En esta temática se hablara sobre como calcular los centros de masa de un objeto.

1. 1
ÁREA DE FÍSICA
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
ESPE SEDE LATACUNGA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
GUÍA DE PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL
CARRERA
CÓDIGO DE LA
ASIGNATURA
NOMBRE DE LA ASIGNATURA
AUTOMOTRIZ
ELECTROMECÁNICA
ELECTRÓNICA
PETROQUÍMICA
MECATRÓNICA
SOFTWARE_X_
EXCT A0201, EXCT
A0303, EXCT A0302
Física I
NRC: _____4173______
PRÁCTICA
N°
LABORATORIO DE: LABORATORIO DE FÍSICA
DURACIÓN
(HORAS)
1 TEMA:
CENTROS DE MASA
2
1 OBJETIVO
Objetivo General:
 Calcular el centro de masa de las figuras de cada objeto.
Objetivos Específicos:
 Analizar diferentes posiciones de equilibrio de diferentes masas.
 Describir la trayectoria en saltos, ya que su trayectoria no puede ser modificada una vez que
se pierde el contacto con el suelo, aunque se muevan los segmentos
 Conocer el lugar de en torno al que se producen los giros en el aire, ya que cualquier cuerpo
en el aire gira entorno a si eje o mejor conocido como su centro de gravedad.
 Describir trayectorias de desplazamientos de jugadores en deportes de cancha. El centro de
gravedad es un punto caracterizado del cuerpo y se puede utilizar como resumen del
deportista para analizar por donde se mueve el terreno de juego.

2. 2
ÁREA DE FÍSICA
2
INSTRUCCIONES:
PRÉSTAMO DE MATERIALES Y EQUIPAMIENTO
A. El jefe del Laboratorio es el responsable del préstamo de equipos y computadores,
B. El docente es el responsable de la supervisión en el Laboratorio y guiado de los alumnos en el uso de ciertos
equipos o instrumentos.
C. El material del Laboratorio sólo podrá ser utilizado por los usuarios inscritos en los cursos asociados al
Laboratorio.
D. El material del Laboratorio sólo podrá ser utilizado en el Laboratorio.
E. El usuario deberá entregar su credencial de alumno para el préstamo de materiales y firmar la hoja de
préstamo.
DAÑOS A LOS MATERIALES Y EQUIPAMIENTO
A. El daño o pérdida del material en préstamo es de entera responsabilidad de los usuarios (alumnos y/o
investigadores)que hayan solicitado el material prestado.
B. Los usuarios deberán pagar la reposición del material que solicitaron en caso que éste sea perdido o
dañado
RECOMENDACIONES DEL USO DE LOS EQUIPOS
A. No apagar los equipos intempestivamente.
B. No golpear los monitores, teclados,mouse, CPU.
A. EQUIPO Y MATERIALES NECESARIOS
Tabla 1. Equipos y materiales de la práctica 4
Material Características Cantidad Código
A
Computador
DESKTOP-LCPE1A9
Intel(R) Core (TM) i3-2328M CPU
@ 2.20GHz 2.20 GHz
1
00327-
60000-
00000-
AA377
B
Tijeras
Sirven para cortar materiales de hojas
muy finas.
1 S/N
C Cartulina Es de papel y sirve para varias cosas 1 S/N
D
Aguja
Sirve para coser una prenda de tela u
otra cosa
1 S/N
E Papel-Hoja de
papel milimétrico
Hoja en que puedes dar datos
sumamente pequeños de ahí el
1 S/N

3. 3
ÁREA DE FÍSICA
nombre.
F
Regla
Es para medir cuanto tiene de largura
un objeto o a su ancho.
1 S/N
G
Esfero
Es para escribir en una hoja de papel
u otra materia.
1 S/N
H
Estilete
Sirve para cortar cosas como hojas u
otros objetos.
1 S/N
I
Plastilina
Masa que permite moldear a su
manera a como lo desee
1 S/N
j
Modellus X
Programa que permite ver variables
físicas de cualquier objeto en el
espacio
1 S/N
Gráfico1. Imagen de los objetos
Gualpa B, 2021
B. TRABAJO PREPARATORIO:
B.1 CENTROS DE MASA:
El centro de masa es una posición definida en relación a un objeto o a un sistema de objetos. Es el
promedio de la posición de todas las partes del sistema ponderadas de acuerdo a sus masas.
Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de masas se ubica en el centroide es
decir en el centro del objeto. Por ejemplo, el centro de masa de un disco uniforme estaría en el
centro. Algunas veces el centro de sus masas no está en ningún lado sobre el objeto. El centro de
masas de un anillo, por ejemplo, esta ubicado en su centro en donde no hay material.[1]
B.2 MOVIMIENTO DE TRASLACION DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
B.2.1¿Qué son los centros de masas?

