Proyecto de Centro de Masas y Momento de Inercia

1. 1
Ing.DiegoProañoMolina
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
ESPE SEDE LATACUNGA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
GUÍA DE PRÁCTICA DE LABORATORIO
CARRERA
CÓDIGO DE LA
ASIGNATURA
NOMBRE DE LA ASIGNATURA
AUTOMOTRIZ______
ELECTROMECÁNICA__
ELECTRÓNICA_______
PETROQUÍMICA______
MECATRÓNICA_______
SOFTWARE_____x____
EXCT- MVU-50
EXCT- MVU-53
EXCT- MVU -52
EXCT- MVU- 51
EXCT- MVU-54
A 0001
Física I
NRC:______4173________
PRÁCTICA
N°
LABORATORIO DE: LABORATORIO DE FÍSICA
DURACIÓN
(HORAS)
1 TEMA: Centros de masa y Momentos de Inercia 2
1 OBJETIVO
Objetivo General:
 Aplicar el análisis de las figuras y obtener el centro de gravedad.
Objetivos Específicos:
 Determinar el centro de gravedad a partir de las formulas.
 Determinar el centro de gravedad de figuras tridimensionales.
 Construir maquetas con las figuras y mostrar que los puntos encontrados si es su centro de
gravedad
2
INSTRUCCIONES:
PRÉSTAMO DE MATERIALES Y EQUIPAMIENTO
A. El Jefe del Laboratorio es el responsable del préstamo de equipos,
B. El docente es el responsable de la supervisión en el Laboratorio y guiado de los alumnos en el uso de ciertos equipos o
instrumentos.
C. El material del Laboratorio sólo podrá ser utilizado por los usuarios inscritos en los cursos asociados alLaboratorio.
D. El material del Laboratorio sólo podrá ser utilizado en el Laboratorio.
E. El usuario deberá entregar su credencialde alumno para el préstamo de materiales y firmar la hoja de préstamo.
DAÑOS A LOS MATERIALES Y EQUIPAMIENTO
A. El daño o pérdida del material en préstamo es de entera responsabilidad de los usuarios (alumnos y/o investigadores) que
hayan solicitado el material prestado.
B. Los usuarios deberán pagar la reposición del material que solicitaron en caso que éste sea perdido o dañado
RECOMENDACIONES DE SEGURIDAD:
A. Revisar todos los equipos y materiales entregados para evitar malos entendidos por pérdidas o daños causados.
B. Adecúe su puesto de trabajo, retirando y ordenando todos los elementos que no sean utilizados o estorben en el lugar.

2. 2
Ing.DiegoProañoMolina
C. Revise que los equipos de medición no estén averiados y se puedan encerar.
D. Evite golpear o dejar caer los elementos ya que sufrirán daños y deberán ser reemplazados por quien lo haya averiado.
E. Controle su zona de trabajo para que no afecte su labor o la de sus compañeros.
A. EQUIPO Y MATERIALES NECESARIOS
Tabla 1. Equipos y materiales de la práctica
Material Características Cantidad Código
a)
Calibrador Vernier
Precisión 1/128 in, Máxima
medida es de 16 cm
1 VER-6PX
b)
Regla
Precisión 1mm medida
máxima 30 cm
1 MF2018-30
c) Cartón Cartón de caja 3 N/A
d) Papel Milimetrado 4 N/A
e) Jabón Jabón de ropa 8 00000
f) Plastilina Cajas de plastilina 3 211120
g) Aguja 4 cm 6 00000
h) Tijera 1 00000
i) Estilete 1 00000
Figura N° 1 Navarrete J
B. TRABAJO PREPARATORIO:
2.1 Definición de Centro de Gravedad.
El Centro de Gravedad es el punto de un cuerpo en el cual se considera ejercida la fuerza de gravedad que
afecta a la masa de dicho cuerpo, es decir, donde se considera ejercido el peso. También se conoce como
centro de balance o centro de equilibrio.
Una medida imprecisa del mismo puede generar momentos de fuerza no deseados convirtiendo equipos
en incontrolables.
La posición del Centro de Gravedad es extremadamente importante en aeronáutica, ingeniería naval y
cualquier otra aplicación en la que el equilibrio es necesario. Es por ello que la medida del Centro
de Gravedad es parte imprescindible del proceso de fabricación o modificación de muchos equipos. Por
ejemplo, si el Centro de Gravedad de un aeroplano se encuentra fuera de los límites deseados, el avión
será incontrolable, poniendo al aparato en una situación de grave riesgo, al igual que a sus ocupantes si
los hubiera.

3. 3
Ing.DiegoProañoMolina
2.2 Definición de centro de masas.
Generalmente se le abrevia como C.M. y se define como el punto geométrico donde la resultante de las
fuerzas gravitatorias ejercidas por todos los cuerpos del sistema se anula. De similar forma, en un sistema
continuo es el punto donde la resultante de las fuerzas ejercidas por cada diferencial de masa se anula.
En un tratamiento de los sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde se presume
concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los cuales no es
importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.
2.3 Teorema de Varignom
El teorema de Varignon es un teorema enunciado por primera vez por el matemático neerlandés Simon
Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre
Varignon (1654-1722) y lo que nos enuncia Varignom es que:
Y este Teorema se lo utiliza en los momentos de primer orden con el cual podemos calcular el centro de
masa.
2.4 Calculo del centro de Masa de un Sistema de Masas Discreto.
Las coordenadas del centro de masa de un sistema de masas discreto se calculan mediante la
siguiente relación.
𝐶𝑀 =
∑ (𝑟𝑖 ∗ 𝑚𝑖)
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
Y de esto encontramos las coordenadas para un cálculo en 3 dimensiones.
𝑥 =
𝑥1 ∗ 𝑚1 + 𝑥2 ∗ 𝑚2+ 𝑥3 ∗ 𝑚3 + 𝑥4 ∗ 𝑚4
𝑚𝑇
𝑦 =
𝑦1 ∗ 𝑚1 + 𝑦2 ∗ 𝑚2+ 𝑦3 ∗ 𝑚3 + 𝑦4 ∗ 𝑚4
𝑚𝑇
𝑧 =
𝑧1 ∗ 𝑚1 + 𝑧2 ∗ 𝑚2 + 𝑧3 ∗ 𝑚3+ 𝑧4 ∗ 𝑚4
𝑚𝑇
2.5 Calculo del Centro de Masa de un Sistema de Masas Continuo.
Las coordenadas del centro de masa de un sistema de masas continuo se calculan mediante la
siguiente relación.
𝐶𝑀 =
∫ 𝑟𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
=
∫ 𝑟𝑑𝑚
𝑀
Donde dm es un elemento infinitesimal de masa.
2.5 Calculo del Centro de Masa de una Superficie
Dadas variasfuerzas concurrentes, elmomento resultante de las distintas fuerzases igual al
momento de la resultante de ellas, aplicada en el punto de concurrencia.

4. 4
Ing.DiegoProañoMolina
𝑥 =
𝑥1 ∗ 𝐴1 + 𝑥2 ∗ 𝐴2+ 𝑥3 ∗ 𝐴3 + 𝑥4 ∗ 𝐴4
𝐴𝑇
𝑦 =
𝑦1 ∗ 𝐴1 + 𝑦2 ∗ 𝐴2+ 𝑦3 ∗ 𝐴3 + 𝑦4 ∗ 𝐴4
𝐴𝑇
2.6 Calculo del Centro de Masa de un Volumen
para un volumen o conjunto de volúmenes se tiene:
𝑥 =
𝑥1 ∗ 𝑣1 + 𝑥2 ∗ 𝑣2 + 𝑥3 ∗ 𝑣3 + 𝑥4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑦 =
𝑦1 ∗ 𝑣1 + 𝑦2 ∗ 𝑣2 + 𝑦3 ∗ 𝑣3 + 𝑦4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑧 =
𝑧1 ∗ 𝑣1 + 𝑧2 ∗ 𝑣2 + 𝑧3 ∗ 𝑣3 + 𝑧4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
El cual es usado para cuerpos con geometría regular como paralelepípedos, esferas, etc., El CM
coincidirá con el centro geométrico del cuerpo.
2.7 Calculo de centros de masas para funciones
Para el cálculo del mismo debemos considerar la función en la cual debemos determinar el valor
máximo y mínimo y de allí colocarlo en la integral para dar las condiciones del punto superior e
inferior.
𝒙 =
∫ 𝒙𝒆
𝒙𝒆𝒇
𝒙𝒆𝒐
∫ 𝒅𝑨
𝑨𝒇
𝑨𝒐
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝒙 =
∫ 𝒚𝒆
𝒙𝒆𝒇
𝒙𝒆𝒐
∫ 𝒅𝑨
𝑨𝒇
𝑨𝒐
𝒚 =
∫
𝒚𝒔𝟐
−𝒚𝒊𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
2.8 Formulas de centro de Gravedad para algunas figuras geométricas.

