Taller 2, problemas de aplicación de derivadas en la carrera de ingeniería mecánica

1. Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL 2
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA
CARRERA DE MECÁNICA
NRC: 3246
Nombres:
1. Abimael Kevin
2. Armas Paúl
3. Vega Joaquín
4. Vizcaíno Marcos
Fecha de entrega: martes 27 de julio 2021

2. Dra. Lucía Castro Mgs.
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Índice
Introducción.......................................................................................................................... 3
Objetivos .............................................................................................................................. 4
Fundamentación teórica ........................................................................................................ 5
Criterio de la primera derivada para extremos relativos ................................................... 5
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos................................................... 5
Desarrollo............................................................................................................................. 7
Problema No 1.............................................................................................................. 7
Problema No 2.............................................................................................................. 9
Problema No 3............................................................................................................ 11
Conclusiones ...................................................................................................................... 15
Recomendaciones ............................................................................................................... 15
Enlace a slideshare.............................................................................................................. 16
Bibliografía......................................................................................................................... 16

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Introducción
Para el correcto desarrollo de este trabajo, es necesario desarrollar algunos de los
términos que se abordarán en el mismo. Definiendo de una manera sencilla a la derivada
podemos decir que: la derivada, es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el
cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente.
Los conceptos son difíciles y hasta bien entrada el siglo XIX no se simplificaron. ' ello
contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones
prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Si profundizamos nuestro estudio en el cálculo, podremos comprender las diversas
aplicaciones que tiene la derivada en los diferentes problemas, procesos y situaciones
reales que son posibles resolver y optimizar gracias a varios criterios que nos ofrece esta
gran herramienta del cálculo.
Para las carreras de ingeniería, los criterios de la primera y segunda derivada, nos
ayudan a representar y analizar algunas situaciones reales como son: tasa de cambio,
análisis de curvas, variación de la rapidez, determinación de la aceleración de un móvil, etc.

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Objetivos
1. Aplicar los conceptos y aplicaciones de la derivada aprendidos durante el
periódico en curso, solucionando así tres problemas referentes a la carrera de
ingeniería mecánica, realizando la optimización de los problemas con máximos y
mínimos utilizando los criterios de primera y segunda derivada.
2. Interpretar gráficamente los diferentes problemas planteados, llegando así a una
solución óptima.
3. Recalcar la utilidad de la derivada en la resolución de problemas, procesos y
situaciones reales a las que se enfrentan y han enfrentado los científicos e
ingenieros a lo largo de la historia.

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Fundamentación teórica
Como ya se ha mencionado el uso de los criterios de la primera y segunda derivada
cumplen un rol importante dentro de las carreras de ciencia e ingeniería, en este trabajo nos
enfocaremos en el tema de “optimización” de algunos problemas de ingeniería mecánica.
Para ello es necesario identificar que conocimientos y procedimientos son requeridos para
la aplicación de dichos criterios.
Criterio de la primera derivada para extremos relativos
Según (Espinoza Ramos, 2012) podemos referirnos al criterio de la primera derivada
para extremos relativos, de la siguiente forma:
Consideremos una función f continua en [𝑎, 𝑏] y sea c ∈ < 𝑎, 𝑏 > un número crítico y
𝑓´(𝑥) está definida para todos los puntos de < 𝑎, 𝑏 > excepto posiblemente en c, entonces:
𝑆𝑖 {
𝑓´(𝑥) > 0 , ∀ x ∈ < 𝑎, 𝑐 >
𝑓´(𝑥) < 0 , ∀ x ∈ < 𝑐, 𝑏 >
→ 𝑓(𝑐) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑓
𝑆𝑖 {
𝑓´(𝑥) < 0 , ∀ x ∈ < 𝑎, 𝑐 >
𝑓´(𝑥) > 0 , ∀ x ∈ < 𝑐, 𝑏 >
→ 𝑓(𝑐) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑓
𝑆𝑖 𝑓´(𝑥) 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑐) 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑛𝑖 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜.
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
Según (Espinoza Ramos, 2012) podemos referirnos al criterio de la segunda
derivada para extremos relativos, de la siguiente forma:
𝑆𝑖 𝑓¨(𝑐) > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑐)𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑆𝑖 𝑓¨(𝑐) < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑐)𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

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Una vez definidos los criterios de primera y segunda derivada, podemos establecer
un proceso para la resolución de los problemas de optimización que se tratarán en este
trabajo, los cuales se indican a continuación:
1. Procedemos a relacionar las variables y condiciones estableciendo así las
funciones respectivas con los datos del problema.
2. Una vez obtenidas dichas funciones, se procede a dejar una en función de la
otra, obteniendo así una función derivable respecto a una única variable.
3. Se deriva dicha función y se obtiene un valor el cual será evaluado en la
segunda derivada de la misma función, indicando así si el valor corresponde a
un máximo o mínimo en base a los criterios de primera y segunda derivada antes
mencionados.

