This document contains a workshop on the application of derivatives in mechanical engineering. It includes 3 practice exercises solving real-world optimization problems using derivatives. The first finds the optimal angle to maximize the volume of a metal sheet folded into an animal watering trough. The second calculates the maximum area of a storage shed within the constraints of 500m of available fencing. The third determines the optimal dimensions of a square-bottom metal storage tank to minimize material usage. Conclusions emphasize how derivatives allow analyzing how a variable changes with respect to another, aiding sciences like mechanics.

1. XTRATECH 1
TALLER
PARCIAL II
CALCULO
DIFERENCIAL
E
INTEGRAL

2. XTRATECH 2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL 2
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE MECANICA
Nombres:
1. Caiza Torres Abraham Moisés
2. Gallegos Cadena Francisco Paul
3. Masache García Juan Carlos
NRC: 3246
Fecha de entrega: sábado 19 de junio 2021
Período: Mayo 2021_Septiembre 2021

3. XTRATECH 3
1. Índice
TALLER Nro.1 PRIMER PARCIAL 1
1. Índice............................................................................................................3
2. Introducción .................................................................................................4
3. Objetivos......................................................................................................4
4. Fundamentación teórica...............................................................................5
5. Desarrollo.....................................................................................................6
6. Conclusiones..............................................................................................11
7. Enlace a slideshare.....................................................................................12
8. Bibliografía ................................................................................................12

4. XTRATECH 4
2. Introducción
En el presente trabajo trataremos de facilitar la comprensión del proceso de optimización de
funciones a través de ejemplos prácticos que se aplican en la vida real con mucha
frecuencia en el ámbito de la ingeniería mecánica, mismos que serán resueltos con
diferentes procesos dependiendo los datos de cada caso y de la mejor manera posible.
3. Objetivos
- Introducir el concepto de derivada en problemas o situaciones de la vida real,
proporcionando una interpretación gráfica e ilustrando su interpretación física.
- Demostrar la importancia de la aplicación de las derivadas en problemas, donde podemos
optimizar situaciones para conseguir resultados específicos y aprender de las situaciones
reales

5. XTRATECH 5
4. Fundamentación teórica
Uno de los usos más importantes y útiles de la derivada es el estudio de
valores máximos y mínimos de una función.
Si consideramos una derivada como la relación momentánea de una función,
tiene muchas aplicaciones físicas de derivación, las aplicaciones más obvias de
derivado de problemas de este tipo, es la determinación de la velocidad y aceleración de
un objeto movible
En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar
una función real eligiendo sistemáticamente los valores de entrada (tomados de un conjunto
factible) y calculando el valor de la función. La generalización de la teoría y las técnicas de
optimización a otras formulaciones abarca un área amplia de las matemáticas aplicadas.
Normalmente, la optimización implica encontrar los "mejores valores" de una función
objetivo dado un rango definido, que incluye una variedad de diferentes tipos de funciones
objetivo y diferentes tipos de rangos.

6. XTRATECH 6
5. Desarrollo
EJERCICIO #1
Se dispone de una chapa metálica de forma rectangular de 1,20 m X 3 m. Se desea construir
con ella un bebedero para animales procediendo a doblar la chapa como indica la figura,
para formar la superficie lateral y el fondo.
Determinar el ángulo ϴ para que el volumen del bebedero sea máximo.
desarrollo
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏)ℎ
2
𝐴 =
((0,40 + 2𝑎) + 0,40)ℎ
2
𝐴 =
((0,40 + 2(0,40cos⁡
(𝜃))) + 0,40)0,40𝑠𝑒𝑛(𝜃)
2
𝐴 = (0,16 + 0,16 cos(𝜃))𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
ℎ
0,40
→ ℎ = 0,40𝑠𝑒𝑛(𝜃)
cos(𝜃) =
𝑎
0,40
→ 𝑎 = 0,40cos⁡
(𝜃)
𝑉 = 𝐴 ∙ 𝐿 → (0,16 + 0,16𝑐𝑜𝑠(𝜃))𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∙ 3
a
ϴ
a
h

