Երկրաչափության Ուսուցչի ձեռնարկ http://college.top-lider.net/erkrachaputyun/ ‎

1. отччюцФПют 6-8
ՈւսուցչիՅեոնարկ
Լ. Ս. Աթանասյանի և ուրիշների
Երկրաչափություն 6, 7, 8 դասագրքերով
դասավանդէղու համար
ԾՐԵՎԱՆ, «ԱՍՏԴհԿ-59», 2000|».

2. ԴՏՀ 371.13:514
ԳՄԴ 74.262
Ե 894
Ե 894 Երկրաչափություն 6-8. Ուսուցչի ձեռնարկ / Կազմող
Ս. է. Հ ա կ ո բ յ ա ն .--Եր., Աստղիկ-59, 2000, -80 Էջ:
. 4306010502 ՕՈոո
Ե--------------- :----2000 թ. 0.|քՂ74Չք?9860(01) ֊2000 HU V/4.ՃՕՃ
ISBN 99930-857-5-8
© «Աստղիկ-59» հրատարակչություն, 2000թ.
© Ս. է. Հակոբյան, 2000թ.

3. Առաջաբաե.......................................................................... 3
Երկրաչափությանծրագիրը..................................................... 5
1. Բացատրագիր...................................... ........ .......................
շ Սովորողներիերկրաչափականպատրաստվածությանր
ներկայացվողպահանջները.............................................................. 6
3.Երկրաչափությանդասընթացիբովանդակությունը 7
4. Ուսումնականնյութի'ըստդասագրքերիմոտավորթե­
մատիկպլանավորում...................................................................... 9
Գլուխ 1
Ուսուցումը 6-րդ դասարանում
Ուսումնական նյութի դասաժամային օրինակելի պլանավորու մ՛ ^
1. Նախնական երկրաչափական տեղեկություններ............................. 13
2. Եռանկյուններ........................................................................ 20
3. Զուգահեռ ուղիղներ................................................................ 24
4. Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև... 27
5. Երկրաչափական կառուցումներ................................................. 31
Գլուխ 2
Ուսուցումը 7-րդ դասարանում
Ուսումնական նյութի դասաժամային օրինսւկսլի պլանավորում՜ ^4
6. Քառանկյուններ ............................................................... 35
7. Շրջանագիծ ...................................................................... 39
8. Մակերես............................................................................. 46
9. Նման եռանկյուններ............................................................... 51
Գլոէխ 3
Ուսուցումը 8-րդ դասարանում
Ուսումնական նյութի դասաժամային օրինակելի պլանավորում՛ ^
Ю. Նման պատկերներ........ ....................................................... 55
11. Եռանկյունների լուծումը........................................................ 60
12- Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը........................... 67
13. Վեկտորներ ......................................................... *.............. 71
Տարեվերջյան ստուգողական աշխատանքների տարբերակներ 76
Լրացուցիչ գրականության ցանկ............................................................ 78
ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

4. Կազմող Սարիբսկ Հակոբյան
Երկրաչափություն 6-8.
Ուսուցչի ձեռնարկ
Խմբագիր Ռիտա Խաչատրյան
Համակարգչային ձևավորումը
Գ ո հ ա ր Խ ա չ ա տ ր յ ա ն
հասմիկ Հովհաննիսյան
Հրաւոարւսկիչ-տնօրեն' Ս. -?. Չունգուրյան
Վերստուգող սրբագրիչ' Ռ.Ս.Հակոբյան
Շապիկի ձևավորումը Մ.Զ.Առաքելյան
Հրատարակ. պատասխանատու' Ս.Ի.Ապրեսյան
«ԱՍՏՂԻԿ-59» հրատարակչություն (Երևան. Նորք, 2-րդ նրբանցք, տ. 32)

5. ԱՌԱՁԱԲԱՆ
.Այս ձեռնարկը նախատեսված է ուսուցչի Համար, ով 6-8 դասա-
ր աններ ում երկրաչափությունը դասավանդում է Լ.Ա. Աթանասյանի
1ւ ուրիշների «Երկրաչափություն 6», «Երկրաչափություն 7»,
«Երկրաչափություն 8» դասագրքերովI Նախկինում Հրատարակված
դասագրքերի բովանդակությունն ու մեթոդական առան ձնա Հատ­
կությունները ուսուցիչներին Հիմնականում ծանոթ են'. Սակայն նոր
Հրատարակված դասագրքերում առկա են որոշ փոփոխություններ,
որոնք կապված են Հետևյալ Հանգամանքների Հետ՛.
1. Մաթեմատիկայի առարկայական սլետական ծրագրում կատար-
վել են որոշակի փոփոխություններ, մասնակի տեղաշարժեր կան
առանձին թեմաների Հաջորդայնության մեջ, կան թեմաներ,
որոնք չեն ընդգրկված նոր ծրագրում, կան նաև. լրացված նոր
թեմաներՎերջիններս Հատկապես վերաբերում են տարածական
պատկերների նախնական ուսումնասիրությանը, ինչը նախորդ
դասընթացում նախատեսված էր միայն ավագ դպրոցում՛
Դասագրքերում Հաշվի են առն փած բոլոր այն սլականջները,
որոնք բխում են առարկայական ծրագրի փոփոխություններից!
2. Հաչվի առնելով ուսուցիչների և. մեթոդիստների կողմից տարի-
ների րնթացքում կատարված դիտողություններն ու առաջար­
կությունները դասագրքերում մասնակիորեն լրամշակվել է
խնդիրների և վարժությունների Համակարգը: Ընդ որում
ընդգրկված են որոշակի թփոփ ւգարգ և մի^ին բարդության
խնդիրներ, որոնց քանակը նախորդ տարիներին Հրատարակված
դասագրքերում զգալիորեն քիչ էր'
3. Հանրակրթական դպրոցների 6-8 դասարաններում արդեն
գործածության մեջ է մտել ՀանրաՀաշվի Ավետական ծրագրի նոր
տարբերակը և դրան Համապատասխան նոր դասագրքերը .*
ԱնՀրաժեշտ էր Համապատասխանություն սոգւսՀոփել նույն
դասարանների Հ ան ր աՀ աշփի և երկրաչափության դասագրքերի
մի£ե_! Այստեղ պետք է նկատի ունենալ, որ ՀանրաՀաշվական և.
երկրաչափական գիտելիքները ոչ միայն լրացնում են միմյանց,
այլև, դրանց ուսուցումն իրականացվում է միաժամանակ, և. մեկը
կիրառվում է մյուսի մեջ:
Ղասադրքերի մեկ այլ ոՀ էական փոփոխություն կապված *
է այն բանի Հետ, որ դրանք ըստ դասարանների Հրատարակ­
վում են առանձին գրքերով, ինչը աշակերտի Համար ավելի
մատչելի և դյուրին է դարձնում իր դասարանի դասագրքից
օգտվելը.

6. Անդրադառնալով ուսուցչի ձեռնարկին նշենք, որ шуЬ Հիմ֊
նա կան ում կատարում է մեթոդական ուղեցույցի դեր Նրա֊
նում, րստ դասարանների, րնդգրկված են Հետևյալ բաժիններր.
պլան ա վո֊
րումր,
թեմաների ուսուցման Հիմնական Հարցերր,
սովորողներին ներկայացվող Հիմնական պաՀանֆներր րստ
թեմաների,
սովորողների ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր րստ թեմա֊
ների,
ստուգողական աշխատանքների տարբերակներ,
լրացուցիչ դրականության ցանկ թեմաների ուսումն ասի֊
րության Համար'.
Նկատենք, որ ուսուցչի ձեռնարկում ինչպես ինքնուրույն
*, աշխատանքի, այնսլես էլ ստուգողական աշխատանքների տար~
րերակներից մեկր (վեր^ինր) նախատեսնած է համեմատաբար
ա վելի բարձր մ ա1|արդաԼք[ւ ււլաա ր աս m ո ւ|}յ ան համար I Ւնչ
/ վերաբերում է դասագրքերի խնդիրներին, նշենք, որ դրանք
կազմում են երեք խումբ'
Առածին խ ումբ խնդիրներր, որոնք զետեղված են յուրա֊
քանչյուր պարագրաֆում, հիմնական են. դրանք ծառայում են
տվյալ թեմայի Հասկացությունների 1ւ փաստերի յուրացմանր*.
^Ր^ՐՈՐԳ խՈԼ-մբ խնդիրներր զետեղված են յուրաքանչյուր գրլ֊
խի վերջում որպես լրա^ու^չ խնդիրներ. դրանք ծառայում են
տվյալ թեմայի դիտելիքներր կրկնելուն, յուրացնելուն 1ւ
խորացնելուն', երրորդ խումբր դժվարին խնդիրներ են, որոնք
նախատեսված են մաթեմատիկայի նկատմամբ Հատուկ Հե­
տաքրքրություն ցուցաբերող աշակերտների ան Հատ ական աշ­
խատանքի Համար: Այդ խնդիրներր կարելի է օգտագործել նաև.
նախ ասիր ական պարապմունքների րնթացքում:
Ավելորդ չէ Հիշեցնել, որ այս ձեռնարկում ամփոփված նյու֊•
թերր ավելի շատ խորՀուրդ են, բայց ոչ պարտադրանք: Ուսու֊
ցիչրք կախված իր փորձից և աշակերտների պատրաստության
մակարդակից ու Հակումներից, կարող Է կատարել ան Հրաժեշտ
փոփոխություններ և լրացումներ.*
ուսումնական նյութի դասաժամ ային օրինակելի
1 Սույն ձեռնւսկում օգտագործված են Լ.Ս. Աթանասյանի և ուրիշների
[1] մեթոդական հանձնարարականներում սւմվտվւված նյութերը:

7. Ծ Ր Ա Գ Ի Ր
Հանրակրթական դպրոցի
6-8-րդ դասարանների համար
1. ԲԱՑԱՏՐԱԳԻՐ
Հանրակրթական դպրոցում ուսումնասիրվող առարկաների համա­
կարգում երկրաչափությունն ունի կարևոր դեր: Այն հանգամանքը, որ
այդ դասընթացում աշակերտներն առավելագույն չափով հնարավո­
րություն են ստանում զարգացնել և դրսևորել իրենց երևակայությունն
ու մտավոր կարողությունները, առավել կարևոր է դարձնում այդ առար­
կայի դերն ու նշանակությունը: Ութամյա դպրոցի երկրաչափության
դասընթացում ընդգրկված նյութը սովորողներին հնարավորություն է
տալիս ամբողջական պատկերացում ունենալ հարթաչափության և
որոշ տեղեկություններ տարածաչափության մասին:
Դասընթացը պայմանականորեն կարելի է բաժանել Երեք մասի
(ըստ դասարանների): Այդ մասերից յուրաքանչյուրում առանձնացված է
մի բաժին, որն իր երկրաչափական բնույթով և ժամաքանակով հիմնա­
կանն է: Դասընթացի վերջում ներմուծվում է նաև վերլուծական երկրա­
չափության որոշ տարրեր: Դասընթացում մեծ տեղ է տրվում խնդիր­
ներին, մասնավորապես' կառուցման խնդիրների ավելի ակտիվ գոր­
ծածությանը: Ընդհանրապես, ժամաքանակի ավելի քան կեսը պետք է
հատկացնել խնդիրների լուծմանը, իսկ դրանք ունեն ինչպես ճանաչո­
ղական, այնպես էլ կիրառական ուղղվածություն:
սւ. Երկրաչափության ուսուցման նպատակներն ու խնդիրները
Ութամյա ուսուցման շրջանակներում երկրաչափության ուսուցման
հիմնական նպատակներն են.
■հարթաչափության մասին ամբողջական և տարածաչափության
մասին պարզագույն պատկերացումների ձևավորումը և զարգացումը,
֊ընդհանուր մտահորիզոնի զարգացումը և ընդլայնումը, մտավոր
կարողությունների զարգացումը,
֊մաթեմատիկական գիտելիքների լիարժեքության և ամբողջա­
կանության ապահովումը,
֊գործնական կիրառությունների և միջառարկայական կապերի
ապահովումը:
ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

