:)

1. a)
𝟏
𝟏∙𝟐
+
𝟏
𝟐∙𝟑
+
𝟏
𝟑∙𝟒
+ ⋯+
𝟏
𝒏(𝒏+𝟏)
=
𝒏
𝒏+𝟏
, ∀ 𝒏 ∈ 𝑵
Verificamos que la proposición es cierta para 𝑛 = 1 (base inductiva):
1
1(1 + 1)
=
1
1 + 1
→
1
2
=
1
2
Hipótesis:
La fórmula es válida para 𝑛 = 𝑘
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
+ ⋯+
1
𝑘(𝑘 + 1)
=
𝑘
𝑘 + 1
Demostramos que la igualdad se cumple para un número mayor a 𝑘, es decir 𝑘 + 1:
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
+ ⋯+
1
𝑘(𝑘 + 1)
+
1
(𝑘 + 1)(𝑘 + 1 + 1)
=
𝑘 + 1
𝑘 + 1 + 1
Usamos la hipótesis:
𝑘
𝑘 + 1
+
𝑘
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
=
𝑘 + 1
𝑘 + 2
𝑘 (𝑘 + 2) + 1
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
=
𝑘 + 1
𝑘 + 2
𝑘2
+ 2𝑘 + 1
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
=
𝑘 + 1
𝑘 + 2
𝑘 + 1
𝑘 + 2
=
𝑘 + 1
𝑘 + 2
Por lo tanto,
1
1∙2
+
1
2∙3
+
1
3∙4
+ ⋯+
1
𝑛(𝑛+1)
=
𝑛
𝑛+1
, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁 es verdadera.
b) 𝟐𝟐𝒏−𝟏 + 𝟑𝟐𝒏−𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟓, ∀ 𝒏 ∈ 𝑵
Suponemos que es cierto para n.
Demostramos que es cierto para 𝑛 = 1
22∙1−1
+ 32∙1−1
= 21
+ 31
= 2 + 3 = 5
Hipótesis de inducción:
𝑃(𝑛) = 22(𝑛+1)−1
+ 32(𝑛+1)−𝑛
= 5𝑘, 𝑘 ∈ ℕ
Demostramos que la igualdad se cumple para un número mayor a 𝑛, es decir 𝑛 + 1:
22(𝑛+1)−1
+ 32(𝑛+1)−1
, por propiedad distributiva:
= 22𝑛+1
+ 32𝑛+1
32𝑛−1
= 5𝑘 − 22𝑛−1

2. 2𝑛+1
= 2𝑛−1
+ 2
= 2𝑛+1
+ 32𝑛−1+2
= 22𝑛+1
+ 32𝑛−1
∙ 32
= 22𝑛+1
+ 9
= 22𝑛+1
+ 9(5𝑘 − 22𝑛−1) = 22𝑛+1
∗ 45𝑘 − 9 ∙ 22𝑛−1
= 22𝑛−1+2
+ 45𝑘 − 9 ∙ 22𝑛−1
= 22𝑛−1
∙ 22𝑛−1
∙ 22
+ 45𝑘 − 9 ∙ 22𝑛−1
= (4 − 9) ∙ 22𝑛−1
+ 45𝑘
= (−5) ∙ 22𝑛−1
+ 45𝑘 = 5(4𝑘 − 2𝑛−1)
Quedó demostrado que 22𝑛−1
+ 32𝑛−1
𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 5