5. 5
Ing.DiegoProañoMolina
Grafica N, Farfan L
Grafica N, Farfan L

6. 6
Ing.DiegoProañoMolina
3 ACTIVIDADES A DESARROLLAR
Ensayo 1: Medición del centro de gravedad de la placa tridimensional basada en el análisis
del volumen de cada uno.
 Identificar figuras y marcarlas para poder usar las formulas del centro de gravedad de la
respectiva figura.
 Determinamos los centros de gravedad para cada una de las figuras en (x , y , z).
 Calculamos el volumen respectivo de las figuras.
 Utilizamos la fórmula del cálculo del centro de gravedad de un volumen.
 Determinar el momento de inercia.
Ensayo 2: Determinación del centro de gravedad para la figura 2
 Identificar figuras y marcarlas para poder usar las formulas del centro de gravedad de la
respectiva figura.
 Determinamos los centros de gravedad para cada una de las figuras en (x , y).
 Calculamos el área respectiva de las figuras.
 Utilizamos la fórmula del cálculo del centro de gravedad de un Área.
 Determinar el momento de inercia.
Ensayo 3: Determinación del centro de gravedad para la figura 3
 Identificar un punto para el centro de gravedad de la curva con la recta.
 Determinamos los centros de gravedad para cada una de las figuras en (x, y) del punto
superior e inferior.
 Calculamos los puntos superior e inferior de x y al encontrarlos reemplazarlos en la función
principal para obtener los valores de y.
 Utilizamos la fórmula del cálculo del centro de gravedad de una función y obtenemos el
centro de masas.
 Determinar el momento de inercia.
Ensayo 4: Determinación del centro de gravedad para la figura 4

7. 7
Ing.DiegoProañoMolina
 Identificar un punto para el centro de gravedad del eje horizontal con respecto a la curva.
 Determinamos los centros de gravedad para cada una de las figuras en (x, y) del punto
superior e inferior.
 Calculamos los puntos superior e inferior de x y al encontrarlos reemplazarlos en la función
principal para obtener los valores de y.
 Utilizamos la fórmula del cálculo del centro de gravedad de una función y obtenemos
nuestro centro de masas.
 Determinar el momento de inercia.
Ensayo 5: Determinación del centro de gravedad para la figura 5
 Identificar figuras y marcarlas para poder usar las formulas del centro de gravedad de la
respectiva figura.
 Determinamos los centros de gravedad para cada una de las figuras en (x , y).
 Calculamos el área respectiva de las figuras.
 Utilizamos la fórmula del cálculo del centro de gravedad de un Área y sustituimos los datos
y calculamos el centro de gravedad respectivo.
 Determinar el momento de inercia.
Ensayo 6: Medición del centro de gravedad de la placa tridimensional realizada con un
jabón.
 Identificar figuras y marcarlas para poder usar las formulas del centro de gravedad de la
respectiva figura.
 Determinamos los centros de gravedad para cada una de las figuras en (x, y , z).
 Calculamos el volumen respectivo de las figuras.
 Utilizamos la fórmula del cálculo del centro de gravedad de un volumen y sustituimos los
datos y obtenemos el centro de masa para nuestra figura.
 Determinar el momento de inercia.
4 RESULTADOS OBTENIDOS
Datos:

8. 8
Ing.DiegoProañoMolina
Tabla de variables físicas de la práctica
Tabla N° 2 Variables física
Parámetro físico Dimensión Símbolo Unidades
Longitud L I cm
Tablas de datos
Ensayo 1: Medición del centro de gravedad de la placa tridimensional basada en el análisis del volumen
de cada uno.
Grafico Navarrete J(2021)
Determinar valor de (x1,y1,z1) para la figura 1

9. 9
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
10
2
= 5𝑖
X1= 5i
𝑏
3
=
8
3
= 2.66 𝑗
Y1=2.66
ℎ𝑜 +
ℎ
3
=
3
3
= 7 + 1 = 7
Z1=7
𝐶𝑀 = (5𝑖 ;2.66 𝑗 ;7 𝑘)
Centro de gravedad para la figura
Grafico Navarrete J(2021)

10. 10
Ing.DiegoProañoMolina
Centro de gravedad en (x2,y2,z2) de la figura N
𝑏
2
=
10
2
= 5𝑖
X2 = 5i
𝑏
2
=
8
2
= −4𝑗
Y2 = -4j
ℎ
2
=
6
2
= 3𝑘
Z2 = 3k
𝐶𝑀 = (5𝑖 ; −4𝑗 ; 3𝑘)
Centro de gravedad para la figura
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
10
2
= 5𝑖
X3 = 5i
𝑏
2
=
8
3
= −2.66𝑗
Y3 = -2.66j
ℎ
2
=
3
3
= −1𝑘
Z3 = -1k
𝐶𝑀 = (5𝑖 ; −2.66𝑗 ; −1𝑘)
Centro de gravedad para la figura

11. 11
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
5
2
= 2.5𝑖
X4 = 2.5i
𝑏
2
=
10
2
= 5 𝑗
Y4 = 5j
ℎ
2
=
3
2
= −1.5𝑘
Z4 = -1.5k
𝐶𝑀 = (5𝑖 ; −2.66𝑗 ; −1𝑘)
𝑥 =
𝑥1 ∗ 𝑣1 + 𝑥2 ∗ 𝑣2 + 𝑥3 ∗ 𝑣3 + 𝑥4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑦 =
𝑦1 ∗ 𝑣1 + 𝑦2 ∗ 𝑣2 + 𝑦3 ∗ 𝑣3 + 𝑦4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑧 =
𝑧1 ∗ 𝑣1 + 𝑧2 ∗ 𝑣2 + 𝑧3 ∗ 𝑣3 + 𝑧4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑥 =
5 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 + 5 𝑐𝑚 ∗ 480 𝑐𝑚3 + 5 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 + 2.5 ∗ 150 𝑐𝑚3
870 𝑐𝑚3
𝑥 = 4.5689 𝑐𝑚
𝑦 =
−2.66 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 − 4 𝑐𝑚 ∗ 480 𝑐𝑚3 − 2.66 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 + 5 𝑐𝑚 ∗ 150 𝑐𝑚3
870 𝑐𝑚3
𝑦 = −2.2620 𝑐𝑚
𝑧 =
7 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 + 3 𝑐𝑚 ∗ 480 𝑐𝑚3 − 1 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 − 1.5𝑐𝑚 ∗ 150 𝑐𝑚3
870 𝑐𝑚3
𝑧 = 2.224 𝑐𝑚

12. 12
Ing.DiegoProañoMolina
DETERMINAR EL MOMENTO DE INERCIAROTACIONAL AL EJE VERTICAL Z
Grafico Navarrete J(2021)
𝐼𝑧 = −
𝑏2 ∗ ℎ2
72
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 = −
102 ∗ 32
72
+ 120 ∗ (2.66 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟔𝟒𝟒,𝟓𝟕𝟐
𝐼𝑧 =
𝑏2 ∗ ℎ2
4
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 =
102 ∗ 32
4
+ 480 ∗ (4 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟑𝟒𝟓
CM
𝑥 = 5.5989 𝑐𝑚
𝑦 = −2.2620 𝑐𝑚
𝑧 = 2.224 𝑐𝑚

13. 13
Ing.DiegoProañoMolina
𝐼𝑧 = −
𝑏2 ∗ ℎ2
72
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 = −
102 ∗ −32
72
+ 120 ∗ (2.66 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟔𝟒𝟒,𝟓𝟕𝟐
𝐼𝑧 =
𝑏2 ∗ ℎ2
4
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 =
52 ∗ 102
4
+ 150 ∗ (2.5 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟏𝟓𝟔𝟐.𝟓
Momento de Inercia en el eje z
𝑰𝒛𝑻 = 𝟔𝟒𝟒.𝟓𝟕𝟐 + 𝟑𝟒𝟓 + 𝟔𝟒𝟒.𝟓𝟕𝟐+ 𝟏𝟓𝟔𝟐.𝟓
𝑰𝒛𝑻 = 𝟑𝟏𝟗𝟔.𝟔𝟒𝟒
Ensayo 2
Determinación del centro de gravedad para la figura 2
Grafico Navarrete J(2021)
Determinar el centro de gravedad de la siguiente figura plana recta

