Questões de matemática da prova da FUVEST.

1. FUVEST 2016 - ABERTA
1
01. (Fuvest 2016) Considere as funções f e g definidas por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2( 𝑥𝑥 − 1), 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑥𝑥 > 1,
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 �1 −
𝑥𝑥
4
� , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑥𝑥 < 4.
a) Calcule
3
f , f(2), f(3), g( 4), g(0) e g(2).
2
 
−
 
 
b) Encontre x,1 x 4, tal que f(x) g(x).
< < =
c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os gráficos de f e de g no sistema cartesiano abaixo.

2. FUVEST 2016 - ABERTA
2
02. (Fuvest 2016) A figura abaixo representa o gráfico de uma função 𝑓𝑓: [−5, 5] → ℝ. Note que f( 5) f(2) 0.
− = = A
restrição de f ao intervalo [ 5, 0]
− tem como gráfico parte de uma parábola com vértice no ponto ( 2, 3);
− − restrita ao
intervalo [0,5], f tem como gráfico um segmento de reta.
a) Calcule f( 1)
− e f(3).
Usando os sistemas de eixos abaixo de cada item e esboce.
b) o gráfico de g(x) | f(x) |, x [ 5, 5];
= ∈ −
c) o gráfico de h(x) f(| x |), x [ 5, 5].
= ∈ −

3. FUVEST 2016 - ABERTA
3
03. (Fuvest 2016) João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedro regulares: um tetraedro,
um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro.
As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles,
a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma.
Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica o número da face que ficou em
contato com a mesa.
a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12?
b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5?
Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das
duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados.
c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30?
Poliedros regulares
Tetraedro 4 faces
Cubo 6 faces
Octaedro 8 faces
Dodecaedro 12 faces
Icosaedro 20 faces

4. FUVEST 2016 - ABERTA
4
04. (Fuvest 2016) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de
Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir
o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade.
a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua
resposta.
b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica.
Note e adote:
cos 56 0,56; sen 56 0,83; cos 16 0,96; sen 16 0,28
°
= °
= °
= °
=
Latitude e longitude de Brasília: 16 S
° e 48 W
°
Latitude e longitude de Moscou: 56 N
° e 37 E
°
Raio da Terra: 6.400 km
05. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2,1),
= e a reta t é tangente a C
no ponto Q ( 1, 5).
= −
a) Determine o raio da circunferência C.
b) Encontre uma equação para a reta t.
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.

5. FUVEST 2016 - ABERTA
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06. (Fuvest 2016) Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P, situado na borda de uma mesa de bilhar
com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge a borda no ponto R e
é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do
ângulo 𝑄𝑄𝑃𝑃
�𝑅𝑅.
a) Para qual valor de ,
θ após a primeira reflexão, a trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ?
b) Para qual valor de ,
θ após a primeira reflexão, a trajetória da bola será perpendicular a PQ?
c) Supondo agora que 30 60 ,
° < θ < ° encontre uma expressão, em função de ,
θ para a medida a do ângulo agudo formado
pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda.

6. FUVEST 2016 - ABERTA
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07. (Fuvest 2016) São dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são 1
P , 2
P e
3
P .
Calcule, em função de r,
a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte
exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira;
b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto 1
P , 2
P e 3
P aos dois vértices do
triângulo T mais próximos a ele.

7. FUVEST 2016 - ABERTA
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08. (Fuvest 2016) A hortênsia (Hydrangea macrophylla) produz flores azuis quando cultivada em solo de pH 5.
< Quando
o pH do solo é maior do que 5, as flores tornam-se rosadas. Um jardineiro recebeu uma encomenda de hortênsias rosadas.
Ele dispõe de um jardim plano, com as formas e dimensões descritas na figura abaixo, e cujo solo apresenta pH 4.
= Para
obter um solo adequado à produção de flores rosadas, o jardineiro deverá adicionar uniformemente 300 g de calcário
dolomítico por 2
m de terreno.
a) Calcule a massa, em quilogramas, de calcário dolomítico necessária para a correção do solo do jardim.
O calcário dolomítico é uma mistura de carbonato de cálcio e carbonato de magnésio. Ao adquirir um pacote desse
produto, o jardineiro observou que, no rótulo, sua composição estava expressa na forma das porcentagens, em massa,
dos óxidos de cálcio e de magnésio que poderiam ser obtidos a partir dos correspondentes carbonatos contidos no calcário
dolomítico.
b) Calcule a porcentagem, em massa, de carbonato de magnésio presente no calcário dolomítico adquirido pelo jardineiro.