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Desarrollo
Problema No 1.
Una empresa dedicada a la producción y tratamiento de sustancias químicas a
gran escala, vio la necesidad de adquirir un tanque de forma cilíndrica con tapa, que
tenga un área de 1000 𝒄𝒎𝟐
. Se subcontrato una empresa dedicada a la fabricación de
tanques de almacenamiento de combustible, la cual, por pedido del cliente, indicó al
ingeniero encargado del proyecto, que determine el valor del radio del cilindro, para
que el volumen sea el máximo posible, antes de su fabricación.
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎, 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑠í
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎:
𝐴𝑇 = 1000 𝑐𝑚2 (1)
𝐴𝑇(𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2 (2)
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟2
ℎ (3)
𝑈𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠, 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟
𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟:
1000 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2
, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 "h", es decir:
1000 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2
1000 = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟)

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1000
2𝜋𝑟
= ℎ + 𝑟
ℎ =
500
𝜋𝑟
− 𝑟
ℎ =
500 − 𝜋𝑟2
𝜋𝑟
𝑈𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛, 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟𝑙𝑎 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐. (1)
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟2
∗
500 − 𝜋𝑟2
𝜋𝑟
, 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑟 ∗ (500 − 𝜋𝑟2)
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = (500𝑟 − 𝜋𝑟3)
𝑈𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟, 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑉ʹ = 500 − 3𝑟2
𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠, 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜
𝑉ʹ = 500 − 3𝑟2
= 0
500 = 3𝑟2
𝑟2
=
500
3
𝑟 = √
500
3
𝑟 = 12.90 𝑐𝑚
𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟:
𝑉"
= −6𝑟
𝑉(𝑟)
ʹʼ
= −6(12.90)
𝑉(𝑟)
ʹʼ
= −77.40

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𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑉(𝑟)
ʹʼ
< 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜.
∴ 𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑒 12.90 𝑐𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜.
Problema No 2.
Para el proyecto de titulación de un estudiante de ingeniería mecánica se
requiere fabricar un transformador de carcasa cuadrada. Durante el proceso de
investigación científica determinaron que la carcasa cuadrada debería tener un
volumen de 4000 𝒊𝒏𝒄𝒉𝟑
. Se estimo que el material de la tapa y la base tienen un costo
de producción de 5 centavos por pulgada, mientras que el material de para los lados
es de 2.5 centavos por pulgada. Debido a que el presupuesto para la realización de
todo el proyecto es limitado, se le pidió al estudiante que determine las dimensiones
de la carcasa para que el costo de realización de toda la carcasa, sea mínimo.
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎:
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ ℎ
4000 = 𝑥2
∗ ℎ (1)
𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝐴𝐵 = 2 ∗ 𝑥2
𝐴𝐿 = 4 ∗ 𝑥 ∗ ℎ
𝐴𝑇 = 2 ∗ 𝑥2
+ 4 ∗ 𝑥 ∗ ℎ (2)

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𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐. (1) 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
ℎ =
4000
𝑥2
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 ℎ 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐. (2) 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴𝑇 = 2 ∗ 𝑥2
+ 4 ∗ 𝑥 ∗
4000
𝑥2
𝐴𝑇 = 2𝑥2
+
16000
𝑥
𝐴𝑇 =
2𝑥3
+ 16000
𝑥
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴ʹ𝑇 =
6𝑥3
− 2𝑥3
− 16000
𝑥2
𝐴ʹ𝑇 =
4𝑥3
− 16000
𝑥2
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠:
0 =
4𝑥3
− 16000
𝑥2
4𝑥3
− 16000 = 0
4𝑥3
= 16000
𝑥3
=
16000
4
𝑥 = √4000
3
𝑥 = 15.87 𝑖𝑛𝑐ℎ
𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠:
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ ℎ
4000 = 15.872
∗ h
h =
4000
15.872
h = 15.88
Hallamos el área de las respectivas partes de la carcasa:
𝐴𝐵 𝑦 𝑇 = 2 ∗ 𝑥2
𝐴𝐵 𝑦 𝑇 = 2(15.87)2
𝐴𝐵 𝑦 𝑇 = 503.71 inch2

