APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA CARRERA DE INGENIERA EN TECNOLOGIAS DE LA INFORMACION.

1. ÁLGEBRA LINEAL
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ÁLGEBRA LINEAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE ESPACIOS Y
SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA
CARRERA DE INGENIERA EN TECNOLOGIAS
DE LA INFORMACION.
NRC: 3242 Algebra Lineal
Nombres:
1. Ayerve Figueroa Kronlic Ricardo
2. Llumiquinga Suntaxi Joel Alexander
3. Narváez López Jilson Ariel
4. Tomalá Vera Rubén Alfredo.
Fecha de entrega: lunes 26 de julio 2021
Período: Mayo _ septiembre 2021

2. 1
Índice
1. Introducción......................................2
2. Objetivos...........................................2
3. Fundamentación Teórica. .................2
4. Desarrollo. ........................................4
5. Conclusiones y recomendaciones.....8
6.Bibliografía........................................8

3. 2
1. Introducción.
En el presente documento se hablará las definiciones de los espacios y subespacios vectoriales
y sus aplicaciones en la carrera de Ingeniera en Tecnologías de la Información.
La importancia que presentan dentro del campo de la matemática y de la programación en
particular, conociendo que la programación se basa fundamentalmente en resolver problemas
de índole matemático mediante algoritmos y programas que se desarrollan en el campo de la
tecnología. Además, se presentará las aplicaciones del conocido teorema del Wronskiano
usado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente o
dependiente en un intervalo dado. Con este teorema desarrollaremos los ejercicios planteados.
2. Objetivos.
• Realizar una investigación sobre aplicaciones de los espacios y subespacios
vectoriales en la carrera de Ingeniera en Tecnologías de la Información en
documentos, libros y videos, para tener una acertada comprensión de cómo influyen
estas aplicaciones en el campo investigativo de la carrera en mención.
• Entender la función que cumple el teorema de Wronskiano en un conjunto de
funciones mediante el planteamiento y desarrollo de los ejercicios utilizando
correctamente este teorema.
3. Fundamentación Teórica.
Para lograr comprender de qué manera los espacios y subespacios vectoriales se pueden
aplicar a diferentes campos en la carrera de ingeniería en tecnologías de la información
procederemos en primera estancia a definirlos.
¿Qué es son los espacios y subespacios vectoriales?
Un espacio vectorial se puede definir como cualquier conjunto que posea las operaciones
suma y producto por un escalar. Los espacios de dicho conjunto son llamados vectores.

4. 3
Mientras tanto un subespacio vectorial se puede definir de la siguiente manera dado un
espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene
al vector K, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por un escalar entre vectores
de S, el resultado permanece en S.
Aplicación de los espacios y subespacios vectoriales en la Carrera de Ingeniera en
Tecnologías de la Información.
Espacio vectorial real con producto interior en un sitio web diseñado con MEDHIME, para
trabajar en aula de computación.
El uso de páginas de Internet en nuestras clases, es un medio para conectar al alumno con la
tecnología. Este recurso no es una mera herramienta comparable con el pizarrón u otro
instrumento, pues son transformadoras de la praxis social, de la producción de conocimiento y
dan nueva significación a los procesos de enseñanza y aprendizaje. (CienciaEspacio, 2009)
Se genera un sitio web en el que se pone a disposición del alumno/usuario el material de la
unidad hipermedia, que le permite trabajar en forma independiente, ya sea desde el aula de
computación, su casa, o bien desde un ciber.
Desarrollo numérico del problema de factibilidad en programación lineal ordinaria y semi-
infinita.
Presenta una alternativa diferente para encontrar soluciones factibles a problemas de
optimización. La programación semi-infinita lineal (PSIL) se aplica a problemas de
optimización en los que bien el número de variables o bien el número de restricciones es finito.
La (PSIL) surge de manera natural al modelar situaciones, o reformular modelos en diferentes
campos de aplicación. (Gutiérrez, 2013)
Aplicaciones del álgebra hipercompleja a la modelación y simulación de un robot paralelo
planar de 3GDL, tipo RRR.
En este artículo se presenta la aplicación del álgebra hipercompleja al modelado de un robot
paralelo plano de 3 GDL, tipo RRR. El robot es modelado con dos herramientas matemáticas,
en primer lugar, se usa el álgebra de Quaterniones y en segundo lugar se usará una rotación
variante definida y sistematizada en el espacio vectorial de números complejos. (Olvera-
Aranzolo, 2012)