14. 14
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
Figura 1
Grafico Navarrete J(2021)
Objeto (x , y)
𝑥1 =
𝑏
3
= 𝑏𝑜 +
6
3
= −9𝑖
X1 = -8i
𝑦1 =
ℎ
3
= ℎ𝑜 +
4
3
= 4.33𝑗
Y1 = 4.33 j

15. 15
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑥2 =
𝑏
2
=
6
2
= −3 𝑖
X2 =-3 i
𝑦2 =
ℎ
2
=
7
2
= 3.5 𝑗
Y2=3.5 j
Figura 3

16. 16
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
7
2
= 3.5 𝑖
X3= 3.5 i
ℎ
2
=
7
2
= 3.5 𝑗
Y3= 3.5 j
Figura 4
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
= 𝑏0 +
6
2
= 10 𝑖
X4= 10 i
ℎ
2
=
4
2
= 2 𝑗
Y4= 2 j
Figura5

17. 17
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
3
= 𝑏0 +
6
3
= 9 𝑖
X5 = 9i
𝑦1 = ℎ𝑜 +
ℎ
3
= 4 +
3
3
= 5𝑗
Y5 = 5 j
Figura 6
Grafico Navarrete J(2021)
𝑥1 =
𝑏
3
= 𝑏𝑜 +
6
3
= −8𝑖
X6 = -8i
𝑦1 = ℎ𝑜 +
ℎ
3
= 2 +
4
3
= −3.33𝑗
Y6 = -3.33 j
Figura 7

18. 18
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
= 𝑏𝑜 +
4
2
= −3 𝑖
X7= -3 i
ℎ
2
=
6
2
= −3 𝑗
Y7= -3 j
Figura8
Grafico Navarrete J(2021)
𝑥1 =
𝑏
3
=
2
3
= −0.66𝑖
X8 = -0.66i
𝑦1 =
ℎ
3
=
−4
3
= −1.33𝑗
Y8 = -1.33 j
Figura 9

19. 19
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
= 6𝑖
X9= 8 i
ℎ
2
= −𝑗
Y9= - j
Áreas
A1= 12 cm^2
A2= 42 cm^2
A3= 49 cm^2
A4= 24 cm^2
A5= 9 cm^2
A6= 12 cm^2
A7= 24 cm^2
A8= 4 cm^2
A9= 32 cm^2
𝐴𝑇 = 208 𝑐𝑚2
𝑥 =
−9 𝑐𝑚 ∗ 12 𝑐𝑚2 − 3 𝑐𝑚 ∗ 42 𝑐𝑚2 + 3.5 𝑐𝑚 ∗ 49 𝑐𝑚2 + 10 𝑐𝑚 ∗ 24 𝑐𝑚2 + 9 𝑐𝑚 ∗ 9𝑐𝑚2 − 8𝑐𝑚 ∗ 12𝑐𝑚2
−3 ∗ 24𝑐𝑚2 − 0.66 ∗ 4𝑐𝑚2 + 6𝑐𝑚 ∗ 30 𝑐𝑚2
208 𝑐𝑚2
𝑥 = 1.2877 𝑐𝑚
𝑦 =
4.33 𝑐𝑚 ∗ 12 𝑐𝑚2 + 3.5 𝑐𝑚 ∗ 42 𝑐𝑚2 + 3.5 𝑐𝑚 ∗ 49 𝑐𝑚2 + 2 𝑐𝑚 ∗ 24 𝑐𝑚2 + 5𝑐𝑚 ∗ 9𝑐𝑚2 − 3.33𝑐𝑚 ∗ 12𝑐𝑚2
−3 ∗ 24𝑐𝑚2 − 1.33 ∗ 4𝑐𝑚2 − 1𝑐𝑚 ∗ 30 𝑐𝑚2
208 𝑐𝑚2
𝑦 = 1.5183 𝑐𝑚
DETERMINAR EL MOMENTO DE INERCIAEN RELACION AL EJE HORIZONTAL QUE PASA POR EL
CENTRO DE GRAVEDAD.

20. 20
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝐼 =
𝑏 ∗ ℎ3
36
+ 𝐴 ∗ 𝑑2
𝐼1 =
6 ∗ 43
36
+ 12 ∗ −92
𝐼1 = 982.66 𝑐𝑚4
𝐼2 =
6 ∗ 73
12
+ 42 ∗ (3 − 9)2
𝐼2 = 1683.5 𝑐𝑚4
𝐼3 =
7 ∗ 73
12
+ 49 ∗ (3.5 − 9)2
𝐼3 = 1682.33 𝑐𝑚4
𝐼4 =
6 ∗ 43
12
+ 24 ∗ (10 − 9)2
𝐼4 = 56 𝑐𝑚4
𝐼5 =
6 ∗ 33
36
+ 9 ∗ (9 − 9)2
𝐼5 = 4.5 𝑐𝑚4
𝐼6 =
6 ∗ 43
36
+ 12 ∗ (8 − 9)2
𝐼6 = 22.66 𝑐𝑚4
𝐼7 =
4 ∗ 63
12
+ 24 ∗ (3 − 9)2
𝐼7 = 936 𝑐𝑚4
𝐼8 =
2 ∗ 43
36
+ 4 ∗ (0.66 − 9)2
𝐼8 = 281.7779 𝑐𝑚4
𝐼9 =
16 ∗ 23
12
+ 32 ∗ (6 − 9)2
𝐼9 = 298.66 𝑐𝑚4
𝐼 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5948.0879 𝑐𝑚4

21. 21
Ing.DiegoProañoMolina
Ensayo 3 determinar el centro de gravedad de la siguiente figura.
Grafico Navarrete J(2021)
𝒙 =
∫ 𝒙𝒆
𝒙𝒆𝒇
𝒙𝒆𝒐
∫ 𝒅𝑨
𝑨𝒇
𝑨𝒐
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝒙 =
∫ 𝒚𝒆
𝒙𝒆𝒇
𝒙𝒆𝒐
∫ 𝒅𝑨
𝑨𝒇
𝑨𝒐
𝒚 =
∫
𝒚𝒔𝟐−𝒚𝒊𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐
𝑿𝒇 = 𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒 𝒄𝒎 ; 𝑿𝒐 = −𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒 𝒄𝒎
𝒀𝒇 = 𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐 𝒄𝒎 ; 𝒀𝒐 = −𝟔. 𝟒𝟖𝟓𝟑 𝒄𝒎
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐

22. 22
Ing.DiegoProañoMolina
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐− (−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑))𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ (𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐− (−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑))𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒙 =
∫ (𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓𝒙)𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ (𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓)𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒙 =
𝟖.𝟒𝟖𝟓𝟐𝟓𝒙𝟐
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓𝒙−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒙 =
𝟖.𝟒𝟖𝟓𝟐𝟓(𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒)𝟐 − 𝟖.𝟒𝟖𝟓𝟐𝟓(−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒)𝟐
𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓(𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒) − 𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓(−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒)
𝒙 = −𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗
𝒚 =
∫
𝒚𝒔𝟐−𝒚𝒊𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝒚 =
∫
(𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐𝟐−(−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑𝟐)
𝟐
𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ ((𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐− (−𝟔. 𝟒𝟖𝟓𝟑))𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟐.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒚 =
∫ 𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ (𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓)𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟐.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒚 =
∫ 𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ (𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓)𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒚 =
𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏𝒙−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓𝒙−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒚 =
𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏(𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒)− 𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏(−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒)
𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓(𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒)− 𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓(−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒)
𝒚 = −𝟏.𝟏𝟗𝟗𝟗
DETERMINAR EL MOMENTO DE INERCIAEN RELACION AL EJE HORIZONTAL

23. 23
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑰𝒙 = ∫ 𝒚𝟐𝒅𝑨
𝒅𝑨 = 𝒙𝒅𝒚
𝑰𝒙 = ∫𝒚𝟐𝒙𝒅𝒚
Límites de integración de y1 = 10.4852 , y2 = -6.4853
𝑰𝒙 = ∫ 𝒚𝟐 ∗
𝒚 − 𝟓
𝟑
𝒅𝒚
𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐
−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑
𝑰𝒙 =
𝟏
𝟑
{|
𝒚𝟒
𝟒
|
−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑
𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐
− [𝟓𝒚]−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑
𝟏𝟎.𝟓𝟖𝟓𝟐
}
𝑰𝒙 = 𝟒𝟎.𝟕𝟏𝟗𝟑
Ensayo 4 Cálculo del centro de masa con respecto al eje horizontal y
la curva.