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𝐴𝐿 = 4 ∗ x ∗ h
𝐴𝐿 = 4 ∗ 15.87 ∗ 15.88
𝐴𝐿 = 1008.06 inch2
Por último calculamos los costos estimados de cada parte de la carcasa:
Costo𝐵𝑎𝑠𝑒𝑠 = (503.71 ∗ 5) 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠
= 2518.55 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠
Costo𝐿𝑎𝑑𝑜𝑠 = (1008.06 ∗ 2.5) 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠
= 2520.15 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑖 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠, 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟:
𝐴ʹʼ𝑇 =
12𝑥4
− 8𝑥4
+ 32000𝑥
𝑥4
𝐴ʹʼ𝑇 =
4𝑥4
+ 32000𝑥
𝑥4
𝐴ʹʼ𝑇(15.87) =
4(15.87)4
+ 32000(15.87)
(15.87)4
𝐴ʹʼ𝑇(15.87) = 12
𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝐴ʹʼ𝑇 > 0
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐴ʹʼ𝑇 > 0 , 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠.
∴ 𝐿𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑥 = 15.87 𝑦 ℎ = 15.88
Problema No 3.
Un avión Caza describe un círculo de 1 km de radio (como se muestra en el
dibujo 1), en el caso de que el ejercicio se vea desde una perspectiva de un sistema de
coordenadas rectangulares siendo el origen el centro del circulo. La aeronave dispara
un misil que describe una trayectoria rectilínea tangente a el circulo e impacta en el
objetivo que tiene como coordenadas (2,-2).
Determine: a) En qué punto del circulo el misil fue lanzado y b) En qué punto
chocara el misil, si es que se dispara desde el punto (−
𝟏
𝟐
, −
√𝟑
𝟐
) de la circunferencia.

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𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑎) 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑇𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴(2, −2):
(𝑥 − 0)2
+ (𝑦 − 0)2
= 12
𝑥2
+ 𝑦2
= 1
𝑦 = ±√1 − 𝑥2 → 𝑦 = −√1 − 𝑥2
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠:
𝐴(2, −2) 𝑦 𝐵 (−𝑎, −√1 − 𝑥2)
𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
→
(−√1 − 𝑥2) − (−2)
−𝑎 − 2
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟:
(𝑥2
+ 𝑦2
= 1)´
2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⁄ = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑥
𝑦
𝑚 =
−(−𝑎)
−√1 − 𝑎2
Ilustración 1. Representación del problema 3.

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𝑎2
+ 2𝑎 = −(1 − 𝑎2) + 2√1 − 𝑎2
(2𝑎 + 1) = 2√1 − 𝑎2
(2𝑎 + 1)2
= (2√1 − 𝑎2)
2
4𝑎2
+ 4𝑎 + 1 = 4(1 − 𝑎2)
8𝑎2
+ 4𝑎 − 3 = 0
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑎 = 0.411 𝑎 = −0.911
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑎) 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜.
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑏) 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑇𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟:
𝐴 (−
1
2
,−
√3
2
) 𝑦 𝐵(𝑥0
, −2)
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑥
𝑦
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒:
𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−(−
1
2
)
−
√3
2
= −
1
√3

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𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
−
1
√3
=
−2 − (−
√3
2
)
𝑥0 − (−
1
2
)
𝑥0 = 1.46
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (1.46,−2) 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜.
Ilustración 2. Representación de la solución del
literal b).

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Conclusiones
 Debido al amplio campo de aplicación de las derivadas en la resolución y
representación de situaciones reales en la vida cotidiana, así como los
fenómenos físicos que nos rodean, se resalta la importancia que tiene
adquirir este tipo de conocimientos del cálculo en las carreras de ciencia e
ingeniería.
 Es preciso señalar que la adquisición correcta de estos conocimientos es
fundamental para la formación técnica y profesional de los estudiantes, ya
que aportan con el desarrollo de habilidades de razonamiento en la solución
de los problemas de toda índole.
Recomendaciones
 Se recomienda para la resolución de este tipo de problemas, tener muy
claros los conocimientos sobre: concepto de derivada, reglas de derivación,
criterios de primera y segunda derivada. Ya que estos son los que facilitan la
representación del problema y son una herramienta muy poderosa a la hora
de buscar una solución.

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
Bibliografía
Espinoza Ramos, E. (2012). Análisis matemático I para estudiantes de ciencia e ingeniería. Lima-
Perú: edukperú.