5. 4
4. Desarrollo.
Funciones 1. Tres polinómicas y determinar si son linealmente independientes(li) o
linealmente dependientes (ld) con el teorema del Wronskiano.
Aplicar el Teorema del Wronskiano
El teorema del Wronskiano consiste en Construir una matriz de orden n con las funciones que
se nos entreguen para el análisis.
Los pasos a seguir son:
1. Obtener las derivadas de cada función independientemente de acuerdo al número de
funciones que se vayan a analizar.
2. Ordenar una matriz las funciones y sus derivadas en columnas
3. Calcular el Determinante de la matriz generada y analizar de acuerdo al caso
Ejemplos de aplicación del teorema del Wronskiano para funciones
1 2
1 2
1 2
( , )
' '
f f
w f f
f f
=
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
( , , ) ' ' '
'' '' ''
f f f
w f f f f f f
f f f
=
1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1
1 2
...
' ' ... '
( , ,.., ) '' '' ... ''
... ... ... ...
...
n
n
n n
n n n
n
f f f
f f f
w f f f f f f
f f f
− − −
=
Resolución del Ejercicio
Funciones:
1) 2
1 2 1
f x x
= + + 2) 2
2 2 2
f x x
= + − 3) 2
3 3 9
f x x
= + −
': 2 2
f x + ': 4 1
f x + ': 2 3
f x +
'': 2
f '': 4
f '': 2
f
2 2 2
1 2 3
2 1 2 2 3 9
( , , ) 2 2 4 1 2 3
2 4 2
x x x x x x
w f f f x x x
+ + + − + −
= + + +
+ − +
− + −
+ − +

6. 5
Calcular el Determinante teniendo si:
0 ( )
Det LinealmenteIndependiente li
  0 ( )
Det LinealmenteDependiente ld
= 
Separar por menores el determinante para que el trabajo resulte más sencillo. Seleccionar
cualquier fila o columna.
2 2
1 2 3
2
3
2 2 2 9
( , , ) 4 1 2 3
2
1
2
4
2
2
x x x x
w
x
f f f x x
x
x
+ − +
=
+
+
+
+
−
+
2 2 2 2
2 4 1 2 3 2 2 3 9 2 2 3 9
2 1 (2 2) 2
4 2 4 2 4 1 2 3
x x x x x x x x x x
x x x
x x
+ + + − + − + − + −
+ + − + +
+ +
Desarrollar todos los determinantes 2x2 que se generaron.
Desarrollarlo por partes para evitar errores
Primer Determinante
 
 
2
2
2
2
2
4 1 2 3
2 1
4 2
( 2 1) (4 1)(2) [(4)(2 3)]
( 2 1) ( 2) ( 12)
( 2 1)( 10)
10 20 10
8 8
x x
x x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
x
+ +
+ +
+ + + − +
+ + + − +
+ + −
− − −
Segundo Determinante
 
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2 3 9
(2 2)
4 2
( 2 2) (2 2)(2) [(4)( 3 9)]
( 2 2)[( ) ( )]
( 2 2)( 10 32)
20 64 20 64
20 44 64
4 2 4 4 12 36
x x x x
x
x x x x x
x
x
x x
x x x
x
x x
x
x
+ − + −
− +
− − + − − + −
− − −
− − − +
+ − + −
− + −
− −

7. 6
Tercer Determinante
 
 
 
