1. ÁLGEBRA LINEAL
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL 2
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA CARRERA DE INGENIERÍA
EN BIOTECNOLOGÍA
NRC: 3258
Nombres:
1. Emily Jhoana Cachupud Guambo
2. Emilie Jhaelle Castillo Carrasco
3. Denny Sebastian Proaño Peñarreta
4. Joshua Mateo Quintana Almeida
Fecha de entrega: martes 27 de junio 2021
Periodo: Mayo 2021_Septiembre 2021
3. 2
1. Introducción
El cálculo integral es una ciencia en la que se puede realizar la integración de diferentes
funciones, volúmenes de regiones utilizando métodos matemáticos. Biotecnología es una
ciencia que utiliza una gama de técnicas en las que se manipula el ADN de los seres vivos
para que este adquiera características específicas. La unión de estas ciencias nos acerca al
entendimiento de diferentes procesos y fenómenos naturales generando distintos cálculos
cuantitativos. En el presente documento se planteará ejercicios que integren estas dos
ciencias en la resolución de ejercicios, ya sea para verificar el punto máximo o mínimo en
funciones que distintas problemáticas que sean generado en Biotecnología (como el
crecimiento microbiano), esto no solo nos dará una pauta para la resolución de estos
problemas además podremos tener una visión global de la importancia del cálculo integral
en Biotecnología.
2. Objetivos
• Comprender la teoría respecto a la derivada y su aplicación en problemas práctico para
distinguir al cambio de una variable con respecto a otra.
• Determinar tres ejercicios de aplicación de la derivada en biotecnología, junto con su
resolución para comprender la importancia del cálculo diferencial en las diferentes
ramas de la ciencia.
3. Fundamentos teóricos
Una de las aplicaciones más importantes y útiles de la derivada está en el estudio de los
valores máximos y mínimos de una función. Existen muchos problemas prácticos en los
cuales se trata de encontrar una "mejor" manera de formularse problemas relacionados en
la determinación de los valores máximos y mínimos de una función (Espinoza, 2002).
La optimización trata de resolver problemas en los que interesa maximizar una
determinada cantidad como un beneficio, una velocidad, la eficiencia de un sistema o por
el contrario minimizar algún criterio de un coste, un riesgo, el tiempo empleado en
algo(Cadena, 2007). La cantidad o criterio a optimizar suele venir dado por una función
dependiente de una o varias variables a la que con frecuencia se llama función coste o
función objetivo. Se trata, pues, de encontrar para qué valores de las variables se produce
el máximo o mínimo de la función coste (Cadena, 2007).
4. 3
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA (CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS)
1. Se deriva la función original.
2. Se iguala la derivada obtenida a cero y se procede a obtener los valores críticos (se
factoriza).
3. Se sustituye un valor próximo anterior y otro posterior al valor crítico en la derivada:
• Si en la sustitución nos dan signos de positivo a negativo se trata de un máximo.
• Si en la sustitución nos dan signos de negativo a positivo se trata de un mínimo.
• Se sustituye los valores críticos en la función original y se procede a calcular las
coordenadas finales.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS)
1. Se deriva por segunda vez la función.
2. Sustituir los valores críticos en la segunda derivada.
• Si f’’(x) se tiene un máximo.
• Si f’’(x)0 se tiene un mínimo.
3. Se sustituye los valores críticos en la función original y se procede a calcular las
coordenadas finales.
PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se pueden
aplicar a la solución de problemas prácticos para resolver tenemos que transformar sus
enunciados en fórmulas funciones o ecuaciones, sin embargo, no existe una regla única
para aplicar a los diferentes ejercicios por lo cual existen estrategias generales para la
resolución de problemas (Rojas, 2005).
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS A LA
OPTIMIZACIÓN.
4. Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se traten de encontrar
5. Realizar un diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo variables para las
cantidades desconocidas
6. Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre variables
7. Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o mínimo
5. 4
8. Encontrar los valores críticos de la función obtenida
9. Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si estos
valores críticos son máximos o mínimos.