4. 4
ÁREA DE FÍSICA
Lo interesante acerca del centro de masa de un objeto o de un sistema es que es el punto en donde
actúa cualquier fuerza uniforme sobre el objeto. Esto es útil porque facilita resolver problemas de
mecánica en donde tenemos que describir el movimiento de objetos con formas raras y de sistemas
complicados. Estas formulas se pueden generalizar para un sistema “n” partículas las cuales se
encuentran en el espacio. Por tanto, en términos generales.[2]
𝑥
⃗ =
∑ 𝑚𝑖∗𝑥𝑖
∑ 𝑚𝑖
, 𝑦
⃗⃗⃗⃗ =
∑ 𝑚𝑖∗𝑦𝑖
∑ 𝑚𝑖
(1)
B.2.2 ¿Vector de posición del centro de masas?
El vector de posición del centro de masas se define como
Gráfico 4 Elementos de las leyes de Newton
Figura 1 Vectores posición (López, 2008) [3]
𝑟
⃗𝐶𝑀 =
∑ 𝑚𝑖
𝑁
𝑖=1 ∗𝑟𝑖
∑ 𝑚𝑖
𝑁
𝑖=1
(2)
𝑟
⃗𝐶𝑀 =
1
𝑀
∑ 𝑚𝑖 ∗ 𝑟𝑖
𝑁
𝑖=1 (3)
Donde Mes la masa total del sistema de partículas. La posición de centro de masas no tiene por qué
coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es decir, simplemente un punto en
el espacio.
B.2.3 Velocidad de centro de masas:
La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector posición:
𝑉
⃗⃗
𝐶𝑀 =
𝑑𝑟
⃗𝐶𝑀
𝑑𝑡
=
1
2
𝑑
𝑑𝑡
∑ 𝑚𝑖 ∗ 𝑟𝑖 =
1
𝑀
𝑁
𝑖=1 ∑ 𝑚𝑖
𝑑𝑟
⃗𝑖
𝑑𝑡
=
1
𝑀
𝑁
𝑖=1 ∑ 𝑚𝑖 ∗ 𝑣𝑖
𝑁
𝑖=1 (4)
El segundo de miembro de la ecuación anterior es el momento lineal total del sistema de partículas
dividido por la masa total del sistema, por lo que estas ultimo puede obtenerse a partir de la
velocidad del centro de masas.[4]
𝑉
⃗⃗
𝐶𝑀 =
1
2
𝑝
⃗𝑡𝑜𝑡 (5)
𝑝
⃗𝑡𝑜𝑡 = 𝑀 𝑉
⃗⃗
𝐶𝑀 = 𝑝
⃗𝐶𝑀(6)
Este último resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partículas es igual al
momento lineal que tendría la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de
translación del sistema de partículas está representado por el de su centro de masas.
Si colocamos un sistema de referencias en el centro de masas de partículas aislado, dicho sistema de
referencia es inercia. Resulta particularmente estudiar las colisiones.[5]

5. 5
ÁREA DE FÍSICA
B.24 Aceleración del centro de masas:
Cuando un sistema de partículas no esta aislado, sobre el actuarán fuerzas internas y externas,
representadas respectivamente en la siguiente Figura (a) en rojo y el verde; por tanto, las partículas
de dicho sistema tendrán en general aceleración, y el centro de masas también estará acelerado.[6]
Gráfico 2 Aceleración del centro de masas
Para calcular la aceleración del centro de masas del sistema, vamos a aplicar la segunda ley de
Newton a cada una de las partículas del sistema.[7]
Masa1:
𝑑𝑝
⃗⃗⃗⃗⃗⃗1
𝑑𝑡
= 𝐹1 + 𝐹12 (7)
Masa2:
𝑑𝑝
⃗⃗⃗⃗⃗⃗2
𝑑𝑡
= 𝐹2 + 𝐹21 (8)
Sumando ambas daría lo siguiente:
𝑑(𝑝1+𝑝2)
𝑑𝑡
= 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹12 + 𝐹21 (9)
En el primer miembro aparece la derivada del momento lineal total del sistema (igual al momento de
su centro de masas), y en el segundo miembro la suma de las fuerzas internas se anula puesto que
cumplen la tercera ley de Newton.[9]
Entonces la expresión que queda es la siguiente:
𝑑
𝑑𝑡
(𝑃𝑐𝑚) = 𝑀𝑎𝐶𝑀 = 𝐹1 + 𝐹2 (10)
Para un sistema constituido por N partículas, el segundo miembro es la suma de las fuerzas externas
que actúan sobre el sistema, por lo tanto:
𝑀𝑎𝐶𝑀 = ∑ 𝐹
⃗𝑒𝑥𝑡 (11)
La aceleración del centro de masas de un sistema de partículas es debida únicamente a las fuerzas
externas que actúan sobre el sistema.
B.3 EQUILIBRIO EN CENTROS DE MASAS
Para la Física, el equilibrio es el estado de un sistema en el que coexisten simultáneamente dos o
más componentes que se contrarrestan recíprocamente las cuales llevan a anularse. Pueden
presentarse en un cuerpo estático, no sujeto a ningún tipo de modificación, sea de traslación o de
rotación; o en un cuerpo en movimiento. Este último puede generar equilibrio.

6. 6
ÁREA DE FÍSICA
Equilibrio estable: Aquel que vuelve a su misma posición desde donde partió, un péndulo seria
perfectamente la ilustración que esperamos.[10]
Gráfico 3 equilibrio estable
Equilibrio inestable: En el que después de una perturbación el objeto se aleja de su posición inicial
para alcanzar usualmente, su posición de equilibrio que es estable pero muy a la vez inestable.
Gráfico 4 equilibrio inestable.
B.4 CENTROIDES
El centroide es un concepto que es derivado del centro de masas y puramente es geométrico, que
depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras
que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.[10]
En general el centro de masas se puede encontrar en la suma vectorial ponderando los vectores de
posición, la cual apunta al centro de masa de cada objeto en un sistema.
En un sistema de dos dimensiones podríamos decir que:[11]
𝑋
⃗𝑐𝑚 =
𝑚1∗𝑥1+𝑚2∗𝑥2+𝑚3∗𝑥3…..
𝑚1+𝑚2+𝑚3….
(12)
(11)
De la misma manera para el eje Y:[11]
𝑌
⃗⃗𝑐𝑚 =
𝑚1∗𝑦1+𝑚2∗𝑦2+𝑚3∗𝑦3…..
𝑚1+𝑚2+𝑚3….
(13)

7. 7
ÁREA DE FÍSICA
De la misma manera más simplificada obtenemos que:
𝑋
⃗𝑐𝑚 =
∑ 𝑚𝑖∗𝑟𝑖
𝑀
(14)
El centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un campo
gravitatorio uniforme en el cual el módulo y la dirección de la fuerza de gravedad son constantes.
Grafico 5 Centroides.
B.5 PRIMEROS MOMENTOS DE LINEAS Y AREAS:
Una forma de analizar los primeros momentos en un área o línea es mediante cuatro propiedades
como son: si existen un eje de simetría, el centroide se ubica sobre este, porque su primer momento
estático con relaciona dicho eje es igual a cero.[12]
Gráfico 6 líneas y áreas de segmentos de masas.

8. 8
ÁREA DE FÍSICA
B.6 TEOREMA DE VARIGNON
El teorema de Varignon sus bases en la geometría euclidiana. A través del enunciado se establece
que se puede formar un paralelogramo a partir de la unión de los puntos medios de un cuadrilátero.
Se dice que, si este es plano y convexo, entonces el paralelogramo que se forma tiene un área
equivalente a la mitad del cuadrilátero original.[13]
Gráfico 7 del teorema de Varignon.
El centro de masa se suele calcular de cualquier figura y se la puede dividir en el número de partes
que uno se desee calcular así se divida miles de veces la respuesta cera siempre la misma aquí
generalmente se utiliza el teorema de Varignon la cual nos dice los siguiente:[14]
∑ 𝑡 ∗ 𝐹𝑇 ∗ 𝑟 (15)
∑ 𝑡 ∗ 𝑚𝑇 ∗ 𝑔 ∗ 𝑟 (16)
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + 𝑡4 = 𝑚𝑇 ∗ 𝑔 ∗ 𝑟 (17)
𝑚1 ∗ 𝑔 ∗ 𝑟1 + 𝑚2 ∗ 𝑔 ∗ 𝑟2 + 𝑚3 ∗ 𝑔 ∗ 𝑟3 + 𝑚4 ∗ 𝑔𝑟4 = 𝑚𝑇 ∗ 𝑔 ∗ 𝑟 (18)
𝑚1 ∗ 𝑟1 + 𝑚2 ∗ 𝑟2 + 𝑚3 ∗ 𝑟3 + 𝑚4 ∗ 𝑟4 = 𝑚𝑇 ∗ 𝑔 ∗ 𝑟 (19)
𝑟 =
𝑚1∗𝑟1+𝑚2∗𝑟2+𝑚3∗𝑟3+𝑚4∗𝑟4
𝑚𝑟
(20)
Para encontrar masas en tres dimensiones no es nada que calcular en otro vector que sería en el eje
de las Z. Estas ecuaciones se las puede utilizar solo cuando el ejercicio nos de como dato las masas
del sistema.[15]
𝐶𝑀𝑥 =
𝑚1∗𝑥1+𝑚2∗𝑥2+𝑚3∗𝑥3+𝑚4 ∗𝑥4….
𝑚𝑇
(21)
𝐶𝑀𝑦 =
𝑚1∗𝑦1+𝑚2∗𝑦2+𝑚3∗𝑦3+𝑚4∗𝑦4….
𝑚𝑇
(22)
𝐶𝑀𝑧 =
𝑚1∗𝑧1+𝑚2∗𝑧2+𝑚3∗𝑧3+𝑚4∗𝑧4….
𝑚𝑇
(23)
Cuando no tenemos como datos las masas del sistema podemos calcular en centro de masas
mediante la superficie quedándonos unas ecuaciones como estas:[16]

9. 9
ÁREA DE FÍSICA
𝐶𝑀𝑥 =
𝐴1∗𝑥1+𝐴2∗𝑥2+𝐴3∗𝑥3+𝐴4∗𝑥4….
𝐴𝑇
(24)
𝐶𝑀𝑦 =
𝐴1∗𝑦1+𝐴2∗𝑦2+𝐴3∗𝑦3+𝐴4∗𝑦4….
𝐴𝑇
(25)
𝐶𝑀𝑧 =
𝐴1∗𝑧1+𝐴2∗𝑧2+𝐴3∗𝑧3+𝐴4∗𝑧4….
𝐴𝑇
(26)
Aquí determinamos el área de cada figura y la reemplazaríamos en las ecuaciones.
Para poder medir sus centros de masas mediante su volumen las ecuaciones nos quedarían de la
siguiente forma:[17]
𝐶𝑀𝑥 =
𝑉1∗𝑥1+𝑉2∗𝑥2+𝑉3∗𝑥3+𝑉4∗𝑥4….
𝑉𝑇
(27)
𝐶𝑀𝑦 =
𝑉1∗𝑦1+𝑉2∗𝑦2+𝑉3∗𝑦3+𝑉4∗𝑦4….
𝑉𝑇
(28)
𝐶𝑀𝑧 =
𝑉1∗𝑧1+𝑉2∗𝑧2+𝑉3∗𝑧3+𝑉4∗𝑧4….
𝑉𝑇
(29)
Para calcular su centro de masas mediante su densidad:[18]
𝐶𝑀𝑥 =
𝑝1∗𝑥1+𝑝2∗𝑥2+𝑝3∗𝑥3+𝑝4∗𝑥4….
𝑝𝑇
(30)
𝐶𝑀𝑦 =
𝑝1∗𝑦1+𝑝2∗𝑦2+𝑝3∗𝑦3+𝑝4∗𝑦4….
𝑝𝑇
(31)
𝐶𝑀𝑧 =
𝑝1∗𝑧1+𝑝2∗𝑧2+𝑝3∗𝑧3+𝑝4∗𝑧4….
𝑝𝑇
(32)
Y finalmente cuando tenemos el peso específico se expresaría con la siguiente ecuación:
Con estas ecuaciones podremos calcular los centros de masa de cada cuerpo geométricamente en
cual se nos permitirá cumplir con cada ecuación en las cuales se van a cumplir, cabe recordar que
estas figuras pueden ser en 2D y en 3D.
Para calcular el área del centro de masas de placas planas irregulares formadas por dos curvas
utilizaremos la siguiente ecuación:
𝐶𝑀𝑧∫ [𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
4
0
(33)
Y para encontrar su centro de masa en las coordenadas X y Y:[19]
𝑥
⃗ =
1
𝐴
∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
4
0
(34)
𝑦
⃗ =
1
2𝐴
∫ [(𝑓(𝑥))
2
− (𝑔(𝑥))2
]𝑑𝑥
4
0
(35)
Para calcular el área del centro de masa de placas planas irregulares formadas por una curva
utilizaremos la siguiente ecuación:
𝐴 ∫ [𝑓(𝑥)]𝑑𝑥
2
−8
(36)
Y para encontrar su centro de masa en las coordenadas X y Y:[20]
𝑥
⃗ =
1
𝐴
∫ [𝑓(𝑥)]𝑑𝑥
2
−8
(37)

10. 10
ÁREA DE FÍSICA
𝑦
⃗ =
1
2𝐴
∫ [𝑓(𝑥)]2
𝑑𝑥
4
0
(38)
3 ACTIVIDADES A DESARROLLAR
PROCEDIMIENOT DE LA ELABORACION DE LAS FIGURAS
Procedimiento Ensayo 1:
1. Crear un diseño de una placa plana irregular con 7 dimensiones.
2. Proceder a crear en el programa Interactive Physical para tener un poco de conocimiento en
donde va a quedar el centro de masa
3. Proceder a formar nuestra pieza escogida.
4. Ya con nuestra figura plana ya realizada procederemos a tomar el centro de gravedad de cada
una de las dimensiones.
5. Ya una vez teniendo del centro de gravedad de cada una de las figuras procederemos a sacar
el área de cada una de las figuras inscritas en nuestra figura.
6. Aplicamos la formula donde multiplicamos el área por cada componente X y Y dividirlo por
la masa total y así lograr tener una componente final y así se logrará tener el centro de
gravedad.
Procedimiento Ensayo 2:
1. Tener en cuenta cual figura vamos a proceder a realizar.
2. Conseguir los materiales como son tijeras un jabón y una regla.
3. Ya una vez teniendo los materiales procederemos a la construcción de nuestro prisma y
cuidadosamente para lograr que quede a la perfección.
4. Cuidadosamente vamos cortándolos lados del jabón.
5. Y por último solo lo tratamos de que quede mejor y lo arreglémonos a gusto propio.
Procedimiento del Ensayo 3
1. Con las dos funciones ya dadas procedemos a calcular el centro de masa para lo cual es el
procedimiento
2. Lo primero que realice fue igualar las dos funciones y luego sacar el límite que va a tener el
área de mi función.
3. Integre las dos funciones para lograr obtener su área y así lograra utilizar en las ecuaciones
posteriores.
4. Y así después lograr las componentes de X como Y, y así se logrará sacar el centro de
gravedad de las dos funciones ya conocidas.
5. Por último, procedemos a plasmarlo en una cartulina y así mirar si los resultados obtenidos
son los requeridos y si están bien.
Procedimiento del Ensayo 4
1. Con las dos funciones ya dadas procedemos a calcular el centro de masa para lo cual es el
procedimiento
2. Lo primero que realice fue igualar las dos funciones y luego sacar el límite que va a tener el
área de mi función.
3. Integre las dos funciones para lograr obtener su área y así lograra utilizar en las ecuaciones
posteriores.
4. Y así después lograr las componentes de X como Y, y así se logrará sacar el centro de
gravedad de las dos funciones ya conocidas.
5. Por último, procedemos a plasmarlo en una cartulina y asi mirar si los resultados obtenidos

11. 11
ÁREA DE FÍSICA
son los requeridos y si están bien.
4 RESULTADOS OBTENIDOS
CALCULOS:
ENSAYO 1.-PLACA PLANA REGULAR CON SIETE DIMENSIONES:
CALCULO DEL CENTRO DE MASAS
Tabla 1. Datos Ejercicio 1
Parámetro
físico
Dimensión Símbolo Unidades
Figura
1
Figura
2
Figura
3
Figura
4
Figura
5
Figura
6
Área 𝐿2
A 𝑐𝑚^2 5 5.5 4.5 7 11 22
Altura L ℎ 𝑐𝑚 5 3 2 3 5 10
Base L b 𝑐𝑚 3 3 2 2 2 2
Figura 7
30
8
4
Tabla 2 del ensayo 1
Coordenadas Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7
𝑥
⃗ 1.5 9 7 3 3 -1 5
𝑦
⃗ 0 -2 -8 -7 -4 0 -3

12. 12
ÁREA DE FÍSICA
Centros de masa en función de su superficie:
𝐴1 =
𝑏 ∗ ℎ
2
𝐴1 =
3 ∗ 5
2
𝐴1 = 7.5 𝑐𝑚2
𝑐𝑔1 = (1.5𝑐𝑚; 0𝑐𝑚)
𝐴2 =
𝑏 ∗ ℎ
2
𝐴2 =
3 ∗ 3
2
𝐴2 = 4.5 𝑐𝑚2
𝑐𝑔2 = (9𝑐𝑚 ;−2𝑐𝑚 )
𝐴3 =
𝑏 ∗ ℎ
2
𝐴3 =
2 ∗ 2
2
𝐴3 = 2 𝑐𝑚2
𝑐𝑔3 = (7𝑐𝑚; −8𝑐𝑚)
𝐴4 = 𝑏 ∗ ℎ
𝐴4 = 2 ∗ 2
𝐴4 = 4 𝑐𝑚2
𝑐𝑔4 = (3𝑐𝑚; −7𝑐𝑚)
𝐴5 = 𝑏 ∗ ℎ
𝐴5 = 2 ∗ 5
𝐴5 = 10 𝑐𝑚2
𝑐𝑔5 = (3𝑐𝑚 ;−4𝑐𝑚)
𝐴6 = 𝑏 ∗ ℎ
𝐴6 = 2 ∗ 10
𝐴6 = 20 𝑐𝑚2

13. 13
ÁREA DE FÍSICA
𝑐𝑔6 = (0𝑐𝑚 ;−1 𝑐𝑚)
𝐴7 = 𝑏 ∗ ℎ
𝐴7 = 4 ∗ 8
𝐴7 = 32 𝑐𝑚2
𝑐𝑔7 = (5𝑐𝑚 ;−3𝑐𝑚)
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 + 𝐴5 + 𝐴6 + 𝐴7
𝐴𝑇 = 7.5 𝑐𝑚2
+ 4.5 𝑐𝑚2
+ 2 𝑐𝑚2
+ 4 𝑐𝑚2
+ 10 𝑐𝑚2
+ 20 𝑐𝑚2
+ 32 𝑐𝑚2
𝐴𝑇 = 80 𝑐𝑚2
𝑥
⃗ =
𝐴1 ∗ 𝑥1 + 𝐴2 ∗ 𝑥2 + 𝐴3 ∗ 𝑥3 + 𝐴3 ∗ 𝑥3 + 𝐴4 ∗ 𝑥4 + 𝐴5 ∗ 𝑥5 + 𝐴6 ∗ 𝑥6 + 𝐴7 ∗ 𝑥7
𝐴𝑇
𝑥
⃗ =
7.5 𝑐𝑚2
∗ 1.5𝑐𝑚 + 4.5 𝑐𝑚2
∗ 9𝑐𝑚 + 2 𝑐𝑚2
∗ 7𝑐𝑚 + 4 𝑐𝑚2
∗ 3𝑐𝑚 + 10 𝑐𝑚2
∗ 3𝑐𝑚 + 20 𝑐𝑚2
∗ 0 + 32 𝑐𝑚2
∗ 5𝑐𝑚
80 𝑐𝑚2
𝑥
⃗ = 3,2343 𝐶𝑀
𝑦
⃗ =
𝐴1 ∗ 𝑦1 + 𝐴2 ∗ 𝑦2 + 𝐴3 ∗ 𝑦3 + 𝐴3 ∗ 𝑦3 + 𝐴4 ∗ 𝑦4 + 𝐴5 ∗ 𝑦5 + 𝐴6 ∗ 𝑦6 + 𝐴7 ∗ 𝑦7
𝐴𝑇
𝑦
⃗ =
7.5 𝑐𝑚2
∗ 0𝑐𝑚 + 4.5 𝑐𝑚2
∗ (−2𝑐𝑚) + 2 𝑐𝑚2
∗ (−8𝑐𝑚)+ 4 𝑐𝑚2
∗ (−7𝑐𝑚)+ 10 𝑐𝑚2
∗ (−4𝑐𝑚)+ 20 𝑐𝑚2
∗ (−1 𝑐𝑚)+ 32 𝑐𝑚2
∗ (−3𝑐𝑚)
80 𝑐𝑚2
𝑦
⃗ = −2.6125 𝐶𝑀
Parámetros físicos Coordenadas
𝑥
⃗ 3,2343
𝑦
⃗ -2.6125
Tabla 3 del ensayo 1.
ENSAYO 2.- CENTRO DE GRAVEDAD DE UN PRISMA

14. 14
ÁREA DE FÍSICA
Figura1 Prismas en 3D.
CALCULO DE LA FIGURA 1
𝑉1 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑉1 = 3.5 𝑐𝑚 ∗ 1,1 𝑐𝑚 ∗ 2.2 𝑐𝑚
𝑉1 = 8,47 𝑐𝑚
𝑐𝑔1 = (1,3; 1,8; 1.3)𝑐𝑚
CALCULO DE LA FIGURA 2
𝑉2 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑉2 = 2.5 𝑐𝑚 ∗ 1 𝑐𝑚 ∗ 3.2 𝑐𝑚
𝑉2 = 8 𝑐𝑚
𝑐𝑔1 = (2; 0,6; 1.5)𝑐𝑚
𝑉𝑇 = 8,47 + 8
𝑉𝑇 = 16.47𝑐𝑚
𝑥
⃗ =
𝑉1 ∗ 𝑥1 + 𝑉2 ∗ 𝑥2 + 𝑉3 ∗ 𝑥3 + 𝑉4 ∗ 𝑥4… .
𝑉𝑇
𝑥
⃗ =
8,47 ∗ 1.8 + 8 ∗ 0,6
16.47 𝑐𝑚
𝑥
⃗ = 1,6400 𝑐𝑚
𝑦
⃗ =
𝑉1 ∗ 𝑦1 + 𝑉2 ∗ 𝑦2 + 𝑉3 ∗ 𝑦3 + 𝑉4 ∗ 𝑦4… .
𝑉𝑇
𝑦
⃗ =
8,47 ∗ 1.3 + 8 ∗ 2
16.47 𝑐𝑚
𝑦
⃗ = 1,5646 𝑐𝑚

15. 15
ÁREA DE FÍSICA
𝑧
⃗ =
𝑉1 ∗ 𝑧1 + 𝑉2 ∗ 𝑧2 + 𝑉3 ∗ 𝑧3 + 𝑉4 ∗ 𝑧4… .
𝑉𝑇
𝑧
⃗ =
8,47 ∗ 1.3 + 8 ∗ 1.5
16.47 𝑐𝑚
𝑧
⃗ = 1,3217 𝑐𝑚
Parámetros físicos Coordenadas
𝑥
⃗ 1,6400
𝑦
⃗ 1,5646
𝑧
⃗ 1,3217
Tabla 4 del ensayo 2.
Parámetro físico Dimensión Símbolo Unidades Figura 1 Figura 2
Volumen 𝐿2
v 𝑐𝑚^3 𝑐𝑚^3 𝑐𝑚^3
Base L B 𝑐𝑚^2 3.5 𝑐𝑚 2.5 𝑐𝑚
Altura L ℎ 𝑐𝑚 2.2 𝑐𝑚 3.2 𝑐𝑚
Ancho L a 𝑐𝑚 1,1 𝑐𝑚 1 𝑐𝑚
Tabla 5 del ensayo 2.
ENSAYO 3.- CENTRO DE MASA DE PLACAS PLANAS FORMADAS POR DOS CURVAS:
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
𝑥2
= 𝑥 + 1 = 0
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = −1
Calculamos el área de las dos funciones con la siguiente ecuación

16. 16
ÁREA DE FÍSICA
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝐴 = ∫ [𝑥2
− (𝑥 + 1)]𝑑𝑥
1
−1
𝐴 = ∫ [𝑥2
− 𝑥 − 1]𝑑𝑥
1
−1
𝐴 = ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 1∫ 𝑑𝑥
1
−1
1
−1
1
−1
𝐴 =
1
3
𝑥3
−
1
2
𝑥2
− 1𝑥2
𝐴 = −
4
3
𝐴 = 1,3333 𝑢2
Para calcular cual es la coordenada en eje x se aplica la siguiente ecuación.
𝑥
⃗ =
1
𝐴
∫ 𝑥(𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑥
⃗ =
1
4
3
∫ 𝑥(𝑥 + 1 − 𝑥2)𝑑𝑥
1
−1
𝑥
⃗ =
1
4
3
∫ 𝑥2
+ 𝑥 − 𝑥3
𝑑𝑥
1
−1
𝑥
⃗ =
1
4
3
∫ 𝑥2
𝑑𝑥 +
1
12
∫ 𝑥𝑑𝑥 −
2
9
∫ 𝑥3
𝑑𝑥
1
−1
1
−1
1
−1
𝑥
⃗ =
1
4
3
∗
2
3
+ 0 − 0
𝑥
⃗ =
1
2
𝑥
⃗ = 0,5
Para calcular cual es la coordenada en el eje y se aplica la siguiente ecuación
𝑦
⃗ =
1
2𝐴
∫ (𝑔(𝑥)2
− 𝑓(𝑥)2
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑦
⃗ =
3
8
∫ (𝑔(𝑥)2
− 𝑓(𝑥)2
)𝑑𝑥
1
−1
𝑦
⃗ =
3
8
∫ (𝑥2
+ 1) − (𝑥2)2
𝑑𝑥
1
−1

17. 17
ÁREA DE FÍSICA
𝑦
⃗ =
3
8
∫ 𝑥2
𝑑𝑥 +
1
−1
∫ 1𝑑𝑥 − ∫ (𝑥2)2
1
−1
1
−1
𝑦
⃗ =
2
3
+ 2 −
2
5
𝑦
⃗ =
2
3
+ 2 −
2
5
𝑦
⃗ =
34
15
𝑦
⃗ =
3
8
∗
34
15
𝑦
⃗ =
17
20
𝑦
⃗ =
17
20
𝑦
⃗ = 0,85
Tabla 6 del Ensayo 3
Parámetros físicos Coordenadas
𝑥
⃗ 0,5
𝑦
⃗ 0,85
ENSAYO 4.- CENTRO DE MASAS PLANAS EN UNA CURVA
𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 − 1
Para calcular los puntos de intersección igualamos las dos ecuaciones
𝑓(𝑥) = 0
𝑥2
2𝑥 − 1 = 0
𝑥1 = 1 + √2
𝑥2 = 1 − √24
Calculamos el área de las dos funciones con la siguiente ecuación

18. 18
ÁREA DE FÍSICA
𝐴 = ∫ (𝑓(𝑥))∗ 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝐴 = ∫ (𝑥2
− 2𝑥 − 1) ∗ 𝑑𝑥
1+√2
1−√2
𝐴 = ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
1+√2
1−√2
∫ 2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 1𝑑𝑥
1+√2
1−√2
1+√2
1−√24
𝐴 =
(1 + √2) − (1 − √2)
3
− 6 + √2
𝐴 = −
8√2
3
𝐴 = 3,7712 𝑢2
Para sacar el momento en x:
𝑥
⃗ =
1
𝐴
∫ 𝑥(𝑓(𝑥))𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑥
⃗ =
1
𝐴
∫ 𝑥((𝑥2
− 2𝑥 − 1))𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑥
⃗ =
1
3,7709
∫ (𝑥3
− 2𝑥2
− 1𝑥)𝑑𝑥
3,8284
−1.8284
𝑥
⃗ =
1
3,7709
∫ 𝑥3
− ∫ 3𝑥𝑑𝑥
3,8284
−1.8284
3,8284
−1.8284
𝑥
⃗ = 52,0298 − 17.1983
𝑥
⃗ = 34,8315
𝑥
⃗ =
1
3,7709
∗ 34,8315
𝑥
⃗ = 9,2369
Para calcular cual es la coordenada en el eje y se aplica la siguiente ecuación.
𝑦
⃗ =
1
2𝐴
∫ (𝑓(𝑥)2
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑦
⃗ =
1
2(3,7709)
∫ 𝑥((𝑥2
− 2𝑥 − 1)2
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑦
⃗ =
1
2(3,7709)
∫ 𝑥5
− 4𝑥4
+ 2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 𝑥𝑑𝑥
3,8284
−1.8284
𝑦
⃗ =
1
2(3,7709)
∫ 𝑥5
− ∫ 4𝑥4
∫ 2𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥2
3,8284
−1.8284
3,8284
−1.8284
3,8284
−1.8284
+ ∫ 𝑥𝑑
3,8284
−1.8284
3,8284
−1.8284
𝑦
⃗ = 518,5232 − 674.2724 + 101,8206 + 829652 + 5,6568

19. 19
ÁREA DE FÍSICA
𝑦
⃗ = 34,6933
𝑦
⃗ =
1
2(3,7709)
∗ 34,6933
𝑦
⃗ = 4,6001
Tabla 7 del ensayo 4
Parámetros físicos Coordenadas
𝑥
⃗ 9,2369
𝑦
⃗ 4,6001
ANALISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS DE LOS CENTROS DE MASA DEL
ENSAYO 1
Parámetros físicos Coordenadas
𝑥
⃗ 3,2343
𝑦
⃗ -2.6125
ANALISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS DE LOS CENTROS DE MASA DEL
ENSAYO 2
Parámetros físicos Coordenadas
𝑥
⃗ 1,6400
𝑦
⃗ 1,5646
𝑧
⃗ 1,3217
ANALISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS DE LOS CENTROS DE MASA DEL
ENSAYO 3
Parámetros físicos Coordenadas
𝑥
⃗ 0,5
𝑦
⃗ 0,85
ANALISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS DE LOS CENTROS DE MASA DEL
ENSAYO 4
Parámetros físicos Coordenadas
𝑥
⃗ 9,2369
𝑦
⃗ 4,6001
PREGUNTAS:
1. ¿Qué es el centro de masas?:
El centro de masas es una posición definida en relación con un objeto o aun sistema de objetos. Es el
promedio de la posición de todas las partes del sistema, ponderadas de acuerdo con sus masas, es
decir, un punto central que representa a toda la masa del sistema de partículas.

20. 20
ÁREA DE FÍSICA
2. ¿Qué es el centro de gravedad?
El centro de gravedad es el punto a través del cual la fuerza de gravedad(peso) actúa sobre un objeto
o un sistema. En la mayoría de los problemas de mecánica, se supone que el campo gravitacional es
uniforma. Entonces, el centro de gravedad es exactamente en la misma posición que el centro de
masa
3. ¿Cómo hacer que el centro de gravedad se desplace?
Para desplazar un objeto de gravedad solo debemos transferir el peso de un sistema de partículas u
objetos. Por ejemplo, si tenemos solo un palo de madera en el centro de gravedad se encuentra, pero
si acoplamos algún otro objeto como un cepillo para barrer, el centro de gravedad se desplaza
teóricamente.
4. ¿Qué es equilibrio estable?
Es aquel que vuelve por sí mismo un cuerpo que ha sido apartado de su posición. Un péndulo
ilustraría perfectamente el equilibrio estable.
5. ¿Se podría tener el centro de gravedad fuera?:
El centro de gravedad de un cuerpo puede estar dentro o fuera del cuerpo. El centro de gravedad no
varía con la posición, pero si depende de su forma geométrica. Si un cuerpo presenta un eje de
simetría el centro de gravedad se encontrará en un punto contenido de dicho eje. Como ejemplo las
pelotas de futbol que contienen aire en su interior, en ellas su centro de gravedad se encuentra dentro
de la pelota.
6. ¿En una figura plana regular cuantas divisiones podemos generar?
Esta figura se la puede dividir en el número de partes que cada persona desee calcular asi se divida
miles de veces la respuesta cera siempre la misma aquí generalmente se utilizara el teorema de
Varignon.
7. ¿De qué trata el teorema de Varignon?
Establece que se puede formar un paralelogramo a partir de la unión de los puntos medios de un
cuadrilátero. Se dice que, si este es plano y convexo, entonces el paralelogramo que se forma tiene un
área equivalente a la mitad del cuadrilátero.
8. ¿Formulas generales para el cálculo del centro de masas en placas planas?
𝑥
⃗ =
𝑉1 ∗ 𝑥1 + 𝑉2 ∗ 𝑥2 + 𝑉3 ∗ 𝑥3 + 𝑉4 ∗ 𝑥4… .
𝑉𝑇
𝑦
⃗ =
𝑉1 ∗ 𝑦1 + 𝑉2 ∗ 𝑦2 + 𝑉3 ∗ 𝑦3 + 𝑉4 ∗ 𝑦4… .
𝑉𝑇
𝑧
⃗ =
𝑉1 ∗ 𝑧1 + 𝑉2 ∗ 𝑧2 + 𝑉3 ∗ 𝑧3 + 𝑉4 ∗ 𝑧4… .
𝑉𝑇
9. ¿Diferencia entre el centro de masas y centro de gravedad?:
Las diferencias entre un centro de masas y un centro de gravedad es que:

21. 21
ÁREA DE FÍSICA
a) En el centro de masas de pende únicamente de las masas.
b) En el centro de gravedad depende únicamente del campo gravitatorio.
10. ¿De qué formas se pueden calcular un centro de masas en placas homogéneas?:
a) Conociendo la masa.
b) Conociendo su superficie.
c) Conociendo su Volumen.
d) Conociendo su Peso específico.
e) Conociendo la densidad.
ANEXOS:

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ÁREA DE FÍSICA
5 CONCLUSIONES
 Para diseñar se debe tener en cuenta que las medidas que se da a cada objeto que va a formar
la placa general deben ser precisos en sus medidas ya que ellos dependen mucho cuando
queremos encontrar el centro de sus masas exactamente.
 Para calcular el centro de masas de una placa o sistemas debemos entender el teorema de
Varignon que es la suma de las fuerzas existentes por lo que es necesario saber que el centro
de masas de cada objeto particulares, deben ser sumados así se obtendrá el centro de masa
general final.
 El equilibrio de una partícula de un cuerpo rígido también se lo puede describir como estable
e inestable es su cuerpo gravitacional, para los cuerpos rígidos, las categorías de equilibrio se
pueden analizar de manera conveniente en los términos de gravedad, de cual punto se
considera que todo el peso de un cuerpo está concentrado y representado como una partícula,
en el centro de gravedad y el centro de masa coincidente.
 El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto coincide con el centro
de masa o centro de gravedad si el material que compone es uniforme u homogéneo. En
algunos casos se ubica fuera del objetivo como el caso de un anillo, donde el esta en el centro

23. 23
ÁREA DE FÍSICA
del mismo.
 . Mediante el teorema de Varignon podemos determinar el centro de masas que posee cada
cuerpo ya que este sea de una figura plana ósea de 2D o sea una figura en 3D.
6 RECOMENDACIONES
 Se recomienda utilizar un Calibrador pie de Rey para poder saber bien las medidas exactas
de su cuerpo u objeto.
 Para un mejor entendimiento buscar mas a fondo el tema de centros de masas o centro de
gravedad.
 Comprobar que al momento de realizar la tabla de porcentaje esta no supere el 5% ya que
quedamos que ese seria el limite, y si por alguna razon supera el 5% a hacer de nuevo el
recalculo no cometer muchos errores.
 Las figuras estaran realizadas en (cm) para mayot facilidad al momento de su elaboracion.
 Antes de realizar alguna otra accion de formulas o escritos reune los materiales, para el
experimento, ya que con estos tomatas datos, y se podra proceder a hacer el experimento de
una forma adecuada
 Para poder realizar el experimento, ten un espacio adecuado en el cual puedas desenvolverte,
facilmente, si es posible haz con ayuda ya que al soltar la masa de la altura establecida sera
mas eficiente si lo miras de frente y concentrada.
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Libros:
[1] Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. .
[2] BELL, Eric T. (1986). On the Seashore: Newton.
[3] CHRISTIANSON, Gale E. (1985). In the Presence of the Creator: Isaac Newton and His Times.
[4]DA COSTA ANDRADE, Edward N. (1979). Sir Isaac Newton.
[5] Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). Nueva York: John Wiley &
Sons
[6] Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed.
Reverté
[7] Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1993). Retorno a la geometría [Geometry Revisited]. La Tortuga

24. 24
ÁREA DE FÍSICA
de Aquiles 1. Mathematical Association of America
[8] GIANCOLI, D.C.; “Física para las ciencias e ingeniería” (2 Tomos) Addison-Wesley.
[9] TIPLER, P. A.: “Física”. Vol. I y II. Ed. Reverte, Barcelona.
[10] BURBANO DE ERCILLA, S., BURBANO, E., GRACIA, C.: “Física General”. Ed. Tébar
[11] Tippens, Paul E. (2007). Física, conceptos y aplicaciones, México: Mc Graw Hill.
[12] Hewitt, Paul. (2004). Física Conceptual. México: Prentice, Adisson Wesley.
[13] Giancoli. FÍSICA. Principios y Aplicaciones. Editorial Reverté 1985
[14] Kittel, Knight, Ruderman. BERQUELEY PHYSICS COURSE. Editorial Reverté 1968.
[15] Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté
[16] Chamadoira, Hernan J.; «El centro de gravedad y el proceso de planificación de comando;
Trabajo Final de Licenciatura ESG; 2013.
[17] Michel Valero Física Fundamental Vol.-1
[18] Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en
inglés) (6ª edición). Brooks/Cole.
[19] Física, Curso Elemental: Mecánica – Alonso Marcelo
[20] Dinámica II: Mecánica Para Ingeniería y sus Aplicaciones – David J. MacGill & Wilton King
Latacunga, 31 de Marzo del 2021
Elaborado por:
ESTUDIANTE: Gualpa Bryan
Aprobado por:
JEFE DE LABORATORIO: Ing Diego
Proaño Molina