Taller sobre la aplicación de la derivada carrera de ingeniería mecánica

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA
EN LA CARRERA DE INGENIERIA
MECÁNICA
Nombres:
1. Parreño Peter
2. Velasco Juan
3. Zúñiga Luis
NRC: 3246
Fecha: martes 27 de julio 2021
Período: Mayo 2021 - Septiembre 2021
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

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Índice
1. Introducción........................................................................................................................2
2. Objetivos.............................................................................................................................2
2.1. Objetivo General..............................................................................................................2
2.2. Objetivos Específicos.......................................................................................................2
3. Fundamentación Teorica.....................................................................................................2
4. Desarollo.............................................................................................................................5
4.1. Problema #1.....................................................................................................................5
4.2. Problema #2.....................................................................................................................8
4.3 Problema #3.....................................................................................................................11
5. Conclusiones……………………..................................................................................... 13
6. Bibliografía........................................................................................................................13

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1. Introducción
Durante el segundo parcial se van desarrollando varios temas y ejercicios donde
aplicamos temas relativos al cálculo y simplificación de la derivada de funciones dadas
en forma explícita, implícita, paramétrica, polar y de orden superior, por lo que se aplican
problemas de análisis y la gráfica de funciones, además problemas prácticos como los
que se va a desarrollar a continuación cada uno de los participantes del grupo aplicaremos
teoremas, leyes, principios y proposiciones de cálculo diferencial que aprendimos en
clase con ayuda de la docente encargada.
2. Objetivos
2.1. Objetivo General
Plantear problemas y resolver situaciones problemáticas concretas facilitando la
autosuficiencia profesional y científica. Aplicar los métodos matemáticos a problemas de
derivadas para así la Ingeniería se relacione con la teoría.
2.2. Objetivos Específicos
 Aplicar cada una de las propiedades y métodos de las derivadas para poder resolver
problemas
 Calcular cada uno de los ejercicios si es creciente decreciente, si tiene concavidad y
puntos de inflexión máximos o mínimos.
3. Fundamentación teórica
Concepto de una derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el
resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función en un punto. (Julian, 2011)
Por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también
registra alteraciones.
La relación que existe entre la ingeniería mecánica y las derivadas es el cálculo de las
variables mecánica que deben activar o ser activadas por circuitos electrónicos (Presión,

4. 4
velocidad, presión etc.).La manera más eficiente en la que se relaciona la derivada y la
ingeniería mecánica es mediante la optimización matemática
Concepto de optimización matemática
En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un
tipo general de problemas matemáticos donde se desea elegir el mejor entre un conjunto
de elementos. Aglutina un conjunto de técnicas de modelización matemática que permite
dar respuesta a problemas de asignación o planificación óptima de recursos escasos y, en
general, apoyar de una forma eficiente el proceso de toma de decisiones.
Características de la optimización matemática
Hace uso de modelos matemáticos para dar la mejor respuesta a problemas complejos en
los cuales se quieren optimizar los recursos para alcanzar varios objetivos, reducir los
costes, maximizar los ingresos y minimizar el tiempo de respuesta.
Los modelos matemáticos permiten identificar la solución óptima donde encontrar el
punto de equilibrio que maximiza el cumplimiento de los objetivos marcados. (Arjen,
2021)
Clasificación de los tipos de optimización matemática
 Optimización clásica
Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número
de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya
que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.
 Optimización con restricción de desigualdad
Para problemas con restricciones de tipo desigualdad también existen métodos que en
muchos casos permiten encontrar los valores máximos o mínimos.
Si tanto restricciones como función objetivo son lineales, el problema se llama
de Programación lineal, y habitualmente se aborda aplicando algoritmos basados en
el álgebra lineal elemental, como los algoritmos de pivote y en especial los
llamados simplex primal y dual.