8. Այդ նպատակն Ծրի իրականացումը ննթադրում է հնւոեյալ հիմնական
խնդիրնսրի լուծումը.
■հիմնական հարթաչափական հասկացությունների, համապատաս­
խան երկրաչափական պատկերների հատկությունների կանոնավոր
ուսումնասիրությունը,
֊տարածաչափական հիմնական հասկացությունների և համապա­
տասխան Երկրաչափական պատկերների նախնական ուսումնասիրու­
թյունը, աշակերտների տարածաչափական գիտելիքների ձևավորման
համար նախադրյալների ապահովումը,
֊երկրաչափական փաստերի հիմնավորման ունակությունների,
երկրաչափական մտածելակերպի ձևավորումը և զարգացումը,
֊հարթաչափական, այդ թվում հանրահաշվի և եռանկյունաչափու­
թյան տարրերի կիրառմամբ լուծվող, խնդիրների լուծման հմտություն­
ների ձևավորումը և զարգացումը:
р. Երկրաչափության ծրագրի կաոուցվածքը
Երկրաչափության ծրագիրը բաղկացած է չորս բաժիններից. «Բա­
ցատրագիր», «Սովորողների երկրաչափական պատրաստվածությւսնը
ներկայացվող պահանջներ», «Երկրաչափության դասընթացի բովանդա­
կությունը», «Ուսումնական նյութի մոտավոր թեմատիկ պլանավորում»:
Առաջին բաժնում ձևակերպված են երկրաչափության ուսուցման
հիմնական նպատակները և խնդիրները:
Երկրորդ բաժնում նախատեսվում է նյութի յուրացման երկու մա­
կարդակ պարտադիր և ցանկալի: Վերջինս կարող է ապահովվել առա­
վել առաջադիմող աշակերտների ինքնուրույն, ինչպես նաև ուսուցչի կող­
մից հանձնարարված լրացուցիչ աշխատանքի շնորհիվ:
Երրորդ բաժնում ներկայացված է ուսուցման ենթակա հիմնական
հարցերի ցանկը:
Չորրորդ բաժնում ուսումնական նյութը ներկայացված է ըստ առան­
ձին թեմաների համապատասխան ժամաքանակներով:
2. ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՊԱՏՐԱՍՏՎԱԾՈՒ-
ԹՏԱՆԸ ՆԵՐԿԱՅԱՑՎՈՂ ՊԱՀԱՆՋՆԵՐԸ
6-8-րդ դասարանների աշակերտների երկրաչափական գիտելիք­
ները, կարողությունները և հմտությունները պետք է բավարարեն հե­
տևյալ պահանջներին:
Պարտադիր մակարդակ
1. Տիրապեւոել հարթաչափության լեզվին, իմանալ հիմնական հար­
թաչափական հասկացությունները, ձևակերպել և առանձին դեպ­
քերում ապացուցել թեորեմները:

9. 2. Կարողանալ խնդրի պայմանը պատկերել գծագրի վրա և լուծել
պարզագույն խնդիրներ կիրառելով նաև հանրահաշվի և Եռանկյու­
նաչափության տարրեր:
3. Կարողանալ կիրառել հարթաչափական Փաստերը պարզագույն
խնդիրներ լուծելիս:
4. Թեորեմների ապացուցման օրինակների միջոցով պատկերացում
կազմել համադրման և հակասող ենթադրության մեթոդների մասին:
Ցանկալի մակարդակ
1. Ազատ տիրապեւոել հարթաչափության լեզվին և ծանոթ լինել
տարածաչափության հիմնական հասկացություններին: Ունենալ
ամբողջական պատկերացում հարթաչափության մասին, կարո­
ղանալ ձևակերպել և ապացուցել բոլոր հիմնական թեորեմները:
2. Կարողանալ կիրառել հարթաչափական պատկերների հատկու­
թյունները խնդիրներ լուծելիս:
3. Կատարել վերլուծություններ և ընդհանրացումներ, տիրապետել
ապացուցման հիմնական մեթոդներին:
3. ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ
ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸ
Երկրաչափական պատկերներ և նրանց հավասարությունը:
Սահմանում, աքսիոմ, թեորեմ: Փոխհակադարձ թեորեմներ:
Կետ, ուղիղ, հարթություն, հատված, բեկյալ, ճառագայթ, անկյուն:
Հատվածների և անկյունների հավասարությունը: Հատվածի երկարու­
թյունը և նրա հատկությունները: Երկու կետերի հեռավորությունը: Ան­
կյան կիսորդը և նրա հատկությունները: Կից և հակադիր անկյունները և
նրանց հատկությունները: Անկյան մեծությունը և նրա հատկություն­
ները: Անկյան աստիճանային չափը:
Հատվող և զուգահեռ ուղիղներ: Ուղիղների զուգահեռության հայ-
տանիշները: Ուղղահայաց ուղիղներ: Թեորեմներ ուղիղների զուգահե­
ռության և ուղղահայացության մասին: Հատվածի միջնուղղահայացի
հատկությունը: Կետի հեռավորությունը ուղղից: Զուգահեռ ուղիղների
միջև հեռավորությունը:
Եռանկյունը և նրա հիմնական տարրերը: Միջնագիծ, բարձրություն,
կիսորդ: Եռանկյունների հավասարությունը: Եռանկյունների հավասա­
րության հայտանիշները: Եռանկյան անկյունների գումարը: Համեմա­
տական հատվածներ: Նման եռանկյուններ: Նման եռանկյունների պա­
րագծերի և մակերեսների հարաբերությունը: Եռանկյան անհավասա­
րությունը: Եռանկյան միջին գիծը, և նրա հատկությունները: Ուղղսսն-

10. կյուն եռանկյուն, հավասարության և նմանության հայտանիշները: Պյու­
թագորասի թեորեմը: Սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը:
Սինուսների և կոսինուսների թեորեմները: Եռանկյունների լուծումը:
Քառանկյուններ: Զուգահեռագիծ, նրա հատկություններն ու հայ-
տանիշները: Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի, նրանց հատկու­
թյունները: Սեղան, սեղանի միջին գիծ: Բազմանկյուն, կանոնավոր բազ­
մանկյուն: Բազմանկյան անկյունների գումարը: Ուղղանկյան, զուգահե­
ռագծի, եռանկյան, սեղանի, կանոնավոր բազմանկյան մակերեսները:
Շջանագիծ և շրջան, նրանց տարրերը: Կենտրոնային անկյունը և
նրա հատկությունը: Ներգծյալ անկյունը և նրա հատկությունը: Շրջա­
նագծի շոշափողը և նրա հատկությունները: [Կետի աստիճանը շրջա­
նագծի նկատմամբ]*:
Եռանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր: Ներգծյալ և ար-
տագծյալ քառանկյուններ: Կանոնավոր բազմանկյան ներգծյալ ե ար-
տագծյալ շրջանագծերը: Շրջանագծի երկարության և տրամագծի հա­
րաբերությունը: Շրջանագծի երկարությունը: Աղեղի երկարությունը: Շրջա­
նի մակերեսը: Սեկտորի և սեգմենտի մակերեսները:
Պատկերների համաչափությունը:
Կետերի բազմություն: Կարկինը և քանոնը որպես կառուցման հիմ­
նական գործիքներ: Կառուցման խնդիրներ:
Վեկտոր: Վեկտորի երկարությունը ե ուղղությունը: Երկու վեկտորնե­
րի կազմած անկյունը: Վեկտորների գումարը և էոսւրբերությունը: Վեկ­
տորի բազմապատկումը թվով: Հւսմագիծ վեկտորներ: Տարագիծ վեկ­
տորներ: Վեկտորի պրոյեկցիա:
Երկրաչափության կիրառություններ: Չափումներ տեղանքում:
Քառանիստ, զուգահեռանիստ, ուղղանկյունանիստ, խորանարդ, պրիզ­
մա, բուրգ, գլան, կոն, գունդ, գնդային մակերևույթ: Տարածական պատ­
կերների (ուղղանկյունանիստի և խորանարդի) մակերևույթների մակե­
րեսները:
[ ] փակագծերում նշված նյութը նախատեսված է ոչ պարտադիր
ուսումնասիրման համար:

11. 4.Ուսումնական նյութի' ըստ դասագրքերի
մոտավոր թեմատիկ պլանավորում
6-րդ դասարան
(շաբաթական 2 ժամ, ընդամենը 68 ժամ)
Նախնական երկրաչափական տեղեկութ՛յուններ (12 ժամ)
Ներածություն: 1.Կետեր, ուղիղներ, հատվածներ: 2.Ուղղի ձողանշումը
տեղանքում: Յ.ճսւռւսգայթ: 4.Անկյուն: 5.Երկրաչւսփակւսն պատկերների
հավասարությունը: 6.Հատվածների և անկյունների համեմատումը:
7.Հւստվածի երկարությունը: 8.Չւսւիման միավորներ: Չափիչ գործիք­
ներ: 9.Անկյւսն աստիճանային չափը: 10.Անկյունների չափումը տեղան­
քում: 11.Կից և հակադիր անկյուններ: 12.Ուղղւսհայաց ուղիղներ:
13.Ուղիղ անկյունների կառուցումը տեղանքում:
եռանկյուններ (13 ժամ)
14.Եռանկյուն: 15.Եռանկյունների հավասարության առաջին հայտա­
նիշը: 16.Ուղղին ուղղահայաց: 17.Եռսւնկյւսն միջնագծերը, կիսորդները
և բարձրությունները: 18.Հւսվասարասրուն եռանկյան հատկություն­
ները: 19.Եռւսնկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշը:
20.Եռւսնկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշը:
Ջուգւսհեռ ոււփղներ (11 ժամ)
21.Զուգահեռ ուղիղների սահմանումը: 22.Երկու ուղիղների զուգահե­
ռության հայտւսնիշները: 23.Զուգահեռ ուղիղների կառուցման գործ­
նական եղանակներ: 24.Երկրաչափության աքսիոմների մասին: 25.Զու-
գահեռ ուղիղների աքսիոմը: 26.Թեորեմներ երկու զուգահեռ ուղիղ­
ներով և հատողով կազմված անկյունների մասին:
Առնչություններ եռանկյան կողմերի ե անկյունների միջև (16 ժամ)
27.Թեորեմ եռանկյան անկյունների գումարի մասին: 28.Սուրանկյուն,
ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ: 29.Թեորեմ եռանկյան կող­
մերի և անկյունների միջև առնչությունների մասին: ՅՕ.Եռսւնկյան ան­
հավասարությունը: 31.Ուղղանկյուն եռանկյունների որոշ հատկություն­
ներ: 32.Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հւսյտանիշները:
33.Կետի հեռավորությունը ուղղից: 34.Զուգահեռ ուղիղների հեռա­
վորությունը: 35.Բեկյալի երկարությունը: 36.[Անկյունային ւսնդրւսդար-
ձիչ]: 37.Պատկերւսցում քառանիստի մասին:
Երկրաչափական կառուցումներ (8 ժամ)
38.Շրջանագիծ: 39.Կառուցումներ կարկինով և քանոնով: 40.Ուղղա­
հայաց ուղիղների և զուգահեռ ուղիղների կառուցումները: 41.Հատ­
վածի միջնակետի կառուցումը: Հատվածի միջնուղղահայացը: 42.Ան-
կյան կիսորդի կառուցումը: Անկյան կիսորդի հատկությունը: 43.Եռան­
կյան կառուցումը ըստ երեք տարրերի:
Կրկնություն և գիտելիքների ստուգում (8 ժամ)