24. 24
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 5 ,𝑔(𝑥) = 0
−𝑥2 + 𝑥 + 5 = 0
𝒙𝒐 = −𝟏. 𝟕𝟗𝟏𝟐 ; 𝒙𝒇 = 𝟐, 𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒚 = 𝟎 ;𝒚𝒇 = 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒
𝒙 =
∫ 𝒙𝒆
𝒙𝒆𝒇
𝒙𝒆𝒐
∫ 𝒅𝑨
𝑨𝒇
𝑨𝒐
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒 − 𝟎)𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
∫ (𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒− 𝟎)𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒙 =
∫ (𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒)𝒙𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
∫ (𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒)𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒙 =
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟐𝒙𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒𝒙−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒙 =
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟐(𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐)𝟐 − 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟐(−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐)𝟐
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒(𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐)𝟏 − 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒(−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐)𝟏
𝒙 = 𝟎. 𝟓
𝒚 =
∫
(−𝑥2+𝑥+5)𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
∫ (−𝑥2 + 𝑥 + 5)𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒚 =
𝟏
𝟐
(
𝑥5
5
−
𝒙𝟒
𝟐
− 𝟑𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙)−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−
𝒙𝟑
𝟑
+
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟓𝒙−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐

25. 25
Ing.DiegoProañoMolina
𝒚 = 𝟐. 𝟏
DETERMINAR EL MOMENTO DE INERCIAEN RELACION AL EJE VERTICAL QUE PASA POR EL
CENTRO DE GRAVEDAD.
Grafico Navarrete J(2021)
𝑰𝒙 = ∫ 𝒚𝟐𝒅𝑨
𝒅𝑨 = 𝒙𝒅𝒚
𝑰𝒙 = ∫𝒚𝟐𝒙𝒅𝒚
Límites de integración de y1 = 0 , y2 = 5.25
𝑰𝒙 = ∫ 𝒚𝟐 ∗ (𝟔 − 𝒚)𝒅𝒚
𝟓.𝟐𝟓
𝟎
𝑰𝒙 = {|
𝒚𝟒
𝟒
|
𝟗
𝟓.𝟐𝟓
− [𝟐𝒚𝟑]𝟎
𝟓.𝟐𝟓
}
𝑰𝒙 = 𝟗𝟗.𝟒𝟖𝟑𝟒
CALCULAR EL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA PLACA PLANA

26. 26
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
CalcularEl centrode gravedad
Grafico Navarrete J(2021)
FIGURA 1

27. 27
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
= 𝑏 − 7 = 0 𝑖
X1= 0 i
ℎ
2
= ℎ𝑜 +
2
2
= 6 𝑗
Y4= 6 j
FIGURA 2
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
3
=
4
3
+ 𝑏𝑜 = −8.33 𝑖
X1= -8.33 i
ℎ
3
=
7
3
= 2.33 𝑗
Y4= 2.33 j
FIGURA 3

28. 28
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
7
2
= −3.5 𝑖
X1= -3.5 i
ℎ
2
= ℎ𝑜 +
3
2
= 3.5 𝑗
Y4= 3.5 j
FIGURA 4
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
= 𝑏𝑜 +
1
2
= −6.5 𝑖
X1= -6.5 i
ℎ
2
= ℎ𝑜 +
3
2
= −0.5 𝑗
Y4= -0.5 j
FIGURA 5
Grafico Navarrete J(2021)

29. 29
Ing.DiegoProañoMolina
𝑏
3
= 𝑏𝑜 +
4
3
= −8.33 𝑖
X1= -8.33 i
ℎ
3
=
6
3
= −2 𝑗
Y4= -2 j
FIGURA 6
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
6
2
= −3 𝑖
X6= -3i i
ℎ
2
= ℎ𝑜 +
3
2
= −4.5 𝑗
Y6= -4.5 j
FIGURA 7
Determinar el centrode lagravedad de la figura tridimensional
Áreas
Figura1=28 𝑐𝑚2
Figura2= 14 𝑐𝑚2
Figura3 = 21 𝑐𝑚2
Figura4 = 5 𝑐𝑚2
Figura5 = 12 𝑐𝑚2
Figura6 = 21 𝑐𝑚2
Área Total:101 𝑐𝑚2
𝑥 =
0𝑐𝑚 ∗ 28𝑐𝑚2 − 8.33𝑐𝑚 ∗ 14𝑐𝑚2 − 3.5𝑐𝑚 ∗ 21𝑐𝑚2 − 6.5𝑐𝑚 ∗ 5𝑐𝑚2 − 8.33𝑐𝑚 ∗ 12𝑐𝑚2 − 3.5𝑐𝑚 ∗ 21𝑐𝑚2
101 𝑐𝑚2

30. 30
Ing.DiegoProañoMolina
𝑥 = −3.9215 𝑐𝑚
𝑦 =
6𝑐𝑚 ∗ 28𝑐𝑚2 + 2.33𝑐𝑚 ∗ 14𝑐𝑚2 + 3.5𝑐𝑚 ∗ 21𝑐𝑚2 − 0.5𝑐𝑚 ∗ 5𝑐𝑚2 − 2𝑐𝑚 ∗ 12𝑐𝑚2 − 4.5𝑐𝑚 ∗ 21𝑐𝑚2
101 𝑐𝑚2
𝑦 = 1.5160 𝑐𝑚
DETERMINAR EL MOMENTO DE INERCIA DE LA FIGURA
Grafico Navarrete J(2021)
𝑰𝟏 =
𝟏𝟒∗ 𝟐𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟐𝟖 ∗ 𝟔𝟐
𝑰𝟏 = 𝟏𝟏𝟕.𝟑𝟑 𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟐 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟑𝟔
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟐 =
𝟒 ∗ 𝟕𝟑
𝟑𝟔
+ 𝟏𝟒 ∗ 𝟐.𝟑𝟑𝟐
𝑰𝟐 = 𝟏𝟏𝟒.𝟏𝟏𝟓𝟕 𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟑 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟑 =
𝟕 ∗ 𝟑𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟐𝟏 ∗ 𝟑.𝟓𝟐
𝑰𝟑 = 𝟐𝟕𝟑 𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟒 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟒 =
𝟏 ∗ 𝟓𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟓 ∗ −. 𝟎.𝟓
𝑰𝟒 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔 𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟓 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟓 =
𝟒 ∗ 𝟔𝟑
𝟑𝟔
+ 𝟏𝟐 ∗ −𝟐𝟐
𝑰𝟓 = 𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟔 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐

31. 31
Ing.DiegoProañoMolina
𝑰𝟔 =
𝟕 ∗ 𝟑𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟐𝟏 ∗ −𝟒.𝟓𝟐
𝑰𝟔 = 𝟒𝟒𝟏 𝒄𝒎𝟒
𝐼𝑇 = 1929.1057 𝑐𝑚4
Hallarel momentode Inerciacon respectoal eje vertical que pasaporel centrode masade la figuraadjunta.
Grafico Navarrete J(2021)
𝑰𝟏 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟏 =
𝟐 ∗ 𝟏𝟒𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟐𝟖∗ 𝟑.𝟗𝟐𝟏𝟓𝟐
𝑰𝟏 = 𝟖𝟖𝟕,𝟗𝟐𝟏𝟖 𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟐 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟐 =
𝟕 ∗ 𝟒𝟑
𝟑𝟔
+ 𝟏𝟒∗ (𝟖.𝟑𝟑 − 𝟑.𝟗𝟐𝟏𝟓)𝟐
𝑰𝟐 = 𝟐𝟖𝟒,𝟓𝟑𝟐𝟔 𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟑 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟑 =
𝟑 ∗ 𝟕𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟐𝟏 ∗ (𝟑.𝟓 − 𝟑.𝟗𝟐𝟏𝟓)𝟐
𝑰𝟑 = 𝟖𝟗.𝟒𝟖𝟎𝟗𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟒 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟒 =
𝟓 ∗ 𝟏𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟓(𝟔.𝟓 − 𝟑. 𝟗𝟐𝟏𝟓)𝟐
𝑰𝟒 = 𝟑𝟑.𝟔𝟓𝟗𝟗 𝒄𝒎𝟒

