (a ),
= quadrada de ordem 5, em que i representa o número da linha e j representa o número da
coluna, é definida da seguinte forma: ij
0, se i j
a 127, se i j
255, se i j
=


= >

 <

A matriz M corresponde a uma matriz de cores em escala de cinza, descrita pelo texto, em uma tela.
Sobre essa matriz de cores, pode-se afirmar que ela
a) terá o mesmo número de pixels brancos e cinzas.
b) terá o mesmo número de pixels brancos e pretos.
c) terá o mesmo número de pixels pretos e cinzas.
d) terá uma diagonal com cinco pixels brancos.
e) terá uma diagonal com cinco pixels cinzas.
09. (Unicamp 2016) Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à
última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a
a) 12.
b) 15.
c) 16.
d) 20.

6. MATRIZES
5
10. (Insper 2016) Em um papel quadriculado n n,
× com n par, pode-se escrever todos os números inteiros de 1 a 2
n
em sequência, como no exemplo da figura 1, em que se escolheu n 4.
= Em seguida, dobrando o papel ao meio duas
vezes, uma na direção vertical e outra na horizontal, faz-se com que alguns dos números escritos se sobreponham.
Observe que, no caso em que n 4,
= os números 1, 4, 13 e 16 iriam se sobrepor no canto superior esquerdo da folha
dobrada, como mostrado na figura 2.
Repetindo o procedimento descrito acima para um papel quadriculado 50 50,
× um dos números que ficaria
sobreposto ao número 2016 é
a) 435.
b) 436.
c) 484.
d) 485.
e) 536.
11. (Fac. Albert Einstein - 2016) Uma matriz quadrada se diz ortogonal se sua inversa é igual à sua transposta. Dada a
matriz
x 3 5
A ,
5 x 3
 
− −
=  
 
−
 
em que 𝑥𝑥 ∈ ℂ ∗, a soma dos valores de x que a tornam uma matriz ortogonal é igual a
a) 6 4i
+
b) 6 4i
−
c) 6
d) 4

7. MATRIZES
6
12. (Unesp 2016) Um ponto P, de coordenadas (x, y) do plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz
coluna
 
 
 
x
,
y
assim como a matriz coluna
 
 
 
x
y
representa, no plano cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas
(x, y). Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial
−
   
⋅
   
   
0 1 x
1 0 y
é uma matriz coluna que, no plano cartesiano
ortogonal, necessariamente representa um ponto que é
a) uma rotação de P em °
180 no sentido horário, e com centro em (0, 0).
b) uma rotação de P em °
90 no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).
c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x.
d) simétrico de P em relação ao eixo vertical y.
e) uma rotação de P em °
90 no sentido horário, e com centro em (0, 0).
13. (Insper 2016) Matrizes de Vandermonde são matrizes quadradas em que os elementos ao longo de cada linha
formam progressões geométricas de primeiro termo igual a 1, não necessariamente com a mesma razão para cada
linha. Por exemplo, a matriz B a seguir, de ordem 4 é de Vandermonde:
1 5 25 125
1 3 9 27
B 1 3 9 27
1 1 1
1
2 4 8
 
 
 
=  
− −
 
 
 
 
Seja V uma matriz de Vandermonde de ordem 3 em que a PG formada com os elementos da 1ª linha tem razão 2, a
PG formada com os elementos da 2ª linha tem razão 3 e a PG formada com os elementos da 3ª linha tem razão 2.
−
Considere a matriz X, do tipo 3 1,
× tal que
a
V X b ,
c
 
 
⋅ =
 
 
 
sendo a, b e c constantes reais. O valor do elemento que
ocupa a 2ª linha de X é necessariamente igual a
a) 1.
b)
a c
.
2
+
c) 0.
d)
a c
.
4
−
e) b c.
+
14. (Unicamp 2015) Considere a matriz
a 0
A ,
b 1
 
=  
 
onde a e b são números reais. Se 2
A A
= e A é invertível, então
a) a 1
= e b 1.
=
b) a 1
= e b 0.
=
c) a 0
= e b 0.
=
d) a 0
= e b 1.
=

8. MATRIZES
7
15. (Mackenzie 2015) Se
1 1 0
A 0 1 0 ,
0 0 1
 
 
=  
 
 
1 0 0
B 0 1 0 ,
0 0 1
 
 
=  
 
 
0 0 0
C 0 0 0
0 0 0
 
 
=  
 
 
e os inteiros x e y são tais que
2
A x A y B C,
+ ⋅ + ⋅ = então
a) x 0
=
b) x 1
=
c) x 2
= −
d) x 1
= −
e) x 2
=
16. (Insper 2014) Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidades adquiridas de
cada produto e o total pago por cada um deles são mostrados na tabela.
Amigo
Quantidades compradas de
Total pago (R$)
cadernos canetas lápis
Júlia 5 5 3 96,00
Bruno 6 3 3 105,00
Felipe 4 5 2 79,00
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Dessa
forma, das igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única que relaciona corretamente esses preços
unitários com os dados da tabela é
a) [ ] [ ]
5 5 3
x y z 6 3 3 96 105 79 .
4 5 2
 
 
⋅ =
 
 
 
b)
x 5 5 3 96
y 6 3 3 105 .
z 4 5 2 79
     
     
⋅ =
     
     
     
c) [ ] [ ]
5 5 3
6 3 3 x y z 96 105 79 .
4 5 2
 
  ⋅ =
 
 
 
d)
5 5 3 x 96
6 3 3 y 105 .
4 5 2 z 79
     
     
⋅ =
     
     
     
e)
x 96 5 5 3
y 105 6 3 3 .
z 79 4 5 2
     
     
⋅ =
     
     
     

9. MATRIZES
8
17. (Unesp 2014) Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são
quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que
a) B I O,
− ≠ onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n.
b) B seja invertível.
c) B O,
≠ onde O é a matriz nula de ordem n.
d) B I
− seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.
e) A e C sejam invertíveis.
18. (Mackenzie 2014) Se a matriz é simétrica, o valor de x é
a) 0
b) 1
c) 6
d) 3
e) –5
19. (Insper 2013) Considere as matrizes
3 0
A ,
0 1
 
=  
 
0 3
B ,
8 0
 
=  
 
x
X
y
 
=  
 
e
2
2
x
Y .
y
 
=
 
 
 
Se x e y são as soluções não nulas
da equação
0
A Y B X ,
0
 
⋅ + ⋅ =
 
 
então é igual a
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
20. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com 2 2
π α π
− < < e 0 .
β π
< < Se o sistema de equações, dado em
notação matricial,
0
3 6 tg
,
6 8 cos 2 3
α
β
 
   
=  
   
−
     
for satisfeito, então α β
+ é igual a
a)
3
π
−
b)
6
π
−
c) 0
d)
6
π
e)
3
π
GABARITO
1 - E 2 - ANULADA 3 - A 4 - A 5 - B
6 - D 7 - B 8 - A 9 - A 10 - D
11 - C 12 - B 13 - D 14 - B 15 - C
16 - D 17 - D 18 - C 19 - C 20 - B
1 x y z 3y z 2
4 5 5
y 2z 3 z 0
+ + − +
 
 
−
 
 
− +
 
x y
⋅