Ejercicios de optimización de la derivada

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE BIOTECNOLOGÍA Y
ELECTRÓNICA
Nombres:
1. Collaguazo Andrés
2. Jurado Mateo
3. Pérez Emily
4. Suquillo Fernando
NRC: 3272
Fecha: martes 27 de julio 2021
Período: mayo 2021 _ septiembre 2021

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ÍNDICE
1. Introducción............................................................................................................................... 3
2. Objetivos .................................................................................................................................... 3
3. Fundamentación teórica ........................................................................................................... 3
3.1. Derivada............................................................................................................................. 3
3.1.1. Interpretación Geométrica....................................................................................... 4
3.2. Aplicaciones de la derivada (máximos y mínimos)......................................................... 5
3.2.1. Criterio de la primera derivada............................................................................... 6
3.2.2. Criterio de la segunda derivada............................................................................... 7
4. Desarrollo................................................................................................................................... 8
5. Conclusiones ............................................................................................................................ 16
6. Recomendaciones .................................................................................................................... 17
7. Enlace a Slideshare.................................................................................................................. 17
8. Bibliografía .............................................................................................................................. 17

3. 3
1. Introducción
En el presente trabajo se realiza un estudio acerca de la aplicación de las derivadas en
diferentes ámbitos, en este caso nos enfocamos directamente en aplicaciones para las
carreras de Biotecnología y Electrónica, de manera teórica se aplicará maximización y
minimización en ejercicios que requieran el uso de la derivada para conocer propiedades
relevantes de las funciones.
2. Objetivos
 Analizar el concepto de las derivadas para aplicarlo de manera teórica en ejercicios
de maximización o minimización, aplicados a problemas pueden suscitarse en las
carreras de biotecnología y electrónica.
 Obtener información de las funciones haciendo uso de la derivada y así conocer más
de su comportamiento
 Verificar de forma visual las respuestas obtenidas, con gráficas de la función, para
un mejor entendimiento de la derivada en el cálculo diferencial.
3. Fundamentación teórica
3.1. Derivada
La derivada tiene su origen en la geometría, pues existía el problema de hallar la
tangente en un punto de una curva, lo cual es la pendiente de la recta tangente en un punto
sobre una curva. Después se constituyó a esta como un poderoso método para el cálculo de
velocidades, aceleraciones, de manera general, muy apta para el estudio de todos los
problemas que implican el estudio de magnitudes que varían de forma continua.

4. 4
La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la
evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos, reconociendo los puntos máximos y
mínimos de una función, para buscar los óptimos.
3.1.1. Interpretación Geométrica
Consideremos una curva C: y = f(x) y un punto fijo P0(x0,y0) de dicha curva, sea Ls
la recta secante que pasa por P0(x0,y0) y por el punto M(x, y) €C. La pendiente de la recta
secante que pasa por los puntos P0 y M es:
Ilustración 1. Interpretación geométrica de la derivada
𝑚𝐿𝑠 = tan 𝛼 =
f(x) − f(𝑥0)
x − 𝑥0
; 𝑥 ≠ 𝑥0

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Si el punto M(x,y) se aproxima al punto P0(x0,y0) resulta que la variable x se
aproxima a x0 de tal manera que Ax = x – x0 se aproxima a cero, con lo cual se está
haciendo uso del concepto de límite.
Por lo tanto, cuando el punto M(x,y) se aproxima al punto P0(x0,y0) la recta secante
Ls se ha transformado en la recta tangente Lr, lo cual indica que el ángulo a tiende a
coincidir con el ángulo θ y 𝑚𝐿𝑠 = tan 𝛼 =
f(x)−f(𝑥0)
x−𝑥0
tiende a convertirse en:
tan 𝜃 = lim
𝛥𝑥⟶0
f(𝑥0 + Δx) − f(𝑥0)
Δx
= 𝑓′(𝑥)
Luego la derivada de la función f en el P0(x0,y0) es f'(x0) y representa la pendiente
de la recta tangente en el punto P0(x0,y0). (Espinoza Ramos, 2002)
3.2. Aplicaciones de la derivada (máximos y mínimos)
Se entiende por puntos máximos y mínimos de una función a los lugares donde la curva
adopta una forma transitoriamente horizontal, es decir si una función contínua es
ascendente en un intervalo, y a partir de un punto empieza a descender, a ese punto se le
conoce como punto crítico máximo relativo, por otro lado, si una función contínua es
decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto se
lo conoce como punto crítico mínimo relativo. Una función puede tener uno, varios o
ningún punto crítico.
En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su
derivada pasa de positiva a negativa. En un punto crítico mínimo relativo, la función deja
de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.
(Mateus Nieves)

6. 6
Ilustración 2. Puntos críticos de una función
Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones son aplicables a la
solución de problemas prácticos, al existir diferentes tipos de problemas en las aplicaciones,
enunciar reglas específicas para encontrar sus soluciones resulta dificultoso. Sin embargo,
se puede desarrollar una estrategia general para abordar tales problemas:
3.2.1. Criterio de la primera derivada
1) Conseguir la primera derivada
2) Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
3) El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o
mínimos en la función
4) Comparar la monotonía, si pasa de creciente a decreciente es un punto máximo y si
pasa de decreciente a creciente, ese es un punto mínimo.
5) sustituir en la función original el o los valores de la variable independiente (x) para
los cuales hubo cambio de monotonía. Así se obtiene las coordenadas del punto
crítico.