12. 7-րդ դասարան
(շաբաթական 2 ժամ, ընդամենը 68 ժամ)
Քառանկյուններ (17 ժամ)
1.Բազմանկյուն: 2.Ուռուցիկ բազմանկյուն: Յ.Քառանկյուն: ^Զուգահե­
ռագիծ: 5.Զուգսւհեռւսգծի հայտւսնիշները: 6.Եռանկյան միջին գիծը:
7.Թալեսի թեորեմը: 8.Սեղսւն: 9.Ուղղանկյուն: 10.Շեղանկյուն և քառա­
կուսի: 11.Առանցքային և կենտրոնային համաչափություններ: 12.Տարա-
ծական պատկերներ: 13.Զուգահեռանիստ: 14.Ուղղանկյունանիստ և
խորանարդ: 15.Պրիզմսւ (հատվածւսկողմ): 16.Բուրգ:
Շրջանագիծ (22 ժամ)
17.Երկու կետերով անցնող շրջանագիծը: 18.Լարի միջնակետով անց­
նող շառավիղը: 19.Շրջանագծի որոշումը երեք կետերով: 20.Շրջանա-
գծի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունը: 21.Շրջանագծի շոշափող:
22.Շրջանագծի աղեղի աստիճանային չափը: 23.Թեորեմ ներգծյալ ան­
կյան մասին: 24.Անկյան կիսորդի և հատվածի միջնուղղահայացի
հատկությունները: 25.Թեորեմ եռանկյան բարձրությունների հատման
կետի մասին: 26.Եռանկյան միջնագծերի հատման կետը: 27.Ներգծյալ
շրջանագիծ: 28.Արտագծյալ շրջանագիծ: 29.Երկու շրջանագծերի
փոխադարձ դասավորությունը: ՅՕ.Կետերի երկրաչափական տեղը:
31 .Պատկերացում գլանի մասին: 32.Պատկերացում կոնի մասին:
ՅՅ.Պւստկերւսցում գնդի մասին:
Մակերես (14 ժամ)
34.Բազմանկյան մակերեսի հասկացությունը: 35.Քառակուսու մակերեսը:
36.Ուղղանկյան մակերեսը: 37.Զուգահեռագծի մակերեսը: 38.Եռւսն-.
կյան մակերեսը: 39.Սեղանի մակերեսը: 40.Խորանարդի մակերևույթի
մակերեսը: 41.Ուղղանկյունանիստի մակերևույթի մակերեսը: 42.Պյու-
թւսգորասի թեորեմը: 43.Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը:
Նման եռանկյուններ (9 ժամ)
44.Համեմատական հատվածներ: 45.ՆՅւսն եռանկյունների սահ­
մանումը: 46.Եռանկյունների նմանության առաջին հայտանիշը:
47.Եռանկյունների նմանության երկրորդ հայտանիշը: 48.Եռանկյուն-
ների նմանության երրորդ հայտանիշը: 49.Եռանկյունների նմանության
մի քանի կիրառություններ:
Կրկնություն Լ գիտելիքների ստուգում (6 ժամ)
8-րդ դասարան
(շաբաթական 2 ժամ, ընդամենը 68 ժամ)
Նման պատկերներ (14 ժամ)
1.Նման եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը: 2.Նման եռան­
կյունների գծային տարրերի հարաբերությունները: Յ.Երկրաչափական

13. պատկերների նմանության մասին: 4.Համեմատական հատվածները
ուղղանկյուն եռանկյան մեջ: 5.Եռանկյան կիսորդի հատկությունը: 6.
Երկու ուղղի' մի քանի զուգահեռ ուղիղներով հատումից առաջացած
հատվածների համեմատականությունը: 7.Եռւսնկյունների նմանության
գործնական կիրառություններ: 8.Հատվող լարերի հատկությունը:
9.Շրջանագծի հատողի և շոշւսւիողի հատկությունը:
Եռանկյունների լուծում՛ը (20 ժամ)
10.Ուղղւսնկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգեն­
սը: 11.Սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքները 30°,45°,60° ան­
կյունների համար: 12.Առնչություններ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի
և անկյուների միջև: 13.Կոորդինսւտների ուղղանկյուն համակարգ:
14.Հատվածի միջնակետի կոորդինատները: 15.Կետերի հեռավորու­
թյունը կոորդինատներով: 16.Սինուս, կոսինուս, տանգենս: ^.Եռան­
կյունաչափական հիմնական նույնությունը: 18.Բերման բանաձևեր:
19.Կետի կոորդինատների հաշվման բանաձևերը: 20.Թեորեմ եռանկյան
մակերեսի մասին: 21 .Սինուսների թեորեմը: 22.Կոսինուսների թեորեմը:
23.Եռւսնկյունների լուծումը: 24.Չավտղսւկան աշխատանքներ: 25.Զու-
գահեռագծի մակերեսի հաշվման բանաձևը: 26.Քառանկյան մակերեսի
բանաձևը: 27.Հերոնի բանաձևը: 28.Եռանկյան մակերեսի, կողմերի և
արտագծյալ շրջանագծի շառավիղի կապը:
Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը (11 ժամ)
29.Կանոնավոր բազմանկյուն: ՅՕ.Կանոնւսվոր բազմանկյանը արտա­
գծած շրջանագիծ: 31.Կանոնավոր բազմանկյանը ներգծած շրջանա­
գիծ: 32.Կանոնավոր բազմանկյան մակերեսի, նրա կողմերի և ներգծյալ
շրջանագծի շառավիղի հաշվման բանաձևեր: ՅՅ.Կանոնւսվոր բազման­
կյունների կառուցումը: 34.Շրջանագծի երկարությունը: 35.Շրջանի մա­
կերեսը: 36.Շրջանային սեկտորի մակերեսը: 37.Սեգմենտի մակերեսը:
Վեկտորներ (11 ժամ)
38.Վեկտորի հասկացությունը: 39.Վեկտորների հավասարությունը:
40.Վեկտորների տեղադրումը տրված կետից: 41 .Երկու վեկտորների
գումարը: 42.Վեկտորների գումարման օրենքները: Զուգահեռագծի կա­
նոնը: 43.Մի քանի վեկտորների գումարը: 44.Վեկտորների հանումը:
45.Վեկտորի և թվի արտադրյալը: 46.Վեկտորների կիրառությունը
խնդիրներ լուծելիս: 47.Վեկտորի վերածումը ըստ երկու տարագիծ վեկ­
տորների: 48.Վեկտորի կոորդինատները: 49.Վեկտորների կազմած ան­
կյունը: 50.[Վեկտորների սկալյար արտադրյալը]:
հարթաչափության աքսիոմների մասին (2 ժամ)
Որոշ տեղեկություններ երկրաչափության պատմությունից (1 ժամ)
Կրկնություն և գիտելիքների ստուգում (9 ժամ)

14. ԳԼՈՒԽ 1
ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ 6-ՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆՈՒՄ
ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԻ ԴԱՍԱԺԱՄԱՅԻՆ ՕՐԻՆԱԿԵԼԻ ՊԼԱՆԱՎՈՐՈՒՄ
Գլուխ 1 Նախնական երկրաչափական տեղեկություններ 12
1. Ուղիղ և հատված 2
2. ճառագայթ և անկյուն 1
3. Հատվածների և անկյունների համեմատումը 1
4. Հատվածների չափումը 1
5. Անկյունների չափումը 2
6. Ուղղահայաց ուղիղներ 2
Գլուխ 1-ի կրկնություն 2
Գիտելիքների ստուգում 1
Գլուխ 2 Եռանկյուններ 13
^ Եռանկյունների հավասարության առաջին
հայտանիշը 3
2 Եռանկյան միջնագծերը, կիսորդները և
բարձրությունները 4
_ Եռանկյունների հավասարության երկրորդ և
երրորդ հայտանիշները 3
Գլուխ 2-ի կրկնություն 2
Գիտելիքների ստուգում 1
Գլուխ 3 Զուգահեռ ուղիղներ 11
1. Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները 3
2. Զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը 5
Գլուխ 3-ի կրկնություն 2
Գիտելիքների ստուգում 1
թ. ո.հ. ճ Առնչություններ եռանկյան կողմերի ն ւսնկյուն-
4ԼՈԼ|Ա4 ների միջև 16
1. Եռանկյան անկյունների գումարը 3
2 Առնչություններ եռանկյան կողմերի և
անկյունների միջև 3
3. Ուղղանկյուն եռանկյուններ 4
ձ Եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև
առնչությունների որոշ կիրառություններ 3
Գլուխ 4-ի կրկնություն 2
Գիտելիքների ստուգում 1

15. Գլուխ 5 Երկրաչափական կառուցումներ 8
1. Կառուցումներ կարկինով և քանոնով 3
2. Կառուցման խնդիրներ 2
Գլուխ 5-ի կրկնություն 2
Գիտելիքների ստուգում 1
Դասընթացի կրկնության դասեր 6
Գիտելիքների տարեվերջյան ստուգում և գնահատում 2
Ընդամենը 68
1.ՆԱԽՆԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ
ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ
1. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը
Առաջին գլխում դիտարկվում են պարզագույն երկրաչափական
պատկերներ' կետ, ուղիղ, հատված, ճառագայթ, անկյուն, ուսումնա­
սիրվում են հատվածների և անկյունների համեմատման և չափման
հարցերը, ներմուծվում են կից և հակադիր անկյունների, ուղղահայաց
ուղիղների հասկացությունները: Այդ հասկացությունները ներմուծվում
են ակնառու այն պատկերացումների հիման վրա, որոնք ձևավորվել են
սովորողների' 1-5-րդ դասարաններում մաթեմատիկայի ուսումնասիր­
ման և կուտակված փորձի շնորհիվ: Աքսիոմի հասկացությունը այս և
երկրորդ գլուխներում չի ներմուծվում, աքսիոմները բացահայտ տես­
քով չեն ձևակերպվում: Միաժամանակ, նկարագրական ձևով բերվում
են այն ելակետային դրույթները, որոնք անհրաժեշտ են երկրաչա­
փական պատկերների հատկությունների ուսումնասիրության համար:
Սովորողների ակնառու պատկերացումների վրա են հիմնված նւսև
այդ գլխի խնդիրների լուծումը: Գլխում շարադրված երկրաչափական
նյութի գործնական կիրառությունը բացահայտվում է «Ուղղի ձողա­
նշումը տեղանքում», «Չափման միավորներ: Չափիչ գործիքներ»,
«Անկյունների չափումը տեղանքում» դասերի ընթացքում: Իսկ այդ
գործնական աշխատանքները կարող են կատարվել ուսումնական
տարվա հարմար ժամանակում: ՜֊
Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները'
ըստ պարսպրաֆննրի, հետևյալներն են.
§1. Համակարգել աշակերտների գիտելիքները կետերի և ուղիղների
հնարավոր դասավորության մասին, պարզաբանել «Ցանկացած
երկու կետերով անցնում է ուղիղ, ընդ որում' միայն մեկը» դրույթի

