1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE INGENIERÍA EN
SOFTWARE (Optimización)
Nombres:
1. Chasiluisa Reyes Anthony Santiago
2. Chicango Farfan George Washington
3. Cueva Flores Luis Fernando
4. De La Cadena Moncayo Leonardo Javier
NRC:3272
Fecha: martes 27 de julio 2021
Período: Mayo 2021 _ Septiembre 2021
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
3. 1. Introducción
En el presente trabajo se planteará distintos problemas de optimización los cuales están enfocados
en el ámbito de la Ingeniería de Software, por eso en el grupo se analizó varias problemáticas que
se pueden presentar en el área de trabajo y para resolverlos se pueda aplicar los problemas de
optimización vistos en la clase de Calculo Diferencial e integral, estos problemas se resuelven
mediante derivadas para encontrar sus valores máximos y mínimos.
2. Objetivo
Identificar la importancia de los aplicativos de la derivada en la carrera de ingeniería en software
estudiando sus aplicativos y diferentes campos donde se aplica en la resolución de problemas de
optimización y mediante la herramienta de geogebra para representar sus máximos o mínimos según las
respuestas dadas en los ejercicios y tener en cuenta cómo esto ayuda a la ingeniería en software.
3. Fundamentación teórica
3.1 Aplicación de la derivada
En cuanto a la derivada Mateus Nieves (2018), destaca que esta es una operación
matemática de suma importancia para conocer el cambio de variables, siendo indispensable
emplear en el diseño de programas informáticos, en este sentido, destaca que:
El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo
del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando
cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal
objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada
es la de diferencial de una función.
Al tener la derivada como principal objeto de estudio, el cálculo diferencial permite
proyectar la evolución o comportamiento de un determinado fenómeno, así mismo, Mateus
Nieves (2018), destaca que:
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una
función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un
argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de
cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto. Esto se
corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una
tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una
función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
3.2 Problemas de Optimización
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En
otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una
variable. Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada
como función de otra de las variables relacionadas en el problema. En ocasiones es preciso considerar las
restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que
permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar.
Téngase en cuenta cuántas veces hablamos de máximo beneficio ,mínimo coste,voltaje
máximo,forma óptima, tamaño mínimo,máxima resistencia o máxima distancia.
4. Estrategia para resolver problemas de optimización
1. Asignar símbolos a todas las magnitudes a determinar.
2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada.
3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Eso
puede exigir utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes
de la ecuación primaria.
4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para que el
problema planteado tenga sentido.
5. Determinar el deseado valor máximo o mínimo mediante las técnicas del cálculo
estudiadas en clase o en el caso del libro Cálculo de Larson revisar las Secciones 3.1 a
3.4.(Larson, 1999)
4. Desarrollo
5. Ejercicio número 1:
Una empresa informática desea crear un programa donde pueda modelar una caja de
cartulina de 108cm^3 cuya forma debe ser la de un prisma cuadrangular, ¿Que medidas
debe tener la caja para ocupar la mínima cantidad de líneas de código para su creación?
y así reducir los costos
Resolución:
𝑎' =− 432𝑥
−2
+ 2𝑥
𝑎'' = (− 2)(− 432)𝑥
−2−1
+ 2𝑥
1−1
𝑎'' = 864𝑥
−3
+ 2
𝑎'' =
864
𝑥
3 + 2
𝑎''(6) =
864
(6)
3 + 2
𝑎''(6) =
864
216
+ 2 𝑓''(𝑥) > 0 −> 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑎’’(6) = 4 + 2 = 6 𝑓''(𝑥) > 0 −> 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
Calculando la altura de la caja “y”:
---> ---> --->
108 = 𝑥
2
𝑦 108 = (6)
2
𝑦 108 = 36𝑦 𝑦 = 3
Entonces las medidas óptimas para minimizar la cantidad de líneas de código para la
creación de la cartulina en la fabricación de la caja es:
𝑣 = 108𝑐𝑚
3
Gráfica Geogebra:
6. Ejercicio Número 2.-
En una empresa de desarrollo de videojuegos, el área de modelado 3D está realizando un nuevo
proyecto el cual trata de realizar modelos para estructuras en un videojuego. En el programa de
modelado 3D se escoge la opción de modelar un edificio de forma cilíndrica circular, el
parámetro que se le debe pasar al programa para que se genere el modelo es su volumen, el cual
es de 40 virtuales. Para que el videojuego no tenga problemas de optimización se debe utilizar la
menor cantidad de píxeles para el procesamiento de los modelos 3D. Determinar analíticamente
el radio de la base del modelo 3D del edificio si se emplea la mínima cantidad de píxeles en su
procesamiento.