8. FUVEST 2016 - ABERTA
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09. (Fuvest 2016) O Sistema Cantareira é constituído por represas que fornecem água para a Região Metropolitana de São
Paulo. Chama-se de “volume útil” do Sistema os 982 bilhões de litros que ficam acima do nível a partir do qual a água
pode ser retirada sem bombeamento. Com o uso de técnicas mais elaboradas, é possível retirar e tratar parte da água
armazenada abaixo desse nível. A partir de outubro de 2014, a Sabesp passou a contabilizar uma parcela de 287 bilhões
de litros desse volume adicional, denominada “reserva técnica” ou “volume morto”, e chamou de “volume total” a soma
do volume útil com a reserva técnica. A parte do volume total ainda disponível para consumo foi chamada de “volume
armazenado”. O primeiro índice usado pela Sabesp para divulgar o nível do Sistema, após o início do uso da reserva
técnica, foi o percentual do volume armazenado em relação ao volume útil (e não ao volume total). Chama-se este
percentual de Índice 1.
a) Calcule o valor que terá o Índice 1 quando as represas estiverem completamente cheias, supondo que a definição de
“volume armazenado” não tenha mudado.
A partir de abril de 2015, a Sabesp passou a divulgar outros dois índices, além do Índice 1 (veja o Quadro). Note que o
Índice 3 pode assumir valores negativos e valerá 100% quando as represas do Sistema estiverem completamente cheias.
b) No momento em que o Índice 1 for 50%, que valores terão os Índices 2 e 3?
c) Qual é o valor do Índice 2 no momento em que o Índice 3 é negativo e vale 10%?
−
QUADRO
volume armazenado
Índice 1 100%
volume útil
= ×
volume armazenado
Índice 2 100%
volume total
= ×
(volume armazenado) (volume da reserva técnica)
Índice 3 100%
volume útil
−
×

9. FUVEST 2016 - ABERTA
9
10. (Fuvest 2016) As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade 2 2 2 2
1 Ax B Dx C
(x 2x 2) (x 4) x 2x 2 x 4
+ +
= +
+ + + + + +
é válida
para 𝑥𝑥 ∈ ℝ.
a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equações, satisfeito pelas constantes A, B, C e D.
b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.

10. FUVEST 2016 - ABERTA
10
QUESTÃO 1
a)
2 2
2 2
2 2
3 3 1 3
f 2log 1 2log 2 1 f 2
2 2 2 2
f(2) 2log (2 1) 2log (1) 2 0 f(2) 0
f(3) 2log (3 1) 2log (2) 2 1 f(3) 2
       
= − = = ⋅ − ⇒ = −
       
       
= − = = ⋅ ⇒ =
= − = = ⋅ ⇒ =
( )
2 2
2 2
2 2
4
g( 4) log 1 log (2) g( 4) 1
4
0
g(0) log 1 log (1) g(0) 0
4
2 1
g(2) log 1 log g(2) 1
4 2
 
−
−
= − = ⇒ −
=
 
 
 
 
= − = ⇒ =
 
 
   
= − = ⇒ =
−
   
   
b) �
𝑥𝑥 = 0 (𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐é𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 1 < 𝑥𝑥 < 4)
𝑥𝑥 =
7
4
c) Na figura a seguir estão esboçados os gráficos, com
g(x) em azul e f(x) em vermelho.
QUESTÃO 2
a)
𝑓𝑓(−1) =
1
3
⋅ (−1 + 5) ⋅ (−1 − 1) ⇒ 𝑓𝑓(−1) = −
8
3
𝑓𝑓(3) =
5
6
⋅ 3 −
5
3
⇒ 𝑓𝑓(3) =
5
6
b) Desenhando o gráfico de g(x) | f(x) |, x [ 5, 5],
= ∈ −
tem-se
c) Desenhando o gráfico de h(x) f(| x |), x [ 5, 5],
= ∈ −
tem-se
QUESTÃO 3
a)
1 8 8
P(x 12) 8%
5 20 100
> = ⋅ = =
b) 𝑃𝑃𝑡𝑡(𝑥𝑥 < 5) =
3
15
+
3
10
+
1
25
=
30+45+6
150
=
81
150
= 54%
c) 𝑃𝑃(𝑥𝑥 > 30) =
1
10
⋅
1
80
=
1
800
= 0,125%

11. FUVEST 2016 - ABERTA
11
QUESTÃO 4
a) O segundo avião percorreu a maior distância.
b)
153,6 R 119,6 R 34 R 34 6400
Avião 2 Avião 1 1208,9 km
180 180 180 180
π π π π
π
⋅
− ⇒ − = = =
QUESTÃO 5
a) ( ) ( )
2 2
r 2 ( 1) 1 5 9 16 25 r 5
= − − + − = + = ⇒ =
b) 𝑦𝑦 − 5 =
3
4
(𝑥𝑥 + 1) ⇒ 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 23 = 0
c) 𝑆𝑆 =
125
6
QUESTÃO 6
a)
b)
c)
QUESTÃO 7
a) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 △=
2𝑟𝑟
𝑡𝑡𝑡𝑡 30°
+ 2𝑟𝑟 = 2𝑟𝑟 ⋅
3
√3
+ 2𝑟𝑟 ⇒ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 △= 2𝑟𝑟 ⋅
�√3 + 1�
b) 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑟𝑟2
⋅ �√3 + 3�
QUESTÃO 8
a) 3kg.
b) 𝑝𝑝𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑂𝑂3
= 42%
QUESTÃO 9
a) Í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 1 = 129,23%
b) Í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 1 = 50% ⇒
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑉𝑉𝑉𝑉
= 0,5 ⇒
𝑉𝑉𝑉𝑉
982
= 0,5 ⇒
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 491
Í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 2 = 38,69%
Í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 3 = 20,77%
c) 𝑉𝑉𝐴𝐴 = 188,8
Í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 2 = 14,88%
QUESTÃO 10
a) �
𝐴𝐴 + 𝐷𝐷 = 0
𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 + 2𝐷𝐷 = 0
2𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 = 0
4𝐵𝐵 + 2𝐶𝐶 = 1
b) 𝐶𝐶 = 𝐷𝐷 = −
1
10
𝐴𝐴 =
1
10
𝐵𝐵 =
3
10