32. 32
Ing.DiegoProañoMolina
𝑰𝟓 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟓 =
𝟔 ∗ 𝟒𝟑
𝟑𝟔
+ 𝟏𝟐∗ (𝟖.𝟑𝟑 − 𝟑.𝟗𝟐𝟏𝟓)𝟐
𝑰𝟓 = 𝟐𝟒𝟑.𝟖𝟖𝟓𝟏 𝒄𝒎𝟒
𝑰𝟔 =
𝒃 ∗ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝑨 ∗ 𝒅𝟐
𝑰𝟔 =
𝟑 ∗ 𝟕𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟐𝟏 ∗ (𝟑.𝟓 − 𝟑.𝟗𝟐𝟏𝟓)𝟐
𝑰𝟔 = 𝟖𝟗.𝟒𝟖𝟎𝟗 𝒄𝒎𝟒
𝐼𝑇 = 1628.9612 𝑐𝑚4
ENSAYO 6 DETERMINAR EL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SIGUIENTEFIGURATRIDIMENSIONAL.
Grafico Navarrete J(2021)
Figura1

33. 33
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
2.6
2
= 1.3𝑖
X1 = 1.3i
𝑏
2
=
4
2
= −2𝑗
Y1 = -2j
ℎ
2
= ℎ𝑜 +
1.8
2
= 4.2𝑘
Z1 = 4.2k
FIGURA2
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
6.3
2
= 3.15 𝑖
X2= 3.15i

34. 34
Ing.DiegoProañoMolina
𝑏
2
=
10.9
2
= −5.45𝑗
Y2 = -5.45j
ℎ
2
=
3.3
2
= 1.65𝑘
Z2 = 1.65k
FIGURA 3
Grafico Navarrete J(2021)
𝑏
2
=
2.6
2
= 1.3𝑖
X3 = 1.3i
𝑏
2
=
4
2
= −2𝑗
Y3 = -2j
ℎ
2
=
1.8
2
= −0.9𝑘
Z3 = 4.2k
Volumen
V1=𝟏𝟖.𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟑
V2=𝟐𝟐𝟔.𝟔𝟏𝟏 𝒄𝒎𝟑
V3=𝟏𝟖.𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟑
VT=𝟐𝟔𝟒.𝟎𝟓𝟏 𝒄𝒎𝟑
𝑥 =
𝑥1 ∗ 𝑣1 + 𝑥2 ∗ 𝑣2 + 𝑥3 ∗ 𝑣3 + 𝑥4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑦 =
𝑦1 ∗ 𝑣1 + 𝑦2 ∗ 𝑣2 + 𝑦3 ∗ 𝑣3 + 𝑦4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑧 =
𝑧1 ∗ 𝑣1 + 𝑧2 ∗ 𝑣2 + 𝑧3 ∗ 𝑣3 + 𝑧4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑥 =
1.3 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3 + 3.15 𝑐𝑚 ∗ 226.611 𝑐𝑚3 + 1.3 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3
264.051 𝑐𝑚3
𝑥 = 2.8876 𝑐𝑚

35. 35
Ing.DiegoProañoMolina
𝑦 =
−2𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3 − 5.45 𝑐𝑚 ∗ 226.611 𝑐𝑚3 − 2 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3
264.051 𝑐𝑚3
𝑦 = −4.9608 𝑐𝑚
𝑧 =
4.2 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3 + 1.65 𝑐𝑚 ∗ 226.611 𝑐𝑚3 − 0.9 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3
264.051 𝑐𝑚3
𝑧 = 1.65 𝑐𝑚
𝑪𝑴 = (𝟐.𝟖𝟖𝟕𝟔 𝒊 ; −𝟒.𝟗𝟔𝟎𝟖 𝒋 ;𝟏.𝟔𝟓 𝒌)
DETERMINAR EL MOMENTO DE INERCIADEL EJE VERTICAL Z
Grafico Navarrete J(2021)
𝐼𝑧 =
2.62 ∗ 1.82
4
+ 18.72 ∗ (1.3 − 2)2
𝐼𝑧 = 14,6484
𝐼𝑧 =
6.32 ∗ 3.32
4
+ 266.611 ∗ (3,25 − 5.45)2
𝐼𝑧 = 1398.4532
𝐼𝑧 =
2.62 ∗ 1.82
4
+ 18.72 ∗ (1.3 − 2)2

36. 36
Ing.DiegoProañoMolina
𝐼𝑧 = 14,6484
𝑰𝒛 𝑻 = 𝟏𝟒.𝟔𝟒𝟖𝟒 + 𝟏𝟑𝟗𝟖.𝟒𝟓𝟑𝟐 + 𝟏𝟒.𝟔𝟒𝟖𝟒
𝑰𝒛 𝑻 = 𝟏𝟒𝟐𝟕,𝟕𝟓
G

37. 37
Ing.DiegoProañoMolina
3. ANÁLISIS DE RESULTADOS
3.1 ANALISIS ENSAYO 1
Grafico Navarrete J(2021)
Se realizó el análisis completo de la figura tridimensional obteniendo los siguientes valores
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 (5𝑖,−2.66𝑗,7𝑧)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 (5𝑖;−4𝑗;3)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 3 (5𝑖;−2.66𝑗;−1)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4 (2.5𝑖; 5𝑗; −1.5𝑧)
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠

38. 38
Ing.DiegoProañoMolina
𝑉1 = 120 𝑐𝑚3
𝑉2 = 480 𝑐𝑚3
𝑉3 = 120 𝑐𝑚3
𝑉4 = 150 𝑐𝑚3
De esta manera intercambiamos en la formula para encontrar el centro de gravedad
𝑥 =
5 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 + 5 𝑐𝑚 ∗ 480 𝑐𝑚3 + 5 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 + 2.5 ∗ 150 𝑐𝑚3
870 𝑐𝑚3
𝑥 = 4.5689 𝑐𝑚
𝑦 =
−2.66 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 − 4 𝑐𝑚 ∗ 480 𝑐𝑚3 − 2.66 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 + 5 𝑐𝑚 ∗ 150 𝑐𝑚3
870 𝑐𝑚3
𝑦 = −2.2620 𝑐𝑚
𝑧 =
7 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 + 3 𝑐𝑚 ∗ 480 𝑐𝑚3 − 1 𝑐𝑚 ∗ 120 𝑐𝑚3 − 1.5𝑐𝑚 ∗ 150 𝑐𝑚3
870 𝑐𝑚3
𝑧 = 2.224 𝑐𝑚
Momento de Inercia en el eje z de la primera figura.
𝐼𝑧 = −
𝑏2 ∗ ℎ2
72
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 = −
102 ∗ 32
72
+ 120 ∗ (2.66 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟔𝟒𝟒,𝟓𝟕𝟐
𝐼𝑧 =
𝑏2 ∗ ℎ2
4
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 =
102 ∗ 32
4
+ 480 ∗ (4 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟑𝟒𝟓
𝐼𝑧 = −
𝑏2 ∗ ℎ2
72
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 = −
102 ∗ −32
72
+ 120 ∗ (2.66 − 5)2

39. 39
Ing.DiegoProañoMolina
𝑰𝒛 = 𝟔𝟒𝟒,𝟓𝟕𝟐
𝐼𝑧 =
𝑏2 ∗ ℎ2
4
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 =
52 ∗ 102
4
+ 150 ∗ (2.5 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟏𝟓𝟔𝟐.𝟓
Momento de Inercia en el eje z
𝑰𝒛𝑻 = 𝟔𝟒𝟒.𝟓𝟕𝟐 + 𝟑𝟒𝟓 + 𝟔𝟒𝟒.𝟓𝟕𝟐+ 𝟏𝟓𝟔𝟐.𝟓
𝑰𝒛𝑻 = 𝟑𝟏𝟗𝟔.𝟔𝟒𝟒
3.2 ANALISIS ENSAYO 2
Para este figura como la teníamos en 2D solo utilizamos la fórmula para determinar el centro de gravedad por
Áreas y donde obtuvimos estos valores.
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 = (−9𝑖; 4.33𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 = (−3𝑖; 3.5𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 3 = (3.5𝑖; 3.5𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4 = (10𝑖;2𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5 = (9𝑖; 5𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 6 = (−8𝑖; −3.33𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7 = (−3𝑖; −3𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 8 = (−0.66𝑖; −1.33𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 9 = (6𝑖; −1𝑗)
Á𝑟𝑒𝑎𝑠
𝐴1 = 12 𝑐𝑚^2
𝐴2 = 42 𝑐𝑚^2

