Derivación y optimización

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER No. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA CARRERA DE TELECOMUNICACIONES
Grupo N°: 1
Nombres:
 Aimacaña Alex
 Dota Kevin
 Nelson Ernsly
NRC: 4389 Fecha: 12 de Febrero 2021

2. Introducción Objetivos
Fundamentación
teórica
Desarrollo
Conclusiones Bibliografía
Índice

3. Introducción
La derivada tiene muchas aplicaciones en las matemáticas como; el cálculo de la pendiente de una
curva en un punto especifico, problemas de optimización, encontrar los máximos; los mínimos; las
concavidades y convexidades de una función.
En el presente trabajo se resolverá un problema de optimización como tema en la aplicación de la
derivada en la carrera de Telecomunicaciones, se explicará qué es un problema de optimización y como
esto podría llevarse acabo en el campo de las Telecomunicaciones con un ejemplo práctico.
Objetivos
Explicar a través de la teoría qué es un problema de optimización y como la derivada nos ayuda a
resolverlo, con el uso de fuentes de consulta de distintos medios para así resolver un ejemplo práctico
del tema tratado.
Analizar las aplicaciones de la derivada, realizando varios tipos de ejercicios, en los cuales nos va
ayudar en el ámbito de nuestra carrera de telecomunicaciones.
Determinar las técnicas de derivación en el ámbito profesional aplicando los conocimientos
adquiridos en clases para así poder realizar los diferentes problemas propuestos.

4. Fundamentación Teórica
Las Telecomunicaciones es la materia rama de la ingeniería en electrónica aplica que estudia el
comportamiento de la emisión y recepción de señales e interconexión de redes alámbricas o
inalámbricas.
Al resolver problemas de este tipo nos estamos involucrando al uso de espectros de radio
frecuencia que viajan por el espacio entrando a su vez al análisis de funciones periódicas y aquí entra
la derivada como una manera de análisis de curvas, máximos y mínimos, problemas de optimización
o formas de ondas. Un uso aun mas exclusivo de la derivada en las Telecomunicaciones podría
tratarse del análisis de potenciales eléctricos y magnéticos en diseños de alto voltaje y antenas.
Problemas de Optimización
Se llama Problema de optimización a “un problema que busque maximizar o minimizar los
valores de una variable” (Linares M, 2011) como por ejemplo minimizar la cantidad de material
requerido para realizar una conexión telefónica o maximizar la vida útil de materiales electrónicos a
través del calculo de corriente e intensidad de un circuito.

5. Como resolver un problema de optimización.
 Buscar las condiciones que el enunciado nos plantee.
 Encontrar entre las condiciones una expresión que relaciones las variables planteadas en el enunciado.
 Despejar una de las variables.
 Encontrar la expresión analítica que se desea optimizar según el enunciado del problema.
 Obtenemos la primera derivada de la expresión analítica encontrada y despejamos sus puntos críticos.
 Encontramos la segunda derivada de la expresión analítica.
 Reemplazamos los puntos críticos de la primera derivada en la segunda derivada de la expresión analítica
y determinamos si los puntos críticos nos dan un máximo o un mínimo.
A continuación, se realizará un problema de optimización aplicado a la Carrera de
Telecomunicaciones basado en los conceptos estudiados en la fundamentación teórica.

6. Desarrollo
1. Disponemos de una barra anti rayos de cobre de 6 metros para construir un soporte una
antena que irá acoplada a una torre. Si queremos que el área de la barra sea máxima,
¿cuánto debe ser su altura y su ancho? (El soporte de la antena debe ser rectangular).
La suma de las tres barras debe ser 6 : 𝑥 + 2𝑦 = 6
De donde podemos obtener y en función de x : 𝑦 =
6−𝑥
2
El área del soporte es : 𝐴 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑦
𝐴 𝑥 = 𝑥 ∗
6−𝑥
2
𝐴 𝑥 = 3𝑥 −
𝑥2
2

7. Derivamos la función : 𝐀´(𝐱) = 3 − 𝑥
El único punto crítico es : x = 3
La derivada es positiva para x < 3 y negativa para x > 3 ∴ x = 3 es un máximo de la función área.
Calculamos la altura 𝐲 =
6−𝑥
2
=
3
2
Para que exista un área máxima su altura y su ancho deben medir:
𝒙 = 𝟑 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒚 =
𝟑
𝟐
𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔

8. 2. Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina de cobre de 2*1 metros para
almacenar el cableado de internet de una ciudadela. Para ello, se corta un cuadrado de lado
L en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja. Determinar
las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado L debe medir entre 20
y 30 cm (𝟐 ≤ 𝐋 ≤ 𝟑).
𝐕 = 𝑎 ∗ ℎ ∗ 𝑝
Al cortar los cuatro cuadrados de lado L, el ancho de la caja es: 𝒂 = 2 − 0.2 𝐿
La profundidad es: 𝒑 = 1 − 0.2𝐿

9. Por último, la altura coincide con el lado del cuadrado recortado: ℎ = 𝐿
El volumen de la caja en función de L es: 𝐕 𝐋 = 2 − 0.2𝐿 ∗ 1 − 0.2𝐿 ∗ 𝐿
𝐕 𝐋 = 2 − 0.4𝐿 − 0.2𝐿 − 0.04𝐿2
∗ 𝐿
𝐕 𝐋 = 2𝐿 − 0.6𝐿2 + 0.04𝐿3
Derivamos la función volumen: 𝑽´ 𝑳 = 2 − 1.2𝐿 + 0.12𝐿2
Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos.
2 − 1.2𝐿 + 0.12𝐿2 = 0
𝐏𝐜 = 𝟎. 𝟕𝟖𝟗 ; 𝟎. 𝟐𝟏𝟏

10. Como en el punto 𝑥 = 0,211 existe un máximo, las dimensiones para que el volumen sea máximo son las
siguientes:
𝒂 = 𝟐 − 𝟎. 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟐𝟏𝟏 = 𝟏. 𝟓𝟕𝟖 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
𝒑 = 𝟏 − 𝟎. 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟐𝟏𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟕𝟖 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
𝒉 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟏 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔

11. Conclusiones
 Se logro resumir de varios sitios web la información necesaria para explicar que es un problema de
optimización y como la derivada toma un papel importante en su resolución y lograr mediante el ejercicio
planteado aplicar toda la teoría consultado en este taller.
 Al realizar este taller se logró tener un conocimiento más amplio en las aplicaciones de las derivadas, así
como poder realizar ejercicios que nos van a servir en el ámbito profesional de las telecomunicaciones.
 Se logro realizar estos ejercicios con efectividad aplicando lo aprendido en clase y lo consultado en este
taller.

12. Bibliografía
 Linares Altamirano, M., & Argueta Villamar, H. (2011). Problemas de Optimización. Recuperado, de
http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion09_d.html
 Perez, J. (2015). 240745314-Aplicaciones-de-La-Derivada-en-Electronica.docx - Aplicaciones de las
derivadas en ingeniería de Telecomunicaciones Como | Course Hero. Recuperado, de
https://www.coursehero.com/file/45688560/240745314-Aplicaciones-de-La-Derivada-en-
Electronicadocx/
 Ruiz, M. (2018). Problemas de optimización de funciones - Yo Soy Tu Profe. Recuperado, de
https://yosoytuprofe.20minutos.es/2018/05/13/problemas-de-optimizacion-de-funciones/