1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1 ДС-1
1. Найдите производную функции if:
а) г]) (х) = sin х cos 2х + cos х sin 2х;
бЖлг) = Г г - 18( т - *
2. Напишите уравнение касательной к графику функции g (х)
sin |— х 1в точке с абсциссой х = — .
4 / 12
Вариант 2 ДС-1
1. Найдите производную функции if:
а) -ф(х) = cos a: cos Зх + sin х sin Зх;
б) 1|>(х) = ctg ( - = - - * ) + sin*
2 / sin 2х
2. Напишите уравнение касательной к графику функции g (х)
= cos f — + в точке с абсциссой х — — — .
4 I 12
Вариант 3 ДС-1
1. Найдите производную функции р :
а) р (х) — cos Зх cos 2х — sin Зх sin 2х;
б) р (х) = tg (2х2— 1).
2. Докажите, что функция / (я) = 2,6* + sin (1 — 2,5*) воз
растает на всей числовой прямой.
75
2. Вариант 4 д с -i
1. Найдите производную функции р :
а) р (х) = sin 2х • cos 3* + sin Зх cos 2х;
б) р (х) = ctg (2 — Зх2).
2. Докажите, что функция / (х) = cos (1 — 4х) — 4,1л: убывает
на всей числовой прямой.
Вариант 5 ДС-1
1. Найдите производную функции Я :
а) Н (х) = tg * “ 18(х ~ П ; б) Н(х) = sin32х + cos32х.
1+ tg* ■tg(x— 1)
2. Докажите, что функция г (х) = —2,5л: — cos2х + sin2х убы-
вает на всей числовой прямой.
Вариант 6 д с -1
1. Найдите производную функции Я :
а) Н ( Х ) = 1 Т Т Т Т Т Г ' б)Н(х)2tg(* + 1)
= cos4(2х2— 3).
2. Докажите, что функция г (х) = 2,1л: + 2 sin х sin ----- х
возрастает на всей числовой прямой.
Вариант 1 ДС-2*
1. Найдите предел:
a) lim (sin 4х cosx — sinA:cos4x); б)
я
1im^ctg (2х + y j .
* - 2 12
2. Вычислите:
, ,. sin 7л: ,. 2х
a) urn------------ ; б) lirn------------
х-+о sin 3,5* *->.0 sin(— х)
76
3. 1. Найдите предел:
/ Зл
a) lim (cos х cos 2х — sin л: sin 2л:); б) lim tg|3x + — ).
х-*п п 4 J
Вариант 2 Д С - 2 *
2. Вычислите:
а) lim ‘l 2f ; б) lim JHL(£z^L
х-*о 5х Х-+Л п — х
Вариант 3 ДС-2*
1. Найдите предел:
a) j;m s»n2х cos х + cos 2х sinх ш g, jjm 2tgs
*-►0 2х ’ я 1— tg2х
*"*6
2. Докажите, что функция у = у? + 2 cos х возрастает на про
межутке [0; оо[.
Вариант 4 Д С-2*
1. Найдите предел:
a) lim
-
— 5 б) lim ■1~ tg * .
*_>о cos.*sin 5х — cos 5 * sin * я 2 tg дс
2. Докажите, что функция у = cos х + 0,5л;2 убывает на про
межутке ]—оо ; 0].
Вариант 5 ДС-2*
1. Найдите предел:
X X
cos2 — — sin2 —О О
a) lim (sin 2л; •ctg 6л:); б) lim
Х-+0 х-*п „ . X X
2 sin — cos —
8 8
2. Докажите, что функция у = л;2 + cos2х убывает на проме
жутке ]—оо; 0].
77
4. 1. Найдите предел:
a) lim (sin 3* ctg 4х); б) lim 2cos* ..
* - 0 я я
Х-+—-
Вариант 6 ДС-2*
2
2
2. Докажите, что функция у = 2 c o s * y + — возрастает на
промежутке [0; оо[.
Вариант 1 ДС-3
1. При помощи первой и второй производной исследуйте пове
дение функции f (х) = 2х + cos 2х на промежутке
0; т [ '
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле
бания у = 7 cos 3xj. Укажите амплитуду, период, частоту
и начальную фазу этого колебания.
Вариант 2 ДС-3
1. При помощи первой и второй производной исследуйте пове
дение функции / (х) = sin 2х — 2х на промежутке
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле
бания y = 3 c o s ( — — — Укажите амплитуду, период, частоту и
18 2
начальную фаз-у этого колебания.
Вариант 3 ДС-3
1. Найдите точки перегиба функции
у = х3 — х2 + 2.
2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф
ференциальному уравнению
У" = - 4 у ,
если известно, что амплитуда этого колебания равна 5, а начальная
фаза равна
78
5. 1. Найдите точки перегиба функции
у = х? + 2х2 — 4.
, 2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф
ференциальному уравнению
У" = ~ 9 у ,
если известно, что амплитуда этого колебания равна 2,5, а началь
ная фаза равна
Вариант 4 ДС-3
Вариант 5 ДС-3
1. Найдите точки перегиба функции
у = х4 — х3 + 2х.
2. Найдите амплитуду гармонического
ряющего дифференциальному уравнению у"
что у (0) = 2 и у' (0) = 3.
колебания, удовлетво-
= —4у, если известно,
Вариант 6 ДС-3
1. Найдите точки перегиба функции
у — sin2х.
2. Найдите амплитуду гармонического
ряющего дифференциальному уравнению
колебания, удовлетво-
У" = - 9 у ,
если известно, что у (0) = 2 и у' (0) = 8.
Вариант 1 ДС-4
Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче
ских колебаний
уг = cos х и уг — cos
79
6. Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче
ских колебаний
ух = 2 cos х и у2 = cos ^х + -л
Вариант 2 ДС-4
Вариант 3 ДС-4
Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче
ских колебаний
ух — 3 cos 2* и у2 = 4 cos 2х + y j.
Вариант 4 ДС-4
Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче
ских колебаний
ух = 4 cos Зх и у2 = 3 cos ^3* —
Вариант 5 ДС-4
Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче
ских колебаний
ух = 5 cos и у2= 12 cos
Вариант 6 ДС-4
Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче
ских колебаний
1 х /х . п
у, = — cos— и у, = c o s -----
ух 2 3 ■У2 з з
80
7. Вариант 1 ДС-5
1. Приведите к значениям тригонометрических функций наи
меньшего положительного аргумента:
a) tg (-7 2 8 °); б) cos
О
2. Упростите
sin (л — a) cos + РI — sin (-у — а) cos (Зя + Р).
Вариант 2 ДС-5
1,- Приведите к значениям тригонометрических функций наи
меньшего положительного аргумента:
a) ctg 519°; б) siri — .
6
2. Упростите
cos (я + a) sin fy - — p'j — cos ( у + оАsin (Зя — р).
Вариант 3 ДС-5
1. Докажите тождество
sin (а + я) cos (Зя — а) _ 1
Зя
‘ 2 J
, , . я cos а
sin |а + — I cos [— + а |— 1
2. Упростите
— cos (4а + я) — 2 cos ^у- + 2а| sin (Зл + 2а) — cos2 -f y j .
Вариант 4 ДС-5
1. Докажите тождество
tg (я — a) Jl + ctg + aj ctg + 2a jj = tg a — ctg j^y — 2a j.
2. Вычислите
8 sin 110° cos 140° sin 30° sin 890°.
81
8. Вариант 5 ДС-5
1. Докажите тождество
sin [2и — у j cos (Зи + л) = sin (2и — л) sin (л — 3и) — sin ^у
2. Упростите
—os ^ - •ctg ( — — а')— cos (— + а ] sin (л — а).
sin (я — а ) s 2 j 2 }
Вариант 6 ДС-5
1. Докажите тождество
cos [4/ 4- у j cos (I — л) — cos ( у + 3/j = sin ^ y — 4/j sin (t + л).
2. Упростите
• » « (? + “ ) + si" ( y + “ ) (« + 2")-
Вариант 1 ДС-6
На рисунке дан график функ
ции g (х) = tg х на промежутке
]—л; л[. Ответьте на следующие
вопросы:
1. Каковы множества зна
чений переменной х, для кото
рых g (х) = 0; g (х) > 0; g (х) <
< 0?
2. Каковы промежутки мо
нотонности функции g?
3. На каком множестве из
области определения функция g
монотонна и принимает все
свои значения?
4. Обратима ли функция g>
Почему?
5. Из скольких «непрерывных
кусков» состоит график?
82
9. Вариант 2 ДС-6
На рисунке дан график функ
ции g (х) = ctg х на проме-
ЗлГ
жутке Ответьте на
я
2 ' 2
следующие вопросы:
1. Каковы множества значе
ний переменной х, для которых
g (.к) = 0; g (х) > 0; g (х) < 0?
2. Каковы промежутки мо
нотонности функции g?
3. На каком множестве из
области определения функция g
монотонна и принимает все свои
значения?
4. Обратима ли функция g?
Почему?
5. При каких х функция g
принимает значение 1?
