1. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 1 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Α)Στο µαθησιακό µοντέλο του Landahl να επαληθεύσετε ότι πράγµατι η
w(n) δίνεται από την σχέση (56) και να λύσετε την διαφορική εξίσωση
(57).
Βιβλιογραφία: Directions in mathematical psychology II.AMM
1976,pp153-1
Β) Να κάνετε µε την βοήθεια του Η/Υ τη γραφική παράσταση της
λύσεως της ∆.Ε. (57) και να δικαιολογήσετε , γιατί η σιγµοειδής
καµπύλη που προκύπτει καλείται «φυσιολογική καµπύλη
µαθήσεως»(learning curve)
Γ) Πώς η χαοτική συµπεριφορά Λογιστικής εξισώσεως ,µπορεί να
χρησιµοποιηθεί επωφελώς στο χώρο της εκπαίδευσης;
Βιβλιογραφία: Ι. Αραχωβίτης «Εισαγωγή στην Χαοτική δυναµική και τα
κλασµοειδή (Fractals)- Παπασωτηρίου 2002
Λύση
Στο άρθρο του Anatol Rapoport αναφέρεται στο µαθησιακό µοντέλο
του Landahl στα πλαίσια των σύγχρονων µαθησιακών µοντέλων.
Αυτό, βασίζεται σε πιθανοθεωρητική πλαίσιο ,και ο πυρήνας του
είναι µια διαφορική εξίσωση, της οποίας η λύση, προβλέπει
παραµέτρους του φαινόµενου.
Ο Landahl υποθέτει ότι σε µια µαθησιακή κατάσταση µε δύο
δυνατότητες επιλογής , η «σωστή» απάντηση προκύπτει όταν το
επίπεδο ερεθισµού Εc στο νευρικό κανάλι που οδηγεί σ’αυτή,
υπερέχει του ερεθισµού Εw στο νευρικό κανάλι που οδηγεί στην
«λάθος» απάντηση. Η µάθηση επιτυγχάνεται γιατί κάθε σωστή
απάντηση προσθέτει σταθερή αύξηση b στο ερεθισµό του αντίστοιχου

2. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 2 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
καναλιού και κάθε λάθος απάντηση αφαιρεί µια σταθερή ποσότητα β
από τον ερεθισµό του καναλιού που οδηγεί σ’ αυτό. Σε µια στιγµή, η
διαφορά (Εc-Ew) υποθέτουµε ότι «διαταράσσεται» από µια τυχαία
µεταβλητή Χ. Έτσι, µετά από n δοκιµές, η διαφορά δίνεται από τον
τύπο:
∆(n)=Ec(0)-Ew(0)+bc+βw+X
όπου c ο αριθµός των σωστών απαντήσεων, w ο αριθµός των
λανθασµένων απαντήσεων (έχουµε δηλαδή : n=c+w), και b, β οι
σταθερές που προαναφέρθηκαν.
Η πιθανότητα λοιπόν µιας λανθασµένης απάντησης είναι:
pw(n)=P[∆(n)<0]=P[X<Ew(0)-Ec(0)-bc-βw]=P[X<Ew(0)-
Ec(0)-bn+(b-β)w]. (1)
Έστω ότι η n είναι συνεχής µεταβλητή, οπότε το pw(n) µπορεί να
dw dw
παρασταθεί ως
dn . ∆ηλαδή pw(n)= dn (2). Υποθέτοντας ότι το Χ
ακολουθεί µια συγκεκριµένη κατανοµή, η (1) µας δίνει µια διαφορική
εξίσωση, που θα δώσει το w(n), τον αριθµό των λανθασµένων
απαντήσεων, ως συνάρτηση των ερωτήσεων n.
k −
O Landahl θεώρησε την συνάρτηση f ( x ) = − e k x , k σταθερά
2
(Laplacian), για πυκνότητα της Χ.
Προκειµένου να λυθεί η διαφορική εξίσωση (2) υποθέτουµε ότι
b>β και ως αρχικές συνθήκες έχουµε:
Εc(0)=Ew(0) και w(0)=0.
Έτσι:

3. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 3 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
pw(n)=P[X<Ew(0)-Ec(0)-bn+(b-β)w]=F[Ew(0)-Ec(0)-bn+(b-β)w],
όπου F η συνάρτηση κατανοµής της Χ.
Οπότε :
− bn + ( b − β ) w
k −k x
pw(n)= ∫
−∞
− e dx
2 , όπου –bn+(b-β)w<0
b > b − β > 0
(γιατί  n > w > 0 ⇔ bn > (b − β ) w ⇔ −bn + (b − β ) w < 0 ), άρα:

pw(n)=
−bn+(b−β )w −bn+(b−β )w
k 1 1
= ∫ − ekxdx =− ∫ kekxdx =− e−kbn+(b−β )kw − lim ekx  =
−∞
2 2 −∞
2 x→−∞ 
1
− e−kbn+(b−β )kw , όταν κ > 0
2
Παρατηρούµε ότι η πιθανότητα pw(n) είναι αρνητική λόγω του
παράγοντα –κ/2. Ελέγχοντας ότι η συνάρτηση f(x) που θεώρησε ο
Landahl, είναι πράγµατι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, θα
πρέπει να ισχύει: f(x)>0 , για κάθε x, οπότε πρέπει να είναι –κ>0 και
+∞ +∞ +∞ 0
k − 1
∫
−∞
f ( x ) = 1 ⇔ ∫ − e k x dx = 1 ⇔ − ( ∫ ke − kx dx + ∫ ke kx dx ) =
−∞
2 2 0 −∞
1
2 (
x →+∞
) (
x →−∞ 

1
−  1 − lim e kx + 1 − lim e − kx  = − 2 = −1
2
)
που θα έπρεπε να είναι 1, για κ>0.

4. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 4 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Το πρόβληµα δηµιουργείται πάλι λόγω του –κ/2. Άρα θα πρέπει να
διορθώσουµε στην πυκνότητα του Landahl το –κ/2 σε κ/2
∆ηλαδή :
k −k x
f ( x) = e , όπου κ θετική σταθερά .
2
1 − bkn + ( b− β ) kw
Οπότε η pw(n)= 2 e .
Έχουµε έτσι την διαφορική εξίσωση :
dw
pw(n)= =
dn
1 dw 1
= e−bkn+(b−β )kw ⇔ = e−bkne(b−β )kw ⇔ 2e−(b−β )kwdw = e−bkndn ⇔
2 dn 2
e−k (b−β )w e−kbn
∫ 2e dw = ∫ e
−( b−β ) kw −bkn
dn ⇔ 2 = +c
−(b − β )k −kb
όπου c σταθερά που θα υπολογίσουµε χρησιµοποιώντας τις αρχικές
συνθήκες του προβλήµατος.
Έχουµε δηλαδή:

5. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 5 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
2 1 2 1
w(n) = 0 ⇔ n = w = 0 οπότε = + c ⇔c = + ⇔
−(b − β )k −kb −(b − β )k kb
−2b + b − β −b − β
c= ⇔c =
kb(b − β ) kb(b − β )
άρα θα έχουµε:
2e−kb(b−β)w e−kbn b+β 2e−kb(b−β)w e−kbn b+β
= − ⇔ = + ⇔
−(b−β)k −kb kb(b−β) (b−β)k kb kb(b−β)
2be−kb(b−β)w =(b−β)e−kbn +b+β ⇔ln2be−kb(b−β)w =ln(b−β)e−kbn +b+β ⇔
   
ln2b+lne−k(b−β)w =ln(b−β)e−kbn +b+β ⇔ln2b−k(b−β)w=ln(b−β)e−kbn +b+β ⇔
   
2b
k(b−β)w=ln2b−ln(b−β)e−kbn +b+β ⇔k(b−β)w=ln
  ⇔
(b−β)e−kbn +b+β
1 2b
w= ln ,όµως b+β =2b−(b−β) ,οπότε
k(b−β) (b−β)e−kbn +b+β
1 2b
w= ln
k(b−β) (b−β)e−kbn +2b−(b−β)
Πράγµατι λοιπόν η w(n) δίνεται από τον τύπο (56)του άρθρου.

6. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 6 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Στην συνέχεια του άρθρου ο Rapoport αναφέρει πως αν θέσουµε β=0
dc
και εξετάσουµε την εξίσωση pc= dn προκύπτει ότι η µεταβλητή pc
dpc
θα ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:
dn = b’pc(1-pc), όπου b’=kb.
Θα λύσουµε την εξίσωση αυτή και στην συνέχεια θα βρούµε το c(n).
Ισχύει ότι:
dpc dpc dpc
= b' pc(1− pc ) = kbpc(1− pc ) ⇒ = kbdn ⇒∫ = ∫kbdn ⇒
dn pc(1− pc ) pc(1− pc)
1 1  1 1
∫ pc 1− pc 

+

dpc = kb∫dn ⇒∫ dpc + ∫
pc 1− pc
dpc = kb∫dn ⇒
p p p
ln pc −ln(1− pc) = kbn +a ⇒ln c = kbn+a ⇒ c = ekbn+a ⇒ c = Aekbn ⇒
1− pc 1− pc 1− pc
Aekbn
pc = (1− pc )Ae ⇒pc(1+ Ae ) = Ae ⇒pc =
kbn kbn kbn
1+ Aekbn
Όµως έχουµε ότι:
dc dc Aekbn Aekbn Aekbn
pc = ⇒ = ⇒dc = dn ⇒∫dc =∫ dn ⇒
dn dn 1+ Aekbn
1+ Aekbn
1+ Aekbn
1 (1+ Aekbn)' 1 1
∫ kb 1+Aekbn
dc = ∫ dn ⇒∫dc = ∫[ln(1+ Aekbn)]'dn ⇒c(n) = ln(1+ Aekbn)+B (3)
kb kb

7. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 7 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Όµως: c(0)=0 , οπότε :
1 1
0= ln(1 + A) + B ⇔ B = − ln(1 + A) οπότε η (3) γίνεται:
kb kb
1 1 1 + Aekbn
c(n) = ( ln(1 + Ae ) − ln(1 + A) ) ⇔ c(n) = ln
kbn
kb kb 1+ A
Η εξίσωση αυτή είναι ενδεικτική της διαδικασίας διάδοσης
µολυσµατικών νόσων, όπου το pc παριστάνει το κλάσµα των
µολυσµένων ατόµων του πληθυσµού, στον οποίο η µετάδοση της
νόσου, προκύπτει από τυχαίες (ισοπίθανες) επαφές ανάµεσα στα
µολυσµένα και µη, άτοµα του πληθυσµού.
Εποµένως:
Αν θεωρήσουµε το pc ως το κλάσµα των νευροστοιχείων που
εµπλέκονται στην µαθησιακή διαδικασία, µπορούµε να φανταστούµε
ότι η µάθηση είναι µια εξελικτική διάδοση των νευροστοιχείων που
εµπλέκονται , µε τυχαίες επαφές(ισοπίθανες), ανάµεσα στα
νευροστοιχεία που εµπλέκονται ή όχι!………
Η ΣΙΓΜΟΕΙ∆ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ
ΚΑΙ Η
ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ

8. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 8 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Η παραπάνω µορφή καµπύλης αποκαλείται σιγµοειδής, από το s
«σίγµα» ς της µορφής της. Καλείται και «φυσιολογική καµπύλη»
Αυτή , µπορεί να προκύψει από πάρα πολλά φαινόµενα.
1) Αθροιστική συχνότητα κανονικής κατανοµής

9. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 9 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Είναι γεγονός ότι πλείστα όσα φαινόµενα ακολουθούν την
κανονική κατανοµή, άρα σύρουν µαζί τους και την αθροιστική
κατανοµή συχνότητας µε την ερµηνεία της
2) Ανάπτυξη πληθυσµού :
Ας θεωρήσουµε ένα πληθυσµό ο οποίος αναπτύσσεται σ’
ένα περιβάλλον το οποίο δεν µπορεί να εκθρέψει περισσότερα
άτοµα από Β. Στην αρχή η ανάπτυξη του πληθυσµού προχωρά µε
µικρή ταχύτητα. Κατόπιν ακολουθεί µία περίοδος γρήγορης
ανάπτυξης, την οποία διαδέχεται µία κάµψη (σηµείο καµπής) του
ρυθµού ανάπτυξης, που γίνεται όλο και πιο µεγάλη καθώς ο
πληθυσµός πλησιάζει το φράγµα των Β ατόµων.
3) Μετάδοση φήµης:
Στην αρχή η φήµη αυτή διαδίδεται αργά, Κατόπιν η
διάδοση γίνεται ραγδαία και ακολούθως παρουσιάζεται µία
διάδοση η οποία γίνεται όλο και πιο αργή, αφού τη φήµη αυτή
τείνουν να την πληροφορηθούν όλοι οι κάτοικοι µιας πόλης
4) Επιδόσεις αθλητή:
Στην αρχή οι επιδόσεις του είναι σε χαµηλό επίπεδο. Με τη
συνεχή προπόνηση όµως, οι επιδόσεις παρουσιάζουν µία γρήγορη
άνοδο. Όταν φθάσουν στα επίπεδα του Παγκοσµίου ρεκόρ, η
βελτίωσή τους είναι πολύ µικρή, η δε κατάρριψη του παγκοσµίου
ρεκόρ γίνεται, Π.χ. στα 100m, για εκατοστά του δευτερολέπτου, ή για
500gr στην άρση βαρών.
5) Εκµάθηση γραφοµηχανής

10. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 10 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Μία δακτυλογράφος µαθαίνοντας γραφοµηχανή, αρχίζει να
γράφει λίγες λέξεις στο λεπτό. Κατόπιν, µε την εξάσκηση, οι λέξεις
γρήγορα ανεβαίνουν στις 120 το λεπτό. Από εκεί και πέρα η βελτίωση
που παρουσιάζει Θα είναι της τάξης των 2-3 ακόµη λέξεων, ενώ
ασφαλώς είναι ανθρωπίνως αδύνατον να υπερβεί τις 580 λέξεις ανά
λεπτό.
6) Ένταση ηλεκτρικού ρεύµατος σε δίοδο λυχνία
Με διαφορά τάσης 0 , έχω κάποιο ρεύµα , λόγω πυρακτώσεως
της καθόδου , η οποία παράγει κάποια ηλεκτρόνια που φθάνουν στην
άνοδο. Αυξανοµένης της τάσεως , φθάνουν διαρκώς και περισσότερα
ηλεκτρόνια στην µονάδα του χρόνου (αύξηση εντάσεως ρεύµατος)
αλλά από ένα σηµείο και πέρα η αύξηση δεν είναι ανάλογη και τείνει
να σταθεροποιηθεί σε µία τιµή, καθώς όσο και η τάση να «πιέζει»
προς την αύξηση της έντασης, η παραγωγή ηλεκτρονίων στην κάθοδο
(λόγω πυρακτώσεώς της) είναι σταθερή και δεν µπορεί να
ικανοποιήσει την «ζήτηση» της τάσεως!
Όλες οι περιπτώσεις που αναφέραµε παραπάνω, καθώς και.
άλλες πολλές, ερµηνεύονται γραφικά µε τη σιγµοειδή καµπύλη του
σχήµατος και δικαιολογούν έτσι τον όρο “φυσιολογική” που
χρησιµοποιήσαµε γι’ αυτήν.
ΓΙΑΤΙ Η ΣΙΓΜΟΕΙ∆ΗΣ ΛΕΓΕΤΑΙ ΚΑΙ «ΚΑΜΠΥΛΗ
ΜΑΘΗΣΗΣ;»

11. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 11 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Η σιγµοειδής καµπύλη του σχήµατος καλείται και καµπύλη
µάθησης γιατί ακριβώς µία τέτοια πορεία ακολουθείται, οτιδήποτε
και αν αρχίσει να µαθαίνει κάποιος. Ας µελετήσουµε λεπτοµερέστερα
την καµπύλη µάθησης από γεννήσεως µέχρι την ηλικία π.χ. των 80
ετών. Η καµπύλη του σχήµατος προεκτείνεται και προ της
γεννήσεως, επαληθεύοντας αυτό που ακούµε συχνά, δηλαδή ότι η
γνώση αρχίζει από την εµβρυακή ηλικία ε .(πριν την χρονική στιγµή 0
της γέννησης!) Επίσης προεκτείνεται ασυµπτωτικά προς την ευθεία xn
= 780, επαληθεύοντας ότι “γηράσκω αεί διδασκόµενος”.
Παρατηρούµε επίσης ότι αν φέρουµε την εφαπτοµένη της καµπύλης
σ’ ένα σηµείο κοντά στην αρχή των αξόνων, καθώς και σ’ ένα σηµείο
τετµηµένης π.χ. 88, οι εφαπτόµενες αυτές είναι περίπου παράλληλες,
δηλαδή έχουν την ίδια κλίση. Η κλίση της εφαπτοµένης σ’ ένα σηµείο
είναι η τιµή της παραγώγου της συνάρτησης στο σηµείο αυτό, η δε
παράγωγος είναι ο (στιγµιαίος) ρυθµός µεταβολής, η (στιγµιαία)
ταχύτητα. Αυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητα µε την οποία µαθαίνει κανείς
στα 88 είναι ίδια µε εκείνη που µάθαινε όταν ήταν µωρό ή, όπως πολύ
σοφά λέει ο λαός στα 80 κανείς “ξαναµωραίνεται”. Ένα άλλο σηµείο
που µας δείχνει µε πόσο φυσιολογικό τρόπο ερµηνεύει πάντα τα
σχετικά µε την µάθηση η σιγµοειδής καµπύλη, είναι ότι. αποδίδει
ακόµη και αυτό που συχνά λέµε, ότι στα 45 του ο άνθρωπος
βρίσκεται στην καλύτερη ηλικία του από πλευράς επιδόσεων. Η
καµπύλη µάθησης προχωρά ακόµη περισσότερο και µας δίνει και µία
παιδαγωγική συµβουλή: Παρατηρούµε ότι στην ηλικία των 10 ετών
(∆ηµοτικό) η ταχύτητα µε την οποία µαθαίνει Κανείς είναι πολύ

12. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 12 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
µικρότερη από εκείνη µε την οποία µαθαίνει στα 18 (Λύκειο).
Εποµένως είναι λάθος να χρησιµοποιούµε στο Λύκειο ίδιες µεθόδους
παροχής γνώσεων µε εκείνες που χρησιµοποιούµε στο ∆ηµοτικό. ∆εν
τροφοδοτούνται ποτέ µε τα ίδια καύσιµα δύο οχήµατα που το ένα
«πιάνει» διπλάσια ταχύτητα από το άλλο, γιατί το αποτέλεσµα θα
είναι να καταστραφεί ο κινητήρας.
Σ’ επίρρωση όλων των παραπάνω ας σηµειώσουµε και εδώ τα εξής:
Το συνεχές ανάλογο του διακριτού δυναµικού συστήµατος
Που περιγράψαµε είναι η διαφορική εξίσωση της µορφής
dx
= λ x(B − x)
dt
η ολοκλήρωση της οποίας µας δίνει ως λύσεις συναρτήσεις της
µορφής
B
x (t ) =
1 + ke − λΒt
Η γραφική παράσταση τέτοιων συναρτήσεων είναι σταθερά
σιγµοειδής (µε την έννοια ότι δεν παρουσιάζουν για καµία τιµή της
παραµέτρου λ, κυκλική ή χαοτική συµπεριφορά). Στη διαφορική
εξίσωση
dpc
= b' pc (1 − pc )
dn

13. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 13 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
όπου pc , είναι η πιθανότητα ορθής επιλογής σ’ ένα πείραµα µάθησης
του τύπου «ορθό-λάθος», καταλήγουµε και στο µαθησιακό υπόδειγµα
(µοντέλο) του Landahl και έτσι διασταυρώνουµε και από άλλη
πλευρά το φυσιολογικό της σιγµοειδούς καµπύλης.
Ελλείψει λοιπόν φυσικού νόµου ο οποίος να διέπει το φαινόµενο της
µάθησης και µε βάση την παραπάνω τεκµηρίωση, δεχόµαστε ως
καλύτερη προσέγγιση, ως πλέον αποδεκτό υπόδειγµα για τη
φυσιολογική εξέλιξη της µάθησης, αυτό που περιγράφεται από τη
σιγµοειδή καµπύλη. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που
ονοµάστηκε καµπύλη µάθησης (learning curve) στη Γνωστική
Ψυχολογία.
Γ)Πώς η χαοτική συµπεριφορά της λογιστικής εξισώσεως
µπορεί να χρησιµοποιηθεί επωφελώς στον χώρο της εκπαίδευσης:
Παρακολουθώντας την ατοµική καµπύλη µάθησης κάθε µαθητή (όχι
µόνο του σχολείου, αλλά καθενός που µαθαίνει κάτι), όταν
διαπιστώσουµε ότι αυτή παύει να έχει. σιγµοειδή µορφή, δηλαδή
παύει να είναι φυσιολογική και αρχίζει να παρουσιάζει αυξανόµενη
περιοδικότητα, πρέπει ν’ αρχίσουµε και. εµείς ν’ ανησυχούµε γιατί
είναι βέβαιο ότι η µάθηση, περνώντας το κατώφλι, θα βρεθεί στην
περιοχή του Χάους. Θα παρουσιάσει αναπόδραστα χαοτική
συµπεριφορά. Έτσι, έχουµε το χρόνο να επέµβουµε διορθωτικά και να
προλάβουµε την επαπειλούµενη χαοτική εξέλιξη και αυτό, µόνο εάν
οι διαδοχικές διχαλώσεις µας κρούουν τον κώδωνα κινδύνου. Εκείνο

14. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 14 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
που χρειάζεται λοιπόν για τον παραπάνω έλεγχο είναι κατάλληλα τεστ
από οµάδες καταλλήλων επιστηµόνων, προς στιγµήν Θα έλεγε κανείς.
για κάθε “µάθηµα” καταργουµένων έτσι των εξετάσεων και της
βαθµολόγησης µε τη στενή σηµερινή έννοια. Τα τεστ σε κάθε µάθηµα
µπορεί ν’ αντικατασταθούν από ένα ενιαίο τεστ ανάπτυξης ή
µάθησης, αν δεχθούµε ότι Ισχύει ο νόµος της αλλοµετρίας. Σύµφωνα
µε τον νόµο αυτόν ‘άλλο µετράµε και για άλλο συµπεραίνουµε “,
πράγµα που ηχεί περίεργα βέβαια, αλλά που αποτελεί µία
καθιερωµένη πρακτική. Πράγµατι, Ο παιδίατρος π.χ. που
παρακολουθεί ένας βρέφος, µετρώντας µε τη “µεζούρα” την
περίµετρο του κρανίου. συµπεραίνει —χωρίς να τα µετρήσει— ότι
και τα υπόλοιπα εσωτερικά όργανο αναπτύσσονται κανονικά, όταν
διαπιστώσει κανονική κρανιακή ανάπτυξη.
Η προτεινόµενη µέθοδος αξιολόγησης, από ποιοτική, µπορεί να
µετατραπεί. σε καθαρά ποσοτική, αν αυτό είναι επιθυµητό. Πράγµατι,
στην διάθεσή µας βρίσκεται µία πλήρης κλίµακα τιµών της
παραµέτρου λ που αντιστοιχούν στα διάφορα στάδια εξέλιξης.
Έτσι, όπως γνωρίζουµε, για λ = 3,57 το διάγραµµα στο
παρακάτω σχήµα χωρίζεται σε δύο περιοχές.

15. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 15 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
Αριστερά είναι η περιοχή του δένδρου διπλασιασµού Τ:
περιόδου και δεξιά η περιοχή που κυριαρχεί το χάος. ∆ηλαδή, η τιµή
λ= 3,57 καθορίζει κατά κάποιο τρόπο το κατώφλι του χάους. Η τιµή
αυτή του λ είναι το σηµείο Feigenbaum. Το όνοµά του φέρει και η
σταθερά δ = 4,67, η οποία υπενθυµίζουµε ότι προκύπτει ως εξής: Αν
θεωρήσουµε διαδοχικές διχαλώσεις και µετρήσουµε την οριζόντια
απόσταση µεταξύ των δύο πρώτων και στην συνέχια την διαιρέσουµε
µε την οριζόντια απόσταση της δεύτερης από την Τρίτη διχάλωση, ο
λόγος που προκύπτει παραµένει σταθερά ίσος προς 4,67 . αυτή είναι η
σταθερά Feingenbaum . Με την βοήθειά της, αν γνωρίζουµε δύο
διαδοχικές διχαλώσεις της, µπορούµε να προβλε΄ψουµ πού θα συµβεί
η επόµενη. Έτσι , µας προκύπτει και το που τελειώνουν οι διχαλώσεις
κι αρχίζει το χάος . ∆ηλαδή, για την προτεινόµενη αξιολόγηση, το
σηµείο του Feingenbaum είναι το σηµείο για το οποίο πρέπει να
ανησυχούµε ! …………

16. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 16 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl
ενδεικτικά αναφέρουµε τιµές που καθορίζουν και την συµπεριφορά
της λογιστικής εξίσωσης:
Για 1<λ<=3 έχουµε φυσιολογική ανάπτυξη. (Σιγµοειδής
καµπύλη)
Για 3<λ_3,57 έχουµε ανάπτυξη µε συνεχή διπλασιασµό της
περιόδου.
Για 3,57<λ<4,0 έχουµε χαοτική ανάπτυξη

17. Γιάννης Πλατάρος Σελ. 17 - Εργασία-Μαθησιακό πρότυπο Landahl