Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
CIRCUNFÊRENCIA

2. CIRCUNFERÊNCIA
1
01. (Espcex 2020) As equações das retas paralelas à reta r : 3x 4y 1 0,
+ − = que cortam a circunferência
2 2
: x y 4x 2y 20 0
λ + − − − =
e determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente
a) 3x 4y 5 0
+ + = e 3x 4y 25 0.
+ + =
b) 3x 4y 5 0
+ − = e 3x 4y 25 0.
+ − =
c) 3x 4y 5 0
− + = e 3x 4y 25 0.
− + =
d) 3x 4y 5 0
+ − = e 3x 4y 25 0.
+ + =
e) 3x 4y 5 0
+ + = e 3x 4y 25 0.
+ − =
02. (Epcar 2020) O ponto da reta r : x 3y 10 0
+ − =
que está mais próximo da origem do sistema cartesiano é também
exterior à circunferência 2 2
: 2x 2y 4x 12y k 4 0,
λ + + − + − = com 𝑘𝑘 ∈ ℤ.
É correto afirmar que dentre os possíveis valores de k
a) existem 8 elementos.
b) três são números primos.
c) há um elemento que é um quadrado perfeito.
d) existem números negativos.
03. (Acafe 2020) Analise as afirmações e assinale a alternativa correta.
a) Os pontos A(3, 0), B(1, 2) e C(1, 4) determinam um triângulo equilátero.
b) Se A(3, 0), B( 1, 0)
− e C(1, 2) pertencem à circunferência de centro em (a, b) e raio r, então a b r
+ + é 3.
c) Uma equação geral da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r : y 2x 3
= − e s : 3x 2y 1,
+ =e é
perpendicular à reta t : y 5x 2,
=
− + é x 5y 6 0.
− + =
d) Se 3 2
p(x) 2x 2x x 1,
= + + + então p(x) 0
> somente para x real não negativo.
04. (Ime 2020) Seja 𝐴𝐴 = {𝑧𝑧 ∈ ℂ|2 ≤ |𝑧𝑧 − 3 − 4𝑖𝑖| ≤ 3} onde ℂ é o conjunto dos números complexos. O valor do
produto entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto A e o conjugado do complexo de maior módulo
do mesmo conjunto A é
a) 16
−
b) 8
−
c) 16 5
−
d) 1
e) 16
05. (Epcar 2019) Considere no plano cartesiano os pontos A (2, 0) e B (6, 4)
− que são simétricos em relação à reta
r. Se essa reta r determina na circunferência 2 2
x y 12x 4y 32 0
+ − − + =uma corda que mede n unidades de
comprimento, então n pertence ao intervalo
a) [4, 5[
b) [3, 4[
c) [2, 3[
d) [1, 2[

3. CIRCUNFERÊNCIA
2
06. (Acafe 2019) Analise as afirmações a seguir.
I. Considere o feixe de retas paralelas r : 3x 4y c 0
− + = e a circunferência 2 2
x 4x y 6y 9 0.
− + + + =Se r é secante à
circunferência, então c (a, b)
∈ e a b 36.
+ =
−
II. Se tg 2
θ = e
3
, ,
2
π
θ π
 
∈  
 
então cossec sec
θ θ
− é um número irracional.
III. Se a e b são números reais positivos e diferentes de 1 então a 1
a
1
log (a b) log 1.
b
 
⋅ − =
−
 
 
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
b) Apenas a afirmativa II está correta.
c) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
d) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
07. (Ita 2019) Seja γ a circunferência de equação 2 2
x y 4.
+ =Se r e s são duas retas que se interceptam no ponto
P (1, 3)
= e são tangentes a ,
γ então o cosseno do ângulo entre r e s é igual a
a)
1
.
5
b)
7
.
7
c)
1
.
2
d)
2
.
2
e)
2 6
.
5
08. (Ita 2018) Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se interceptam em dois pontos
distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendiculares. Com relação às circunferências 2 2
1
C : x (y 4) 7,
+ + =
2 2
2
C : x y 9
+ =
e 2 2
3
C : (x 5) y 16,
− + = podemos afirmar que
a) somente 1
C e 2
C são ortogonais.
b) somente 1
C e 3
C são ortogonais.
c) 2
C é ortogonal a 1
C e a 3
C .
d) 1 2
C , C e 3
C são ortogonais duas a duas.
e) não há ortogonalidade entre as circunferências.
09. (Acafe 2018) A circunferência λ passa pelos pontos A( 1, 1),
− − B(1, 5) e C(3,1). A reta r : x 3y 6 0
+ − = e a
circunferência λ são secantes. A área do triângulo cujos vértices são a origem do sistema de coordenadas cartesianas,
e os pontos de intersecção entre a reta r e a circunferência ,
λ tem medida igual a
a) 6 unidades de área.
b) 12 unidades de área.
c) 4 unidades de área.
d) 10 unidades de área.

4. CIRCUNFERÊNCIA
3
10. (Espcex 2018) Uma circunferência tem centro no eixo das abscissas, passa pelo ponto (4, 4) e não intercepta o
eixo das coordenadas. Se a área do círculo definido por essa circunferência é 17 ,
π a abscissa de seu centro é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
11. (Acafe 2018) Na figura a seguir a reta (r) : 3x 4y 1 0
+ − = é secante à circunferência λ que passa pelo ponto P e
tem centro no ponto C. As retas 1
s : 3x 4y c' 0
+ + =e 2
s : 3x 4y c'' 0
+ + =
são secantes à circunferência λ de modo
que cada reta forma uma corda cujo comprimento é igual a 8 unidades de comprimento.
Se as retas 1 2
s , s e r são paralelas, o valor da soma c' c''
+ é
a) 0
b) 20
−
c) 5
d) 25
−
12. (Ita 2017) Sejam 𝑆𝑆1 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2
: 𝑦𝑦 ≥ ||𝑥𝑥| − 1|} e 𝑆𝑆2 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2
: 𝑥𝑥2
+ (𝑦𝑦 + 1)2
≤ 25}. A área da região
1 2
S S
∩ é
a)
25
2.
4
π −
b)
25
1.
4
π −
c)
25
.
4
π
d)
75
1.
4
π −
e)
75
2.
4
π −

5. CIRCUNFERÊNCIA
4
13. (Epcar 2017) Seja 2 2
: 3x 3y 6x 12y k 0,
λ + − − + = uma circunferência que no plano cartesiano tem intersecção
vazia com os eixos coordenados.
Considerando 𝑘𝑘 ∈ ℝ, é correto afirmar que
a)
k k
P ,
3 3
 
 
 
é interior a .
λ
b) existem apenas dois valores inteiros para k.
c) a reta r : x k
= intersecta .
λ
d) se c é o comprimento de ,
λ então c 2π
> unidades de comprimento.
14. (Efomm 2017) Sejam as circunferências 2 2
1
c : x y 16 0
+ − =e 2 2
2
c : (x 2) (y 2) 4.
− + + = Considere A e B os
pontos de intersecção dessas circunferências. Determine a distância entre A e B.
a) 2 7
b) 14
c) 2 14
d) 7
e)
7
2
15. (Acafe 2017) Na figura abaixo, a reta (r) dada pela equação x y 10 0
+ − = se intercepta com a reta (t) no ponto
P(x, y).
Então, a soma das coordenadas do ponto P é igual a
a) 11. b) 12. c) 9. d) 10.
GABARITO
1 - E 2 - B 3 - B 4 - A 5 - A
6 - C 7 - A 8 - C 9 - A 10 - C
11 - B 12 - A 13 - B 14 - B 15 - D