Вариант 3 Д С-6
На рисунке дан график функ
ции h (х) = sin х на промежутке
— — ; л . Ответьте на следую-
3
щие вопросы:
1. Каковы множества зна
чений переменной х, для кото
рых h (я) == 0; h (х) < 0;
h (х) > 0?
2. Укажите значения х, при которых функция h имеет макси
мум или минимум.
3. Каковы промежутки монотонности функции /г?
4. На каком множестве из области определения функция h
монотонна и принимает все свои значения?
5. Обратима ли функция Ю
83
10. Вариант 4 ДС-6
На рисунке дан график функ
ции h (х) = cos х на промежут-
2я 1 „
Ответьте на сле-ке
- Т ;Л
дующие вопросы:
1. Каковы множества зна
чений переменной х, для кото
рых h (х) = 0; h (ж) < 0;
h (х) > 0?
2. Укажите значения х, при которых функция h имеет максимум
или минимум.
3. Каковы промежутки монотонности функции /г?
4. На каком множестве из области определения функция h мо
нотонна и принимает все свои значения?
5. ОбраТтима ли функция Ю
Вариант 5 Д С -6
ке Ответьте на сле-
На рисунке дан график функ
ции h (х) = sin 2х на промежут-
я
4
дующие вопросы:
1. Каковы множества зна
чений переменной х, для которых
h {х) = 0; h {х) < 0; h (х) > 0?
2. Укажите значения х, при
которых функция h имеет мак
симум или минимум.
3. Каковы промежутки мо
нотонности функции h?
4. На каком множестве из области определения функция h
монотонна и принимает все свои значения?
5. Обратима ли функция Л? Почему?
84
11. Вариант 6 ДС-6
На рисунке дан график функ
ции h (х) = cos 2х на проме- У ]
жутке n j. Ответьте на
следующие вопросы: _ # /
1. Каковы множества значе-
л ж З п /
4 2 4 / JT
ний переменной х, для которых 0
h {х) = 0 ; h (х) < 0 ; h (х) > 0 ?
2. Укажите значения х, при
которых функция h имеет мак
симум или минимум.
‘ *
3 . Каковы промежутки монотонности функции h ?
4. На каком множестве из области определения функция h
монотонна и принимает все свои значения?
5. Обратима ли функция /г? Почему?
Вариант 1 ДС-7
1. Вычислите tg (arcsin ( — - i ] + arcsin
2. Решите уравнение sin x cos 2x + cos x sin 2x — y 0 .
Вариант 2 ДС-7
1. Вычислите ctg (arcsin + arcsin (— 1)).
2. Решите уравнение 2 sin x sin — x'j = 1.
Вариант 3 ДС-7
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„
для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
неравенству
|sin t ^ 0,6.
2. Решите уравнение sin2х =
85
12. Вариант 4 ДС-7
1. Отметьте на единичной окружности множестео точек Р„ для
которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера
венству
|sin t 0,4.
2. Решите уравнение sin2х = 1
Вариант 5 ДС-7
1. Решите уравнение
Jsin 2д:| = 1.
2. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для
которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера
венству
1 < | sin / | < И .
2 2
Вариант 6 ДС-7
1. Решите уравнение
Isin 3*1 = —.
2
2. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для
которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера
венству
— |sin f| < 1.
2
Вариант 1 Д С-8
1. Отметьте на графике функции у = tg х, * € , мно-
л _ _л_
Т ’ 2
жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не
равенству
— 1 < tg х < 2.
2. Решите уравнение
tg / £ _ ^ = _ К з .
,2 3
3. Расположите в порядке возрастания числа
cos 4; cos 8', cos 12.
86
13. Вариант 2 Д С - 8
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Рп для
которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют не
равенству
— 1 < cos t < —.
2
2. Решите уравнение
3. Расположите в порядке убывания числа
tg 4; tg' 8; tg 12.
Вариант 3 Д С -8
1. Отметьте на графике функции у = tg х, х € , мно-
я _ п
Т ’ Т
жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не
равенству
tg2 * > 1.
2. Решите уравнение
cos” (2* + т ) “ {■
3. Расположите в порядке возрастания числа
tg 2; tg 4; tg 6; tg 8.
Вариант 4 ДС-8
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют не
равенству
I COS ^ I > — .
' 2
2. Решите уравнение
tg * + tg 2х _ 1__
1 — tg х ■tg 2х V 3
3. Расположите в порядке убывания числа
cos 2; cos 4; cos 6; cos 8.
87
14. Вариант 5 ДС-8
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для
которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют нера
венству
cos2 1 ^ 1.
2. Решите уравнение
2 cos4х — 3 cos2х = — 1.
3. Определите знак числа
(tg 4 - tg 3) • (tg 2 - tg 1) (tg 0 - tg (-1 ) ).
Вариант 6 ДС-8
я . я Г
¥ ’ 2 [’
МНО-1. Отметьте на графике функции у — tg х, х £
жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не
равенству
tg2х ^ 3.
2. Решите уравнение
3 tg4* — 10 tg2х + 3 = 0.
3. Определите знак числа
(cos 6 — cos 5) (cos 4 — cos 3) (cos 2 — cos 1).
Вариант 1 ДС-9*
1. Отметьте на графике функции у = ctg лг, х 6 ]—л; 0[, мно
жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не
равенству
— 1 ctg х 2.
2. Определите знак выражения
(ctg ( - 1 ) - ctg ( - 2 ) ) • (ctg ( - 3 ) - ctg ( -4 ) ).
Вариант 2 ДС-9*
1. Отметьте на графике функции у = ctg лг, х 6 ]—л, 0[, мно
жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не
равенству
—2 < ctg х < 1.
2. Расположите в порядке возрастания числа
ctg 4; ctg 8; ctg 12.
88
15. Вариант 3 ДС-9*
1. Расположите в порядке убывания числа
arcctg 3; arcctg 7; arcctg 9; arcctg 11.
2. Решите уравнение
c t g . ( 2 * - f ) - 3 .
Вариант 4 ДС-9*
1. Расположите в порядке возрастания числа
arcctg 4; arcctg 8; arcctg 12; arcctg 16.
2. Решите уравнение
с‘Ф + 1 ) = т
Вариант 5 ДС-9*
1. Решите уравнение
ctg (Зх — —
4
1.
2. Определите знак числа
(ctg 3 — ctg 4) (ctg 5 — ctg 6) (ctg 7 — ctg 8).
Вариант 6 ДС-9*
1. Решите уравнение
3 ctg4х — 4 ctg2* + 1 = 0 .
2. Определите знак числа
(arcctg 3 — arcctg 4) (arcctg 5 — arcctg 6).
Вариант 1 ДС-10
1. Найдите sin а , если известно, что tg а = 3.
2. Найдите sin а и cos сс, если известно, что tg а = —2 и что
а — угол II четверти.
16. 1. Найдите cos а, еслиизвестно, что ctg а = —2.
2. Найдите sin а и cos а , если известно,что ctg а = — и что
а — угол III четверти.
Вариант 3 ДС-10
1. Найдите cos (а + р), если известно, что
7 a 12
cos а -------, a cos р = —.
25 м 13
2. Решите уравнение
V 1 + c t g 2 X = --------— .
sin дг
Вариант 4 ДС-10
12
1. Найдите sin (а — (3), если известно, что sin a = - , a
io
ft 24cos p = —.
K 25
Вариант 2 ДС-10
2. Решите уравнение
V 1 + tg2*
cos *
Вариант 5 ДС-10
12
1. Найдите cos (a — P), если известно, что sin a = — , a sin p =
» * 1 3
3
5
2. Решите уравнение
V i
1 = — COS X.
+ tg 2 X
Вариант 6 ДС-10
5
1. Найдите sin (a + P), если известно, что sin a = -, а
lo
« 4
COS P = — .
5
2. Решите уравнение
= sin x.
I + ctg2X
90
17. 1. Найдите tg -2-и ctg у , если cos а = у и я < а < 2л.
2. Упростите выражение
i + sin а
Вариант 1 ДС-11
Вариант 2 ДС-11
1. Найдите tg — и ctg— , если sin а = — —
2 2 4
з
и — л < а < 2л.
2
2. Упростите выражение
1/ 1— sin а
V 2 •
Вариант 3 ДС-11
1. Найдите предел
lim l / 1 cos•*.
V 2*а
2. Решите уравнение 1 — cos 2х — 2 sin х.
Вариант 4 д с -11
1. Найдите предел
lim 2 I*1 • / 2
*-►0 г 1— cos*
2. Решите уравнение 1 -f cos 4х — 2 cos 2х. •
Вариант 5 ДС-11
1. Найдите предел
Пт 1/ isin 3*| Ц.
х-*0 г 1— COS3*
2. Решите уравнение
1 + sin 2х — 2 cos
91
18. Вариант 6 Д С -11
1. Найдите предел
lim lz z £ 2i £
х-+а 2х ■sin х
2. Решите уравнение
1 — sin 4х — 2 sin
( * - т >
Вариант 1 Д С -12
1. Упростите выражение (|~—■ ■—'J— 1.