2
3
2 2
2
3 2 2 3 2 2
2
2
2 3 2
2 2 3 9
2
4 1 2 3
2 [(2 2)(2 3)] [(4 1)( 3 9)]
2 (4 6 2 3 4 6
6
4
3
8 6 4
) [4 12 6 3 9]
2 ( ) [ ]
2( 5 32 3)
1
13
0 64
33 9
x
x
x
x
x x x x
x x
x x x x
x x x x x x x x
x
x x x
x x
x
x
x
x
+ − + −
+ +
+ − + − + + −
+ + + − − − + − + + −
−
− + +
− +
+ − + − −
+
−
Una vez calculados todos los determinantes juntamos las respuestas y obtenemos el valor final
del determinante
2 2 2
10 64 6
10 64 6
68
20 44 64
10 20 10
x x
x x x x
− + +
− −
−
− +
+
−
−
−
−
Dado que: 0 ( )
Det LinealmenteIndependiente li
 
Se concluye que las funciones 1 2 3
( , , )
f f f son Linealmente Independientes.

8. 7
Funciones 2. Dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas, exponenciales,
hiperbólicas, polinómicas y determinar si son linealmente independientes (li) o linealmente
dependientes (ld) con el teorema del Wronskiano.
Primera función:
𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 3
𝑔(𝑥) = 3 − 𝑥
Realizamos en función de (𝑓o𝑔):
(𝑓o𝑔) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (3 − 𝑥)2
− 3
= 9 − 6𝑥 + 𝑥2
− 3
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥2
− 6𝑥 + 6
Sacamos el determinante:
|𝑥2
− 6𝑥 + 6 𝑥2
− 4𝑥 + 4
2𝑥 − 6 2𝑥 − 4
| = (𝑥2
− 6𝑥 + 6) · (2𝑥 − 4) − (𝑥2
− 4𝑥 + 4) · (2𝑥 − 6)=
= −2𝑥2
+ 4𝑥
El resultado de la factorización del determinante nos da dos valores posibles:
𝑥 = 2
𝑥 = 0
Hallamos el determinante para los dos casos obtenidos
CUANDO x = 2
|𝑥2
− 6𝑥 + 6 𝑥2
− 4𝑥 + 4
2𝑥 − 6 2𝑥 − 4
| =
|
−2 0
−2 0
|= (-2*0) -(-2*0) =0 Es L.d
CUANDO X=0
|𝑥2
− 6𝑥 + 6 𝑥2
− 4𝑥 + 4
2𝑥 − 6 2𝑥 − 4
| =
= (-6*4) -(6*-5) =-24+24=0 Es L.d

9. 8
5. Conclusiones y recomendaciones.
• Se realizo con éxito el estudio sobre los temas puntuales referentes a las aplicaciones
de espacios y subespacios vectoriales en la carrera, lo cual permitió comprender de
mejor manera la parte práctica y nos brindó una mayor perspectiva respecto al campo
de la tecnología
• Se plantearon y desarrollaron ejercicios con funciones con el método del Wronskiano,
lo cual hizo que se refuercen los conocimientos previamente adquiridos. en problemas
matemáticos, destacando sus particularidades, se recomienda que los estudiantes
analicen y apliquen estos métodos en el estudio de su preparación académica
6.Bibliografía
CienciaEspacio. (08 de Abril de 2009). Ciancio2009Espacio. Ciancio2009Espacio:
http://funes.uniandes.edu.co/23041/1/Ciancio2009Espacio.pdf
Gutiérrez, E. G. (Febrero de 2013). DESARROLLO NUMÉRICO DEL PROBLEMA DE
FACTIBILIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL . DESARROLLO NUMÉRICO
DEL PROBLEMA DE FACTIBILIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL :
https://www.researchgate.net/publication/277142363_DESARROLLO_NUMERICO_
DEL_PROBLEMA_DE_FACTIBILIDAD_EN_PROGRAMACION_LINEAL_ORDI
NARIA_Y_SEMI-INFINITA
Olvera-Aranzolo, L. R.-Á.-L. (Septiembre de 2012). Researchgate. Researchgate:
https://www.researchgate.net/publication/324248865_Aplicaciones_del_algebra_hiper
compleja_a_la_modelacion_y_simulacion_de_un_robot_paralelo_planar_de_3GDL_ti
po_RRR_httpwwwmecamexnetrevistasLMEMrevistasLMM-V01N01pdf