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Si estas condiciones no se cumplen, en algunos casos se puede aplicar las condiciones de
Karush-Kuhn-Tucker para encontrar los puntos críticos, que incluyen los máximos y
mínimos. No obstante, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker a veces no existen o son
insuficientes para hallar extremos.
 Optimización Estocástica
Cuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables
aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica. (Dutoit, 2013)
4. DESARROLLO
Problema 1
Un grupo de estudiantes de la carrera de mecánica están construyendo un prototipo de
un auto, por lo cual diseñaron un motor que consume 64𝑚3
de combustible ¿Qué
dimensiones debe tener el depósito de combustible para que su fabricación necesite la
menor cantidad de metal, si su fondo debe ser cuadrado?
𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠
-𝑉 = 64𝑚3
-𝐺𝑎𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
-Primero identifícanos las ecuaciones de volumen y base
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝑉 = 𝐴. 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑉 = 𝑋2
∙ 𝑌 = 64
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1: 64 = 𝑋2
∙ 𝑌
𝐴𝑟𝑒𝑎
𝐴. 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2𝑋2
𝐴. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 4𝑋 × 𝑌

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𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2: 𝐴. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑋2
∙ 4𝑋 ∙ 𝑌 ← 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟
--Despejamos una variable en este caso la Y
64 = 𝑋2
∙ 𝑌
𝑌 =
64
𝑋2
--Reemplazamos Y en la ecuación a minimizar
𝐴. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑋2
∙ 4𝑋 ∙ 𝑌
𝐴. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑋2
∙ 4𝑋 ∙
64
𝑋2
𝐴. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑋2
∙
256
𝑋
--Derivamos la ecuación
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 → 𝐴)
. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4𝑋 + 256 ∙ (−1) ∙ 𝑋−2
𝐴)
. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4𝑋 +
256 ∙ (−1)
𝑋2
𝐴)
. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4𝑋 −
256
𝑋2
--Igualamos a 0 la ecuación y despejamos la variable X
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 → 𝐴)
. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0
4𝑋 −
256
𝑋2
= 0
4𝑋3
− 256
𝑋3
= 0
4𝑋3
− 256 = 0
𝑋3
=
256
4
→ 𝑋3
= 64
𝑋 = √64
3
→ 𝑋 = 4𝑚 → Mínimo
--Remplazamos X

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𝑌 =
64
𝑋2 →
64
42 →
64
16
=4 𝑌 = 4𝑚
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂
Las dimensiones del depósito de gasolina deben ser: 𝑋 = 4𝑚 y 𝑌 = 4𝑚 para que se
utilice la menor cantidad de metal
 Gráfica de la función a minimizar
Ya que la principal dimensión para la construcción del depósito de gasolina es el ancho,
por lo tanto la función es 𝑓(𝑥) = 512𝑥

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Problema 2
Un ciudadano sufre un accidente automovilístico en donde el automóvil sufre bastante
daño, sin embargo el mayor daño es la rotura completa de la bomba hidráulica de forma
cilíndrica, pero el automóvil al ser un auto clásico sus repuestos son muy escasos, por
ende el ingeniero mecánico le da la alternativa de fabrica la bomba hidráulica de manera
provisional hasta encontrar el repuesto, la cual el ciudadano acepta.
El ingeniero Mecánico por experiencia y estudio sabe que la bomba hidráulica de manera
cilíndrica debe tener un volumen de 32cm3
ya que es estándar para la mayor parte de
autos clásicos y un mejor flujo de aceite. Se desea saber:
¿Cuál es el radio, la altura, el área para poder fabricar la bomba hidráulica de manera que
se utilice la menor superficie?
Datos:
V=32cm3
At=2pi(r)2
+2pi(r) h
Solución:
Se sabe que
Ecuación1:
𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟ℎ → 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟
Ecuación2:
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ → 32 = 𝜋𝑟2
ℎ → ℎ =
32
𝜋𝑟2
Por lo tanto se sustituye en la ecuación del área del cilindro:
AT = 2πr2
+ 2πr ∙
32
πr2
AT = 2πr2
+
64
r
Para determinar su radio se debe sacar su derivada:

9. 9
AT = 2πr2
+ 64r−1
AT = 4πr − 64r−2
AT = 4πr −
64
r2
Se iguala a 0 para determinar el radio(r):
4πr −
64
r2
= 0
4πr3
− 64
r2
= 0
Se deduce:
r = 0 y 4πr3
− 64 = 0
Entonces:
πr3
= 16 → r = 1.74cm
Para determinar si es mínimo se construye su segunda derivada:
𝐴´´𝑇 = 4𝜋𝑟 −
64
𝑟2
𝐴´´𝑇 = 4𝜋 + 128𝑟−3
𝐴´´𝑇 = 4𝜋 +
128
𝑟3
𝐴´´(1.74) = 4𝜋 +
128
(1.74)3
𝐴´´(1.74) = 4𝜋 + 24.30
𝐴´´(1.74) = 36.86 > 0 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
Se determina la altura (h):
h =
32
πr2
→ h = 6.75cm
Se determina el área:
𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ
𝐴𝑇 = 2𝜋(1.74)2 + 2𝜋(1.74)(6.75)

