Problemas de optimización, maximización y minimización.

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA
CARRERA DE INGENIERÍA EN BIOTECNOLOGÍA
Nombres:
1. Álvarez Cristina
2. Guanoluisa Zuriel
3. Landázuri Anahí
4. Yánez Karen
NRC: 3258
Fecha: martes 27 de julio 2021
Período: Mayo 2021 _ Septiembre 2021

2. 1
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................2
OBJETIVOS................................................................................................................2
a) Objetivo general ................................................................................................2
b) Objetivos específicos ........................................................................................2
FUNDAMENTO TEÓRICO..........................................................................................2
DESARROLLO ...........................................................................................................4
CONCLUSIONES .......................................................................................................9
BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................................10

3. 2
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se desarrollarán ejercicios de aplicación de la derivada
relacionadas con la carrera de Ingeniería en Biotecnología. Aquí se emplearán
métodos aplicados de la derivada como el análisis y gráfica de funciones, optimización,
en donde se maximizarán o minimizarán valores de las variables que permitan la
resolución de los ejercicios propuestos y el entendimiento de los resultados obtenidos.
OBJETIVOS
a) Objetivo general
Emplear las aplicaciones de las derivadas en ejercicios propuestos, a través del
planteamiento de problemas de optimización relacionados al campo de la carrera de
la Ingeniería en Biotecnología, con el fin de analizar la resolución y desarrollo de dichos
enunciados para plantear una solución.
b) Objetivos específicos
• Analizar los métodos de aplicación de la derivada para la solución de los
problemas planteados.
• Esquematizar en diagramas las posibles variables y bases del ejercicio
propuesto para su solución.
• Graficar la maximización o minimización de las funciones obtenidas en los
problemas.
FUNDAMENTO TEÓRICO
La resolución de los problemas de optimización es uno de los métodos de aplicación
de la derivada, los cuales hacen referencia a la minimización o maximización de
cantidades y valores determinados de las variables propuestas en determinado
enunciado para obtener óptimas soluciones o una mejor formulación de los problemas
(Espinoza Ramos, 2002).
Minimización: encuentra cantidades mínimas o más bajas que representen a los
valores negativos que pueden ser tomados por las variables de un problema.

4. 3
Maximización: halla los valores positivos máximos a los que pueden llegar las
variables del problema para satisfacer el desarrollo y resolución del enunciado.
Este método se basa en el análisis de la segunda derivada, de modo que se tiene
que:
Si F es una función continua [a, b] y derivable ]a, b[ y P es un punto de inflexión de
F(x), tal que F’(x) = 0; en el análisis de la segunda derivada se entiende que:
• Si F”(x) > 0, la función tiene un punto mínimo en el punto; y
• Si F”(x) < 0, la función tiene un punto máximo en el punto.
Estrategias para resolver problemas de optimización
Según Larson, R. & Edwards, B., 2010 son:
1. Identificar el método de resolución para el ejercicio.
2. Reconocer todas las variables y cantidades tanto propuestas como las que se
van a determinar para la solución del problema.
3. En medida de lo posible, tratar de esquematizar la información del ejercicio y
sus variables en un dibujo.
4. Escribir una ecuación base que permita identificar las variables y la cantidad
que se va a minimizar o maximizar.
5. Simplificar la ecuación base a una solo variable, en este caso a la
independiente.
6. Si es el caso, emplear ecuaciones complementarias o secundarias que
relacionen todas las variables independientes de la ecuación base.
7. Determinar el dominio de la función.
8. Delimitar el valor mínimo o máximo, por medio del cálculo e igualación de la
primera derivada a cero y el análisis de la segunda.

5. 4
DESARROLLO
1. En una práctica de laboratorio se pretende realizar una electroforesis en gel
de agarosa con el fin de determinar los resultados de una PCR realizada con
anterioridad. Para la preparación del medio en el que se colocarán los ácidos
nucleicos se tiene cierta cantidad de agarosa en polvo, la cual debe ser
disuelta en 100 ml de tampón TBE, considerando que la adición de agarosa no
modifica el volumen del solvente. Después de haber realizado la solución se
la debe colocar en un molde cuya forma responde a un prisma rectangular con
base cuadrada. Calcular las dimensiones mínimas que debe tener el molde del
gel para almacenar todo el volumen.
Volumen = x2
L
100 cm3
= x2
L
Despejando L tenemos:
L =
100
x2
Reemplazando en la ecuación de la superficie:
Superficie = 2x2
+ 4xL
S(x) = 2x2
+ 4x (
100
x2 )
S(x) = 2x2
+
400
x
Derivando e igualando a cero se obtiene:
S´(x) = 4x −
400
x2
0 = 4x −
400
x2
x
L
x
Esquema del molde para la preparación del gel
de agarosa
Expresión para derivar

6. 5
0 = 4x3
– 400
Despejando x:
x = √100
3
= 4,642
Comprobación de que sea un mínimo mediante la segunda derivada:
S´´(x) = 4 +
800
x3
S´´(4.642) = 4 +
800
(4.642)3 = 11,99
x > 0
Reemplazando x en la ecuación del largo se consigue:
L =
100
x2 =
100
(4.642)2 = 4.64
Gráfica de la función que se derivó:
Sí corresponde a un mínimo
Las dimensiones mínimas del molde en el cual se pueda almacenar
todo el volumen del gel son largo= 4.64 cm, alto y ancho = 4.642