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3.2.2. Criterio de la segunda derivada
Se basa en que, en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en
consecuencia, su derivada será negativa; mientras que, en un punto mínimo relativo, la
concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva y el procedimiento consiste en:
1) Calcular la primera y segunda derivadas
2) Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación
3) Sustituir las raíces (el valor o valores de x) de la primera derivada en la segunda
derivada. Si el resultado es positivo hay mínimo. Si la segunda derivada resulta ser
negativa hay un máximo. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no
un máximo o mínimo
4) Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para
conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo
(Mateus Nieves)
La aplicabilidad de la derivada se utiliza en situaciones cotidianas como en la
industria, pero sobretodo en la última mencionada para maximizar el rendimiento de
productos e insumos, por ejemplo, si relacionamos un problema de la biotecnología en el
sector textil; se manejan mecanismos que las biomoléculas utilizan para la conversión y
transformación del sustrato sobre el que actúan, un claro ejemplo puede ser el enriado del
lino, que los egipcios utilizaban para separar la parte leñosa del tallo, de los haces de fibras
utilizables para obtener el hilo; procesos fermentativos para deslanado de pieles de cordero
(denominado “estufado”); aplicación de enzimas en diversos procesos industriales textiles,
tales como el desencolado, lavado, estampado y otros. Así también la biotecnología juega el

8. 8
papel de maximizar el rendimiento de productos bioquímicos en la producción de productos
y a su vez minimizar el impacto ambiental. Para ejemplos prácticos también se aborda el
tema de derivabilidad en electrónica, pues se busca maximizar cobertura, o minimizar el
gasto innecesario de insumos, electricidad, brindando un servicio adecuado.
4. Desarrollo
1) En una investigación científica busca acelerar la aceleración de crecimiento al árbol
de limón. ¿Dónde se desea conocer, hasta cuándo alcanza el árbol su altura
máxima? La siguiente figura representa el tronco y las dos ramas de un árbol
(segmentos rojos) que mide 3 metros de altura. Se observa que cada año el tronco y
las ramas crecen 1 metro (en la dirección que indican las flechas azules).
Calcular:
a) La altura en el instante t,
b) La velocidad de crecimiento en función del tiempo
c) La altura después de 24 años.
d) Determinar el punto en el cual la planta alcance su máx. esplendor en su ciclo vital
para lo cual vamos a utilizar la siguiente función cuadrática 𝑦 = 12 − (𝑥)2

9. 9
x = y = 3
x = Altura
y = Ancho
Cada una de las ramas es la diagonal de un cuadrado de lado 1.5 m. Aplicamos Pitágoras
𝑟2
= 1.52
+ 1.52
𝑟 = √4.5
Por lo tanto, cada rama mide 𝑟 = √4.5
Después de un año (t=1), El crecimiento de un metro del tronco suma un metro a la altura,
pero calculamos cuánto suma en la altura del árbol el crecimiento de un metro de las ramas:
Por Pitágoras 12
= 2𝑏2
𝑏 =
√2
2
Entonces la altura total en el instante de tiempo (t años) es
x = 3 + t +
√2
2

10. 10
x = 3 + t (
2 + √2
2
)
a) La función de altura en el instante tiempo
f(x) = 3 + t (
2 + √2
2
)
b) La velocidad de crecimiento en función del tiempo (La velocidad de crecimiento es
la derivada de la altura)
v(t) = f’(t) = (
2 + √2
2
Su velocidad es constante
La derivada de la altura del árbol (velocidad de crecimiento) es constante y positiva. Por
tanto, no existen puntos críticos y la función es monótona creciente.
La función altura no tiene máximos absolutos ni relativos mientras no se acote su dominio.
c) La altura después de 24 años
𝑓(24) = 3 + 24
2 + √2
2
𝑓(24) = 27 + 12√2
𝑓(24) = 43.97 𝑚
d) El alcance máximo del crecimiento de la planta
𝑦 = 12 − (𝑥)2
𝑦 = −2𝑥

11. 11
𝑚 = −2𝑥
0 = −2𝑥
𝑥 = 2
Punto mínimo:
𝑥 = 0 𝑦 = 12 Creciente
Punto máximo
𝑦′′
= −2