2. Найдите sin a, tg a , ctg а, если cos — = — — и — £ [л; —я].
2 13 2 2
Вариант 2 Д С -12
П + tg2 а 2
1. Упростите выражение
2tg а
2. Найдите cos a, tga, ctg а, если sin у = и а £ |я; я|
Вариант 3 ДС-12
1+ tg21"Г* —а
1. Упростите выражение ~ -------— -tg 2a.
— — a
4
2. Найдите sin 4a и cos 4a, если tg a = 2.
2tg ¥ v^"3
3. Решите уравнение ------------ = ------- g-.
1+ V - j
92
19. Вариант 4 ДС-12
2 t g ( y + « ) 1 — tg2 ( - ^ — « )
1. Упростите выражение -— —.
/я / л
l + tg2 ^— + a j l + tg3 |^— — a j
2. Нарщите sin 4a и cos 4a, если ctg a = 3.
1— tg2~2 V 3"
3. Решите уравнение ------------ =
l + tga|
Вариант 5 ДС-12
1. Упростите выражение — ~ *c tg 2 [3 .
l + 1
2. Найдите sin 3a и cos 3a, если tg 1,5a = 8.
3. Решите уравнение —2t g - = — —.
1 + tg2 x 2
Вариант 6 ДС-12
я '
1 + t g 2 (P —
1. Упростите выражение ------
1 — ctg2 (" T + P4
2. Найдите sin За и cos За, если tg 1,5 a = 5.
1 — tg2 x l
3. Решите уравнение
1 + tg2 * 2
Вариант 1 ДС-13*
1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
sin 105° sin 75°.
2. Упростите выражение 2 sin 5х sin Зх + 2 cos х cos 7х.
93
20. 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
cos 105° •cos 75°.
2. Упростите выражение 2 cos 2х cos 5х — 2 sin 6* sin 3*.
Вариант 2 ДС-13*
Вариант 5 ДС-13*
1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
cos 10° • sin 20° • sin 40°.
2. Упростите выражение
sin2а + cos + а j cos ^ — a j.
3. Решите уравнение sin x • sin 3* = К
Вариант 4 ДС-13*
1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
cos 20° • cos 40° • cos 80°.
2. Упростите выражение
sin ^ + a j •sin ^ a j -f sin3a.
3. Решите уравнение
cos x • cos 3x = —
2
Вариант 3 ДС-13*
1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
я 2я 4я
cos — COS COS .
7 7 7
2. Упростите выражение cos|p
3. Решите уравнение
. х Зле 1 .
sin — cos — == sin x.
2 2 2
94
21. 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
о 2я 4я 8я
2cos — cos — cos —.
7 7 7
2. Упростите выражение
cos — Yj cos ( у + ?) + cos2( y — yj.
3. Решите уравнение
. Зх x l . л
sin — cos— = — sm 2*.
2 2 2
Вариант 6 ДС-13*
Вариант 1 ДС-14
Решите неравенство: _
1. sin 3* cos х — cos Зх sin х > — t-L . 2. ctg x < V 3.
Вариант 2 ДС-14
Решите неравенство:
1. cos 1,5* • cos * + sin 1,5* • sin * ^ —]I j L
2. ctg x > — y = .
Вариант 3 ДС-14
Решите неравенство:
1. sin (2* -j- j
2. |tg*| < 1.
1. sin (2* -j- cos Щ + cos (2x + y j sin у < 1.
Вариант 4 ДС-14
Решите неравенство:
. / п . 2я Зя • /о р 2я . Зя . ,
1. cos 2* А Icos sin 2* sm — < 1.
7 ) 14 7 / 1 4
2. |tg*|> 1.
95
22. Решите неравенство:
t g ( * + y ) + tg 2л: , j
1. — < 7г^. 2. sin2x - > —.
п У 6 А
1 — tg 2л • tg ( л + — J
Вариант 5 ДС-14
Вариант 6 ДС-14
Решите неравенство:
tg Зх — tg (х —у )
1. 1 71 >уз.
1+ tg Зл •tg — у j
2. cos2* <; у .
Вариант 1 ДС-15
Решите уравнение:
1. 2 cos2z — 5 sin z + 1 = 0 . 2. tg2* + 3 ctg2* = 4.
Вариант 2 ДС-15
Решите уравнение:
1. 2 cos22 + 5 sin 2 + 1 = 0. 2. 3 tg2л: + ctg2* = 4.
Вариант 3 ДС-15
Решите уравнение:
1. 2 cos2 + - y j — 3 sin^y----- + 1= 0. 2. sin 2х + cos * = 0.
Вариант 4 ДС-15
Решите уравнение:
1. 1 — cos (л — х) — sin ^-у + у |=0. 2.5 sin Зх — 2 cos 3 *= 0 .
96
23. Вариант 5 ДС-15
Решите уравнение:
1. 3 sin 2л: + 7 cos 2х — 0. 2. cos 2х — sin х — 0.
Вариант 6 ДС-15
Решите уравнение:
1. 2 cos2[х + + 3 sin ( ~ — x j + 1 = 0.
2. sin 2х — sin Зх = 0.
Вариант 1 Д С -16
Докажите тождество:
1 1+ *g ft _ 1+ sin 23
1— tg р cos 2Р)
2. 4 cos (а 4- •cos Iа 4- — ) •cos а = — cos За.
I з/ I 3 )
Вариант 2 Д С -18
Докажите тождество:
. 1 — tg р 1 — sin 2(5
1 + tg cos 2р
2. 4 sin fa + y j • sin а • sin fa + ^ = sin 3a.
Вариант 3 Д С -16
Докажите тождество:
1. У 1 + sin a — у 1 — sin а = 2 sin у , если 0 < a <
_ tg 2 a j_ tg a _ s i n 2 « .
tg 2 a — tg a
4 Заказ 48 97
24. Вариант 4 ДС-16
Докажите тождество:
1. V l -f- cos а + У 1 — cos а = 2 cos ^ y -j, если 0< а < ~ .
2. 1 + cos а + cos 2а = 4 cos а •cos ( — + — ) •-cos —
6 2 I [ 6 2
о i л i n tg 4 а •tg 2 а
2. tg 4а — tg 2а = —--------— .
sin 4 а
Вариант 5 ДС-16
Докажите тождество:
1 sin 2? . а ^ ^ я
1. Л =— .......— — - = sin у, если 0< v < — .
У + sin 2у + У 1 — sin 2у 4
Вариант 6 ДС-16
Докажите тождество:
1. j/ 4g * + sin * + У ig х — sinx = 2 У tgxcos jy ----
если 0 < x < — .
2
2. tg 2f3 - 2 tg p = tg2 p tg 2p.
Вариант 1 ДС-17
1. Докажите, что функция Н есть первообразная дляфункции/г
на промежутке /, если:
а) Н (х) = tg2(1 - 2 х ) - 1; h (х) = ■4sl; 1 = ]0; 1[;
cos3 (2х — 1)
б) Н (х) = X2— h (X) = - + 2х- / = ] 0; со [.
х ' х2
2. Для функции / (х) = — — найдите первообразную, график
sin2*
которой проходит через точку (—■; 0j.
98
25. 1. Докажите, что функция Я есть первообразная для функции h
на промежутке /, если:
а) Н(х) = ctg2(1 + 2х) + 2; h(x) = 4cos-^ -± i L ; /= ]0; 1[;
— sin* lx -f- 1)
б) Я (х) ^ ~ + у + 2; h (х) = ха — / = ] — оо; 0 [.
2. Для функции — — найдите первообразную, график которой
cos2*
Вариант 2 ДС-17
проходит через точку 0j.
Вариант 3 ДС-17
1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f
на промежутке /, если:
а) F <*) = * > °J. 0; / М - 2 М ; / = ] - ■ » ; оо[;
б) F (х) = 2 — sin2л: + cos2х f (х) = —2 sin 2х I = ]0; 2[.
2. Одна из первообразных функции — — проходит через точ-
COS X
ку o'), а вторая — через точку (— ; lV График какой из них
6 ) 3 /
расположен выше? Какова разность этих первообразных?
Вариант 4 ДС-17
1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f
на промежутке /, если:
а) F И = { ^ прпяря/ > 0? ; / W = - 2 W; / = ] - » ; ~ [ ;
б) F (х) = 6 sin — cos — — 5; f (х) = 1,5 cos —; I = ]— 1; 1[.
4 4 2
2. Одна из первообразных ф ункции 5— проходит через
sin2 X
точку !■— у ; -М , а вторая — через точку ^— -j; — y j. График ка
кой из них расположен выше? Какова разность этих первообразных?
4* 99
26. Вариант 5 ДС-17
1. Найдите первообразные для функции /:
а) f = y j z r f : б) f W = C°s2*’
2. График одной из первообразных функции у = *2 — 3* + 2
проходит через точку (— 1; 2), график другой — через точку (0; 4).
Какой из графиков расположен выше? Какова разность этих перво
образных?
Вариант 6 ДС-17
1. Найдите первообразные для функции /:
а) /(х) = ----/1*------ ; б) /(*) = sin2*.