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𝐴𝑇 = 93.42𝑐𝑚3
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂
Las dimensiones (radio, altura y área) de la bomba hidráulica deben ser: r=1,74𝑐𝑚,
h=6,75 𝑐𝑚 y área = 93,42 𝑚3
para que se utilice la menor cantidad de material.
 Gráfica de la función a minimizar
Ya que la principal dimensión para la fabricación de la bomba hidráulica es la altura,
por lo tanto la función es 𝑓(𝑥) = 19 + 2𝜋

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Problema 3
En un fábrica de llantas trabaja una maquina especializada en realizar el labrado de las
mismas. A esta máquina se en un determinado tiempo aumenta y después desciende
nuevamente el desempeño sin tomar en cuenta el tiempo que esta descansa o el tiempo
que espera a que el caucho llegue a la maquina en el cual arroja la siguiente ecuación
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥+2 en cierto tiempo de trabajo continuo.
Encontrar cuando la maquina da su máximo y mínimo desempeño en el trabajo.
Denominamos dominio y rango
𝐷𝑜𝑚 = (−∞, ∞) ℝ
𝑅𝑎𝑛 = (−∞, ∞) ℝ
1.-Derivamos
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2
− 3
2.-Igualamos a cero y resolvemos la ecuación
3𝑥2
− 3 = 0
3𝑥2
= 3
𝑥2 =
3
3
𝑥2
= 1
𝑥 = ±√1
𝑥1 = 1 𝑥2 = −1
3.- Sacamos la segunda derivada
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2
− 3
𝑓 ´´(𝑥) = 6𝑥

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4.- Sustituimos las soluciones
𝑥1 = 1 𝑓 ´´(1) = 6(1) = 6 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑥2 = −1 𝑓 ´´(−1) = 6(−1) = −6 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
5.- Obtenemos las coordenadas
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2
𝑥1 = 1 𝑓 (1) = (1)3
− 3(1) + 2 = 0 (1,0) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑥2 = −1 𝑓 (1) = (−1)3
− 3(−1) + 2 = 4 (−1,4) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
Estos son los puntos en los cuales la maquina da su mejor desempeño y baja de igual
manera para después seguir una trayectoria normal
 Grafica de la función

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5. Conclusiones
-Como conclusión podemos llegar a definir que después de realizar el presente trabajo
comprendimos que es esencialmente conocer el proceso de derivación para de esta
manera poder resolver y cuestionar ejercicios o problemas que se nos puede presentar en
el diario vivir como es el caso de máximos y mínimos
-El tema de las derivadas es muy importante de comprender ya que tiene una importante
función y uso en cualquier trabajo relacionado a esta ciencia y su principal objetivo es
optimizar un sistema de funciones en uno más sencillo de entender y resolver
-Al tener conocimiento de un dato estándar para la fabricación o reconstrucción de un
artefacto en este un repuesto mecánico de automóvil se puede conocer la cantidad máxima
o mínima que se necesita en donde es fundamental el concepto y aplicación de la derivada
no solo en ingeniería mecánica sino en todas las carreras técnicas y administrativas, ya
que predice la resolución del problema
6. Bibliografía
Arjen, H. (26 de Febrero de 2021). Optimización matemática. Recuperado el 22 de Julio de
2021, de Decide: https://decidesoluciones.es/soluciones-tecnologicas/optimizacion-
matematica/
decide. (8 de Junio de 2018). Recuperado el 15 de Julio de 2021, de decide:
https://decidesoluciones.es/soluciones-tecnologicas/optimizacion-matematica/
Julian, P. (13 de Marzo de 2011). Definición de la derivada. Recuperado el 22 de Julio de 2021,
de Definición.DE: https://definicion.de/derivada/
Optimización (matemática). (2013). Recuperado el 15 de Julio de 2021, de Optimización
(matemática):
http://diccionario.sensagent.com/Optimizaci%C3%B3n%20(matem%C3%A1tica)/es-
es/