7. 6
2. Una estudiante de Ingeniería en Biotecnología realiza un proyecto que se basa
en un estudio epidemiológico. Aquí determina que el número de personas
afectadas por cierta enfermedad viene dado por la siguiente función 𝒇(𝒙) =
−𝟑𝒙𝟐
+ 𝟕𝟐𝒙 + 𝟐𝟒𝟑, en donde x es el número de días transcurridos desde que
se detectó la enfermedad en una persona dentro de una población definida.
Determinar: a) El número de días que han de transcurrir hasta que se
desaparezca la enfermedad. b) El número máximo de personas afectadas. c)
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.
a) La enfermedad desaparece cuando no hay ningún enfermo:
𝐹(𝑥) = 0
−3𝑥2
+ 72𝑥 + 243 = 0
𝑥 =
−72−
+
√722 − 4(−3) ∗ 243
−6
𝑥 =
−72−
+
√5184 + 2916
−6
=
−72−
+
√8100
−6
=
−72−
+
90
−6
𝑥 = {
𝑥1 =
−72 − 90
−6
= 27
𝑥2 =
−72 + 90
−6
= −3
Se toma el valor positivo ya que no tiene sentido que hayan transcurrido -3 días. Por
lo tanto, han de transcurrir 27 días para que desaparezca la enfermedad.
b) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2
+ 72𝑥 + 243 → 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓
𝑓′(𝑥)
= −6𝑥 + 72
−6𝑥 + 72 = 0
𝑥 =
72
6
= 12

8. 7
𝑓′(𝑥)
= −6 < 0 → 𝒙 = 𝟏𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐
El número máximo de personas enfermas se da a los 12 días, y el número máximo de
personas enfermas es:
𝑓(12) = −3(12)2
+ 72(12) + 243 = 675 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒆𝒏𝒇𝒆𝒓𝒎𝒂𝒔
c) La función f (x) es una parábola con coeficiente principal negativo, es decir, con
las líneas hacia abajo y un máximo en su vértice:
La enfermedad crecerá entre los días (0,12) y decrecerá entre los días (12,27).
• Gráfica de la función a maximizar

9. 8
3. En un laboratorio de Biotecnología, el presupuesto para materiales de
laboratorio ha incrementado en los últimos meses. Al realizar un estudio, se
delimitó que el mayor gasto del dinero se debía a la adquisición del agar
empleado en los cultivos de microorganismos como el de Escherichia coli. A
razón de ello se ha tratado de menorar este gasto con la compra exacta del
insumo, definiendo un cierto volumen para cada caja Petri, sin embargo
¿cuáles serían las dimensiones mínimas de la caja Petri para almacenar un
volumen de 4,5 cm3
de agar?
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝑏 𝑉 = 4,5𝑐𝑚3
𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2
→ 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 4,5𝑐𝑚3
= 𝜋𝑟2
ℎ
𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟 (
4,5
𝜋𝑟2) + 2𝜋𝑟2 4,5
𝜋𝑟2 = ℎ
𝐴𝑇 = 2(
4,5
𝑟
) + 2𝜋𝑟2
→ 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒓
0 = −(
9
𝑟2) + 4𝜋𝑟 𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒋𝒂 𝑷𝒆𝒕𝒓𝒊
0 = −9 + 4𝜋𝑟3 4,5
𝜋(0,89)2 = ℎ
𝑟 = √
9
4𝜋
3
→ 0,894 1,60 = ℎ
• 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐
𝐴𝑇 = − (
9
𝑟2) + 4𝜋𝑟 → 𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

10. 9
𝐴𝑇 = (
18
𝑟3) + 4𝜋 > 0 → 𝑺𝒊 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆
• Gráfica de la función a minimizar
CONCLUSIONES
Las aplicaciones de las derivadas resultan ser un método muy efectivo para la
resolución de ejercicios presentes tanto en la vida diaria, prácticas de laboratorio,
desarrollo de informes y problemas de un estudiante de cualquier área científica o
social como la Ingeniería en Biotecnología perteneciente a ciencias de la vida.
Este proceso permite reconocer las mejores propuestas de solución para problemas
desarrollados en una circunstancia determinada, haciendo acertada la intervención de
cálculos matemáticos relacionados con el cálculo diferencial y el álgebra. En mucho
de los casos la aplicación de la maximización y minimización de variables permitirán
esclarecer el contexto y circunstancia de los problemas presentes, brindando una base
para la toma de decisiones o la prevención de situaciones no deseadas.

11. 10
BIBLIOGRAFÍA
Académia de Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional. (Julio de 2011). GUÍA DE
APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Obtenido de Instituto Politécnico
Nacional:
https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/ca
lculo-diferencial.PDF
Demidovich, B. (1967). Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Moscú:
Editorial MIR.
Espinoza Ramos, E. (2002). Aplicaciones de la derivada. En E. Espinoza Ramos,
Análisis Matemático I, para estudiantes de Ciencias e Ingenierías (pág. 612).
Lima: edukperú.
Gutuérrez, J., & Quintas, I. (2016). El cálculo de variaciones aplicado a problemas de
las ciencias sociales. Obtenido de Scielo:
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0188-
77422016000200211
Larson, R. & Edwards, B. (2010). Cálculo 1, de una variable (9 ed). México:
McGrawHill.