’ ' w 2К *3+ 1
2. График одной из первообразных функции у = Зх2— * + 5
проходит через точку (0; 2), график второй — через точку (1; 4).
Какой из графиков расположен выше? Какова разность этих перво
образных?
Вариант 1 Д С -18
Найдите первообразные для следующих функций:
1. / (*) = sin2 (2 — 3*). 2. f (х) = cos (2х — 1) — К б * + 3 н
] 0 ; о о [.
Вариант 2 ДС-18
Найдите первообразные для следующих функций:
1. / (*) = cos2 (3 + 2х). 2. / (х) = sin (0,5* — j-'j — j / 3 + ±.х.
Вариант 3 ДС-18
Найдите первообразные для следующих функций:
1. / (*) = у7(* — I)2 на промежутке ]—оо; 1[.
2. /(*) = * sin * + Y 2 x — 1.
100
27. Вариант 4 ДС-18
Найдите первообразные для следующих функций:
3
1. f (х) = у (х — I)4 на промежутке ] —оо; 1[.
2. / (х) = х cos х — У 1 + 2х.
Вариант 5 ДС-18
Найдите первообразные для следующих функций:
1. f(x) = -------— гг---------- 3 sin (4 — Зх) + 1.
COS2(X— 1)
2. / (х) — У х2 на промежутке ] — оо; оо[.
Вариант 6 ДС-18
Найдите первообразные для следующих функций:
1. /(*) - . 2. , + 3 cos (3 Ах) 1.
sin2(х + 1)
2. / (х) = |х|-1-1 на промежутке ]—оо; оо[.
Вариант 1 ДС-19
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
рисунок): у = (х + I)2, х = —3, у = 0.
10
2. Найдите sin 2х dx.
-10
Вариант 2 ДС-19
1, Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
рисунок): у = —х~ + 4х; у = 0.
Л
18
2. Найдите J (cos х cos 2х — sin х ■ sin 2х) dx.
0
Вариант 3 ДС-19
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
' исунок): у = — (х3 — 5х + 4) и у = 0.
2. Найдите Г хdx.
—2
101
28. Вариант 4 ДС-19
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
рисунок): у — х + 1 и у = 4 + 3* — х2.
Л
6
2. Найдите ( |sin х |dx.
п
—т
Вариант 5 ДС-19
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
рисунок): у = 4 ; х = 1, у = х — 1.
JT
п
2. Найдите lim 1
л—►со J я2
1
Вариант 6 ДС-19
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
рисунок): у = 2 cos х (— -у ^ х -y j; у = 1.
2. Найдите lim 1 -^=.
n-ooj К *
п
Вариант 1 ДС-20*
Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, запоЛ'
няется водой до высоты 4 м. Определите затраченную при этом ра
боту, если стороны основания равны 2 м и 3 м. (Вода подается чере:
отверстие в дне с плоскости основания бака.)
Вариант 2 Д С -20
Определите кинетическую энергию однородного диска, массо!
2 кг, вращающегося равномерно вокруг центра с угловой скоростьн
2 рад/сек. Радиус диска равен 0,5 м.
102
29. Вариант 3 ДС-20*
Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую
форму трапеции, нижнее основание которой а — 10 м, верхнее
b — 6 м и высота h = 5 м, если уровень погружения нижнего ос
нования с = 10 м.
Вариант 4 ДС-20*
Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую
форму трапеции, нижнее основание которой а — 4 м, верхнее осно
вание b — 8 м и высота h = 6 м, если уровень погружения нижнего
основания с = 12 м.
Вариант 5 ДС-20*
Определите кинетическую энергию однородного цилиндра, ка
тящегося без проскальзывания по плоскости со скоростью 1 м/сек.
Радиус цилиндра равен R м, масса цилиндра m кг.
Вариант 6 ДС-20*
Аквариум, имеющий форму полушара радиуса г, заполнен во
дой. Определите силу давления воды на «стенки» аквариума.
Вариант 1 ДС -21*
Вычислите:
Я
1 3
1. j ( 1 + ■§■']****• 2- j (с032 + y j ~ sin2 + y j ) dx.
~ I _Я
6
Вариант 2 Д С-21*
Вычислите:
Зя
0
j I 1).. 2. i 12s i n jiAcosf— — xdx., ^
—I
103
30. Вариант 3 ДС-21*
Вычислите:
1,5
1. j ( l — 2х)1dx.
i
Я
24
2. j (cos2 ^2х — у ) — Sl’n2(Эх — y j j dx.
Я
12
Вариант 4 Д С-21*
Вычислите:
1
3
1. j1(Зх + I)8dx.
0
1,2Я
2. j 4,2 dn ( f - - J ) cos ( f
1.6Я
Вариант 5 ДС -21*
Вычислите:
—2 4 '
2- j ( sin( f + i ) + c o s ( f + r 2 ) ) v
- i - i12
Вариант 6 ДС-21*
Вычислите:
—4
1. j У (4 — Зх)3dx.
0
л
2
2. | cos4^ x— ~ j dx.
Я
3
Вариант 1 ДС-22
1. Решите уравнение 3 . 2V+1— 6 • 2*-1 = 12.
1 2
2. Решите неравенство 2 5 ^ + * < 1 2 5 —®
104
31. Вариант 2 ДС-22
1. Решите уравнение 0,53 2Х+ 3 •0,25й х = 14.
2. Решите неравенство 2 4^ < $УХ+ Ч
Вариант 3 ДС-22
1. Решите уравнение
Ш ' + ( Г = 1
2. Решите неравенство
( i r > F T
Вариант 4 ДС-22
1. Решите уравнение 4У й « = (1 ) '
2. Решите неравенство ( Т ~ ' >2 1 2 V2
Вариант 5 ДС-22
1. Решите уравнение 2 . + 6 •9°>ех-а = 56.
х«+.2*т-15
7 ,3 > 1 .2. Решите неравенство
Вариант 6 ДС-22
1. Решите уравнение 4 '
2. Решите неравенство
,р л х - 1 _ 2 7 ^ = 33,
2^ -4 > 4*.
Вариант 1 ДС-23
1. Найдите уравнение горизонтальной касательной
функции у = ех + е~х.
/1 в*-4
2. Найдите производную функции у = {—
к графику
3. Найдите первообразную функции f(x) — 22х * +
(1 г
105
32. 1. Найдите угол между касательной к графику функции у = е~~х
в точке с абсциссой х = 0 и осью Ох. Напишите уравнение этой
касательной.
2. Найдите производную функции у — З3*-4 + с~х
3. Найдите первообразную функции f (х) = 0,92г—°-9.
Вариант 2 ДС-23
Вариант 3 ДС-23
1. Найдите промежутки монотонности функции у = х'ге'~х.
з
2. Вычислите j ^22Л'~1 + ( у ) ) dx.
2
/ 1г-х
3. Изобразите схематически график функции у = — I .
' 4 '
Вариант 4 ДС- ?3
1. Найдите промежутки монотонности функции у = х ■2х 1.
2
2. Вычислите J jV -* + ( y j j dx.
о
3. Изобразите схематически график функции у = 32~х.
Вариант 5 ДС-23
1. Найдите экстремумы функции / (х) = х •
2. Найдите первообразную функции h (х) = 21~°'ix, график ко
торой проходит через точку (2,5; 1).
6
3. Вычислите j (х — 3) exZ~lxdx.
_______________ о________________________________________
Вариант 6 ДС-23
(
I х2 X
— I
2. Найдите первообразную функции h (х) = 0,51—Зг, график ко
торой проходит через точку (— 1; 1).
Я_
2
3. Вычислите j sinx ecosх dx.
106
33. х + 2
1. Решите неравенство — — г^О.
2. Постройте график функции у = elnros*.
Вариант 1 ДС-24
Вариант 2 ДС-24
]. Решите уравнение In (—* —
2. Постройте график функции
1) = 0,5 In (1 — 1,5х).
у = 31ое> *
Вариант 3 ДС-24
1. Решите уравнение log^+j (х — 0,5) = logx_0,5(х + 1).
2. Решите неравенство log^ х + log2хг < — 1.
Вариант 4 ДС-24
1. Решите уравнение 0,5 In (8 — х) = In (1 + ] / х + 5).
2. Решите неравенство logjj х 4* log4 > ] д
Вариант 5 ДС-24
, „ 1п(10дг — л:2 — 7) 0
1. Решите уравнение ------------- — ----- =
In (* + 1)
2. Постройте график функции у = ю '8(1Х+1|_2).
Вариант 6 ДС-24
1. Решите уравнение log4 (61 — log2 (2х — 1)) = 3.
2. Постройте график функции у = е п (лг2~4х+3
Вариант 1 ДС-25
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции h (jc)=ln (— 1— 2х) + log2 (1 — ле) в точке с абсциссой х = — 1.
— 2
2. Для функции у —------- найдите первообразную, график ко-
х — 2
торой проходит через точку (3; 2).
3. Изобразите схематически график функции у = In х — 11.
107
34. 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции h (х) = lg (3 — 2х) + logi х в точке с абсциссой х = —.
