примеры решения тригонометрических уравнений в помощь студентам

1. Тема «Решение тригонометрических уравнений».
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Пример № 1. Решить уравнение sin2
x + sinx – 2 = 0.
Пусть sinx = у, тогда получим уравнение у2
+ у – 2 =0. Решив уравнение, получим
у1=1 и у2 = -2.
sinx = 1 sinx = - 2
х = + 2π n, n Z , корней нет, т.к. sinx [-1; 1].
Ответ: + 2π n, n Z.
Пример № 2. Решить уравнение 2 cos2
x -5 sinx + 1 = 0. Т. к. cos2
x = 1 - sin 2
x ,то
получим уравнение 2(1 - sin 2
x) - 5 sinx + 1 = 0,
2sin 2
x - 5 sinx +1 = 0. (см Пример №1.)
Пусть sinx = у, тогда получим уравнение 2 у2
- 5 у + 1 =0. у1= - 3 и у2 = .
sinx = -3 sinx = ,
корней нет, т. к. |sinx|≤ 1. x = (-1)k
· arсsin a + πk, k Z.
x = (-1)k
· + πk, k Z.
Ответ: x = (-1)k
· + πk, k Z.
Пример № 3. Решить уравнение tgx - 2 ctgx + 1 = 0. Т.к. сtgx = , то уравнение
примет вид tgx - +1 =0. О.Д.З. tgx , ctgx
Получим tg 2
x + tgx – 2 = 0. Пусть tgx =у, тогда получим уравнение у2
+ у – 2 =0,
у1=1 и у2 = - 2.
tgx= 1 tgx= -2,

2. х = + π n, n Z. х = arctg(-2) +πn,n Z.
Ответ: х = + π n, х = arctg(-2) + π n, n Z.
2. Уравнения, решаемые вынесением множителя за скобки.
Пример 1. sin2
x + 2 sinx = 0,
sinx(sinx + 2) = 0,
sinx = 0 или sinx + 2 = 0
sinx =0, sinx + 2 =0
x = πn, n Z sinx= -2 корней нет, т.к. sinx [ -1; 1].
Ответ: πn, n Z.
Пример 2. sin2x – cosx = 0, т.к. sin2x = 2 sinx cosx , то 2 sinx cosx - cosx =0,
сosx (2sinx -1)=0,
cosx =0 или 2sinx -1 =0.
х = + n, n Z. 2sinx = 1,
sinx = ,
x =(-1)k
+ k, k Z.
Ответ: + n, n Z, (-1)k
+ k, k Z.
Пример 3. tg2
x = 3tgx ,
tg2
x - 3tgx = 0,
tgx(tgx – 3) = 0,
tgx =0 или tgx – 3 = 0
х = πn, n Z tgx = 3
х = arctg3 + πn, n Z.
Ответ: πn, n Z , arctg3 + πn,
3. Однородные уравнения.

3. Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется
однородным. Его можно решать делением на старшую степень синуса (или косинуса).
Пример 1. sinx + cosx = 0. Делим уравнение на cosx. При этом потери корней нет, т.
к. если в это уравнение подставить cosx = 0, то получим, что и sinx = 0, что
невозможно.
+ = 0,
tgx+1=0,
tgx=- 1,
х = - + n, n Z.
Ответ:х=- + n,n Z.
Пример 2. sin 2
x – 5sinx cosx + 6 cos 2
x = 0. Делим уравнение на cos 2
x .
- + =0
tg 2
x – 5 tgx + 6 = 0;
tgx = 2, tgx = 3.
x = arctg 2 + πn, n Z, x = arctg 3 + πn, n Z.
Ответ:х=arctg2+πn,n Z,х=аrctg3+πn,n Z.
Пример 3. sin 4x + sin2
2x = 0.
2sin2x cos2x + sin 2
2x = 0;
sin2x( 2cos2x + sin2x) =0;
sin2x = 0 2cos2x + sin2x =0. Разделим уравнение на cos2x.
2x = πn, n Z, 2 + tg2x = 0,
x = πn 2, n Z. tg2x = -2,
2x = arctg (-2) + πn, n Z,
x=12arctg(-2)+ πn,n Z.
Ответ:х=πn2;х=12arctg(-2)+πn,n Z.

4. 4. С помощью универсальной подстановки.
13cos12sin5 =− xx . Применим универсальную подстановку:
2
1
2
2
sin
2 α
α
α
tg
tg
+
= ,
2
1
2
1
cos
2
2
α
α
α
tg
tg
+
−
= ,
2
1
2
2
2 α
α
α
tg
tg
tg
−
= .
Обозначим t
x
tg =
2
, тогда получим рациональное уравнение относительно t.
013
1
1212
1
10
2
2
2
=−
+
−
−
+ t
t
t
t
,
0
1
1313121210
2
22
=
+
−−+−
t
ttt
,
0
1
2510
2
2
=
+
−+−
t
tt
, 012
≠+t при любых значениях t.
025105
=+− tt ,
( ) 05
2
=−t ,
5=t .
Вернемся к исходной переменной. 5
2
=
x
tg
Znnarctg
x
∈+= ,5
2
π ,
Znnarctgx ∈+= ,252 π .
Проверим, являются ли числа вида Zkk ∈+ ,2ππ , решениями заданного уравнения:
( ) ( ) 132cos122sin5 =+−+ kk ππππ , 13cos12sin5 =− ππ , 1312 = - неверное числовое
равенство, значит числа вида Zkk ∈+ ,2ππ не являются корнями заданного уравнения.
Ответ:{ } Znnarctg ∈+ ,252 π .