𝑉 = 40𝑚
3
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 * 𝐴𝐵
𝐴𝑇 = 2π𝑟ℎ + 2π𝑟
2
𝑉 = π𝑟
2
ℎ =
40
π𝑟
2
+
𝐴𝑇 = 2π𝑟 *
40
π𝑟
2 2π𝑟
2
+
𝐴𝑇 =
80π𝑟
π𝑟
2 2π𝑟
2
+
𝐴𝑇 =
80
𝑟
2π𝑟
2
7. + ) = + 4 ; + ) =0
𝑑
𝑑𝑟
(
80
𝑟
2π𝑟
2
−
80
𝑟
2 π𝑟→
−80+4π𝑟
3
𝑟
2
𝑑
𝑑𝑟
(
80
𝑟
2π𝑟
2
= 0
−80+4π𝑟
3
𝑟
2
; ;
− 80 + 4π𝑟
3
= 0 𝑟
3
=
80
4π
𝑟 =
3 20
π
≈ 1. 85
Segunda Derivada
= +
𝑑
𝑑𝑟
(−
80
𝑟
2 + 4π𝑟)
160
𝑟
3 4π
R= Para que se utilicen la mínima cantidad de pixeles, el radio del modelo 3D es mínimo
para
𝑟 =
3 20
π
≈ 1. 85
Gráfica:
Ejercicio Número 3.-
Una empresa informática desea crear un programa para modelar un depósito cilíndrico de agua,
con ayuda del volumen del depósito el programa debe lograr obtener resultados de la inversión
que se requiere para los materiales del lateral y la base del cilindro. El precio por metro cuadrado
del material de las bases es de $2 y el del lateral es de $15.
8. El programa debe calcular la altura h y el diámetro d =2r para que el coste de un depósito de 10
mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del depósito?
Calcula el volumen:
𝑉 = 𝐴𝑐 * ℎ
𝑉 = π * 𝑟
2
* ℎ
Áreas:
2π * 𝑟
2
2π * 𝑟 * ℎ
Por lo tanto el área total es:
+
𝐴 = 2π * 𝑟
2
2π * 𝑟 * ℎ
𝐴 = 2π (𝑟 + ℎ)
Pasa de a
𝑑𝑚
3
𝑚
3
10000/1000 𝑚
3
= 10 𝑚
3
Iguala el volumen del cilindro a su capacidad:
, El precio del material es de $2 por metro cuadrado de base:
π * 𝑟
2
* ℎ = 10 𝑚
3
, El precio del lateral es de $15 por metro cuadrado:
2(2π * 𝑟
2
) = 4π 𝑟
2
, La función del cilindro es:
15(2π * 𝑟 * ℎ) = 30π 𝑟ℎ
π * 𝑟
2
* ℎ = 10 𝑚
3
=> ℎ = 10/π 𝑟
Así, la función es:
𝑃(𝑟) = 30π 𝑟ℎ + 4π 𝑟
2
= 300/𝑟 + 4π 𝑟
2
𝑃'(𝑟) = − 300/𝑟
2
+ 8π𝑟 => 𝑃'(𝑟) = 0 => − 300/𝑟
2
+ 8π𝑟 = 0
𝑃''(𝑟) = 600/𝑟
3
+ 8π
, Presenta la recta con el único punto crítico y se estudia
𝑟
3
= 300/8π => 𝑟 =
3 300
8π
≈ 2. 29
el signo de la derivada:
9. ,
𝑃'(1) ≈ − 274. 9 < 0 𝑃'(3) ≈ 42. 1 > 0
Luego la función tiene un mínimo en r = 2.29
=
ℎ = 10/π 𝑟
2 10
π2.29
2 ≈ 0, 607𝑚
El precio del depósito nos lo proporciona la función:
𝑃(2. 29) =
300
2.29
+ 4π * 2. 29
2
≈ 196, 9
R = El precio del depósito es $196.9.
Gráfica:
Ejercicio Número 4.-
Se requiere programar un objeto tipo cilíndrico para una empresa de diseño de
videojuegos. El objeto de ser programado con las siguientes medidas debe tener un
volumen de 64 , en el cual se deberá encontrar la cantidad mínima de píxeles en el
𝑐𝑚
3
programa ya que así lo ha solicitado la empresa para su nuevo juego.
Resolución
𝑣 = π𝑟
2
ℎ
64 = π𝑟
2
ℎ
ℎ =
64
π𝑟
2
𝐴 = 2[π𝑟
2
] + [2π𝑟 ]ℎ
11. ℎ = 4. 36𝑐𝑚
5. Conclusiones
En este tema se trata de facilitar la comprensión del proceso de optimización de funciones a
través de una serie de ejemplos prácticos donde buscamos minimizar o maximizar el valor de
una variable. Dicho en otras palabras la optimización es una aplicación directa del cálculo
diferencial que calcula máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas condiciones.
Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la función a optimizar que suele
depender de dos variables. El ejercicio nos dará una condición que liga a ambas y lo que
debemos hacer es despejar una de ellas y sustituirla en la función a optimizar, de forma que
tengamos una sola variable. A partir de aquí aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para
identificar máximos o mínimos.
6. Enlace a slideshare
7. Bibliografía
Larson (Ed.). (1999). Cálculo (Sexta Edición, Vol. 1). The McGraw-Hill.
George B. Thomas, J. (2006). Cálculo de una variable. Atlacomulco: Pearson Educación
12. de México.
Mateus Nieves, E. (2018). Differential calculus. Obtenido de:
https://edumatth.weebly.com/caacutelculo-diferencial.html
Granville, W. A. (2009). Cálculo diferencial e integral. México D.F: Limusa.