2~ 2
з
2. Для функции у = ------ найдите первообразную, график ко-
х 2
торой проходит через точку (— 1; 1).
3. Изобразите схематически график функции у = |In ( х — 1)|.
Вариант 2 ДС-25
Вариант 3 ДС-25
1. Найдите экстремумы функции у = хг In х.
2
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линия?*! у = —;
X
х + у = 3.
— 8
3. Вычислите Г — ——
J |*| in4
9
Вариант 4 ДС-25
1. Найдите экстремумы функции у — In2х — In х.
4
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = —;
*
х + у = 5.
—27
3. Вычислите Г — —— ■.
J |* 1in 9
Вариант 5 ДС-25
з
1. Найдите промежутки монотонности функции у — — In2х —
— In3
3
Г 2х
2. Вычислите dx.
J *2+ 1
о
1 2
3. Решите уравнение------------- 1---------------- = 1.
п Ig * + 3 3 - l g *
108
35. 1. Н
+ lg3л:.
Вариант 6 ДС-25
з
1. Найдите промежутки монотонности функции у = — lg2х 4*
з
2. Вычислите
J д с * - 1
3. Решите уравнение log2У х — 4 + log2 у 2 х — 1 = log23.
Вариант 1 ДС-26*
Докажите, пользуясь свойствами функции In, что ехр (а + Ь) =
= ехр а • ехр Ь.
Вариант 2 ДС-26*
Докажите, пользуясь свойствами функции In, что ехр (а — Ь) =*
_ ехр а
ехр b
Вариант 3 Д С-26*
Докажите, что для п Z N
In п < 1 + — 4- ... + 1
2 и— 1
Вариант 4 Д С-26*
Докажите, что для п 6 N
1 п п > 7 + ¥ + - - ' + 7 ‘
Вариант 5 Д С-26*
Найдите область определения функции
х‘+2х
f(x) = f j d t .
Вычислите производную /.
109
36. Вариант 6 ДС-26*
Найдите область определения функции
2х—х‘г
f(x) = J j d t .
Вычислите производную функции /.
Вариант 1 ДС-27
1. Найдите первообразную функции
f (х) = (1 - 2х)-°*7.
2. Решите уравнение V 1 4- V + х = х.
Вариант 2 ДС-27
1. Найдите первообразную функции
/ (х) = (1 -
2. Решите уравнение 2 — У 2 + х = х.
Вариант 3 ДС-27
1. Найдите промежутки монотонности функции
YT
у = (х — 1) X
2. Решите уравнение У 2х + 3 + У х — 2 = 2 У х + 1.
Вариант 4 ДС-27
1. Найдите промежутки монотонности функции
у = (2 4- X) х УЯ.
2. Решите уравнение У 2х — 1 = 2 У х — 1 — У х — 4.
Вариант 5 ДС-27
1. Найдите производную функции
у = (У х )х.
2. Решите уравнение У х 2 + 6х + 9 + У х2— 4х + 4 = 5.
110
37. Вариант 6 ДС-27
1. Найдите производную функции
у = X2*.
2. Решите уравнение У~ 1 — х = 1 — У х .
Вариант 1 ДС-28
Решите методом Гаусса систему уравнений
( х + Зу — 4z = —21
—2х + Зу + 2z = —6
1 З х + З у — 8z = —31.
Вариант 2 ДС-28
Решите методом Гаусса систему уравнений
1 х — у — Зг =11
| Зх + 2у + 4z = 18
(—4х + Зу — z — —5.
Вариант 3 ДС-28
Решите методом Гаусса систему уравнений
1
х — у + z — и =■ 2
х + 2у — 2z — и — 5
—Зх + 2у + 5z + и — —3
2х — z — и — 4.
Вариант 4 ДС-28
Решите методом Гаусса систему уравнений
х + у — z + и = —7
— х + у + 3z — 4и = 9
2х — Зу + Зг — 8и — 16
х — 2у + z — и — 12.
Вариант 5 ДС-28
Решите методом Гаусса систему уравнений
л: — 2у + 2г — Зи — 4
Зх + 2у — Юг + 11м = 0
—2х + у + 5г = 7
у + г + 4и = 9.
i l l
38. Вариант 6 ДС-28
Решите методом Гаусса систему уравнений
•х + у + 4z — и = О
—Зх — 2у 3z 2и — 28
—х + 7у — z — 2w = 11
Зх — 6у — 6г + = 5.
Вариант 1
Решите систему уравнений (р — параметр)
12х — Зу = р2
4х — 6у = 8р.
ДС-29
Вариант 2
Решите систему уравнений (р — параметр)
l3x + 6у = —р + 1
2х + Р2У = 2.
ДС-29
Вариант 3
Решите систему уравнений (m — параметр)
j (пг — 1) л: + у = m + 1
2х + ту = 6.
ДС-29
Вариант 4
Решите систему уравнений (ш — параметр)
((пг — 1) х + 2 ту = — 2
2тх + (т — 1) у = т — 1.
ДС-29
Вариант 5 ДС-29
Какому условию должны удовлетворять числа b и с,
ма
(х + у + Z = 1
х + by + г = 1
1х + у + CZ — 1
имела решение и притом только одно?
чтобы систе-
112
39. Вариант 6 ДС-29
Найдите, при каких значениях р решение системы
(х + ру = 3
рх + 4у = 6
существует и удовлетворяет неравенствам х > 1, у > 0.
Вариант 1 ДС-30
Решите систему уравнений
(5-г • 2у = 3200
j 10? / - (У — *) = 2.
Вариант 2 д с -з о
Решите систему уравнений
(Ъх ■ 2у = 3 -
32
log (х — у) = 9.
V r
Вариант 3 ДС-30
Решите систему уравнений
((х + у) (х2 — у2) = 9
{ logs (х — У) + logs (*2 + У2) = 1-
Вариант 4 ДС-30
Решите систему уравнений
/lg (х2 + 1) + lg (у2 + 1) = 1
[(•* + у) (ху — 1) = з.
Вариант 5 ДС-30
Решите систему уравнений
( х2 = 1 + 6 log4у
( у2 = у • 2х + 22х+1.
из
40. Вариант 6 ДС-30
Решите систему уравнений
^ «-lSy+бв _ }
[ у _ х = 5.
Вариант 1 Д С-31*
Решите систему уравнений
I . „ . . „ 1
4
я
X — у = — .
6
Вариант 2 ДС-31*
Решите систему уравнений
(cos2х + cos2у = —
| Ея 4
1 =
Вариант 3 Д С-31*
Решите систему уравнений
[tg X ■ tg у = 3
1 , 2л
1* + У - 7 -
Вариант 4 ДС-31*
Решите систему уравнений
[tg х + tg у = 1
< л
Вариант 5 Д С-31*
Решите систему уравнений
/sin х — cosec х + sin у
(cos х = sec х -f cos у.
114
41. Найдите решения системы уравнений
/sin х — sin 2у
{cos х = sin у,
удовлетворяющие условиям О ^ у ^ я .
Вариант 1 ДС-32
1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр:
а) а + b : с; б) а — b — с, где а да 12,839; b да 1,442; с да 1,2.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите
границу погрешности и границу относительной погрешности полу
ченного результата:
а) х + у, где х = 8,58 ± 0,1; у = 11,76 ± 0,2;
б) х ■ у, где х = 3,5 ± 0,05; у — 1,2 ± 0,1.
Вариант 2 ДС-32
1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр:
а) а — Ьс б) а — b + с, где а да 42,991; b « 20,9; с « 0,3.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите
границу погрешности и границу относительной погрешности полу
ченного результата:
а) х 4- у, где х = 7,32 ± 0,05; у = 23,1 ± 0,1;
б) х : у, где х = 43,6 ± 0,2; у = 2,3 ± 0,1.
Вариант 3 ДС-32
1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр:
а) а : b + 2ab — с; б) (а — Ь)2, где а як 7,45; Ь « 1,5; с ж
да 0,1397.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажи
те границу погрешности и границу относительной погрешности
полученного результата:
а) х + у — ху, где х = 9,9 ± 0,1; у = 0,0022978 ± 10~в;
б) х8 -f 2ху + у2 — Зх, где х = 7,8 ± 0,2; у = 11,2 ± 0,1.
Вариант 6 ДС-31*
115
42. Вариант 4 ДС-32
1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр:
а) а : b — 2Ьс + с; б) (а + Ь)2, где а да 3,65; b да 2,5; сда0,092.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, ука
жите границу погрешности и границу относительной погрешности
полученного результата:
а) х — у + ху, где х = 7,7 ± 0,1; у = 0,0034995 ± 10~6;
б) х2 — 2л:у + у2 — Зу, где х = 5,7 ± 0,1; у = 1,7 ± 0,2.
Вариант 5 ДС-32
1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр:
a) ab + ас — Ь б) (а + с)2, где а да 8,32; b да 0,367; с да 1,633.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажи
те границу погрешности и границу относительной погрешности полу
ченного результата:
а) х + у + ху, где х = 6,8 ± 0,1; у = 0,0032997 + 10~7;
б) х* + Зху2 + 3х2у + у3, где х = 8,9 + 0,3; у = 11,1 ± 0,1.