40. 40
Ing.DiegoProañoMolina
𝐴3 = 49 𝑐𝑚^2
𝐴4 = 24 𝑐𝑚^2
𝐴5 = 9 𝑐𝑚^2
𝐴6 = 12 𝑐𝑚^2
𝐴7 = 24 𝑐𝑚^2
𝐴8 = 4 𝑐𝑚^2
𝐴9 = 32 𝑐𝑚^2
𝐴𝑇 = 208 𝑐𝑚2
𝑥 =
−9 𝑐𝑚 ∗ 12 𝑐𝑚2 − 3 𝑐𝑚 ∗ 42 𝑐𝑚2 + 3.5 𝑐𝑚 ∗ 49 𝑐𝑚2 + 10 𝑐𝑚 ∗ 24 𝑐𝑚2 + 9 𝑐𝑚 ∗ 9𝑐𝑚2 − 8𝑐𝑚 ∗ 12𝑐𝑚2
−3𝑐𝑚 ∗ 24𝑐𝑚2 − 0.66𝑐𝑚 ∗ 4𝑐𝑚2 + 6𝑐𝑚 ∗ 30 𝑐𝑚2
208 𝑐𝑚2
𝑥 = 1.2877 𝑐𝑚
𝑦
=
4.33 𝑐𝑚 ∗ 12 𝑐𝑚2 + 3.5 𝑐𝑚 ∗ 42 𝑐𝑚2 + 3.5 𝑐𝑚 ∗ 49 𝑐𝑚2 + 2 𝑐𝑚 ∗ 24 𝑐𝑚2 + 5𝑐𝑚 ∗ 9𝑐𝑚2 − 3.33𝑐𝑚 ∗ 12𝑐𝑚2
−3 ∗ 24𝑐𝑚2 − 1.33 ∗ 4𝑐𝑚2 − 1𝑐𝑚 ∗ 30 𝑐𝑚2
208 𝑐𝑚2
𝑦 = 1.5183 𝑐𝑚
Momento de Inercia de la figura 2
𝐼 =
𝑏 ∗ ℎ3
36
+ 𝐴 ∗ 𝑑2
𝐼1 =
6 ∗ 43
36
+ 12 ∗ −92
𝐼1 = 982.66 𝑐𝑚4
𝐼2 =
6 ∗ 73
12
+ 42 ∗ (3 − 9)2

41. 41
Ing.DiegoProañoMolina
𝐼2 = 1683.5 𝑐𝑚4
𝐼3 =
7 ∗ 73
12
+ 49 ∗ (3.5 − 9)2
𝐼3 = 1682.33 𝑐𝑚4
𝐼4 =
6 ∗ 43
12
+ 24 ∗ (10 − 9)2
𝐼4 = 56 𝑐𝑚4
𝐼5 =
6 ∗ 33
36
+ 9 ∗ (9 − 9)2
𝐼5 = 4.5 𝑐𝑚4
𝐼6 =
6 ∗ 43
36
+ 12 ∗ (8 − 9)2
𝐼6 = 22.66 𝑐𝑚4
𝐼7 =
4 ∗ 63
12
+ 24 ∗ (3 − 9)2
𝐼7 = 936 𝑐𝑚4
𝐼8 =
2 ∗ 43
36
+ 4 ∗ (0.66 − 9)2
𝐼8 = 281.7779 𝑐𝑚4
𝐼9 =
16 ∗ 23
12
+ 32 ∗ (6 − 9)2
𝐼9 = 298.66 𝑐𝑚4
𝐼 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5948.0879 𝑐𝑚4
3.3 ANALISIS ENSAYO 3
Utilizamos la formulas necesarias donde calculamos cada uno de los valores con la fórmulas que ya
obteníamos del análisis de las integrales y colocando los valores correctos tanto de x como de y en las
integraciones para obtener los valores correctos

42. 42
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
𝒙 =
∫ 𝒙𝒆
𝒙𝒆𝒇
𝒙𝒆𝒐
∫ 𝒅𝑨
𝑨𝒇
𝑨𝒐
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝒙 =
∫ 𝒚𝒆
𝒙𝒆𝒇
𝒙𝒆𝒐
∫ 𝒅𝑨
𝑨𝒇
𝑨𝒐
𝒚 =
∫
𝒚𝒔𝟐−𝒚𝒊𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐

43. 43
Ing.DiegoProañoMolina
𝑿𝒇 = 𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒 𝒄𝒎 ; 𝑿𝒐 = −𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒 𝒄𝒎
𝒀𝒇 = 𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐 𝒄𝒎 ; 𝒀𝒐 = −𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑 𝒄𝒎
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐 − (−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑))𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ (𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐− (−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑))𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒙 =
∫ (𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓𝒙)𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ (𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓)𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒙 =
𝟖.𝟒𝟖𝟓𝟐𝟓𝒙𝟐
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓𝒙−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒙 =
𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝟓(𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒)𝟐 − 𝟖.𝟒𝟖𝟓𝟐𝟓(−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒)𝟐
𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓(𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒)− 𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓(−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒)
𝒙 = −𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗
𝒚 =
∫
𝒚𝒔𝟐−𝒚𝒊𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝒚 =
∫
(𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐𝟐−(−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑𝟐)
𝟐
𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ ((𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐 − (−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑))𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟐.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒚 =
∫ 𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ (𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓)𝒅𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟐.𝟖𝟐𝟖𝟒

44. 44
Ing.DiegoProañoMolina
𝒚 =
∫ 𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
∫ (𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓)𝒙
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒚 =
𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏𝒙−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓𝒙−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒
𝒚 =
𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏(𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒)− 𝟑𝟑.𝟗𝟒𝟎𝟏(−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒)
𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓(𝟏.𝟖𝟐𝟖𝟒)− 𝟏𝟔.𝟗𝟕𝟎𝟓(−𝟑.𝟖𝟐𝟖𝟒)
𝒚 = −𝟏.𝟏𝟗𝟗𝟗
Momento de Inercia de la figura 3
𝑰𝒙 = ∫𝒚𝟐𝒅𝑨
𝒅𝑨 = 𝒙𝒅𝒚
𝑰𝒙 = ∫𝒚𝟐𝒙𝒅𝒚
Límites de integración de y1 = 10.4852 , y2 = -6.4853
𝑰𝒙 = ∫ 𝒚𝟐 ∗
𝒚 − 𝟓
𝟑
𝒅𝒚
𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐
−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑
𝑰𝒙 =
𝟏
𝟑
{|
𝒚𝟒
𝟒
|
−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑
𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟓𝟐
− [𝟓𝒚]−𝟔.𝟒𝟖𝟓𝟑
𝟏𝟎.𝟓𝟖𝟓𝟐
}
𝑰𝒙 = 𝟒𝟎.𝟕𝟏𝟗𝟑

45. 45
Ing.DiegoProañoMolina
3.3 ANALISIS ENSAYO 4
Para esta figura realizamos el mismo análisis que el del anterior ejercicio solo que en este caso se considera
que este debe estar en el eje x por lo que se deduce que tendremos un valor en y=0;
Grafico Navarrete J(2021)
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 5 , 𝑔(𝑥) = 0
−𝑥2 + 𝑥 + 5 = 0
𝒙𝒐 = −𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐 ; 𝒙𝒇 = 𝟐,𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒚 = 𝟎 ;𝒚𝒇 = 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒
𝒙 =
∫ 𝒙𝒆
𝒙𝒆𝒇
𝒙𝒆𝒐
∫ 𝒅𝑨
𝑨𝒇
𝑨𝒐
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒− 𝟎)𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
∫ (𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒 − 𝟎)𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐

46. 46
Ing.DiegoProañoMolina
𝒙 =
∫ (𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒)𝒙𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
∫ (𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒)𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒙 =
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟐𝒙𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒𝒙−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒙 =
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟐(𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐)𝟐 − 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟐(−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐)𝟐
𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒(𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐)𝟏 − 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒(−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐)𝟏
𝒙 = 𝟎.𝟓
𝒚 =
∫
(−𝑥2+𝑥+5)𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
∫ (−𝑥2 + 𝑥 + 5)𝒅𝒙
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒚 =
𝟏
𝟐
(
𝑥5
5
−
𝒙𝟒
𝟐
− 𝟑𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙)−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
−
𝒙𝟑
𝟑
+
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟓𝒙−𝟏.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝟐.𝟕𝟗𝟏𝟐
𝒚 = 𝟐. 𝟏
Determinar el momento de Inercia de la figura 4
𝑰𝒙 = ∫𝒚𝟐𝒅𝑨
𝒅𝑨 = 𝒙𝒅𝒚
𝑰𝒙 = ∫𝒚𝟐𝒙𝒅𝒚
Límites de integración de y1 = 0 , y2 = 5.25