7. XTRATECH 7
𝑉′
= −
12(𝑠𝑒𝑛2(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) −cos(𝜃))
25
−
12(𝑠𝑒𝑛2(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − cos(𝜃))
25
= 0
1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − cos(𝜃) = 0
−2𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − cos(𝜃) + 1 = 0
cos(𝜃) =
1
2
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡cos(𝜃) = −1
𝜃 =
𝜋
3
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝜃 = 𝜋
𝑉′′
= −
(48𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 12)𝑠𝑒𝑛(𝜃)
25
𝑉′′
(
𝜋
3
) = −
(48𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
3
) + 12)𝑠𝑒𝑛(
𝜋
3
)
25
> 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜
El ángulo debe de ser de ℼ/3 o 60°
EJERCICIO #2
El dueño de una planta industrial productora de cemento planea agregar un galpón a su
planta mecánica para guardar sus reservas de material y productos, para esto dispone de
500 metros de Aluminio con lo cual creará una cerca, conociendo que el galpón tiene forma
rectangular y que estará apegado al lado derecho de una pared de la planta ¿Cuáles serán las
dimensiones máximas que tendrá el área del galpón en donde se guardará dichas reservas y
productos?

8. XTRATECH 8
Datos del problema
500 m de aluminio disponible = perímetro (P)
nos está pidiendo el área máxima del galpón (A. máx.)
sabemos que una parte del galpón no necesitará cerca porque está apegado a una pared
Paso 1
De los datos podemos sacar el perímetro y representarlo en una ecuación
P⁡ = ⁡500
P⁡ = ⁡2y + x
Entonces, 500⁡ = ⁡2y + xPaso
Paso 2
Como el problema nos pide área máxima, a este dato lo hacemos una ecuación
A = x ∗ y
despejamos x de la ecuación del perímetro: 500 = 2y + x
x = 500 − 2y
Paso 3
Ahora reemplazamos x en la ecuación del área
A = x ∗ y
A = (500 − 2y) ∗ y
A = 500y − 2y²
Paso 4

9. XTRATECH 9
Como queremos maximizar la ecuación del área, la derivamos
A = 500y − 2y2
A′
= 500 − 4y
A′ =
dA
dy
Paso 5
Ahora igualamos la primera derivada a 0
0 = A′
0 = 500 − 4y
4y = 500
y = 125m
Paso 6
Como ya tenemos el valor de ¨y¨, la reemplazamos en la ecuación del perímetro
500 = 2y + x
500 = 2(125) + x
500 = 250 + x
x = 250m
Paso 7
Ahora reemplazamos valores de ¨x¨ y ¨y¨ en la ecuación para maximizar
A = x ∗ y
A = 250 ∗ 125
A = 31250m²
El área máxima que tendrá el galpón donde se ubicaran reservas de material y productos de
la planta industrial productora de cemento, será de 31250m²

10. XTRATECH 10
EJERCICIO #3
Un laboratorio desea construir un depósito abierto de metal con fondo cuadrado debe tener
capacidad para 32 m³ ¿Qué dimensiones debe tener dicho depósito para que en su
fabricación se necesite la menor cantidad de metal?
Volumen:
V=32m3
V=x2
*h
32=x2
*h
área: A= x2
+4x*h
Ab=x2
𝐴 = 𝑥2
+ 4𝑥 ∗
32
𝑥2
Al=4*x*h 𝐴 = 𝑥2
+
128
𝑥
32=x2
*h Derivamos
32
𝑥2 = ℎ 𝐴′
= 2𝑥 + 128 ∗ 𝑥−2
𝐴′
= 2𝑥 −
128
𝑥2
P. Críticos
0=2𝑥 −
128
𝑥2
=
2𝑥3−128
𝑥2
0 = 2𝑥3
− 128
128
2
= 𝑥3
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡64 = 𝑥3
√64
3
= 𝑥
x=4
32
42
= ℎ
2=h

11. XTRATECH 11
6. Conclusiones
Se aplicó el concepto de la derivada en ejercicios teóricos o situaciones de la vida real,
proporcionando una interpretación gráfica e ilustrando su interpretación física.
Se demostró la importancia de la aplicación de las derivadas en problemas, permite
conocer lo sensible que es al cambio una variable con respecto a otra. Eso resulta muy útil
en ciencias (velocidades, aceleraciones, distribuciones que dependen del tiempo o de la
cantidad de materia). Verificando que la información investigada sea de fuentes fiables
que respalden la validez de esta.

12. XTRATECH 12
7. Enlace a slideshare
8. Bibliografía
Ramos, E. (2002). Análisis Matemático II. Lima–Perú.