Вариант 6 ДС-32
1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр:
а) а : b — с : b + а; б) (а + b)3, где а да 7,6; с да 0,0139; b да
да 1,4.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите
границу погрешности и границу относительной погрешности полу
ченного результата:
а) х — у — ху, где х = 5,3 ± 0,2; у = 0,0041997 ± 10~6;
б) у? + Ъху2 — Зх2у — у3, где х = 12,9 ± 0,2; у = 6,9 ± 0,1.
Вариант 1 ДС-33
1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки:
а) 0,75 ■ 0,391 • 5,411; б) в)
3 2 ,32
2. С помощью логарифмической линейки Найдите неизвестный
х 4 5 ,9
член пропорции == г - ~ - .
^ к 79,8 0,0327
116
43. Вариант 2 ДС-33
1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки:
а) 34,5 • 732 • 0,0063; б) ]/ 4 ^ 3 ^ в)
2. С помощью логарифмической линейки найдите неизвестный
358 х
член пропорции ~ = — .
Вариант 3 ДС-33
1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки:
а) / 8|’^22|'?7; б) 3,442•14,52; в) ^ 3 5 ^ - 37,8.
2. Длины сторон треугольника равны 7,8 дм, 5,4 дм, 3,85 дм.
Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, если дли
на меньшей его стороны равна 24 м.
Вариант 4 ДС-33
1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки:
а) * б) 5,282 • 21,32; в) ^ 2 2 ^ - 42,8.
2. Длины сторон треугольника равны 12,7 см, 10,2 см, 5,6 см.
Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, если дли
на большей его стороны равна 42,1 дм.
Вариант 5 ДС-33
1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки:
а) ; б) 42,52 •4,232; в) ^ 3 2 Д ^ 21,8.
2. При помощи логарифмической линейки найдите массу ци
линдра, высота которого равна 32,4 см, радиус основания — 4,53 см,
если плотность материала бруска равна 4,79 г/см3.
Вариант 6 ДС-33
1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки:
г) •Г-° з ‘ 45892’7 : . б> 4>2уз ’ 5’383; в) ^ 5 Ж 2’ - ° .325-
2. При помощи логарифмической линейки найдите радиус осно
вания цилиндра, если его объем равен 2,45 дм3, а высота — 23,8 см.
117
44. Вариант 1 ДС-34
I
1. Упростите ( 2а 2 -1а : 2а 2 + Ь -----------— = ,
2 У а — Ь) Ь - 2 У а )'
2. Решите уравнение ———— = —( — — + — Ь 2у
(у — I)2 2 — у 1 + у 1
Вариант 2 ДС-34
1. Упростите |0Т + 2 6 « ■ _ ) . ( 0Т _ « I
2b f a ) - J H — 2b j
„ „ 1 , 1 2у 3
2. Решите уравнение ; + — ~
1+ у -У 2 (1+.V)2
Вариант 3 ДС-34
( Л , Г + 1 ( Л _ , ) + ( > _ , У
1. Упростите —
( V * — у )2 + у /* 2 — У2 ( ^ * + у) 2
2. При каких значениях переменной а равны соответственные
значения суммы дробей и — и их произведения?
а — 7 а + 3
Вариант 4 ДС-34
/ 1 г
1. Упростите --------------
у2 у X6 х л
— ~ — + У2 _ У
2. При каких значениях переменной а равны соответственные
, „ з а — ю 0
значения разности дробей — — и и их произведения?
а — 12 а — 9
118
45. - L i - _L -1
, , т а 3 с2 — 36 2 . ■ 3 a J -f b 2 ca
1. Упростите — -f
Вариант 5 ДС-34
(Сг + З)а3 + V b ) ( ^ _ 3)U 3 + V b)
1 i 2
2. Решите уравнение —— - ~г
у2 _ j уа+ 2
Вариант 6 ДС-34
L JL J_—
А 4 I А 2 4 2 Л1
, . , 4а + ос , а с — 40
1. Упростите '
(.4 с 2 ) (у" а — ь) {4— с 2 ) ( У а — b)
1 2 1
2. Решите уравнение -— — = —— - +
2— у2 )4— 1 >2
Вариант 1 ДС-35
1. Стороны треугольника пропорциональны числам 0,6; 0,8; 1.
Радиус описанной около треугольника окружности равен 14 см.
Определите периметр и площадь этого треугольника.
2. Решите систему неравенств
/21,7* — 4,5 < 4,7 х + 7,4
{ 3,2л: — 1 > 2* — 13.
Вариант 2 ДС-35
, _ - 5 12
1. Стороны треугольника пропорциональны числам 1; —; — .
Радиус описанной около треугольника окружности равен 26 см.
Определите периметр и площадь этого треугольника.
2. Решите систему неравенств
х2 + Зх + 3 > 1 — 2х + х2
0 ,2 х — 0 ,4 > — 0 ,1 * — 0 ,1 .
119
46. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 3; 4; 5.
Определите периметр и площадь этого треугольника, если наимень
шая его сторона равна 12 см.
2. Решите систему неравенств
2 (х — 2) (10* — 1) — 2(k 2 > 2х + 1
, Зх — 0,2 < 2х — 0,3.
Вариант 4 ДС-35
1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 7;
24; 25. Определите периметр и площадь этого треугольника, если
наибольшая его сторона равна 15 м.
2. Решите систему неравенств
0,8л; — 2 (0,3л: + 0,7) < 0,4л: + 2
0,3 (1 — 2х) + 0,6л: > х + 4,7.
Вариант 5 ДС-35
1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 5;
12; 13. Определите периметр и площадь этого треугольника, если
радиус описанной около него окружности равен 6,5 см.
2. Решите систему неравенств
' х2 + х + 1 ^ — 1 — 4х — х2
1*1 < 6.
Вариант 6 ДС-35
1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 12;
35; 37. Определите периметр и площадь этого треугольника, если
радиус описанной около него окружности равен 19,5 см.
2. Решите систему неравенств
*3 + х + 1 > —2 — 9х — 2х2
|х| < 4.
Вариант 3 ДС-35
Вариант 1 ДС-36
1. Для функции у = Зх2 + 12х + 12 укажите множество зна
чений переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0.
2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен Зх2—
— 4х — 3 на множители.
3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат
числа 1^8 — 3 и ]/8~+3.
120
47. 1. Для функции у = 37* — 6л;2— 6 укажите множество значе
ний переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0.
2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 5х2 +
+ Зх — 5 на множители.
3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат
числа У 5 — 2 и ]/5 + 2.
Вариант 2 ДС-36
Вариант 3 ДС-36
1. Разложите (если это возможно) многочлен 2л^ + Зх2 — 5
на множители.
2. При каких значениях параметра а {а ф 0) оба корня квадрат
ного трехчлена а2х2 + ах — 2 по модулю больше единицы.
3. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 + х — 1 = 0 .
Вариант 4 ДС-36
1. Разложите (если это возможно) многочлен Зх* + 2х2 — 5
на множители.
2. При каких значениях параметра а (а ф 0) оба корня квадрат
ного трехчлена а2х2 — ах — 6 по модулю больше или равны еди
нице.
3. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 — х — 1 = 0 .
Вариант 5 ДС-36
1. Разложите (если это возможно) многочлен Зл:4— Юл:2 + 3
на множители.
2. При каких значениях параметра b (Ь Ф 0) оба корня квадрат
ного уравнения 2Ь2х2 — Ьх — 1 = 0 по модулю меньше единицы.
3. Найдите сумму четвертых степеней корней квадратного урав
нения х2 + х — 1 = 0.
Вариант 6 ДС-36
1. Разложите (если это возможно) многочлен 2xi + 5х2 + 2
на множители.
2. При каких значениях параметра Ь (Ь ф 0) оба корня квадрат
ного уравнения 2Ь2хг — Ьх — 3 = 0 по модулю не превосходят еди
ницы.
3. Можно ли найти сумму четвертых степеней корней квадрат
ного уравнения х2 — х + 2 = 0?
121
48. 1. Найдите пределы:
ч 3 — 5п п‘— 2я + 1 m V п2 + Зп — 2
a) lim ------------ -------------- г— ; б) lim -------— —--------.
ri~*со 4 -f- 2 ,5 я 1 — п п-юэ 1 4~3п
„ _ 6 —2я -
2. Докажите, что последовательность vn= — является убы-
10л — 1
вающей.
Вариант 1 ДС-37
Вариант 2 ДС-37
1. Найдите пределы:
. . . 3 — 4 п 2л2 — п + З «гч 1 • 2 ] ^ п 2 + 7п — 5
a lim ------------ ■ ------------ 1— ; б) lim — ------------------
п-есо 4 + 1 ,Ел 3 — 2л2 п~оо Зп — 2
- _т 9л — 1
2. Докажите, что последовательность vn= является воз-
15л + 2
растающей.