4. Desarrollo
1) Un pequeño lago del sur de Quito llegó a contaminarse con bacterias patógenas debido
a la filtración excesiva de la fosa séptica. Después de tratar al lago con un bactericida, el
ministerio de salud pública estima que la concentración de bacterias, después de t días se
calcula mediante la función
𝐶(𝑡) = 300(6 − 𝑡)2
Calcular:
En cuantos días la contaminación de bacterias alcanzó su mínimo nivel.
𝐶(𝑡) = 300(6 − 𝑡)2
𝐶′(𝑡) = 300(36 − 12𝑡 + 𝑡2)
𝐶′(𝑡) = 300(−12 + 2𝑡)
𝐶′(𝑡) = −3600 + 600𝑡
6. 5
𝐶′(𝑡) = 600𝑡 − 3600
600𝑡 − 3600 = 0
600𝑡 = 3600
𝑡 = 6
𝐶"(𝑡) = 600 > 0 → 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
A los 6 días la concentración de bacterias en el lago alcanza su mínimo valor.
2) Al probar la acción del antibiótico amoxicilina del grupo de los betalactámicos en un
cultivo de bacterias de Helicobacter pylori, causante de la gastritis, se sabe que el número
de bacterias varía en según tiempo transcurrido en horas después de suministrar el
antibiótico y según la función: 𝐴(𝑡) = −20𝑡2
+ 8𝑡 − 1
Se desea obtener datos sobre:
a) El número de bacterias existentes en la primera hora administrado el medicamento y al
cabo de 10 horas.
𝐴(0) = −20(0)2
+ 8(0) − 1
=-1
𝐴(10) = −20(10)2
+ 8(10) − 1
=2,079
b) Indicar la razón de cambio de la población de bacterias en función de las horas
transcurridas.
𝐴(𝑡) = −20𝑡2
+ 8𝑡 − 1
d(A)=-40t+8
c) Indicar en qué momento el medicamento tuvo la máxima efectividad contra las bacterias,
en función de t.
𝐴(𝑡) = −20𝑡2
+ 8𝑡 − 1
d(t)=-40t+8
0=-40t +8
40t=8
7. 6
t=
8
40
t=
1
5
Max
A(⅕)=-40(⅕)+8
=16
Punto máximo (⅕;16)
d2(A)=-40
El resultado de la segunda derivada es negativo por lo tanto es cóncava hacia abajo
La función no tiene puntos de inflexión
3) En un laboratorio la población de lactobacillus tiene la siguiente función
N(t)=𝑎 +
100𝑡
𝑒
𝑡
2
𝑐𝑜𝑛 𝑡 ≥ 0
Donde N(t) es el número de bacterias de la población, t corresponde al tiempo (meses)
Y a es una constante equivalente a 300. ¿Calcular en qué momento se puede predecir que
alcanzara la población su máximo y a cuanto equivale el valor máximo?
N(t)=300 +
100𝑡
𝑒
𝑡
2
9. 8
5. Conclusiones
En definitiva, en análisis a lo presentado sabemos que la derivada nos permite
conocer la sensibilidad del cambio de una variable a otra también podemos decir que
las derivadas nos expresan la variación de una magnitud en infinitas cantidades.
Matemáticamente, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a una
curva en un punto, pero la derivada es aplicada en casos donde necesitamos medir la
rapidez donde se origina una alteración de una situación como la rapidez de la
propagación de una colonia de bacterias, eficacia de algún medicamento, etc. Dicho
esto, concluimos que es una herramienta de suma importancia en áreas como la física,
química y biología.
Recomendaciones
Se debe conocer perfectamente la parte teórica para realizar la aplicación de la
derivada en algún problema de la vida real. Como también, relacionar los diferentes
campos de la carrera con respecto al cálculo diferencial. Finalmente, es importante
utilizar de forma adecuada la primera derivada para calcular punto máximo y mínimo
en el caso de los problemas de crecimiento microbiano.
6. Enlace a Slideshare
7. Bibliografía
Alberto, & Cadena. (2007). Matemáticas Aplicadas a la Biología. (Libro).
Patriti, H., & Herrera, A. (2009). Aplicaciones de la derivada (solucionario). 217.
Ana Colo Herrera, H. P. (2004). APLICACIONES DE LA DERIVADA . Montevideo .
Valdespino Y. (2015). La derivada.
http://ri.uaemex.mx/oca/view/20.500.11799/31935/1/secme-22130.pdf
