Trabajo grupal parcial II NRC 3258

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
EXACTAS CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIÓN DE LA DERIVADA
EN LA CARRERA DE BIOTECNOLOGÍA
Nombres:
1. Acosta Alais
2. Barreno Zahid
3. Castillo Karen
4. Villarreal Damaris
NRC: 3258
Fecha: Martes 27 de Julio 2021
Periodo: Mayo 2021 _ Septiembre 2021
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

2. TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA
EN LA CARRERA DE BIOTECNOLOGÍA
Índice
Página
Introducción
Objetivos
Fundamentación Teórica
Conclusiones
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Bibliografía
.…………………… 3
………………………
………………………
………………………
………………………
………………………
1

3. 1. Introducción
La derivación, entre otras cosas, puede utilizarse para localizar máximos y
mínimos de las funciones, es decir sus extremos. Las aplicaciones de la derivada,
además del cálculo de máximos y mínimos, también incluye las aplicaciones de estos
últimos en problemas prácticos de optimización.
En la carrera de biotecnología, a pesar del bajo desarrollo de estos temas en
comparación con otras carreras, se pueden utilizar estos conocimientos para
determinar distintos valores, por ejemplo se puede representar en el plano la medición
del crecimiento demográfico de poblaciones de insectos, o bien la secreción de cierto
tipo de proteína recombinante de un cultivo de Escherichia coli en función de la
temperatura y determinar los extremos relativos para conocer los momentos de mayor
producción de la misma, por esta razón conocer las aplicaciones de la derivada
contribuye a un mejoramiento de los análisis en actividades prácticas.
2. Objetivos.
● Tener un mejor conocimiento de la relación que tienen las derivadas con el campo
laboral de un biotecnólogo.
● Aplicar los conocimientos de derivación revisados en el parcial en una práctica.
2

4. 3. Fundamentación teórica.
Definición de la derivada.
Se puede definir a la derivada como una función matemática que se relaciona
con el límite, se comprende que es la variación que experimenta una función de
manera inmediata, está rapidez con la que se transmite la derivada posee varias
aplicaciones tanto en fenómenos científicos, naturales y sociales.
La derivada se da como el resultado de un límite, esta es la pendiente de la recta
tangente en la gráfica de una función con respecto a un punto.
En resumen es la variación de una función F(x) en un intervalo que se
α ≤ 𝑥 ≤ β
define como ∆𝑓 = 𝑓(β) − 𝑓(α)
La razón media de cambio de la función f(x) en un intervalo es
α ≤ 𝑥 ≤ β
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(β)−𝑓(α)
β−𝑎
Si f(x) es una función lineal para todo intervalo La tasa media de cambio
α ≤ 𝑥 ≤ β
de f(x) es la pendiente.
∆𝑓
∆𝑥
= 𝑚
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(β)−𝑓(α)
β−𝑎
Aplicaciones de la derivada.
En este caso encontramos una variedad amplia de aplicaciones, se puede usar
desde un estudio de tasas de variación, valores máximos y mínimos, concavidad,
convexidad, entre otros.
3

5. En cuanto al estudio de cálculo en el área de biotecnología por lo general no se
suele profundizar en algunos temas a comparación de otras carreras ya que no
requiere desarrollos tan avanzados de las aplicaciones matemáticas. Dar un enfoque
directo de la derivación con respecto a la Biotecnología es ciertamente un poco
complicado pero no imposible, a continuación se explicarán varias aplicaciones en las
que podemos emplear el conocimiento previamente revisado de las derivadas en la
vida cotidiana de un biotecnólogo.
En el caso de la tasa media la cual se interpreta como la rapidez promedio con
la que cambia la función durante el intervalo, un ejemplo para su explicación sería la
cantidad de larvas de mosquito presentes en un estanque t días, después de que se
iniciaron las observaciones se obtiene Calcular la tasa
𝑃(𝑡) =− 5𝑡
2
+ 25𝑡 + 100
media de variación desde que inició el experimento hasta después del día 1, 10, 20 y
50.
Intervalo ∆𝑡 𝑃(𝑡) ∆𝑃(𝑡) ∆𝑃(𝑡)/∆𝑡
0 ≤ 𝑡 ≤ 1 1 124,5 24,5 24,5
0 ≤ 𝑡 ≤ 10 10 300 200 20
0 ≤ 𝑡 ≤ 20 20 400 300 15
0 ≤ 𝑡 ≤ 50 50 100 0 0
4

6. La tasa media de variación nos muestra la rapidez con la que crecen las larvas
en el estanque en el intervalo propuesto, una tasa media de variación de 20 larvas por
día se interpreta como si en los primeros diez días la población creció con una rapidez
de 20 larvas.
Tenemos como se puede considerar el tipo de crecimiento de una bacteria que
ha sido sometida a distintos factores que la afectarán directa e indirectamente, el
planteamiento matemático en este caso vendría siendo un análisis de velocidad, al
emplear la derivada de funciones.
Un ejemplo sería la derivación de funciones polinomiales, a partir de la
función f(x) se establece la función f´(x) que vendría siendo la tasa instantánea de
variación de f en x. Para considerar la población de bacterias que crece de acuerdo a
la fórmula a) calcular la derivada P´(t) b)Calcular la
𝑃(𝑡) =− 5𝑡
2
+ 100𝑡 + 2000
rapidez instantánea de crecimiento de la población en t=0,5,10,15,20 días c)¿Qué
significa el signo de la rapidez positiva, negativa?
a) 𝑃´(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
(− 5𝑡
2
+ 100𝑡 + 2000 )
𝑃´(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
(− 5𝑡
2
) +
𝑑
𝑑𝑡
(100𝑡) +
𝑑
𝑑𝑡
(2000 )
𝑃´(𝑡) =− 5
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡
2
) + 100
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡) + 0
𝑃´(𝑡) =− 5(2𝑡) + 100(1)
5

7. 𝑃´(𝑡) =− 10𝑡 + 100
b)
t P´(t)
0 100
5 50
10 0
15 -50
20 -100
c) El signo positivo nos dice que hay un crecimiento en la derivada en el instante
de la función estudiada, por ejemplo P´(0)=100 nos indica que las población
de bacterias crece al ritmo de 100 bacterias por día. Si el signo es negativo
indica que la población decrece como en el caso de P´(20)=-100 que nos
indica que la población de bacterias disminuye a un ritmo de 100 bacterias por
día.
En el caso de una derivación de funciones exponenciales se usa las siguientes
fórmulas:
𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑎𝑥
1.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒
𝑥
) = 𝑒
𝑥
2.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒
𝑎𝑥
) = 𝑎𝑒
𝑎𝑥
𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
6

8. 3.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒
𝑢
) = 𝑒
𝑢 𝑑
𝑑𝑥
(𝑢)
Un ejemplo para esta aplicación sería, considerando una muestra de plancton cuya
población es creciente de manera exponencial según la ley P(t)=15,000 donde t
𝑒
0,035𝑡
es el tiempo en días. Se necesita calcular la rapidez en la que crecerá la población en
el transcurso de 5 días.
𝑃´(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑥
(15, 000𝑒
0.035𝑡
)
𝑃´(𝑡) = 15, 000
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒
0.035𝑡
)
𝑃´(𝑡) = 15, 000(0, 035𝑒
0.035𝑡
)
𝑃´(𝑡) = 0, 035𝑡
Si se evalúa t=5 se obtiene como resultado lo que significa que en el
𝑃´(5) = 625, 4
instante calculado la población tiene un crecimiento de 625 organismos por día.
4. Desarrollo.
Problemas de aplicación de la derivada en la Carrera de Biotecnología
i) Un laboratorio especializado en la producción de vacunas, necesita proteínas
recombinantes las cuales se producen a partir de cultivos de una determinada bacteria. En una
cierta semana, por un fallo del sistema de temperatura la producción tuvo variaciones
importantes, registradas por la función: en el intervalo [-3,1], donde
𝑃(𝑡) = 5 − 6 𝑡
2
− 2 𝑡
3
P(t) es la producción en función de la temperatura.
7

9. Determine los puntos donde la temperatura determinó producción máxima y en cuál la misma
fue mínima.
Puntos críticos
▪ 𝑃(𝑡) = 5 − 6𝑡
2
− 2𝑡
3
, -6t(t+2)=0
▪ 𝑃
'
(𝑡) = − 12𝑡 − 6𝑡
2
𝑃
'
(𝑡) =− [6𝑡
2
+ 12 𝑡] =− [6𝑡(𝑡 + 2)]
t=0 , t=-2
Los números para que la derivada se anule son 0 y -2, como P es continua en [-3,1] se
tiene que los máximos y mínimos están dados por P(0), P(-2), P(-3) y P(1).
Calculando los valores:
𝑃(0) = 5 − 6(0)
2
− 2(0)
3
= 5
- Mínimo
𝑃(− 2) = 5 − 6(− 2)
2
− 2(− 2)
3
= − 3
- Máximo
𝑃(− 3) = 5 − 6(− 3)
2
− 2(− 3)
3
= 5
𝑃(1) = 5 − 6(1)
2
− 2(1)
3
= − 3
-3 -2 0 1
(-5/2) (-1) (1)
- + -
Mínimo Máximo
𝑃
'
(𝑡)
Pmax (0, 5) , Pmin (-2, -3)
En el intervalo [-3,1], la producción de proteína recombinante fue máxima cuando existía una
temperatura de 5°C, y fue mínima cuando la temperatura cayó hasta -3° C.
8

10. ii) Para el análisis de muestras de las hojas de varias especies vegetales de gran
importancia en la elaboración de fármacos, se necesitan bolsas herméticas de plástico con el
objetivo de preservar la integridad de las mismas. El costo para la fabricación de una funda
hermética de plástico está representado por la siguiente función:
𝑓(𝑥) =
7
𝑥
+ 2𝑥 − 3
Donde x, el volumen de la bolsa en litros, debe de ser mayor a 0. Calcular, ¿cuál es el
volumen de la bolsa que produce un coste mínimo?
● Aplicación del criterio de la primera derivada en la obtención de puntos críticos:
𝑓'(𝑥) = (− 1)7𝑥
−1−1
+ 2
𝑓'(𝑥) =−
7
𝑥
2 + 2
𝑓'(𝑥) =−−
7
𝑥
2 + 2 = 0
2 =
7
𝑥
2
2𝑥
2
= 7
9

11. 𝑥
2
=
7
2
𝑥 =
7
2
● Aplicación del criterio de la segunda derivada
𝑓´´ 𝑥
( ) = − 2
( )(− 7)𝑥
−3
𝑓´´ 𝑥
( ) =
14
𝑥
3
14
(
7
2
)
3 > 0
Lo que indica que efectivamente el volumen debe de tener un valor de para que el costo
7
2
sea el mínimo.
10

12. iii) Para el estudio del crecimiento longitudinal de un árbol de Acer negundo, se realiza el
siguiente esquema que consta del tallo y dos de sus ramas. Actualmente el árbol tiene una
altura de 4 metros y se provee que cada año el crecimiento tanto de tallo, como de las ramas,
sea de dos metros respectivamente. Determinar la velocidad de crecimiento del árbol en
función del tiempo y el tiempo en el que alcanzará su altura máxima.
Por fines de cálculo, consideraremos que el tiempo transcurrido es de un año, por lo
consecuente se sabe que la altura aumentará en 2 metros y de manera análoga las ramas que
contribuyen a la altura, sin embargo, como se puede observar en el gráfico el crecimiento de
las ramas se realiza de manera diagonal y se debe calcular su aporte a la altura total del árbol.
2
2
= 𝑐
2
+ 𝑐
2
4 = 2𝑐
2
𝑐 = 2
Entonces, podemos establecer la altura del total del árbol en función del tiempo:
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑦 = 4 + 2𝑡 + 2𝑡
11

13. t
𝑦 = 4 + 2 + 2
( )
En este caso, la velocidad de crecimiento del árbol corresponde a la derivada de la
anterior expresión.
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑦´ = 2 + 2
Este resultado nos indica que la velocidad de crecimiento del árbol es constante y sin
variaciones, por lo cual, no existen puntos máximos y mínimos dentro de esta función sin que
se establezca una restricción del dominio de la misma.
5. Conclusiones.
La derivada es la pendiente de la recta tangente en la gráfica de una función
con respecto a un punto, en este sentido, la función puede ser analizada con máximos
y mínimos relativos, aplicaciones útiles para la resolución de distintos planteamientos
matemáticos.
Si bien las aplicaciones de la derivada suelen tener un estudio más amplio y a
profundidad, en carreras enfocadas al estudio de la vida y sus desarrollo en beneficio
12

14. humano, las aplicaciones de la derivad pueden hacerse uso para determinar valores
cruciales en el estudio de mediciones de datos demográficos, crecimiento biológico,
entre otros.
6. Bibliografía.
1. David Lerma, & Lerma, S. (2007). Nueva visión del cálculo diferencial. Reaxion.
http://reaxion.utleon.edu.mx/Reaxion_a1_numero_2.pdf
2. Homero G. Díaz. (2014). Cálculo con aplicaciones en biotecnología.
http://bios.biologia.umich.mx/obligatorias/fisicomatematicas/notas_matematicas1_4m
arzo2014.pdf
3. UAEM. (2010). Aplicación de derivadas en biotecnología.
http://ri.uaemex.mx/bitstream/handle/20.500.11799/17108/1511952.pdf?sequence=1
&isAllowed=y
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