47. 47
Ing.DiegoProañoMolina
𝑰𝒙 = ∫ 𝒚𝟐 ∗ (𝟔 − 𝒚)𝒅𝒚
𝟓.𝟐𝟓
𝟎
𝑰𝒙 = {|
𝒚𝟒
𝟒
|
𝟗
𝟓.𝟐𝟓
− [𝟐𝒚𝟑]𝟎
𝟓.𝟐𝟓
}
𝑰𝒙 = 𝟗𝟗.𝟒𝟖𝟑𝟒
3.3 ANALISIS ENSAYO 5
Para esta figura igual como no conocemos su fórmula para determinar su centro de gravedad de esta manera
debemos de trazarlo en figuras que conozcamos y luego de realizarlo obtendríamos los siguientes valores.
Grafico Navarrete J(2021)
Centros de Gravedad de cada Figura
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 = (0𝑖 ; 6𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 = (−8,33 𝑖 ;2.33 𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 3 = (−3.5𝑖 ;3,5 𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4 = (−6.5𝑖 ; −0.5 𝑗)

48. 48
Ing.DiegoProañoMolina
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5 = (−8.33 𝑖 ; −2 𝑗)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 6 = (−3.5𝑖 ; −4.5 𝑗)
Á𝑟𝑒𝑎𝑠
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 = 28 𝑐𝑚2
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 = 14 𝑐𝑚2
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 3 = 21 𝑐𝑚2
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4 = 5 𝑐𝑚2
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5 = 12 𝑐𝑚2
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 6 = 21 𝑐𝑚2
Á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: 101 𝑐𝑚2
𝑥 =
0𝑐𝑚 ∗ 28𝑐𝑚2 − 8.33𝑐𝑚 ∗ 14𝑐𝑚2 − 3.5𝑐𝑚 ∗ 21𝑐𝑚2 − 6.5𝑐𝑚 ∗ 5𝑐𝑚2 − 8.33𝑐𝑚 ∗ 12𝑐𝑚2 − 3.5𝑐𝑚 ∗ 21𝑐𝑚2
101 𝑐𝑚2
𝑥 = −3.9215 𝑐𝑚
𝑦 =
6𝑐𝑚 ∗ 28𝑐𝑚2 + 2.33𝑐𝑚 ∗ 14𝑐𝑚2 + 3.5𝑐𝑚 ∗ 21𝑐𝑚2 − 0.5𝑐𝑚 ∗ 5𝑐𝑚2 − 2𝑐𝑚 ∗ 12𝑐𝑚2 − 4.5𝑐𝑚 ∗ 21𝑐𝑚2
101 𝑐𝑚2
𝑦 = 1.5160 𝑐𝑚
Determinar el momento de Inercia de la figura 5.
𝐼 =
𝑏 ∗ ℎ3
36
+ 𝐴 ∗ 𝑑2
𝐼1 =
6 ∗ 43
36
+ 12 ∗ −92

49. 49
Ing.DiegoProañoMolina
𝐼1 = 982.66 𝑐𝑚4
𝐼2 =
6 ∗ 73
12
+ 42 ∗ (3 − 9)2
𝐼2 = 1683.5 𝑐𝑚4
𝐼3 =
7 ∗ 73
12
+ 49 ∗ (3.5 − 9)2
𝐼3 = 1682.33 𝑐𝑚4
𝐼4 =
6 ∗ 43
12
+ 24 ∗ (10 − 9)2
𝐼4 = 56 𝑐𝑚4
𝐼5 =
6 ∗ 33
36
+ 9 ∗ (9 − 9)2
𝐼5 = 4.5 𝑐𝑚4
𝐼6 =
6 ∗ 43
36
+ 12 ∗ (8 − 9)2
𝐼6 = 22.66 𝑐𝑚4
𝐼7 =
4 ∗ 63
12
+ 24 ∗ (3 − 9)2
𝐼7 = 936 𝑐𝑚4
𝐼8 =
2 ∗ 43
36
+ 4 ∗ (0.66 − 9)2
𝐼8 = 281.7779 𝑐𝑚4
𝐼9 =
16 ∗ 23
12
+ 32 ∗ (6 − 9)2
𝐼9 = 298.66 𝑐𝑚4
𝐼 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5948.0879 𝑐𝑚4
3.3 ANALISIS ENSAYO 6
La figura diseñada fue el 3 dimensiones por lo cual debíamos utilizar la fórmula para determinar el momento de
inercia con valores del volumen de cada figura.

50. 50
Ing.DiegoProañoMolina
Grafico Navarrete J(2021)
Centros de masas
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟏 = (𝟏. 𝟑𝒊;𝟑,𝟏𝟓𝒋;𝟏.𝟑𝒌)
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟐 = (−𝟐𝒊;−𝟓.𝟒𝟓𝒋;−𝟐𝒌)
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟑 = (𝟒.𝟐𝒊;𝟏.𝟔𝟓𝒋;−𝟎. 𝟗𝒌)
Volumen
𝑽𝟏 = 𝟏𝟖.𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟑
𝑽𝟐 = 𝟐𝟐𝟔.𝟔𝟏𝟏 𝒄𝒎𝟑
𝑽𝟑 = 𝟏𝟖.𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟑
𝑽𝑻 = 𝟐𝟔𝟒.𝟎𝟓𝟏 𝒄𝒎𝟑
𝑥 =
1.3 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3 + 3.15 𝑐𝑚 ∗ 226.611 𝑐𝑚3 + 1.3 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3
264.051 𝑐𝑚3
𝑥 = 2.8876 𝑐𝑚

51. 51
Ing.DiegoProañoMolina
𝑦 =
−2𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3 − 5.45 𝑐𝑚 ∗ 226.611 𝑐𝑚3 − 2 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3
264.051 𝑐𝑚3
𝑦 = −4.9608 𝑐𝑚
𝑧 =
4.2 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3 + 1.65 𝑐𝑚 ∗ 226.611 𝑐𝑚3 − 0.9 𝑐𝑚 ∗ 18.72 𝑐𝑚3
264.051 𝑐𝑚3
𝑧 = 1.65 𝑐𝑚
𝑪𝑴 = (𝟐.𝟖𝟖𝟕𝟔 𝒊 ; −𝟒. 𝟗𝟔𝟎𝟖 𝒋 ;𝟏.𝟔𝟓 𝒌)
Momento de Inercia en el eje z de la primera figura.
Para determinar este momento de inercia considerar los ejes de x e y para nuestra distancia ya que como es
una figura en 3 D debemos tener en cuenta esos valores.
𝐼𝑧 = −
𝑏2 ∗ ℎ2
72
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 = −
102 ∗ 32
72
+ 120 ∗ (2.66 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟔𝟒𝟒,𝟓𝟕𝟐
𝐼𝑧 =
𝑏2 ∗ ℎ2
4
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 =
102 ∗ 32
4
+ 480 ∗ (4 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟑𝟒𝟓
𝐼𝑧 = −
𝑏2 ∗ ℎ2
72
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 = −
102 ∗ −32
72
+ 120 ∗ (2.66 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟔𝟒𝟒,𝟓𝟕𝟐
𝐼𝑧 =
𝑏2 ∗ ℎ2
4
+ 𝑉 ∗ 𝑑2
𝐼𝑧 =
52 ∗ 102
4
+ 150 ∗ (2.5 − 5)2
𝑰𝒛 = 𝟏𝟓𝟔𝟐.𝟓
Momento de Inercia en el eje z

52. 52
Ing.DiegoProañoMolina
𝑰𝒛𝑻 = 𝟔𝟒𝟒.𝟓𝟕𝟐 + 𝟑𝟒𝟓 + 𝟔𝟒𝟒.𝟓𝟕𝟐+ 𝟏𝟓𝟔𝟐.𝟓
𝑰𝒛𝑻 = 𝟑𝟏𝟗𝟔.𝟔𝟒𝟒
PREGUNTAS:
1. ¿Qué es el centro de gravedad?
El Centro de Gravedad es el punto de un cuerpo en el cual se considera ejercida la fuerza de gravedad que
afecta a la masa de dicho cuerpo, es decir, donde se considera ejercido el peso.
2. ¿Qué es el centro de masa?
Generalmente se le abrevia como C.M. y se define como el punto geométrico donde la resultante de las fuerzas
gravitatorias ejercidas por todos los cuerpos del sistema se anula.
3. ¿En este Proyecto es necesario calcular la Teoría de errores Si No?
En este laboratorio no es necesario calcular errores de las figuras ya que como estas tienen medidas exactas
solo debemos encontrar con las formulas el centro de gravedad.
4. ¿Qué aspectos se deben tomar en cuenta para encontrar el centro de gravedad?
Debemos tomar en cuenta primero si tenemos una figura demasiado grande a esta dividirla en parte que sean
geométricas y de allí ir encontrando los centros de masa de cada una de la figura y luego encontrar las áreas o
volúmenes dependiendo de qué Grafica tengamos y luego intercambiarlas en la fórmula que se acople a nuestra
figura.
5. ¿Indique las formulas necesarias para determinar un centro de gravedad de una figura bidimensional?
𝑥 =
𝑥1 ∗ 𝐴1+ 𝑥2 ∗ 𝐴2 + 𝑥3 ∗ 𝐴3 + 𝑥4 ∗ 𝐴4
𝐴𝑇
𝑦 =
𝑦1 ∗ 𝐴1 + 𝑦2 ∗ 𝐴2 + 𝑦3 ∗ 𝐴3 + 𝑦4 ∗ 𝐴4
𝐴𝑇
6. ¿Indique las formulas necesarias para determinar un centro de gravedad de una figura tridimensional?
𝑥 =
𝑥1 ∗ 𝑣1 + 𝑥2 ∗ 𝑣2 + 𝑥3 ∗ 𝑣3 + 𝑥4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑦 =
𝑦1 ∗ 𝑣1 + 𝑦2 ∗ 𝑣2 + 𝑦3 ∗ 𝑣3 + 𝑦4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
𝑧 =
𝑧1 ∗ 𝑣1 + 𝑧2 ∗ 𝑣2 + 𝑧3 ∗ 𝑣3 + 𝑧4 ∗ 𝑣4
𝑉𝑇
7. ¿Indique las formulas necesarias para determinar un centro de gravedad de una función geométrica?

53. 53
Ing.DiegoProañoMolina
𝒙 =
∫ 𝒙 ∗ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
𝒚 =
∫
𝒚𝒔𝟐
−𝒚𝒊𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝑿𝒇
𝑿𝒐
∫ (𝒚𝒔 − 𝒚𝒊)𝒅𝒙
𝒔𝒇
𝒔𝒐
8. Indique cual es el centro de gravedad del ensayo 1..
9. Si tenemos una figura cuadrada cual el la fórmula para calcular el centro de gravedad en x e y
𝑥 =
𝑏
2
; 𝑦 =
ℎ
2
10. Indique la fórmula para calcular el centro de gravedad de una triangulo rectángulo..
𝑦 =
𝑏
3
; 𝑦 =
ℎ
3
CM
𝑥 = 5.5989 𝑐𝑚
𝑦 = −2.2620 𝑐𝑚
𝑧 = 2.224 𝑐𝑚

54. 54
Ing.DiegoProañoMolina
5 CONCLUSIONES
 Por medio de las fórmulas que obteníamos para cada uno de los casos se procedió a
analizar cada una de las figuras y determinar si estas podía en su forma base poder ser
calculas su centro de gravedad pero como estas son irregulares lo que se procedió fue a
dividir en partes diferentes a las figuras así para poder encontrar el centro de gravedad de
cada una de las de las figuras que se crearon por la división y posteriormente poder usar
las fórmulas de centro de gravedad y colocar allí los centros en x , y , y el eje z si
correspondía así de esta manera se fue encontrando el centro de gravedad, además de
calcular las áreas o el volumen en caso de ser una figura en 3 dimensiones, y para el caso
de que tengamos que calcular el centro de gravedad de una función lo que debemos hacer
es encontrar los puntos inferior y superior y estos colocarlo en una integral y de allí
encontrar el centro de gravedad tanto para x e y.
 Con las fórmulas que ya se conocían determinábamos cual es el centro de gravedad de
cada figura si es que la teníamos dividida, y para lo cual al determinar los centros de
gravedad de cada una de las figuras utilizábamos una formula en la cual colocábamos los
valores de i y j y encontrábamos el centro de gravedad de toda la figura.
 Para el análisis de las figuras en 3 dimensiones se tiene que dar un análisis más extenso
puesto que debemos analizar los 3 ejes y encontrar los centros de gravedad y en caso de
que tengamos una figura por encima de otra debemos sumar la altura inicial y la altura que
hemos obtenido de la figura que se tiene por encima.
 Obtenidos los valores podemos realizar una maqueta de las figuras que obtenemos así con
una aguja, primero determinamos cual es la posición en la cual la figura tiene su centro de
gravedad con los valores que ya encontramos realizando los cálculos respectivos y como
ya antes ya se tenía la aguja se colocó en el punto que se determinó y se logró ver que
estos no se caen por lo que damos por hecho que los cálculos han sido correctamente
concebidos.
6 RECOMENDACIONES
 A la figuras dividirlas en otras figuras geometricas que conocamos y podamos determinar el
centro de gravedad de cada una de ellas y para despues encontrar cual es el centro de
gravedad general de la figura.

55. 55
Ing.DiegoProañoMolina
 Tener a la mano o aprederse las formulas de las figuras geometicas para la obtencion de los
centros de gravedad.
 Para el analisis y posterior calculo para encontrar el centro de gravedad de una figura
tridimensional tomar en cuenta que para estas figuras se tiene que determinar el volumen y
no su area y con lo cual ya podemos utilizar la formula del centro de gravedad con un
volumen.
 Dibujar las figuras en papel milimetrado y que estos sean medidos los mas exactamente
posible y pegarlos en un carton y comprobar que el punto que se encontro es correcto y
observar el fenomemo fisico.
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DE LA WEB
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https://es.slideshare.net/ronaldcabreraloayza/ensayo-aplicacionesdecentos-de-
gravedadcentroidesprimermomentoymomentodeinerciaenlaingenieriacivil Consultado 25 -03-2021
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F3CEJBQYBZ Consultado 25-03-2021
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4. Wikipedia , Centro de Gravedad, https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad , Consultado 25 03 2021
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Varigmon(mecánica)https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Varignon_(mec%C3%A1nica), Consultado 25 03
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vi-centro-de-gravedad-y-centroide, Consultado 25 03 2021
8. Farfan Lowrence, “Centroides y momentos de inercia áreas ”,
https://www.slideshare.net/LowrenceDanielFarfan/centroides-y-momentos-de-inercia-de-reas, Consultado 25 03
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9. KhanAcademy, “Que es el centro de masas”, https://es.khanacademy.org/science/physics/linear-
momentum/center-of-mass/a/what-is-center-of-mass, Consultado 25 03 2021
10. FisicaLab, “Centro de Masas”,https://www.fisicalab.com/apartado/centro-de-masas, Consultado 25 03 2021.
11. Wikipedia, “Centro de masas” , https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_masas , Consultado 25 03 2021
12. Dinámica , “Centro de masas” , http://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinamsist/cdm.html , Consultado
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13. Solido rígido, “Centros de masas”, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/solido/cm/cm.html, Consultado 25 03
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14. WissenSync(2018), “Fisica, Centro de masa”, https://www.youtube.com/watch?v=f_A5jDTnGH4, Consultado 25
03 2021
15. KhanAcademy,”Ecuación para el centro de masa”, https://es.khanacademy.org/science/physics/linear-
momentum/center-of-mass/v/center-of-mass-equation, Consultado 25 03 2021.
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17. Dspace, “Geometría de masas”, https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/97688/1/Tema-3-Geometria-de-
masas.pdf, Consultado 25 03 2021.
18. Roberto Monasterio V(2012), “Centro de masa”, https://es.slideshare.net/robertoomonasterio/centro-de-masa,
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19. Universidad de Sevilla , “Masa, centro de masas y cantidad de movimiento”,
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Masa,_centro_de_masas_y_cantidad_de_movimiento_(CMR), Consultado 25
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20. Julioprofe, “Centro de Gravedad”, https://www.youtube.com/watch?v=wj72sq6415M, Consultado 25 03 2021.

56. 56
Ing.DiegoProañoMolina
Latacunga, 05 de Abril de 2021
Elaborado por: Jonathan Patricio
Navarrete Loya
Aprobado por: Ing. Diego Proaño
Molina
Jefe de Laboratorio