Вариант 3 ДС-37
1. Найдите пределы:
5 + 2л + и2 4 — я3+ л7 ,. з у „4 + „з _ „
а) п т — г : — — • — — Г Т Т Т ; б) lim
Я-*00 1.5Л3 — 2 1 -J- пЗ О- fi»7> /
2. Является ли моното:
Проведите доказательство.
1,5л* — 2 1 + л З + 6я7’ ^ 0 0 1 — л — 2л2
п )
2. Является ли монотонной последовательность Ьп= ( !■ + —')?
Вариант 4 ДС-37
1. Найдите пределы:
. 3 — 2л + л2 4 — л4 -j- 5л8 ,. 2 V 1 — Пт + «4
a) lim ---------—— • --------—— ; б) lim — .
п-+оо 6л2 + 1 л8 — 2л + 3 П-+ОЭ 2л — 1 + Зл2
2. Является ли монотонной последовательность en = (l + —У* ?
л
Проведите доказательство.
122
49. 1. Найдите пределы:
ч I- 2 — З я + 0 ,7 я 2 5я — я5 Л |. 2 У 2п4 — я3 + 7я
a) lim --------------- !-------• —-------—; б) lim — --------.
оо 1 ,2я2 — 3 0 ,7 я 8 +. 2 п-оо 1 — Зп — 2п2
з,---------
2. Является ли монотонной последовательность хп = у п + 1 —
— у п . Проведите доказательство.
Вариант 5 ДС-37
Вариант 6 ДС-37
1. Найдите пределы:
. 2 — Зя + я3 4 — 2п4+ 3 я 9 2 ^ 3 — 2я + 3я4
а) ]+т — 1----- • --------- —— ; б) п т
«-♦-оо 2п3 + 2 я9— 2я + 0 ,7 п-у со 1 — п + Зя2
2. Является ли монотонной последовательность у — у^п?
Проведите доказательство.
Вариант 1 ДС-38
Докажите методом математической индукции, что при любом
п £ N число 5" + 2 - 2п делится на 3.
Вариант 2 ДС-38
Докажите методом математической индукции, что при любом
п d N число 1п + 4 • 2" делится на 5.
Вариант 3 ДС-38
Последовательность задана рекуррентно: — 2; а2 = 3; ап =
= 3an_x — 2an_i при п > 2. Докажите, что п-й член этой после
довательности может быть вычислен по формуле ап = 2я-1 + 1.
Вариант 4 ДС-38
Докажите, что при любом натуральном п > 1 верно неравенство
я + ! я + 2 2я 24
123
50. Докажите, что при любом натуральном п справедливо равенство
( д + 1 ) ( я + 2 ) . . . ( 2 я - 1 ) 2 я
1 •3 •5 • . . . • (2л — 1)
Вариант 6 ДС-38
Последовательность задана рекуррентно: ах = 1; ап+1 = ап +
-f 8п, для любого п с N. Докажите, что п-й член последователь
ности можно вычислить по формуле ап = (2п — I)2.
Вариант 5 ДС-38
Вариант 1 ДС-39
1. Сколькими способами пионерский отряд из 25 человек может
выбрать 5 пионеров: председателя совета отряда, его заместителя и
3 звеньевых?
2. Вычислите:
/-*42 г <43 гЛ I ^ 3 I _ L Г®
^6 4 65. 10 *| 10 • 10 "Т* '-'Ю I 10ч Ь4 Ьо. (£
а) — — б)
С 2(С °+ С 2+ С* + С®)
Вариант 2 ДС-39
1. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать судью
и 6 участников волейбольного матча?
2. Вычислите:
3Cgg _ 3 ( С° + Cj + с ) + Су)
/-*45 ^ 4 4 * /->1 | р З г | /о7 | /-.9
° 7 0 — °6Э 9 ~ г ^ 9 * 9 9 • 9
Вариант 3 ДС-39
1. Сколько существует семизначных нечетных чисел, составлен
ных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в записи числа встре
чается один раз?
2. Упростите:
a) C l + 2С 1Г*-1+ d + 2; б) С°2п + С*п+ '' ‘ + ^
Clk + C l + Cl +
124
51. 1. Сколько существует семизначных чисел, не кратных пяти,
составленных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в записи
числа встречается один раз?
Вариант 4 ДС-39
2. Упростите:
а) Ср~: + 2Cp~k+l + С* ; б)
с° + с1п+ с2п+ ... + С”
pi I рЗ | 1p2k—1
L 2fe Т Т • • • "Г ^ 2k
Вариант 5 ДС-39
1. Группу из 16 человек нужно разделить на 3 бригады: из 4,
5 и 7 человек. Сколькими способами это может быть сделано?
2. Упростите:
С^+ 2СГт-' + С Г2 g C2m+ CL + С2т + •■•
С+1+ 2с г т- 2+ С+3 ’ с‘„+ с33„+ сп+ ... '
Вариант 6 ДС-39
1. Группу из 18 человек нужно разбить на 3 бригады: из 4, 6
и 8 человек. Сколькими способами это может быть сделано?
2. Упростите:
cg + 2 c * - p - 4 c g +2 _ С*, + 4 + 4 + ---
c r 1+ 2c£ -'’ + cg+1 ’ с°р+ с2р + $ + . . . '
Вариант 1 ДС-49
1. Найдите член разложения, содержащий х в степени — 1:
( У ^ + х)
2. Вычислите
2С + 2z q + 2«С? + 24С4 + 25С* + 2°С® + 27С77.
Вариант 2 ДС-40
1. Найдите член разложения, содержащий у в нулевой степени:
V 7 - # ‘
2. Вычислите
—зс* + 32q — з3с 3 + 34q — ... — з8с « ,
125
52. В а р и а н т 3 Д С -4 0
1. Н айдите номер н аи больш его член а в р азлож ен и и
(1 + 0 ,1 )100.
2. В ы чи сл и те
/~*0 о /"*1 | о2 /-*2 оЗ /"*3 I q9 /°9L«g--- О •Ug -f- О •Од --- О Og —р . . . --- О 'Од
С 15 + С15 + ' ' • + С15
В а р и а н т 4 Д С -4 0
1. Н айдите номер н аи больш его члена в р азлож ен и и
(1 + 0 ,0 2 )300.
2. В ы чи сл и те
099 . __ 098 . /°1 _1_ 097 , /^99
99 z ^99 > z °99 “ ••• — ь 99
С9 + С9 + С9 + С9 + С?)
В а р и а н т 5 Д С -4 0
1. Н айдите номер н аи больш его члена в р азлож ен и и
+ 0 , 0 1)500.
2. В ы чи сл и те
(2 +
1 - 5С'00 + 52С|00 - 53C j00 + 54С(00
1 + ЗС‘5 + З^С|5 + 3*С35 + 34Сд5 + . . .
В а р и а н т 6 Д С -4 0
1. Н айди те номер наи больш его члена в р азлож ен и и (3 + 0 , 1)800.
2. В ы чи сл и те
280 _). 279Cgo -f 2 + 277Cgg + . . .
1 - 4с ‘6 + 4*С276 - 43С36 + 44Су6
В а р и а н т 1 Д С -4 1
1. Н айдите предел:
1* х* -- Зх -j- 2 j. *. 0 Л
a) lim — — ------; б) lim 3 c o s 2 x .
*н_ 1 2х* + х — 7 *_*о
• — »2
2 . В ы ч и сл и те l>m ^ „ •
* - 2 F Х + 7 — 3
126
53. Вариант 2 ДС-41
1. Найдите предел:
а) 1,т о а . ч + о: б) ' 1т tg 4х.х~*—12.x -f- Зх — 9 *->-0
2. Вычислите lim —_
г-з У х + 1— 2
Вариант 3 ДС-41
1. Найдите предел функции *|т — 2
r х-+2 ъх2— х — 3
2. Вычислите:
. 3*2 + 7.* + 2 , , У ~ х — 2
a) lim -— —— — ; б) lim — ------ ------.
х-+—22х2 5х т-2 х-*4 j/~х -{- 5— 3
Вариант 4 ДС-41
1. Найдите предел функции: lim —~ —
х-+—г 2х2 — Зх
2. Вычислите:
. Зх2 +10х + 3 ^ 3 — V T
a) lim --------—------- ; б lim - т — - —
* ___ 3 2л:2 + 1х + 3 Ы К ^ - 5 - 2
Вариант 5 ДС-41
1. Найдите предел:
п х
sin—
a) lim -------— ; б) lim У х2— 4х + 4.
х - 2 cos2 Зх х -*—5
2л:2 + 5х + 2
2) Вычислите , бл:2+ х — 1'
Т
127
54. 1. Найдите предел:
л х
sin — ________
a) lim — ; б) lim ]/x3+ 7.
cos (x — 1) * -2
2. Вычислите: lim .
х-*2 У х + 7 — 3
Вариант 6 ДС-41
Вариант 1 ДС-42
1. Найдите производную функции ср (х):
а) ф (х) = У 5 х в ■ е~х б) ср (х) = ~ .
In X
2. Найдите производную, пользуясь формулой дифференциро
вания сложной функции:
а) Н (х) = e,nsinЪх б) Н (х) = cos lg Зх.
Вариант 2 ДС-42
1. Найдите производную функции <р (х):
а) ср (х) = У З х 1 • е~2х б) ср (х) =
Ctg л:
2. Найдите производную, пользуясь формулой дифференциро
вания сложной функции:
а) Н (х) = 10lgtgSx; б) Н (х) = sin In
Вариант 3 ДС-42
1. Найдите производную функции / (х):
а) / (х) = 3 cos4х + 4 sin3х; б) /(х) = ^ ~ / *.
Зг—
е*~
2. Найдите производную функции:
a) g (х) = ех>~х; б) g (х) = In ((xV'2 — l)17 + 2).
128
56. Вариант 3
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию
х3— '2х2
ДС-43
У ~ ех
Вариант 4
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию
In2х + 2 Inх
У ~ х •
ДС-43
Вариант 5
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию
X3— х'!
У ~ е~х
ДС-43
Вариант 6 ДС-43
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию
2 in2 х + з In х
Вариант 1 ДС-44
В полушар радиуса 3 вписан конус так, что вершина конуса ле
жит в центре полушара. При каком радиусе основания этот конус
будет иметь максимальный объем?
130
57. Вариант 2 ДС-44
В полушар радиуса 4 вписан цилиндр так, что плоскость основа
ния цилиндра совпадает с плоскостью, ограничивающей полушар.
Чему должна быть равна высота цилиндра, чтобы этот цилиндр
имел наибольший объем?
Вариант 3 ДС-44
Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра,
который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверх
ность.
Вариант 4 ДС-44
Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, кото
рый при заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхность.
Вариант 5 ДС-44
Картина высоты 1,5 м повешена на стену так, что ее нижний край
на 1,2 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены
должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее
благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения был
наибольшим)?
Вариант 6 ДС-44
Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы
равен V, причем стороны основания относились бы как 2 : 3. Ка
ковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность
была наименьшей?
5*
58. МАТЕРИАЛ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ
С УЧАЩИМИСЯ, ИНТЕРЕСУЮЩИМИСЯ МАТЕМАТИКОЙ
Вариант 1 ДС-45
1. Найдите производную /' (х), если:
а) / (х) = sin (Зх — 2) • cos х;
б) / (х) = tg (х + 2) + ctg (Зх — 2).
2. Найдите предел
3. Напишите уравнение касательной к графику функции у =
= sin (1 — 2х) в точке oj.
4. Напишите уравнение гармонического колебания, если диф
ференциальное уравнение этого колебания у" = —4у, амплитуда
равна ]/"3, а начальная фаза равна — .
8
Вариант 2 ДС-45
1. Найдите производную /' (х), если:
а) / (*) = cos (4* + 3) ■ sin 2х;
б) / (х) = ctg (х — 3) + tg (2х — 5).
2. Найдите предел lim - ^ X
х-*0 4х
3. Напишите уравнение касательной к графику функции у =
= cos (1 — Зх) в точке ; 1
4. Напишите уравнение гармонического колебания, если диф
ференциальное уравнение этого колебания у" — — 9у, амплитуда
равна ]/2 и начальная фаза равна
6
132
59. Вариант 1 ДС-46
1. Упростите
^ — pj sin + <xj + cos (я — P) sin (2я — a )cos
sin (я + a — P)
2. Вычислите
arccos (— K p ) + arcsin ( — -^ x ) + arctg (— У з ) .
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для ко
торых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера
венству
|sin t |> —.
2
4. Решите уравнение 3 tg 2л: = ]/3.
5. Постройте график функции f (х) — 3 sin 2х. а) Укажите
какой-нибудь промежуток, в котором функция возрастает от—ЗдоЗ;
б) напишите два промежутка, в которых / (х) < 0.
Вариант 2 ДС-46
1. Упростите
cos ( — а ] cos + Р] + cos (я — а ) cos (2я — Р)
sin ( у + а + Р
2. Вычислите
arcs,„ ( - КЗГ) + arccos ( - i ? ) + arctg< _
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют не
равенству
|tg/I > 2.
4. Решите уравнение
4 sin л: cos х — У З .
5. Постройте график функции / (х) = 2 cos —х. а) Укажите какой-
нибудь промежуток, в котором функция убывает от 2 до —2;
б) напишите два промежутка, в которых / (.х) > 0.
60. 1. Найдите cos + -j-j, если ctg а = 1 и я < а < - ^ .
2. Приведите к значениям тригонометрических функций наи
меньшего положительного аргумента:
a) cos 1839°; б) tg — .
8
3. Докажите тождество У 3 cos х — sin х = 2 cos ^ + x j.
4. Найдите экстремумы функции у = х — cos 2х.
5. Решите неравенство cos ^0,5х — j ■
Вариант 1 ДС-47
Вариант 2 ДС-47
(
ft ft
а + — 1, если cos а — —0,5 и — < а < л .
2. Приведите к значениям тригонометрических функций наи
меньшего положительного аргумента:
113 яa) sin 3856°; б) ctg -
7
3. Докажите тождество cos а + sin а — У 2 cos a j.
4. Найдите экстремумы функции у = х + sin 2х.
I п Y~2 ~
5. Решите неравенство sin (2х -f- — I ^ ------
Вариант 1 ДС-48
1. Найдите s (х), зная, что s' (х) — 6х2— 2х и что s (0) = 5.
31
2
2. Найдите j* (cos х — sin х)2 dx.
о
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х3; у — 0; х — —2.
134
61. 1. Найдите функцию, обращающуюся в нуль при х = 1, если про
изводная от этой функции равна Зх2— 2х + 1.
1
2. Найдите J (У х— I)2dx.
О
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
л л „
у = sin х; х = — - ; х = — ; у = 0.
Вариант 2 ДС-43
Вариант 1 ДС-49
1. Найдите производную функции:
а) у = 2 • 4х — 1/2; б) у = е2х • sin (1 — 2х).
2. Решите уравнение:
а) 2'*"11 = 16 • 4~0'5; б) 3*+1 — 3* = 2.
3. Изобразите схематически график функции у = 0,9Х~3 и на
пишите уравнение касательной в точке (3; 1).
Вариант 2 ДС-49
1. Найдите производную функции:
а) у = 3 • 9* — Y 3; б) у = е~2х+1 ■ cos 2х.
2. Решите уравнение:
а) з^+ч = з-1 • 91-5; б) 2Х+1 + 2х = 3.
3. Изобразите схематически график функции у — (2,2) r+3 и
напишите уравнение касательной в точке (— 3; 1).
Вариант 1 ДС-50
1. Определите знаки чисел:
a) log j я; б) In 0,8 — 0,8.
"е”
2. Найдите область определения функции / (х) = In (х2 + Зх —
— 28). Найдите производную /' (х).
3. Решите неравенство
1о£г (х — 5 )2 < lo g 2 (З х + I ) 2.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = ех~1; у = 0; х = 0; х = 2.
62. 1. Определите знаки чисел:
a) In (2е) — 1; б) log0,24 • log24,3.
2. Найдите область определения функции h (х) = In (8 — 2х —
— х2). Найдите производную ti (х).
3. Решите неравенство
logo,5 (х + 5)2 > log3>5 (Зх — I)2.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2х; у = 0; х — 0; х = 1.
Вариант 1 ДС-51
1. Решите систему уравнений методом исключения переменных
2х + у — Зг = О
Вариант 2 ДС-50
х + у + 2 = 3
3х 2у — z — 4.
Найдите множество решений системы
х ^ у 2
ху > 1
х ^ 2.
Решите систему уравнений
I 1 I
2+ у 2
* + log6у = —2.
х ' + у = 5
11
Вариант 2 ДС-51
1. Решите систему уравнений методом исключения переменных
З л: — у + z = О
х + у + z = 2
2 л; у z = 3.
2. Найдите множество решений системы
' х < >’2
-v2+ у2 < 4
1у < 1.
3. Решите систему уравнений
63. 1. Решите неравенство
In х2 < In 4х.
2. Докажите методом математической индукции, что при любом
натуральном п справедливо неравенство
3 + 6 + ... + 3 • 2"-1 = 3 • (2Л— 1).
3. Упростите выражение
1 — sin (0 ,5 я + .2 х )_______
cos (х — 2я ) + sin (1 -;'5л -j- Зл:)
Может ли значение данного выражения быть 0,5? Ответ обосновать.
4. Напишите уравнение касательной, параллельной оси абсцисс,
к графику функции
у = е х+з е-х_
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у —
— —х2 + 4х и прямой у —. х.
Вариант 1 ДС-5 2
Вариант 2 ДС-52
1. Решите неравенство
In (—Зх) > In х2.
2. Докажите методом математической, индукции, чтошри любом
натуральном п справедливо равенство
—3 + 3 + ... + (6л — 9) = Зя2 — 6п.
3. Упростите выражение
1 — sin (2х + 1 ,5я )
sin (я — Зх) — sin (— х)
Может ли значение данного выражения быть равным 0,5? Ответ
обосновать.
4. Напишите уравнение касательной к графику функции у =
= ех + ег~х, параллельной оси абсцисс.
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у — х? и у = У х .