12. 12
2) En un terreno rectangular se desea alumbrarlo formando tres partes y para esto un
electrónico tiene 160m de cable ¿Qué dimensiones debe tener la zona cableada para que su
área sea la mayor posible?
Base = X
Altura = Y
𝐴 = 𝑋 ∗ 𝑌
2𝑋 + 4𝑌 = 160
𝑌 =
160
4
−
2𝑋
4
𝑌 =
160
4
−
2𝑋
4
𝐴 = 𝑋 ∗ (40 −
𝑋
2
) 𝐴 = 40𝑋 −
𝑋2
2
Derivamos para encontrar el valor de la Base:
𝐴′
= 40 − 𝑋
Igualamos a cero:
40 − 𝑋 = 0
−𝑋 = −40

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𝑋 = 40
Encontramos la segunda derivada para ver si existe un máximo o mínimo:
𝐴′′
= −1
−1 < 0 Existe un máximo
Encontramos la altura:
𝑌 = 40 −
40
2
𝑌 = 40 −
40
2
𝑌 = 20
Gráfica del máximo:
Para que los 160m de cable para la iluminación dividan en tres partes al terreno es
necesario que tenga una base de 40 metros y altura de 20 metros.

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3) En una empresa de entrega de paquetes en la ciudad de Quito, se dispone de una
máquina capaz de automatizar el proceso de embalaje de dichos paquetes en forma
rectangular, con un área de 40cm^2. El ingeniero electrónico que diseño la máquina
ahora quiere saber, ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los paquetes para que sean
envueltos por un plástico de longitud mínima?
Base= b
Altura= h
P= perímetro
A= Área
F(b,h) = En función de base y altura
Datos:
P= base + base + altura + altura = 2b x 2h = f(b,h) Maximizar
A = b x h = 40cm^2
40 = b x h
b =40/h
Desarrollo
𝐹(𝑏, ℎ) = 2ℎ + 2𝑏
𝐹(ℎ) = 2ℎ + 2 (
40
ℎ
)

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𝐹(ℎ) = 2ℎ +
80
ℎ
𝐹(ℎ) = 2ℎ +
80
ℎ−1
𝐹(ℎ) = 2ℎ + 80 ℎ−1
Ascendemos la h con exponente negativo y derivamos:
𝐹(ℎ)’ = 2 + 80 ∗ (−1)ℎ−2
Igualamos la derivada a 0, sacar puntos críticos
0 = 2 –
80
ℎ2
0 = 2ℎ2
– 80
80 = 2ℎ2
ℎ2
= 40
√ℎ2 = √40
ℎ = 6,32
𝑏 =
40
ℎ
𝑏 =
40
6,32
𝑏 = 6.32

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Respuesta: Las dimensiones de los paquetes, para conseguir el mínimo uso de platico
envolvente es de base=6,32 y altura=6,32.
Gráfica del mínimo
5. Conclusiones
 Aunque las Derivadas fueron formuladas para otro uso, son muy útiles en su
aplicación, como es calcular procesos de optimización por medio de los puntos
críticos de una función.
 Las derivadas se aplican a todo, es decir a todas las carreras, como industrias ya que
son muy útiles en la solución de diversos problemas de la economía.
 El proceso de derivar, fue elaborado después que el proceso de integración, sin
embargo, en el estudio de cálculo diferencial e integral es indispensable para
aprender a integrar debidamente.

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6. Recomendaciones
 A pesar de que se puede derivar cualquier tipo de función mediante la forma
mecánica o alterna de la derivada, es más fácil aprender los teoremas que van a
facilitar y agilizar el proceso de derivación.
 Para resolver problemas de optimización, es necesario llevar el problema a forma de
función, de manera que cumpla con las características del problema y pueda ser
derivable.
 Desarrollar ejercicios de optimización en base a una sola variable, caso contrario no
se podría resolver.
7. Enlace a Slideshare
https://www.slideshare.net/FernandoSantamara4/grupo5-taller-parcial-2
8. Bibliografía
Díaz Contreras, R. R. (2014). La biotecnología en el sector textil (primera parte). Reaxion, 18 - 24.
Espinoza Ramos, E. (2002). Análisis Matemático. Lima: Servivios Gráficos.
Haeussler, F. E. (2003). Matemáticas para administración y economía. Naucalpan de Juárez, Edo.
de México: Pearson Educación.
Mateus Nieves, E. (s.f.). Aplicaciones de la derivada. (Máximos y mínimos). Obtenido de Edumatth:
https://edumatth.weebly.com/uploads/1/3/1/9/13198236/mximos_y_mnimos_de_una_f
uncion_de_una_variable_independiente.pdf
Sánchez Matamoros, G., García, M., & Llinares, S. (2008). La comprensión de la derivada como
objeto de investigación en didáctica de la matemática. Revista latinoamericana de
investigación en matemática educativa.