16. իմաստը, ներմուծել հատվածի հասկացությունը, նկարագրել
տեղանքում ուղիղներ տանելու (ձողանշելու) գործնական եղա­
նակները:
§2. Պարզաբանել, թե ինչ է ճառագայթը, անկյունը, ներմուծել անկյան
ներքին և արտաքին տիրույթների հասկացությունները, ծանոթաց­
նել ճառագայթների և անկյունների տարբեր նշանակումներին:
§3. Ներմուծել երկրաչափության կարևոր հասկացություններից մեկը'
պատկերների հավասարությունը, մասնավորապես, հատվածների
և անկյունների հավասարությունը, ինչպես նաև հատվածի միջնա­
կետի և անկյան կիսորդի հասկացությունները:
§4. Պարզաբանել հատվածների չափման գործնական անհրաժեշտու­
թյունը, ներմուծել հատվածի երկարության հասկացությունը, դի-
տարկել հատվածների երկարությունների հատկությունները, ծա­
նոթացնել հատվածների չափման գործիքներին:
§5. Ներմուծել անկյան աստիճանային չափի հասկացությունը, դիտար-
կել անկյունների աստիճանային չափի հատկությունները, ներմու­
ծել սուր, ուղիղ և բութ անկյունների հասկացությունները, նկարա­
գրել տեղանքում անկյուններ չափելու գործիքներից օգտվելու
եղանակները:
§6. Ներմուծել կից և հակադիր անկյունների հասկացությունները, դի-
տարկել դրանց հատկությունները, նեմուծել ուղղահայաց ուղիղ­
ների հասկացությունը և ցույց տալ, թե ինչպես կիրառել այդ հաս­
կացությունները խնդիրներ լուծելիս:
1.բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները
§1-
Я* [i տ ե Ն ա լ քանի ուղիղ կարելի է տանել երկու կետով, քանի
ընդհանուր կետ կարող են ունենալ երկու ուղիղները:
^ ш р п ւլ ա Ն ա լ ' նշանակել կետը և ուղիղները նկարի վրա, պատկե­
րել կետերի և ուղիղների, երկու ուղիղների փախադարձ դասավո­
րության հնարավոր դեպքերը, բացատրել ինչ է հատվածը, նկարի վրա
պատկերել և նշանակել հատվածները:
§2-
Գ ի ա Ь ն ա լ, թե որ երկրաչափական պատկերն է կոչվում անկյուն:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ պատկերել և նշանակել ճառագայթ, նշանակել
չփռված և փռված անկյունները, ըստ նկարի անվանել անկյունների
տարրերը, նկարի վրա ցույց տալ, թե որ պատկերն է չփռված անկյան
ներքին և արտաքին տիրույթները, հասկանալ, թե որ ճառագայթներն են
անկյունը տրոհում երկու անկյան, տանել այդպիսի ճառագայթները:

17. Գ ի տ ե ն ա լ, թե որ երկրաչափական պատկերներն են կոչվում հավա­
սար, որ կետն է կոչվում հատվածի միջնակետ, որ ճառագայթն է կոչ­
վում անկյան կիսորդ:
Կ ա ր ո դ ա նալ համեմատել հատվածները և անկյունները, համե­
մատման արդյունքը գրառել, մասշտաբային քանոնի օգնությամբ նշել
հատվածի միջնակետը, անկյունաչափի օգնությամբ տանել անկյան
կիսորդ:
§4-
Գ ի տ ե ն ա լ , որ չափման ընտրված միավորի դեպքում ցանկացած
տրված հատվածի երկարությունն արտահայտվում է որոշակի դրական
թվով:
կ ա ր ո ղ ա ն ա լ մասշտաբային քանոնի օգնությամբ չափել տրված
հատվածը և նրա երկարությունը արտահայտել սանտիմետրերով,
միլիմետրերով, մետրերով, գտնել հատվածի երկարությունն այն
դեպքում, երբ տրված հատվածը կետով տրոհվում է երկու հատ­
վածների, որոնց երկարությունները հայտնի են, լուծել 36-38, 42, 43
խնդիրների տիպի խնդիրներ:
§5.
Գ ի տ ե ն ա լ , թե ինչ է աստիճանը, ինչի են հավասար րոպեն ե
վայրկյանը:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' օգտագործելով անկյունաչափը գտնել տրված
անկյունների աստիճանային չափերը, պատկերել սուր, ուղիդ և բութ
անկյուններ, լուծել 55-58 խնդիրների տիպի խնդիրներ:
§6.
Գ ի տ ե ն ա լ, թե որ անկյուններն են կոչվում կից և ինչի են հավասար
կից անկյունների գումարը, թե որ անկյուններն են կոչվում հակադիր և
ինչ հատկությամբ են օժտված դրանք, թե որ ուղիղներն են կոչվում
ուղղահայաց, ինչպես նաև ւսյն վւաստը, որ երրորդ ուղղին ուղղահա­
յաց երկու ուղիղները չեն հատվում:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ կառուցել տրված անկյան կից անկյուն, պատկերել
հակադիր անկյուններ, լուծել 66, 67, 69, 74, 75, 79 խնդիրների տիպի
խնդիրներ:
1.գ. Խորհուրդներ խնդիրների լուծումների գրառման վերաբերյալ
Այս գլխի խնդիրներից շատերի համար բավական է, որ սովորող­
ները կատարեն ճիշտ գծապատկերում և ըստ գծագրի համառոտ
§3.

18. գրառեն լուծումը: Ստորև բերվում են 40, 46, 47, 48 խնդիրների
լուծումների օրինակելի ձևակերպումներ1:
40. Տրված են ' С կետը АВ հատվածի միջնակետն է, АВ=64 սմ, D- ն
СА ճառագայթի կետ է, CD=15 սմ: Գտնել BD-ն և DA-ն:
Լ ո ւ ծ ո ւ մ : AC=CB=AB:2=32ufr 60=60+ՇԸ=32սմ+15սմ=
=47սմ: AD=AC-DC=32ll^5l^=17ufr
46. Տրված О, A և В կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա, ОА = 12սմ,
ОВ = 9 սմ: Գտնել MN-ը, որտեղ М-ը ОА-ի միջնակետն է, N-ը ОВ-ի
միջնակետը:
Լ ո ւ ծ ո ւ մ : ОМ = ֊ 04 = 6 սմ, ON = ֊ 0B = 4,5 սմ:
ա) 0 կետը գտնվում է AB հատվածի վրա, ուստի' այն գտնվում է MN
հատվածի վրա: MN=OM+ 0N=6 սմ+4,5 սմ = 10,5 սմ:
բ) A և В կետերը գտնվում են մի ճառագայթի վրա, որի սկզբնա­
կետը 0 կետն է, ուստի М և N կետերը գտնվում են նույն ճառագայ­
թի վրա: ON+NM=OM, որտեղից' MN=OM-ON=6u^4,5 սմ=1,5 սմ:
47. 0-ն տրված AB հատվածի վրա գտնվող կետ է: AB=a: Գտնել MN-ը,
որտեղ М-ը АО-ի միջնակետն է, N-ը DB-ի միջնակետը:
Լ ո ւ ծ ո ւ մ : MO = -AO, NO = -OB,
2 2
MN = МО + ON = — (АО + OB) = — АВ = — а:
2 2 2
48. Տրված է АВ=28 սմ, М-ը АС-ի միջնակետն է, N-ը' DB-ի միջնակետը,
MN=16 սմ: Գտնել CD-ն:
Լ ո ւ ծ ո ւ մ : AB=2MC+CD+2DN=28 սմ (1)
MN=MC+CD+DN=16u^ 2MC+2CD+2DN=32 սմ (2)
(2) հավասարությունից հանենք (1) հավասարությունը, ստանում ենք
Շ0=32սմ-28սմ=4սմ:
1. p. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր
§1.
1. Քանոնով գծեք ուղիղ և այն նշանակեք b տառով:
ա)Նշեք b ուղղի վրա գտնվող M կետ:
բ) Նշեք b ուղղի վրա չգտնվողի կետ:
1 Խնդիրների լուծման վերաբերյալ մանրամասն մեկնաբանությունների
և խորհուրդների համար տե ս [1] կամ [13] ուղեցույցը:

19. գ)Օգտագործելով е և й պայմանանշանները' գրառեք «М կետը
գտնվում է b ուղղի վրա» և «N կետը չի գտնվում b ուղղի վրա»
նախադասությունները:
Առանց քանոնի գծեք ուղիղ և քանոնով ստուգեք արդյունքը:
Վարժությունը կրկնեք մի քանի անգամ:
Գծեք M կետում հատվող a և b ուղիղներ: a ուղղի վրա նշեք M
կետից տարբեր N կետը:
ա)Արդյո՞ք տարբեր են MN և a ուղիղները:
բ) b ուղիղը կարո՞ղ է, արդյոք, անցնել N կետով:
Լրացուցիչ հանձնարարություն
Քանի՞ հատման կետ կարող են ունենալ երեք ուղիղները: Դիտար-
կեք հնարավոր դեպքերը: Կատարեք գծապատկերում:
Հարթության վրա տրված են երեք կետ: Քանի՞ ուղիղ Է կարելի
տանել այդ կետերով այնպես, որ յուրաքանչյուր ուղիղն անցնի այդ
կետերից առնվազն երկուսով: Դիտարկեք բոլոր հնարավոր դեպ­
քերը: Կատարեք գծապատկերում:
§2-
Տարեք որևէ a ուղիղ:
ш)а ուղղի վրա А.В և С կետերը նշեք այնպես, որ А կետը գտնվի В և
С կետերի միջև:
բ)Թվարկեք А սկզբնակետով ճառագայթները:
q)AB ճառագայթի վրա նշեք D կետ: A.B և D կետերի դասավորու­
թյան ի՞նչ դեպքեր են հնարավոր:
Գծագրեք hk չփռված անկյուն:
ա)Անկյան գագաթից տարեք այնպիսի է. ճառագայթ, որով hk
անկյունը տրոհվի երկու անկյան:
բ)Թվարկեք բոլոր այն անկյունները, որոնք կազմված են h,k և է.
ճառագայթներով:
գ)Տարեք այնպիսի m ճառագայթ, որ հ ճառագայթի հետ կազմի
փռված անկյուն:
Լրացուցիչ հանձնարարություն
Տրված են անկյուն և երկու կետ: Դիտարկեք այդ կետերի' անկյան
նկատմամբ դասավորության բոլոր դեպքերը:
§3.
О սկզբնակետով հ ճառագայթի վրա ОА և ОВ հատվածները
տեղադրեք այնպես, որ А կետը գտնվի О և В կետերի միջև:

20. 1. Օգտագործելով <, >, = պայմանանշանները գրառեք ОА և ОВ
հատվածների համեմատման արդյունքը:
2. Գծագրեք ABC չփռված անկյուն և տարեք որևէ BD ճառագայթ, որը
ABC անկյունը տրոհի երկու անկյան: Օգտագործելով <,>,= պայ­
մանանշանները' գրառեք անկյունների համեմատման արդյունքը,
ա) ABC և ABD անկյունների համար, բ) ABC և DBC անկյունների
համար:
§4-
1-ին տարբերակ
1. b ուղղի վրա C.D և E կետերը նշված են այնպես, որ ՇՕ=6սմ,
DE=8ui5: Որքա՞ն կարող Է լինել CE հատվածի երկարությունը:
2. M կետը AB հատվածի միջնակետն Է, և МВ=4ф5 Յսմ: Գտեք АВ
երկարությունը. ա)դեցիմետրերով, բ)սանտիմետրերով:
2-րդ տարբերակ
1. m ուղղի վրա A,B և С կետերը նշված են այնպես, որ AC=12u^
AB=8ufr Որքա՞ն կարող Է լինել BC հատվածի երկարությունը:
2. P կետը MN հատվածի միջնակետն Է, և 1/11տ1=14դմ: Գտեք PN
հատվածի երկարությունը' արտահայտելով. ա)դեցիմետրերով,
բ)մետրերով:
3-րդ տարբերակ
1. Տրված են CD հատվածը և M կետը, ընդ որում' ՇՕ=17սմ, Շ1/1=13սմ,
DM=5u^-M կետը արդյոք գտնվո՞ւմ Է CD հատվածի վրա:
2. b ուղղի վրա C,D,E և F կետերը հաջորդաբար նշված են այնպես,
որ CD=EF: CD և EF հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը
հավասար Է12,4սմ: Գտեք С և E կետերի հեռավորությունը:
§5.
1-ին տարբերակ
ABC փռված անկյունը BD ճառագայթով տրոհված Է երկու անկյան,
որոնցից մեկը 34°-ով մեծ Է մյուսից: Գտեք առաջացած անկյունները:
2-րդ տարբերակ
ABC ուղիղ անկյունը BD ճառագայթով տրոհված Է երկու անկյան, որոն­
ցից մեկը 4 անգամ մեծ Է մյուսից: Գտեք առաջացած անկյունները:
3-րդ տարբերակ
ABC փռված անկյունը BD ճառագայթով տրոհված Է երկու անկյան,
որոնց տարբերությունը 46° Է: Գտեք առաջացած անկյունները:

21. 4-րդ տարբերակ
ABC ուղիղ անկյունը BD ճառագայթով տրոհված է 5:4 հարաբերությամբ:
Գտեք BD ճառագայթի և ABC անկյան կիսորդի կազմած անկյունը:
§6.
1-ին տարբերակ
1. Կից անկյուններից մեկը 27°-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ կից ան­
կյունները:
2. Գտեք այն բոլոր չփռված անկյունները, որոնք առաջանում են երկու
ուղիղների հատումից, եթե այդ անկյուններից երկուսի գումարը
226° է:
2-րդ տարբերակ
1. Կից անկյուններից մեկը 9 անգամ մեծ է մյուսից: Գտեք այդ կից
անկյունները:
2. Գտեք այն բոլոր չփռված անկյունները, որոնք առաջանում են երկու
ուղղի հատումից, եթե այդ անկյուններից մեկը 81°-ով փոքր է
մյուսից:
3-րդ տարբերակ
1. Գտեք կից անկյունները, եթե նրանց աստիճանային չափերը
հարաբերում են, ինչպես 2:7:
2. Գտեք այն բոլոր չփռված անկյունները, որոնք առաջանում են երկու
ուղիղների հատումից, եթե նրանցից երկուսի տարբերությունը 71 է:
1.Է. Ստուգողական աշխատանք N1
1-ին տարբերակ
1. B,C և D կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: Հայտնի է, որ ՑԾ=17սմ
ԸՇ=25սմ:Որքա՞նկարողԷլինելВСհատվածիերկարությունը:
2. МС և DE ուղիղների հատումից առաջացած МОЕ և DOC հակադիր
անկյուններիգումարը204*է՛ԳտեքMODանկյունը:
3. Անկյունաչափի օգնությամբ գծագրեք 7(ք-ի անկյուն և տարեք նրա
կիցանկյանկիսորդը:
2-րդ տարբերակ
1. M.N և К կետերը գտնվում են մի ուղղիւվրա: Հայտնի է, որ
MN=15սմ,MK=18սմ:Որքա՞նկարողէլինելМКհեռավորությունը:
2. AD և ВС ուղիղների հատումից առաջացած АОВ և COD հակադիր
անկյուններիգումարը10ffէ:ԳտեքBODանկյունը:

22. 3. Անկյունաչափի օգնությամբ գծագրեք 13?-ի հավասար անկյուն և
տարեքնրակիցանկյանկիսորդը:
3-րդ տարբերակ
1. M.N և Р կետերը գտնվո՞ւմ են, արդյոք, մի ուղղի վրա, եթե
МР=12ий,MN=5u^PN=8ud'
2. Գտեք այն չփռված անկյունները, որոնք առաջանում են երկու
ուղիղների հատումից, եթե այդ անկյուններից երկուսի
տարբերությունը37°է:
3. AB և CD ուղիղները փոխուղղահայաց են և հատվում են О կետում:
ОЕճառագայթըAODանկյանկիսորդնէ:ԳտեքСОЕանկյունը:
2. ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ
2. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը
Երկրորդ գլխում ուսումնասիրվում են եռանկյունների հավասարու­
թյան հւսյտանիշները: Թեորեմների մեծ մասի ապացուցումը կառուց­
վում է ըստ հետևյալ սխեմայի, հավասար էտանկյուննսրի որոնում, դրանց
հավասարության ապացուցում, էտանկյուննէտի հավասարությունից բիտդ
հէոոեանբնէւրի վէտլուծություն: Եռանկյունների հավասարության հայւուս-
նիշները լայն հնարավորություն են բացում խնդիրների լուծման հա­
մար, դրանով իսկ ընձեռելով մտահանգումներ կատարելու փորձ ձեռք ՜
բերելու հնարավորություն:
Առաջին և երկրորդ հայտանիշների ապացուցման հիմքում ընկած Է
եռանկյուններից մեկի' մյուսի վրա վերադրմամբ համընկնելու փաստի
բացահայտումը: Դա նշանակում է, որ եռանկյունների հավասարությու­
նը ապացուցվում Է ըստ պատկերների հավասարության սահմանման:
Ապացուցման այս եղանակը դիտողական Է, ընկալելի Է սովորողնե­
րի համար, լիովին համապատասխանում Է պատկերների հավասարու­
թյան մասին նրանց պատկերացումներին:
Եռանկյունների հավասարության հայտանիշների ուսումնասիրման
սկզբնական շրջանում ցանկալի Է ավելի շատ ուշադրություն դարձնել
պատրաստի գծագրերով խնդիրների լուծմանը: Հետագայում սովորող­
ներին աստիճանաբար պետք Է նպատակաուղղել' ըստ խնդրի պայման­
ների գծապատկերներ կատարելուն, ինչը զգալիորեն կհեշտացնի
եռանկյունների հավասարության հայտանիշները տեսնելուն:
Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները'
ըստ պարագրաֆների, հէոոեյալնէՅրն էՅն.
20
___

23. §1 .Ներմուծել եռանկյան և նրա տարրերի հասկացությունները, թեորեմի
և թեորեմի ապացուցում հասկացությունները, ապացուցել եռան­
կյունների հավասարության առաջին հայտանիշը:
§2.Ներմուծել ուղղի ուղղահայացի հասկացությունը, ապացուցել ուղղա­
հայացի մասին թեորեմը, ներմուծել եռանկյան միջնագծի, կիսորդի և
բարձրության հասկացությունները:
§Յ.Ուսումնասիրել եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ
հայտանիշները, մշակել հմտություններ այդ հայտանիշները խնդիր­
ների լուծման ընթացքում օգտագործելու համար:
2. բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները
§1.
Գ ի տ ե Ն ա լ ինչ է եռանկյան պարագիծը, թե որ եռանկյուններն են
կոչվում հավասար, եռանկյունների հավասարության առաջին հայտա­
նիշի ձևակերպումն ու ապացուցումը:
Կ ւ ս ր ո ւ լ ա Ն ա լ բացատրել, թե որ պատկերն է կոչվում եռանկյուն,
անվանել եռանկյան տարրերը, լուծել 101-104, 108 խնդիրների տիպի
խնդիրներ:
§շ.
Я * ի ա ե Ն ա լ ուղղին ուղղահայացի մասին թեորեմի ձևակերպումը,
հավասարասրուն եռանկյան հատկությունների մասին թեորեմների
ձևակերպումներն ու ապացուցումները:
Կ ա ր п դ ա ն ա լ ' բացատրել, թե տրված կետից տրված ուղղին
տարված հատվածներից որն է կոչվում ուղղահայաց, թե ինչ են եռան­
կյան միջնագիծը, կիսորդը, բարձրությունը, թե որ եռանկյունն է կոչվում
հավասարասրուն, կատարել 112-116 առաջադրանքների տիպի գործ­
նական առաջադրանքներ և լուծել 117-119, 125, 128, 130, 132 խնդիր­
ների տիպի խնդիրներ:
§3՛
Գ ի տ ե ն ա լ եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ
հայտանիշների ձևակերպումներն ու ապացուցումները:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' լուծել 134-136, 138, 142, 150-153 խնդիրների տի­
պի խնդիրներ:

24. 2. գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր
§1-
1-ին տարբերակ
Ապացուցեք դասագրքի նկար 57-ի ABD և ACD եռանկյունների հավա­
սարությունը, եթե АВ=АС և Z1=Z2: Գտեք ABD և ADB անկյունները,
եթե ZADC=120° և ZACD=42°:
2-րդ տարբերակ
Ապացուցեք դասագրքի նկար 58-ի ABC և ADC եռանկյունների հավա­
սարությունը, եթե BC=AD և Z1=Z2: Գտեք ACD և ADC անկյունները,
եթե ZABC=108°, ZBAC-32°:
3-րդ տարբերակ
Հայտնի է որ, AMKP=AMiKiPi, ընդ որում' ZM=ZMi, ZK=ZK1: MP և
МтР! կողմերի վրա Е և Ei կետերը նշված են այնպես, որ ME=M1E1:
Ապացուցեք, որ АМЕК^М^!^:
§2-
1-ին տարբերակ
Հավասարասրուն եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է: Գտեք
այդ եռանկյան անկյունները, եթե հայտնի է, որ. ա)նրանցից մեկը 105° է,
բ)նրանցից մեկը 38° է:
2-րդ տարբերակ
Հավասարասրուն եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է: Գտեք •
այդ եռանկյան անկյունները, եթե հայտնի է, որ. ա)նրանցից մեկը 62° է,
բ)նրանցից մեկը 98 է:
Լրացուցիչ խնդիր
Գտեք այն եռանկյան կողմերը, որի պարագիծը կողմերից մեծ է 9սմ-ով,
8սմ-ով և 7սմ-ով:
§3.
1-ին տարբերակ
1. Ապացուցեք դասագրքի նկար 79-ի РВО և ТСО եռանկյունների
հավասարությունը, եթե հայտնի է, որ ВО=СО և ZB=ZC: Գտեք ОСТ
եռանկյան կողմերը, եթե Բ6=3սմ, 013=4սմ, ԲՕ=5սմ:
2. Դասագրքի 76, բ նկարում AiC^AiC և CiB^CBv Ապացուցեք, որ
A1B1 ճառագայթը CAtCi անկյան կիսորդն է:
2-րդ տարբերակ
1. ABC և A-|B-|Ci եռանկյուններում AB=AiB1, ZA=ZAi, ZB=ZB1,: ВС և
B-jCi կողմերի վրա D և Di կետերը նշված են այնպես, որ

25. ZCAD=ZCiA1Di: Ապացուցեք որ. lu)AADC=AAiDiCi,
p)AADB=AA1DiB1:
2. MNP-ն MP հիմքով հավասարասրուն եռանկյուն է: К-ն МР
հատվածի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ NK ճառագայթը MNP
անկյան կիսորդն է:
3-րդ տարբերակ
1. 1. DEC և DiE-1C1 եռանկյուններում DE=D1Ei, ZD=ZD1, ZE=ZEi: DE
և DiEi կողմերի վրա P և Pi կետերը նշված են այնպես, որ
ZDCP=ZD1C1P1: Ապացուցեք, որ. iu)ADCP=AD1C1P1, р)ДСРЕ=
=АС1Р1Е1
2. MNP-ն МР հիմքով հավասարասրուն եռանկյուն է, իսկ ND-ն այդ
եռանկյան կիսորդն է: Ապացուցեք, որ MD և PD հատվածները
հավասար են:
2.ե. Ստուգողական աշխատանք N2
1-ին տարբերակ
1. ABC և MNO եռանկյունները հավասար են, ընդ որում ZA-ZN,
ZB-ՀՕ, ZC=ZM: Գտեք այդ եռանկյունների համապատաս­
խանաբարհավասարկողմերը:
2. AB և CD հատվածներն ունեն ընդհանուր միջնակետ Օ-ն:
Ապացուցեք,որZDAO=ZCBO:
3. AD ճառագայթը A անկյան կիսորդն է: A անկյան կողմերի վրա В և С
կետերը նշված են այնպես, որ ZADB=ZADC: Ապացուցեք, որ
AB=AC:
2-րդ տարբերակ
1. ABCևEFKեռանկյուններըհավասարեն,ընդորում'AB=FK,
AC-EF,BC-EK:Գրեքայդեռանկյուններիհամապատասխանաբար
հավասարանկյունները:
2. D կետը ME և PK հատվածների ընդհանուր միջնակետն է:
Ապացուցեք,որZKMD=ZPED:
3. D անկյան կողմերի վրա M և К կետերը նշված են այնպես, որ
DM=DK: P կետը գտնվում է D անկյան ներսում, և PK=PM: Ապացու­
ցեք,որDPճառագայթըMDKանկյանկիսորդնէ:
3-րդ տարբերակ
1. ABC և FHO եռանկյունները հավասար են, ընդ որում ՀԹ=ՀՕ և
AB=HO: Գտեք այդ եռանկյունների համապատասխանաբար հավա­
սարմյուսկողմերնուանկյունները:
□

26. 2. АСЕ և DBF եռանկյունների մեջ CE=BF, ZC=ZB, ZE=ZF: AAj-ը և
DDrD ACE և DBF եռանկյունների կիսորդներ են: Ապացուցեք, որ
AA1—DDp
3. A անկյան կողմերի վրա В և С կետերը նշված են այնպես, որ
АВ=АС: М կետը գտնվում է А անկյան ներսում, և MB=MC: AM ուղղի
վրա D կետը նշված Է այնպես, որ M կետը գտնվում Է A և D կետերի
միջև:Ապացուցեք,որZBMD=ZCMD:
3. ԶՈՒԳԱՀԵՌ ՈՒՂԻՂՆԵՐ
Յ.սւ. Թեմ՜այի ուսուցման հիմնական հարցերը
Այս գլխում ներմուծվում է երկրաչափության կարևորագույն հաս­
կացություններից մեկը զուգահեռ ուղիղների հասկացությունը, տրվում
է որոշակի պատկերացում աքսիոմի և աքսիոմատիկ մեթոդի մասին:
Ուսումնասիրվում են զուգահեռ ուղիղների հայտանիշներն ու հատկու­
թյունները: Երկրաչափական նոր փաստերի հիման վրա էապես ընդ­
լայնվում է դիտարկվող խնդիրների շրջանակը: Զուգահեռ ուղիղների
ուսումնասիրությունը հարուստ նյութ է տալիս նաև արտադասարանա­
կան աշխատանքների համար: Աշակերտներին կարելի է ծանոթացնել,
մասնավորապես, մաթեմատիկայի զարգացման պատմության հարցե­
րին' կապված Էվկլիդեսի հինգերորդ պոստուլատի հետ:
Ուսուցման հիմն ական նպատակներն ու խնդիրները'
ըստ պարագրաֆների, հետնյալներն են.
§1.Ներմուծել զուգահեռ ուղիղների հասկացությունը, դիտարկել երկու՛
ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները' կապված խաչադիր,
միակողմանի և համապատասխան անկյունների հետ, ցույց տալ, թե
ինչպես են դրանք կիրառվում խնդիրներ լուծելիս:
§2.Պատկերացում տալ երկրաչափության աքսիոմների մասին, ներմու­
ծել զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը, դիտարկել զուգահեռ ուղիղների
հատկությունները և ցույց տալ, թե ինչպես են դրանք կիրառվում
խմդիրներ լուծելիս:
3. բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները
§1-
Գ ի տ ե ն ա լ ' զուգահեռ ուղիղների սահմանումը, այն անկյունների
անվանումը, որոնք առաջանում են երկու ուղիղները հատողով հատե­
լիս, ուղիղների զուգահեռության հայտանիշների ձևակերպումները:
Իմանալ, թե որ հատվածներն ու ճառագայթներն են զուգահեռ:
^ ա p ո ւլ ա ն ա լ ' նկարի վրա ցույց տալ խաչադիր, համապատաս­
խան, միակողմանի անկյուններ, ապացուցել երկու ուղիղների զուգա-
24

27. հեռության հայտանիշները և դրանք կիրառել 183-186, 191, 194 խնդիր­
ների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
Գ ի տ ե ն ա լ ' զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը և նրա հետևանքները,
զուգահեռ ուղիղների հատկությունների ձևակերպումները:
կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել զուգահեռ ուղիղների հատկություն­
ները և դրանք կիրառել 196-199, 201, 203-205, 209 խնդիրների տիպի
խնդիրներ լուծելիս:
3. գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր
§1-
1-ին տարբերակ
1. Արդյոք զուգահե՞ռ են դասագրքի 98 նկարում պատկերված а և b
ուղիղները, եթե Ճ1=Ճ6:
2. P կետը EL և KF հատվածների ընդհանուր միջնակետն է: Ապացու­
ցեք, որ EFKL:
2-րդ տարբերակ
1. Արդյոք զուգահե՞ռ են դասագրքի 98 նկարում պատկերված a և b
ուղիղները, եթե Ճ1+Ճ7=180°:
2. MQ և MP հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր F միջնակե­
տում: Ապացուցեք, որ MN||PQ:
3-րդ տարբերակ
1. AC ընդհանուր հիմքով ABC և ADC հավասարասրուն եռան­
կյունները հավասար են: Ընդ որում' Թևն գագաթները գտնվում են
AC ուղղի տարբեր կողմերում: Ապացուցեք, որ. ա) А£||С1>,
P)BC||m:
2. Երկու ուղիղներ հատողով հատելիս առաջացել են ութ անկյուններ,
որոնցից մեկը 2 անգամ փոքր է մյուսից: Արդյոք բացառվու՞մ է այդ
ուղիղների զուգահեռ լինելը:
1. a և b զուգահեռ ուղիղները հատողով հատելիս առաջացած միա­
կողմանի անկյուններից մեկը 37°-ով մեծ է մյուսից: Գտեք այդ
անկյունները:
§2-
§2-
1-ին տարբերակ

28. 2. ABC ուղղանկյուն եռանկյան С ուղիղ անկյան գագաթով տարված է
АВ կողմին զուգահեռ CD ուղիղը: Գտեք եռանկյան A և В ան­
կյունները, եթե ZDCB=37°:
2-րդ տարբերակ
1. a և b զուգահեռ ուղիղները հատողով հատելիս առաջացած միա­
կողմանի անկյուններից մեկը 4 անգամ մեծ է մյուսից: Գտեք այդ
անկյունները:
2. D ուղիղ անկյուն ունեցող CDE եռանկյան С գագաթով տարված է
DE ուղղին զուգահեռ СР ուղիղը: Գտեք եռանկյան С և Е ան­
կյունները, եթե ZPCE=49°:
3. դ. Ստուգողական աշխատանք N3
1-ին տարբերակ
1. EF և PQ հատվածները հատվում են իրենց M միջնակետում:
Ապացուցեք,որPEQF:
2. DM հատվածը CDE եռանկյան կիսորդն է: M կետով տարված է CD
կողմին զուգահեռ և DE կողմը N կետում հատող ուղիղ: Գտեք DMN
եռանկյանանկյունները,եթեZCDE=6ff:
2-րդ տարբերակ
1. MNևEFհատվածներըհատվումենիրենցPմիջնակետում:Ապա-.
ցուցեք,որENMF:
2. AD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն է: D կետով տարված է AB
կողմին զուգահեռ և AC կողմը F կետում հատող ուղիղ: Գտեք ADF
եռանկյանանկյունները,եթեZBAC=72?:
3-րդ տարբերակ
1. AD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն t: D կետով տարված է AB
կողմը E կետում հատող ուղիղ այնպես, որ AE=ED: Գտեք AED
եռանկյանանկյունները,եթեZBED=64>:
2. AB հատվածի M միջնակետով տարված է CD հատվածը այն­
պես,որ ACj|BD; Ապացուցեք,որМ-ըCDհատվածիմիջնակետնէ:
4-րդ տարբերակ
1. DM հատվածը CDE եռանկյան կիսորդն է: M կետով տարված t DE
կողմը N կետում հատող ուղիղ այնպես, որ DN=MN: Գտեք DMN
եռանկյանանկյունները,եթեZCDE=7<f:

29. 2. AD և ВС հատվածները հատվում են М կետում, ընդ որում
AB=CD և ABCD: Ապացուցեք, որ M կետը AD և BC հատվածների
միջնակետնէ:
4.ԱՌՆՉՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՌԱՆԿՅԱՆ ԿՈՂՄԵՐԻ
ԵՎ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ
4. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը
Այս գլխում բւսցահայտվում են եռանկյունների նոր, հետաքրքիր ե
կարևոր հատկություններ: Գլուխն սկսվում է երկրաչափության կարևոր
թեորեմներից մեկով' եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորե­
մով: Այնուհետև դիտարկվում են եռանկյան կողմերի և անկյունների
միջև առնչություններ, ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության
հատկությունները և հայտանիշները:
Նախնական ծանոթություն է տրվում տարածական պատկերների
մասին որպես օրինակ դիտարկելով քառանիստը:
Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները'
ըստ պարագրաֆների, հետնյալներն են.
§1.Ապացուցել եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմը, դրա
հետևանքները, ներմուծել սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն
եռանկյունների հասկացությունները, ցույց տալ, թե ինչպես են կի­
րառվում ապացուցված թեորեմները խնդիրներ լուծելիս:
§2.Դիտարկել եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև առնչությունների
մասին թեորեմները, այդ թեորեմներից հետևանքները, ցույց տալ, թե
դրանք ինչպես կիրառել այլ թեորեմներ ապացուցելիս և խնդիրներ
լուծելիս:
§Յ.Դիտարկել ուղղանկյուն եռանկյունների որոշ հատկություններ և
հայտանիշներ, ցույց տալ, թե ինչպես են դրանք կիրառվում
խնդիրներ լուծելիս:
§4.Դիտարկել եռանկյան կողմերի և անկյունների առնչությունների մի
քանի կարևոր կիրառություններ, այդ թվում' ուղղահայացի և թեքի
երկարությունների, ինչպես նաև երկու կետերը միացնող հատվածի
և բեկյալի համեմատությունները, ծանոթություն տալ քառանիստի
մասին:

30. 4. բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները
§1-
Գ ի տ ե ն ա լ ' եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմը և նրա
հետևանքները, թե որ անկյունն է կոչվում եռանկյան արտաքին անկյուն,
որ եռանկյունն է կոչվում սուրանկյուն, ուղղանկյուն, բութանկյուն:
կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել եռանկյան անկյունների գումարի մա­
սին թեորեմը և նրա հետևանքները, լուծել 226-232, 237 խնդիրների
տիպի խնդիրներ:
§շ.
Գ ի տ ե ն ա լ և կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել եռանկյան կողմերի
և անկյունների միջև առնչությունների մասին թեորեմները և դրանցից
բխող հետևանքները, եռանկյան անհավասարության մասին թեորեմը,
կարողանալ դրանք կիրառել 241-245, 248, 249 խնդիրների տիպի
խնդիրներ լուծելիս:
§3-
Գ ի տ ե ն ա լ ' ուղղանկյուն եռանկյունների 1-3 հատկությունները,
ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշների ձևակեր­
պումները:
կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել ուղղանկյուն եռանկյունների հատկու­
թյունները և հավասարության հայտանիշները, դրանք կիրառել 260-
262, 264, 266, 269, 271 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§4.
Գ ի տ ե ն ա լ ե _ կ ա ր ո ղ ա ն ա լ համեմատել կետից ուղղին տա­
րած ուղղահայացը և թեքը, երկու կետը միացնող հատվածը և բեկյալը,
դրանք կիրառել 276, 278, 282, 288, 290, 291, 295, 296 խնդիրների
տիպի խնդիրներ լուծելիս:
4. գ.հնքնուրույն աշխատանքի նյութեր
§1-
1-ին տարբերակ
1. Հավասարասրուն եռանկյան անկյուններից մեկը 96° է: Գտեք
եռանկյան մյուս անկյունները:
2. CDE եռանկյան մեջ տարված է CF կիսորդը, ընդ որում' ZCED=32°,
ZCFD=72°: Գտեք D անկյունը: 7

31. 2-րդ տարբերակ
1. Հավասարասրուն եռանկյան անկյուններից մեկը 108° է: Գտեք
եռանկյան մյուս անկյունները:
2. CDE եռանկյան մեջ տարված է CF կիսորդը, ZD=68°, ZE=32°: Գտեք
CFD անկյունը:
3-րդ տարբերակ
1. MP հիմքով և 64 -ի հավասար N անկյունով MNP հավասարասրուն
եռանկյան մեջ տարված է MH բարձրությունը: Գտեք ZPMH-ը:
2. CDE եռանկյան մեջ տարված են F կետում հատվող CK և DP
կիսորդները, ընդ որում ZDFK=78°: Գտեք ZCED-ն:
4-րդ տարբերակ
1. CE հիմքով և 102°-ի հավասար D անկյունով CDE հավասարասրուն
եռանկյան մեջ տարված է CH բարձրությունը: Գտեք ZDCH-ը:
ABC եռանկյան մեջ տարված են К կետում հատվող AM և BN
կիսորդները, ընդ որում' ZAKN=85°: Գտեք ZACB-ն:
§2-
) 1-ին տարբերակ
ABC եռանկյան մեջ տարված է BD կիսորդը, ZA=75°, ZC=35°: ա)
Ապացուցեք, որ ABDC-O հավասարասրուն է: բ) Համեմատեք AD և DC
հատվածները:
2-րդ տարբերակ
CDE եռանկյան մեջ տարված է EF կիսորդը, ZC=90°, ZD=30°: ա)
Ապացուցեք, որ ADEF-ը հավասարասրուն է: բ) Համեմատեք CF և DF
հատվածները:
§3.
1-ին տարբերակ
1. ABC սուրանկյուն եռանկյան AC կողմի D միջնակետից տարված են
AB և BC կողմերին ուղղահայացներ DE-ն և DF-ը: Հայտնի 4, որ
DE=DF: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է:
2. Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը հավասար է 60°-ի, իսկ
ներքնաձիգի և փոքր էջի գումարը հավասար է 18 սմ: Գտեք
ներքնաձիգը և փոքր էջը:

32. 2-րդ տարբերակ
1. АВ հատվածի միջնակետով տարված է а ուղիղը: А և В կետերով
տարված են а ուղղին AC և BD ուղղահայացները: Ապացուցեք, որ
AC=BD:
2. E ուղիղ անկյունն ունեցող CDE ուղղանկյուն եռանկյան մեջ տար­
ված է EF բարձրությունը: Գտեք CF-ը և FD-ն, եթե Շ0=18սմ, իսկ
ZDCE=30°:
3-րդ տարբերակ
1. О չփռված անկյան կիսորդի М կետով այդ անկյան կողմերին
տարված են МА և MB ուղղահայացները: Ապացուցեք, որ AO=BO:
2. AB ներքնաձիգով և 60°-ի հավասար A անկյունով ABC ուղղանկյուն
եռանկյան մեջ տարված է CH բարձրությունը: Գտեք ВН-ը, եթե
AH=6ufr
4. դ. Ստուգողական աշխատանք N4
1-ին տարբերակ
1. CDE եռանկյան մեջ M կետը գտնվում է CE կողմի վրա, ընդ որում'
ZCMD-նսուրէ:Ապացուցեք,որDE>DM:
2. Հավասարասրուն բութանկյուն եռանկյան պարագիծը 45 սմ է, իսկ
նրա կողմերից մեկը մյուսից մեծ Է Ցսմ-ով: Գտեք այդ եռանկյան
կողմերը:
3. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ՀՇ=9ժ, Հ8=6ծ}, AB= 15սմ: Գտեք
ВС-ն:
2-րդ տարբերակ
1. MNP եռանկյան մեջ К կետը գտնվում Է MN կողմի վրա, ընդ որում
ZMKP^:Ապացուցեք,որKP<MP:
2. Բութանկյուն հավասարասրուն եռանկյան կողմերից մեկը 17սմ-ով
փոքր Է մյուսից: Գտեք այդ եռանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը
77սմԷ:
3. Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը 6ժ է, իսկ ներքնա­
ձիգիևփոքրէջիգումարը42սմ:Գտեքներքնաձիգը:
3-րդ տարբերակ
1. MNK եռանկյան մեջ ZK=3f, ZM=6(f, NP-ն եռանկյան կիսորդն է:
Ապացուցեք,որMP<PK:
2. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 45սմ Է, իսկ նրա կողմերից
մեկըմյուսիցմեծԷ12սմ-ով:Գտեքայդեռանկյանկողմերը:

33. 3. С ուղիղ անկյունով DCE ուղղանկյուն եռանկյան մեջ տարված է EF
կիսորդը, ընդ որում FC= 13սմ: Գտեք F կետի հեռավորությունը DE
ուղղից:
4-րդ տարբերակ
1. CDE եռանկյան մեջ ZE=7(f, ZD=6tf, ЕК-ն եռանկյան կիսորդն է:
Ապացուցեք,որKC>DK:
2. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 50սմ է, իսկ նրա կողմերից
մեկը13սմ-ովփոքրէմյուսից:Գտեքայդեռանկյանկողմերը:
3. MNP սուրանկյուն եռանկյան M անկյան կիսորդը NK բարձրու­
թյունը հատում է О կետում, ընդ որում' OK=9ufc Գտեք О կետի
հեռավորությունըMNուղղից:
5. ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ 4ԱՌՈէ8Ո|-ՄՆԾՐ
*
5.Ш. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը
Այն գլուխը հիմնականում նվիրված է երկրաչափական կառուցում­
ներին, որոնք կատարվում են քանոնի և կարկինի օգնությամբ: Կարևոր
է այն հանգամանքը, որ այդ կառուցումները ունենալու են ոչ այնքան
գործնական, որքան տեսական բնույթ: Դա երկրաչափական ավանդա­
կան նյութ է, որը նպատակաուղդվւսծ է սովորողների գիտելիքների ամ­
րապնդմանը և նրանց պատկերային և հատկապես տրամաբանական
մտածողության զարգացմանը:
Գլխի սկզբում դիտարկվում է շրջանագիծը, տրվում է նրա սահմա­
նումը և պարզաբանվում են նրա տարրերի որոշ առնչություններ: Այնու­
հետև դիտարկվում են կառուցման խնդիրներ, բացատրվում դրանց
առանձնահատկությունները և ցուցադրվում որոշակի օրինակների
վրա: Այս գլուխը մեծ հնարավորություններ է ընձեռում գիտելիքների,
այդ թվում' կից և հակադիր անկյունների հատկություններին, եռան­
կյունների հավասարության հայտանիշներին, զուգահեռ և ուղղահայաց
ուղիղների հատկություններին և երկրաչափական բազմաթիվ այլ փաս­
տերին վերաբերող գիտելիքների կրկնության և ամրապնդման համար:
Ուսուցման հիմն ական նպատակներն ու խնդիրները'
ըստ պարագրաֆննրի, հստեյալնսբն Mi.
§1 .Ներմուծել շրջանագծի հասկացությունը, պարզաբանել, թե որոնք
են նրա հիմնական տարրերը, ծանոթացնել քանոնի և կարկինի' իբրև
Երկրաչափական կառուցումների գործիքների հետ, (սովորողները
դրանց մասին, իբրև գծագրական գործիքների, արդեն գիտեն), նկա­
րագրել կառուցման խնդիրների իմաստն ու լուծման եղանակները,
բացատրել տրվածին հավասար հատվածի և տրվածին հավասար
անկյան կառուցման խնդիրների լուծումները:

34. §2.Պարզաբանել կառուցման խնդրի լուծման առանձնահատկություն­
ները, ձևավորել լուծման քայլեր կատարելու հմտություններ, դի-
տարկել հատվածի միջնուղղահայւսցի և անկյան կիսորդի հատկու­
թյունները և դրանք կիրառել կառուցման խնդիրներ լուծելիս, բա­
ցատրել եռանկյան' ըստ երեք տարրերի կառուցման խնդիրների
լուծումները:
5.p. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջներն
§1-
Գ ի տ ե ն ա լ ' շրջանագծի սահմանումը, իմանալ, թե ինչ է շրջանագծի
կենտրոնը, շառավիղը, լարը, տրամագիծը, աղեղը:
Կ ա ր ո ւ լ ա Ն ւ ս լ ' կարկինի և քանոնի օգնությամբ կատարել պարզա­
գույն կառուցումներ, տրվածին հավասար հատվածի, հավասար ան­
կյան, տրված շառավիղով շրջանագծի կառուցումները, լուծել 315-318,
321-322, 325, 328 խնդիրների տիպի խնդիրներ:
§2-
՜ Կ ա ր ո ւ լ ա ՛ մ ա լ ' քանոնի և կարկինի օգնությամբ կառուցել հատվածի
միջնուղղահայացը, անկյան կիսորդը, տրված կետով անցնող և տրված
ուղղին ուղղահայաց և զուգահեռ ուղիղները, կառուցել եռանկյունը'
ըստ տրված երեք տարրերի, լուծել 331-334, 341-343 խնդիրների տիպի
խնդիրներ:
5. գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր
§1-
1-ին տարբերակ
KM և EF հատվածները О կենտրոնով շրջանագծի տրամագծերն են:
Ապացուցեք, որ ա) ZFEM=ZKME, բ) KE և MF հատվածները
հավասար են:
2-րդ տարբերակ
ME և PK հատվածները О կենտրոնով շրջանագծի տրամագծերն են:
Ապացուցեք, որ ա) ZEMP=ZMPK, բ) MK և PE հատվածները հավասար
են:
3-րդ տարբերակ
О կենտրոնով շրջանագծում AC տրամագիծը և OB շառավիղը տար­
ված են այնպես, որ BC լարը հավասար է շառավյղին: Գտեք ZAOB-ն:
32
___ _

35. §2.
1-ին տարբերակ
1. Կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցեք տրված հատվածի
միջնակետը:
2. Կառուցեք եռանկյուն' տրված երկու կողմով և դրանց կազմած
անկյունով:
2-րդ տարբերակ
1. Կարկինի ե քանոնի օգնությամբ կառուցեք տրված անկյան կի­
սորդը:
2. Կառուցեք եռանկյուն տրված կողմով և նրան առընթեր երկու
անկյունով:
3-րդ տարբերակ
1. Կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցեք տրված հատվածի
միջնուղղահայացը:
2. Կառուցեք եռանկյունը' տրված երկու կողմերով ե դրանցից մեկին
տարված բարձրությունով:
5. դ. Ստուգողական աշխատանք N5
1-ին տարբերակ
1. Կառուցեք տրված а ուղղի վրա չգտնվող տրված А կետով անցնող
ուղիղ,որըզուգահեռէаուղղին:
2. Գծագրեք AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյուն և, կարկինի ու
քանոնիօգնությամբ,տարեքВգագաթովանցնողբարձրությունը:
2-րդ տարբերակ
1. Կառուցեք տրված а ուղղի վրա չգտնվող А կետով անցնող ուղիղ,
որնուղղահայացէаուղղին:
2. Գծագրեք ВС հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյուն և, կարկինի
ու քանոնի օգնությամբ, կառուցեք AC սրունքին տարված
միջնագիծը:
3-րդ տարբերակ
1. Կառուցեք տրված a ուղղի վրա գտնվող A կետով անցնող ուղիղ,
որնուղղահայացէaուղղին:
2. Գծագրեք A ուղիղ անկյունով ABC հավասարասրուն ուղղանկյուն
եռանկյուն և, քանոնի ու կարկինի օգնությամբ, BC ներքնաձիգի
միջնակետովտարեքACԷջինզուգահեռուղիղ:

36. ԳԼՈՒԽ 2
ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ 7-ՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆՈՒՄ
ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԻ ԴԱՍԱԺԱՄԱՅԻՆ ՕՐԻՆԱԿԵԼԻ ՊԼԱՆԱՎՈՐՈՒՄ
Գլուխ 6 Քառանկյուններ 17
1. Բազմանկյուններ 2
2. Զուգահեռագիծ 3
3. Թալեսի թեորեմը: Սեղան 3
4. Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի 4
5. Պատկերացում բազմանիստերի մասին 2
Գլուխ 6-ի կրկնություն 2
Գիտելիքների ստուգում 1
Գլուխ 7 Շրջանագիծ 22
1. Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը 3
2. Շրջանագծի շոշափող 3
3. Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ 3
4. Եռանկյան չորս նշանավոր կետերը 3
5. Ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր 4
6. Պատկերացում գլանի, կոնի և գնդի մասին 3
Գլուխ 7-ի կրկնություն 2
Գիտելիքների ստուգում 1
Գլուխ 8 Մակերես 14-
1. Բազմանկյան մակերեսը 2
2. Զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները 4
3. Խորանարդի և ուղղանկյունանիստի մակերևույթ­
ների մակերեսները 2
4. Պյութագորասի թեորեմը 3
Գլուխ 8-ի կրկնություն 2
Գիտելիքների ստուգում 1
Գլուխ 9 Նման եռանկյուններ 9
1. Նման եռանկյունների սահմանումը 3
2. Եռանկյունների նմանության հայտանիշները 4
Գլուխ 9-ի կրկնություն 1
Գիտելիքների ստուգում 1
Դասընթացի կրկնության դասեր 4
Գիտելիքների տարեվերջյան ստուգում Լ գնահատում 2
Ընդամենը

37. 6. ՔԱՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ
6. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը
Այս գլուխը հիմնականում նվիրված է քառանկյունների առավել կա­
րևոր տեսակների զուգահեռագծի, ուղղանկյան, շեղանկյան, քառակուսու
և սեղանի ուսումնասիրությանը: Նյութի շարադրանքը հիմնականում
ավանդական է, որը ուսուցչին հնարավորություն է տալիս ազատ կերպով
օգտագործել եղած մեթոդական մշակումները և դասավանդման փորձը:
Գլխի վերջում դիտարկվում են կենտրոնային և առանցքային համա­
չափությունները, որոնք այստեղ ներմուծվում են ոչ թե որպես հարթու­
թյան ձևափոխություններ, այլ որպես զուտ երկրաչափական պատկեր­
ների հատկություններ, ընդ որում' նշվում են ուսումնասիրվող քառան­
կյունների համաչափությունների տարրերը:
Գլուխն ավարտվում է տարածական պատկերների ուսումնասիրու­
թյամբ. ծանոթություն է տրվում բազմւսնիստերի զուգահեռանիստի,
պրիզմայի, ուղղանկյունանիստի, խորանարդի և բուրգի մասին, պատ­
կերացում է տրվում նրանց տարրերի' գագաթների, կողերի, նիստերի և
դրանց միջև որոշ առնչությունների վերաբերյալ:
Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները'
ըստ պարագրաֆների, հետնյալներն են.
§1 .Ներմուծել բազմանկյան, ուռուցիկ բազմանկյան հասկացություննե­
րը, արտածել նրա ներքին անկյունների գումարի բանաձևը և դի-
տարկել քառանկյունը որպես բազմանկյան մասնավոր դեպք:
§2.Ներմուծել զուգահեռագծի հասկացությունը, ուսումնասիրել նրա
հատկությունները և հայտանիշները, ամրապնդել ստացված գիտե­
լիքները խնդիրներ լուծելու ընթացքում:
§Յ.Ներմուծել եռանկյան միջին գծի հասկացությունը, ապացուցել Թա-
լեսի թեորեմը, ներմուծել սեղանի հասկացությունը, ուսումնասիրել
նրա հատկությունները և դրանք կիրառել խնդիրներ լուծելիս:
§4.Մանրամասն ուսումնասիրել զուգահեռագծի մասնավոր տեսակ­
ները ուղղանկյունը, շեղանկյունը և քառակուսին, ծանոթացնել
դրանց գործնականում հաճախ հանդիպող մոդելների հետ:
§5.0նդհւսնուր ծանոթություն տալ տարածական պատկերների, մաս­
նավորապես, բազմանիստերի' զուգահեռանիստի, ուղղանկյունա-
նիստի, խորանարդի, պրիզմայի և բուրգի մասին, ցույց տալ դրանց
մոդելները, պարզաբանել տարրերի փոխադարձ դասավորությունը
և առնչությունները այդ տարրերի միջև:

38. 6. p. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները
§1-
Դ | ւ ս ւ ե Ն ա լ ' բազմանկյան, ուռուցիկ բազմանկյան սահմանումները,
ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարի բանաձևի արտածումը:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' տարբերել բազմանկյան տարրերը, կիրառել գիտե­
լիքները 2-12 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§2.
Ղ* է Ա1 ե Ն ա լ ' զուգահեռագծի սահմանումը, զուգահեռագծի հատկու­
թյունների և հայտանիշների ձևակերպումները:
կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել զուգահեռագծի հատկությունները և
հայտանիշները, դրանք կիրառել 16,19, 23-26, 31 խնդիրների տիպի
խնդիրներ լուծելիս:
§3-
Գ ի տ ե ն ա լ ' սեղանի սահմանումը, եռանկյան և սեղանի միջին գծի
հատկությունների, հավասարասրուն սեղանի հատկությունների և հայ­
տանիշի ձևակերպումները:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել եռանկյան և սեղանի միջին գծերի հատ­
կությունները, հատվածը բաժանել ո հավասար մասերի' կարկինի և
քանոնի օգնությամբ, լուծել 35, 40, 41, 42, 50 խնդիրների տիպի
խնդիրներ:
§4.
Գ ի տ ե ն ա լ ' ուղղանկյան, շեղանկյան, քառակուսու սահմանումնե­
րը, նրանց հատկությունների և հայտանիշների ձևակերպումները, ուղղի
և կետի նկատմամբ համաչափ կետերի և պատկերների սահմանումը:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ուղղանկյան, շեղանկյան և քառակուսու հատկու­
թյուններն ու հայտանիշները կիրառել 53-57, 62-65 խնդիրների տիպի
խնդիրներ լուծելիս, կառուցել համաչափ կետեր' ուղղի և կետի
նկատմամբ, ճանաչել առանցքային և կենտրոնային համաչափությամբ
օժտված պատկերները:
§5-
Գ ի տ ե ն ա լ , թե ինչ է տարածական պատկերը, թե ինչ է զուգահեռա­
նիստը, ուղղանկյունանիստը, խորանարդը, պրիզման, բուրգը:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ճանաչել նշված տարածական մարմինները, որոշել
նրանց նիստերի, կողերի, գագաթների թիվը, լուծել 91-94, 96, 99, 100
խնդիրների տիպի խնդիրներ: