ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1 ДС-1
1. Найдите производную функции if:
а) г]) (х) = sin х cos 2х + cos х sin 2х;
бЖлг) = Г г - 18( т - *
2. Напишите уравнение касательной к графику функции g (х)
sin |— х 1в точке с абсциссой х = — .
4 / 12
1. Найдите производную функции if:
а) -ф(х) = cos a: cos Зх + sin х sin Зх;
б) 1|>(х) = ctg ( - = - - * ) + sin*
2 / sin 2х
2. Напишите уравнение касательной к графику функции g (х)
= cos f — + в точке с абсциссой х — — — .
4 I 12
1. Найдите производную функции р :
а) р (х) — cos Зх cos 2х — sin Зх sin 2х;
б) р (х) = tg (2х2— 1).
2. Докажите, что функция / (я) = 2,6* + sin (1 — 2,5*) воз
растает на всей числовой прямой.
75

Вариант 4 д с -i
1. Найдите производную функции р :
а) р (х) = sin 2х • cos 3* + sin Зх cos 2х;
б) р (х) = ctg (2 — Зх2).
2. Докажите, что функция / (х) = cos (1 — 4х) — 4,1л: убывает
на всей числовой прямой.
1. Найдите производную функции Я :
а) Н (х) = tg * “ 18(х ~ П ; б) Н(х) = sin32х + cos32х.
1+ tg* ■tg(x— 1)
2. Докажите, что функция г (х) = —2,5л: — cos2х + sin2х убы-
вает на всей числовой прямой.
Вариант 6 д с -1
1. Найдите производную функции Я :
а) Н ( Х ) = 1 Т Т Т Т Т Г ' б)Н(х)2tg(* + 1)
= cos4(2х2— 3).
2. Докажите, что функция г (х) = 2,1л: + 2 sin х sin ----- х
возрастает на всей числовой прямой.
Вариант 1 ДС-2*
1. Найдите предел:
a) lim (sin 4х cosx — sinA:cos4x); б)
я
1im^ctg (2х + y j .
* - 2 12
2. Вычислите:
, ,. sin 7л: ,. 2х
a) urn------------ ; б) lirn------------
х-+о sin 3,5* *->.0 sin(— х)
76

/ Зл
a) lim (cos х cos 2х — sin л: sin 2л:); б) lim tg|3x + — ).
х-*п п 4 J
Вариант 2 Д С - 2 *
а) lim ‘l 2f ; б) lim JHL(£z^L
х-*о 5х Х-+Л п — х
a) j;m s»n2х cos х + cos 2х sinх ш g, jjm 2tgs
*-►0 2х ’ я 1— tg2х
*"*6
2. Докажите, что функция у = у? + 2 cos х возрастает на про
межутке [0; оо[.
Вариант 4 Д С-2*
a) lim
-
— 5 б) lim ■1~ tg * .
*_>о cos.*sin 5х — cos 5 * sin * я 2 tg дс
2. Докажите, что функция у = cos х + 0,5л;2 убывает на про
межутке ]—оо ; 0].
X X
cos2 — — sin2 —О О
a) lim (sin 2л; •ctg 6л:); б) lim
Х-+0 х-*п „ . X X
2 sin — cos —
8 8
2. Докажите, что функция у = л;2 + cos2х убывает на проме
жутке ]—оо; 0].
77

a) lim (sin 3* ctg 4х); б) lim 2cos* ..
* - 0 я я
Х-+—-
2
2
2. Докажите, что функция у = 2 c o s * y + — возрастает на
промежутке [0; оо[.
1. При помощи первой и второй производной исследуйте пове
дение функции f (х) = 2х + cos 2х на промежутке
0; т [ '
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле
бания у = 7 cos 3xj. Укажите амплитуду, период, частоту
и начальную фазу этого колебания.
1. При помощи первой и второй производной исследуйте пове
дение функции / (х) = sin 2х — 2х на промежутке
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле
бания y = 3 c o s ( — — — Укажите амплитуду, период, частоту и
18 2
начальную фаз-у этого колебания.
1. Найдите точки перегиба функции
у = х3 — х2 + 2.
2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф
ференциальному уравнению
У" = - 4 у ,
если известно, что амплитуда этого колебания равна 5, а начальная
фаза равна
78

у = х? + 2х2 — 4.
, 2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф
ференциальному уравнению
У" = ~ 9 у ,
если известно, что амплитуда этого колебания равна 2,5, а началь
ная фаза равна
у = х4 — х3 + 2х.
2. Найдите амплитуду гармонического
ряющего дифференциальному уравнению у"
что у (0) = 2 и у' (0) = 3.
колебания, удовлетво-
= —4у, если известно,
у — sin2х.
2. Найдите амплитуду гармонического
ряющего дифференциальному уравнению
колебания, удовлетво-
У" = - 9 у ,
если известно, что у (0) = 2 и у' (0) = 8.
Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче
ских колебаний
уг = cos х и уг — cos
79

ух = 2 cos х и у2 = cos ^х + -л
ух — 3 cos 2* и у2 = 4 cos 2х + y j.
ух = 4 cos Зх и у2 = 3 cos ^3* —
ух = 5 cos и у2= 12 cos
1 х /х . п
у, = — cos— и у, = c o s -----
ух 2 3 ■У2 з з
80

1. Приведите к значениям тригонометрических функций наи
меньшего положительного аргумента:
a) tg (-7 2 8 °); б) cos
О
2. Упростите
sin (л — a) cos + РI — sin (-у — а) cos (Зя + Р).
1,- Приведите к значениям тригонометрических функций наи
a) ctg 519°; б) siri — .
6
cos (я + a) sin fy - — p'j — cos ( у + оАsin (Зя — р).
1. Докажите тождество
sin (а + я) cos (Зя — а) _ 1
Зя
‘ 2 J
, , . я cos а
sin |а + — I cos [— + а |— 1
— cos (4а + я) — 2 cos ^у- + 2а| sin (Зл + 2а) — cos2 -f y j .
tg (я — a) Jl + ctg + aj ctg + 2a jj = tg a — ctg j^y — 2a j.
2. Вычислите
8 sin 110° cos 140° sin 30° sin 890°.
81

sin [2и — у j cos (Зи + л) = sin (2и — л) sin (л — 3и) — sin ^у
—os ^ - •ctg ( — — а')— cos (— + а ] sin (л — а).
sin (я — а ) s 2 j 2 }
cos [4/ 4- у j cos (I — л) — cos ( у + 3/j = sin ^ y — 4/j sin (t + л).
• » « (? + “ ) + si" ( y + “ ) (« + 2")-
На рисунке дан график функ
ции g (х) = tg х на промежутке
]—л; л[. Ответьте на следующие
вопросы:
1. Каковы множества зна
чений переменной х, для кото
рых g (х) = 0; g (х) > 0; g (х) <
< 0?
2. Каковы промежутки мо
нотонности функции g?
3. На каком множестве из
области определения функция g
монотонна и принимает все
свои значения?
4. Обратима ли функция g>
Почему?
5. Из скольких «непрерывных
кусков» состоит график?
82

ции g (х) = ctg х на проме-
ЗлГ
жутке Ответьте на
я
2 ' 2
следующие вопросы:
1. Каковы множества значе
ний переменной х, для которых
g (.к) = 0; g (х) > 0; g (х) < 0?
нотонности функции g?
3. На каком множестве из
области определения функция g
монотонна и принимает все свои
значения?
4. Обратима ли функция g?
Почему?
5. При каких х функция g
принимает значение 1?
Вариант 3 Д С-6
ции h (х) = sin х на промежутке
— — ; л . Ответьте на следую-
3
щие вопросы:
рых h (я) == 0; h (х) < 0;
h (х) > 0?
2. Укажите значения х, при которых функция h имеет макси
мум или минимум.
3. Каковы промежутки монотонности функции /г?
4. На каком множестве из области определения функция h
монотонна и принимает все свои значения?
5. Обратима ли функция Ю
83

ции h (х) = cos х на промежут-
2я 1 „
Ответьте на сле-ке
- Т ;Л
дующие вопросы:
рых h (х) = 0; h (ж) < 0;
h (х) > 0?
2. Укажите значения х, при которых функция h имеет максимум
или минимум.
3. Каковы промежутки монотонности функции /г?
4. На каком множестве из области определения функция h мо
нотонна и принимает все свои значения?
5. ОбраТтима ли функция Ю
Вариант 5 Д С -6
ке Ответьте на сле-
ции h (х) = sin 2х на промежут-
я
4
дующие вопросы:
чений переменной х, для которых
h {х) = 0; h {х) < 0; h (х) > 0?
2. Укажите значения х, при
которых функция h имеет мак
симум или минимум.
нотонности функции h?
5. Обратима ли функция Л? Почему?
84

ции h (х) = cos 2х на проме- У ]
жутке n j. Ответьте на
следующие вопросы: _ # /
1. Каковы множества значе-
л ж З п /
4 2 4 / JT
ний переменной х, для которых 0
h {х) = 0 ; h (х) < 0 ; h (х) > 0 ?
2. Укажите значения х, при
которых функция h имеет мак
симум или минимум.
‘ *
3 . Каковы промежутки монотонности функции h ?
5. Обратима ли функция /г? Почему?
1. Вычислите tg (arcsin ( — - i ] + arcsin
2. Решите уравнение sin x cos 2x + cos x sin 2x — y 0 .
1. Вычислите ctg (arcsin + arcsin (— 1)).
2. Решите уравнение 2 sin x sin — x'j = 1.
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„
для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
неравенству
|sin t ^ 0,6.
2. Решите уравнение sin2х =
85

1. Отметьте на единичной окружности множестео точек Р„ для
которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера
венству
|sin t 0,4.
2. Решите уравнение sin2х = 1
1. Решите уравнение
Jsin 2д:| = 1.
2. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для
венству
1 < | sin / | < И .
2 2
Isin 3*1 = —.
2
венству
— |sin f| < 1.
2
Вариант 1 Д С-8
1. Отметьте на графике функции у = tg х, * € , мно-
л _ _л_
Т ’ 2
жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не
равенству
— 1 < tg х < 2.
tg / £ _ ^ = _ К з .
,2 3
3. Расположите в порядке возрастания числа
cos 4; cos 8', cos 12.
86

Вариант 2 Д С - 8
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Рп для
которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют не
равенству
— 1 < cos t < —.
2
3. Расположите в порядке убывания числа
tg 4; tg' 8; tg 12.
1. Отметьте на графике функции у = tg х, х € , мно-
я _ п
Т ’ Т
равенству
tg2 * > 1.
cos” (2* + т ) “ {■
tg 2; tg 4; tg 6; tg 8.
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют не
равенству
I COS ^ I > — .
' 2
tg * + tg 2х _ 1__
1 — tg х ■tg 2х V 3
cos 2; cos 4; cos 6; cos 8.
87

которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют нера
венству
cos2 1 ^ 1.
2 cos4х — 3 cos2х = — 1.
3. Определите знак числа
(tg 4 - tg 3) • (tg 2 - tg 1) (tg 0 - tg (-1 ) ).
я . я Г
¥ ’ 2 [’
МНО-1. Отметьте на графике функции у — tg х, х £
равенству
tg2х ^ 3.
3 tg4* — 10 tg2х + 3 = 0.
(cos 6 — cos 5) (cos 4 — cos 3) (cos 2 — cos 1).
1. Отметьте на графике функции у = ctg лг, х 6 ]—л; 0[, мно
равенству
— 1 ctg х 2.
2. Определите знак выражения
(ctg ( - 1 ) - ctg ( - 2 ) ) • (ctg ( - 3 ) - ctg ( -4 ) ).
1. Отметьте на графике функции у = ctg лг, х 6 ]—л, 0[, мно
равенству
—2 < ctg х < 1.
ctg 4; ctg 8; ctg 12.
88

arcctg 3; arcctg 7; arcctg 9; arcctg 11.
c t g . ( 2 * - f ) - 3 .
arcctg 4; arcctg 8; arcctg 12; arcctg 16.
с‘Ф + 1 ) = т
ctg (Зх — —
4
1.
(ctg 3 — ctg 4) (ctg 5 — ctg 6) (ctg 7 — ctg 8).
3 ctg4х — 4 ctg2* + 1 = 0 .
(arcctg 3 — arcctg 4) (arcctg 5 — arcctg 6).
1. Найдите sin а , если известно, что tg а = 3.
2. Найдите sin а и cos сс, если известно, что tg а = —2 и что
а — угол II четверти.

1. Найдите cos а, еслиизвестно, что ctg а = —2.
2. Найдите sin а и cos а , если известно,что ctg а = — и что
а — угол III четверти.
1. Найдите cos (а + р), если известно, что
7 a 12
cos а -------, a cos р = —.
25 м 13
V 1 + c t g 2 X = --------— .
sin дг
12
1. Найдите sin (а — (3), если известно, что sin a = - , a
io
ft 24cos p = —.
K 25
V 1 + tg2*
cos *
12
1. Найдите cos (a — P), если известно, что sin a = — , a sin p =
» * 1 3
3
5
V i
1 = — COS X.
+ tg 2 X
5
1. Найдите sin (a + P), если известно, что sin a = -, а
lo
« 4
COS P = — .
5
= sin x.
I + ctg2X
90

1. Найдите tg -2-и ctg у , если cos а = у и я < а < 2л.
2. Упростите выражение
i + sin а
1. Найдите tg — и ctg— , если sin а = — —
2 2 4
з
и — л < а < 2л.
2
1/ 1— sin а
V 2 •
1. Найдите предел
lim l / 1 cos•*.
V 2*а
2. Решите уравнение 1 — cos 2х — 2 sin х.
Вариант 4 д с -11
lim 2 I*1 • / 2
*-►0 г 1— cos*
2. Решите уравнение 1 -f cos 4х — 2 cos 2х. •
Пт 1/ isin 3*| Ц.
х-*0 г 1— COS3*
1 + sin 2х — 2 cos
91

lim lz z £ 2i £
х-+а 2х ■sin х
1 — sin 4х — 2 sin
( * - т >
1. Упростите выражение (|~—■ ■—'J— 1.
2. Найдите sin a, tg a , ctg а, если cos — = — — и — £ [л; —я].
2 13 2 2
П + tg2 а 2
2tg а
2. Найдите cos a, tga, ctg а, если sin у = и а £ |я; я|
1+ tg21"Г* —а
1. Упростите выражение ~ -------— -tg 2a.
— — a
4
2. Найдите sin 4a и cos 4a, если tg a = 2.
2tg ¥ v^"3
3. Решите уравнение ------------ = ------- g-.
1+ V - j
92

2 t g ( y + « ) 1 — tg2 ( - ^ — « )
1. Упростите выражение -— —.
/я / л
l + tg2 ^— + a j l + tg3 |^— — a j
2. Нарщите sin 4a и cos 4a, если ctg a = 3.
1— tg2~2 V 3"
3. Решите уравнение ------------ =
l + tga|
1. Упростите выражение — ~ *c tg 2 [3 .
l + 1
2. Найдите sin 3a и cos 3a, если tg 1,5a = 8.
3. Решите уравнение —2t g - = — —.
1 + tg2 x 2
я '
1 + t g 2 (P —
1. Упростите выражение ------
1 — ctg2 (" T + P4
2. Найдите sin За и cos За, если tg 1,5 a = 5.
1 — tg2 x l
1 + tg2 * 2
1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
sin 105° sin 75°.
2. Упростите выражение 2 sin 5х sin Зх + 2 cos х cos 7х.
93

cos 105° •cos 75°.
2. Упростите выражение 2 cos 2х cos 5х — 2 sin 6* sin 3*.
cos 10° • sin 20° • sin 40°.
sin2а + cos + а j cos ^ — a j.
3. Решите уравнение sin x • sin 3* = К
cos 20° • cos 40° • cos 80°.
sin ^ + a j •sin ^ a j -f sin3a.
cos x • cos 3x = —
2
я 2я 4я
cos — COS COS .
7 7 7
2. Упростите выражение cos|p
. х Зле 1 .
sin — cos — == sin x.
2 2 2
94

о 2я 4я 8я
2cos — cos — cos —.
7 7 7
cos — Yj cos ( у + ?) + cos2( y — yj.
. Зх x l . л
sin — cos— = — sm 2*.
2 2 2
Решите неравенство: _
1. sin 3* cos х — cos Зх sin х > — t-L . 2. ctg x < V 3.
Решите неравенство:
1. cos 1,5* • cos * + sin 1,5* • sin * ^ —]I j L
2. ctg x > — y = .
1. sin (2* -j- j
2. |tg*| < 1.
1. sin (2* -j- cos Щ + cos (2x + y j sin у < 1.
. / п . 2я Зя • /о р 2я . Зя . ,
1. cos 2* А Icos sin 2* sm — < 1.
7 ) 14 7 / 1 4
2. |tg*|> 1.
95

t g ( * + y ) + tg 2л: , j
1. — < 7г^. 2. sin2x - > —.
п У 6 А
1 — tg 2л • tg ( л + — J
tg Зх — tg (х —у )
1. 1 71 >уз.
1+ tg Зл •tg — у j
2. cos2* <; у .
Решите уравнение:
1. 2 cos2z — 5 sin z + 1 = 0 . 2. tg2* + 3 ctg2* = 4.
1. 2 cos22 + 5 sin 2 + 1 = 0. 2. 3 tg2л: + ctg2* = 4.
1. 2 cos2 + - y j — 3 sin^y----- + 1= 0. 2. sin 2х + cos * = 0.
1. 1 — cos (л — х) — sin ^-у + у |=0. 2.5 sin Зх — 2 cos 3 *= 0 .
96

1. 3 sin 2л: + 7 cos 2х — 0. 2. cos 2х — sin х — 0.
1. 2 cos2[х + + 3 sin ( ~ — x j + 1 = 0.
2. sin 2х — sin Зх = 0.
Докажите тождество:
1 1+ *g ft _ 1+ sin 23
1— tg р cos 2Р)
2. 4 cos (а 4- •cos Iа 4- — ) •cos а = — cos За.
I з/ I 3 )
. 1 — tg р 1 — sin 2(5
1 + tg cos 2р
2. 4 sin fa + y j • sin а • sin fa + ^ = sin 3a.
1. У 1 + sin a — у 1 — sin а = 2 sin у , если 0 < a <
_ tg 2 a j_ tg a _ s i n 2 « .
tg 2 a — tg a
4 Заказ 48 97

1. V l -f- cos а + У 1 — cos а = 2 cos ^ y -j, если 0< а < ~ .
2. 1 + cos а + cos 2а = 4 cos а •cos ( — + — ) •-cos —
6 2 I [ 6 2
о i л i n tg 4 а •tg 2 а
2. tg 4а — tg 2а = —--------— .
sin 4 а
1 sin 2? . а ^ ^ я
1. Л =— .......— — - = sin у, если 0< v < — .
У + sin 2у + У 1 — sin 2у 4
1. j/ 4g * + sin * + У ig х — sinx = 2 У tgxcos jy ----
если 0 < x < — .
2
2. tg 2f3 - 2 tg p = tg2 p tg 2p.
1. Докажите, что функция Н есть первообразная дляфункции/г
на промежутке /, если:
а) Н (х) = tg2(1 - 2 х ) - 1; h (х) = ■4sl; 1 = ]0; 1[;
cos3 (2х — 1)
б) Н (х) = X2— h (X) = - + 2х- / = ] 0; со [.
х ' х2
2. Для функции / (х) = — — найдите первообразную, график
sin2*
которой проходит через точку (—■; 0j.
98

1. Докажите, что функция Я есть первообразная для функции h
а) Н(х) = ctg2(1 + 2х) + 2; h(x) = 4cos-^ -± i L ; /= ]0; 1[;
— sin* lx -f- 1)
б) Я (х) ^ ~ + у + 2; h (х) = ха — / = ] — оо; 0 [.
2. Для функции — — найдите первообразную, график которой
cos2*
проходит через точку 0j.
1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f
а) F <*) = * > °J. 0; / М - 2 М ; / = ] - ■ » ; оо[;
б) F (х) = 2 — sin2л: + cos2х f (х) = —2 sin 2х I = ]0; 2[.
2. Одна из первообразных функции — — проходит через точ-
COS X
ку o'), а вторая — через точку (— ; lV График какой из них
6 ) 3 /
расположен выше? Какова разность этих первообразных?
1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f
а) F И = { ^ прпяря/ > 0? ; / W = - 2 W; / = ] - » ; ~ [ ;
б) F (х) = 6 sin — cos — — 5; f (х) = 1,5 cos —; I = ]— 1; 1[.
4 4 2
2. Одна из первообразных ф ункции 5— проходит через
sin2 X
точку !■— у ; -М , а вторая — через точку ^— -j; — y j. График ка
кой из них расположен выше? Какова разность этих первообразных?
4* 99

1. Найдите первообразные для функции /:
а) f = y j z r f : б) f W = C°s2*’
2. График одной из первообразных функции у = *2 — 3* + 2
проходит через точку (— 1; 2), график другой — через точку (0; 4).
Какой из графиков расположен выше? Какова разность этих перво
образных?
1. Найдите первообразные для функции /:
а) /(х) = ----/1*------ ; б) /(*) = sin2*.
’ ' w 2К *3+ 1
2. График одной из первообразных функции у = Зх2— * + 5
проходит через точку (0; 2), график второй — через точку (1; 4).
Какой из графиков расположен выше? Какова разность этих перво
образных?
Найдите первообразные для следующих функций:
1. / (*) = sin2 (2 — 3*). 2. f (х) = cos (2х — 1) — К б * + 3 н
] 0 ; о о [.
1. / (*) = cos2 (3 + 2х). 2. / (х) = sin (0,5* — j-'j — j / 3 + ±.х.
1. / (*) = у7(* — I)2 на промежутке ]—оо; 1[.
2. /(*) = * sin * + Y 2 x — 1.
100

3
1. f (х) = у (х — I)4 на промежутке ] —оо; 1[.
2. / (х) = х cos х — У 1 + 2х.
1. f(x) = -------— гг---------- 3 sin (4 — Зх) + 1.
COS2(X— 1)
2. / (х) — У х2 на промежутке ] — оо; оо[.
1. /(*) - . 2. , + 3 cos (3 Ах) 1.
sin2(х + 1)
2. / (х) = |х|-1-1 на промежутке ]—оо; оо[.
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
рисунок): у = (х + I)2, х = —3, у = 0.
10
2. Найдите sin 2х dx.
-10
1, Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
рисунок): у = —х~ + 4х; у = 0.
Л
18
2. Найдите J (cos х cos 2х — sin х ■ sin 2х) dx.
0
' исунок): у = — (х3 — 5х + 4) и у = 0.
2. Найдите Г хdx.
—2
101

рисунок): у — х + 1 и у = 4 + 3* — х2.
Л
6
2. Найдите ( |sin х |dx.
п
—т
рисунок): у = 4 ; х = 1, у = х — 1.
JT
п
2. Найдите lim 1
л—►со J я2
1
рисунок): у = 2 cos х (— -у ^ х -y j; у = 1.
2. Найдите lim 1 -^=.
n-ooj К *
п
Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, запоЛ'
няется водой до высоты 4 м. Определите затраченную при этом ра
боту, если стороны основания равны 2 м и 3 м. (Вода подается чере:
отверстие в дне с плоскости основания бака.)
Определите кинетическую энергию однородного диска, массо!
2 кг, вращающегося равномерно вокруг центра с угловой скоростьн
2 рад/сек. Радиус диска равен 0,5 м.
102

Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую
форму трапеции, нижнее основание которой а — 10 м, верхнее
b — 6 м и высота h = 5 м, если уровень погружения нижнего ос
нования с = 10 м.
Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую
форму трапеции, нижнее основание которой а — 4 м, верхнее осно
вание b — 8 м и высота h = 6 м, если уровень погружения нижнего
основания с = 12 м.
Определите кинетическую энергию однородного цилиндра, ка
тящегося без проскальзывания по плоскости со скоростью 1 м/сек.
Радиус цилиндра равен R м, масса цилиндра m кг.
Аквариум, имеющий форму полушара радиуса г, заполнен во
дой. Определите силу давления воды на «стенки» аквариума.
Вариант 1 ДС -21*
Вычислите:
Я
1 3
1. j ( 1 + ■§■']****• 2- j (с032 + y j ~ sin2 + y j ) dx.
~ I _Я
6
Вычислите:
Зя
0
j I 1).. 2. i 12s i n jiAcosf— — xdx., ^
—I
103

Вычислите:
1,5
1. j ( l — 2х)1dx.
i
Я
24
2. j (cos2 ^2х — у ) — Sl’n2(Эх — y j j dx.
Я
12
Вычислите:
1
3
1. j1(Зх + I)8dx.
0
1,2Я
2. j 4,2 dn ( f - - J ) cos ( f
1.6Я
Вариант 5 ДС -21*
Вычислите:
—2 4 '
2- j ( sin( f + i ) + c o s ( f + r 2 ) ) v
- i - i12
Вычислите:
—4
1. j У (4 — Зх)3dx.
0
л
2
2. | cos4^ x— ~ j dx.
Я
3
1. Решите уравнение 3 . 2V+1— 6 • 2*-1 = 12.
1 2
2. Решите неравенство 2 5 ^ + * < 1 2 5 —®
104

1. Решите уравнение 0,53 2Х+ 3 •0,25й х = 14.
2. Решите неравенство 2 4^ < $УХ+ Ч
Ш ' + ( Г = 1
2. Решите неравенство
( i r > F T
1. Решите уравнение 4У й « = (1 ) '
2. Решите неравенство ( Т ~ ' >2 1 2 V2
1. Решите уравнение 2 . + 6 •9°>ех-а = 56.
х«+.2*т-15
7 ,3 > 1 .2. Решите неравенство
1. Решите уравнение 4 '
,р л х - 1 _ 2 7 ^ = 33,
2^ -4 > 4*.
1. Найдите уравнение горизонтальной касательной
функции у = ех + е~х.
/1 в*-4
2. Найдите производную функции у = {—
к графику
3. Найдите первообразную функции f(x) — 22х * +
(1 г
105

1. Найдите угол между касательной к графику функции у = е~~х
в точке с абсциссой х = 0 и осью Ох. Напишите уравнение этой
касательной.
2. Найдите производную функции у — З3*-4 + с~х
3. Найдите первообразную функции f (х) = 0,92г—°-9.
1. Найдите промежутки монотонности функции у = х'ге'~х.
з
2. Вычислите j ^22Л'~1 + ( у ) ) dx.
2
/ 1г-х
3. Изобразите схематически график функции у = — I .
' 4 '
Вариант 4 ДС- ?3
1. Найдите промежутки монотонности функции у = х ■2х 1.
2
2. Вычислите J jV -* + ( y j j dx.
о
3. Изобразите схематически график функции у = 32~х.
1. Найдите экстремумы функции / (х) = х •
2. Найдите первообразную функции h (х) = 21~°'ix, график ко
торой проходит через точку (2,5; 1).
6
3. Вычислите j (х — 3) exZ~lxdx.
_______________ о________________________________________
(
I х2 X
— I
2. Найдите первообразную функции h (х) = 0,51—Зг, график ко
торой проходит через точку (— 1; 1).
Я_
2
3. Вычислите j sinx ecosх dx.
106

х + 2
1. Решите неравенство — — г^О.
2. Постройте график функции у = elnros*.
]. Решите уравнение In (—* —
2. Постройте график функции
1) = 0,5 In (1 — 1,5х).
у = 31ое> *
1. Решите уравнение log^+j (х — 0,5) = logx_0,5(х + 1).
2. Решите неравенство log^ х + log2хг < — 1.
1. Решите уравнение 0,5 In (8 — х) = In (1 + ] / х + 5).
2. Решите неравенство logjj х 4* log4 > ] д
, „ 1п(10дг — л:2 — 7) 0
1. Решите уравнение ------------- — ----- =
In (* + 1)
2. Постройте график функции у = ю '8(1Х+1|_2).
1. Решите уравнение log4 (61 — log2 (2х — 1)) = 3.
2. Постройте график функции у = е п (лг2~4х+3
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции h (jc)=ln (— 1— 2х) + log2 (1 — ле) в точке с абсциссой х = — 1.
— 2
2. Для функции у —------- найдите первообразную, график ко-
х — 2
торой проходит через точку (3; 2).
3. Изобразите схематически график функции у = In х — 11.
107

1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции h (х) = lg (3 — 2х) + logi х в точке с абсциссой х = —.
2~ 2
з
2. Для функции у = ------ найдите первообразную, график ко-
х 2
торой проходит через точку (— 1; 1).
3. Изобразите схематически график функции у = |In ( х — 1)|.
1. Найдите экстремумы функции у = хг In х.
2
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линия?*! у = —;
X
х + у = 3.
— 8
3. Вычислите Г — ——
J |*| in4
9
1. Найдите экстремумы функции у — In2х — In х.
4
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = —;
*
х + у = 5.
—27
3. Вычислите Г — —— ■.
J |* 1in 9
з
1. Найдите промежутки монотонности функции у — — In2х —
— In3
3
Г 2х
2. Вычислите dx.
J *2+ 1
о
1 2
3. Решите уравнение------------- 1---------------- = 1.
п Ig * + 3 3 - l g *
108

1. Н
+ lg3л:.
з
1. Найдите промежутки монотонности функции у = — lg2х 4*
з
J д с * - 1
3. Решите уравнение log2У х — 4 + log2 у 2 х — 1 = log23.
Докажите, пользуясь свойствами функции In, что ехр (а + Ь) =
= ехр а • ехр Ь.
Докажите, пользуясь свойствами функции In, что ехр (а — Ь) =*
_ ехр а
ехр b
Докажите, что для п Z N
In п < 1 + — 4- ... + 1
2 и— 1
Докажите, что для п 6 N
1 п п > 7 + ¥ + - - ' + 7 ‘
Найдите область определения функции
х‘+2х
f(x) = f j d t .
Вычислите производную /.
109

Найдите область определения функции
2х—х‘г
f(x) = J j d t .
Вычислите производную функции /.
1. Найдите первообразную функции
f (х) = (1 - 2х)-°*7.
2. Решите уравнение V 1 4- V + х = х.
1. Найдите первообразную функции
/ (х) = (1 -
2. Решите уравнение 2 — У 2 + х = х.
1. Найдите промежутки монотонности функции
YT
у = (х — 1) X
2. Решите уравнение У 2х + 3 + У х — 2 = 2 У х + 1.
1. Найдите промежутки монотонности функции
у = (2 4- X) х УЯ.
2. Решите уравнение У 2х — 1 = 2 У х — 1 — У х — 4.
1. Найдите производную функции
у = (У х )х.
2. Решите уравнение У х 2 + 6х + 9 + У х2— 4х + 4 = 5.
110

1. Найдите производную функции
у = X2*.
2. Решите уравнение У~ 1 — х = 1 — У х .
Решите методом Гаусса систему уравнений
( х + Зу — 4z = —21
—2х + Зу + 2z = —6
1 З х + З у — 8z = —31.
1 х — у — Зг =11
| Зх + 2у + 4z = 18
(—4х + Зу — z — —5.
1
х — у + z — и =■ 2
х + 2у — 2z — и — 5
—Зх + 2у + 5z + и — —3
2х — z — и — 4.
х + у — z + и = —7
— х + у + 3z — 4и = 9
2х — Зу + Зг — 8и — 16
х — 2у + z — и — 12.
л: — 2у + 2г — Зи — 4
Зх + 2у — Юг + 11м = 0
—2х + у + 5г = 7
у + г + 4и = 9.
i l l

•х + у + 4z — и = О
—Зх — 2у 3z 2и — 28
—х + 7у — z — 2w = 11
Зх — 6у — 6г + = 5.
Вариант 1
Решите систему уравнений (р — параметр)
12х — Зу = р2
4х — 6у = 8р.
ДС-29
Вариант 2
Решите систему уравнений (р — параметр)
l3x + 6у = —р + 1
2х + Р2У = 2.
ДС-29
Вариант 3
Решите систему уравнений (m — параметр)
j (пг — 1) л: + у = m + 1
2х + ту = 6.
ДС-29
Вариант 4
Решите систему уравнений (ш — параметр)
((пг — 1) х + 2 ту = — 2
2тх + (т — 1) у = т — 1.
ДС-29
Какому условию должны удовлетворять числа b и с,
ма
(х + у + Z = 1
х + by + г = 1
1х + у + CZ — 1
имела решение и притом только одно?
чтобы систе-
112

Найдите, при каких значениях р решение системы
(х + ру = 3
рх + 4у = 6
существует и удовлетворяет неравенствам х > 1, у > 0.
Решите систему уравнений
(5-г • 2у = 3200
j 10? / - (У — *) = 2.
Вариант 2 д с -з о
(Ъх ■ 2у = 3 -
32
log (х — у) = 9.
V r
((х + у) (х2 — у2) = 9
{ logs (х — У) + logs (*2 + У2) = 1-
/lg (х2 + 1) + lg (у2 + 1) = 1
[(•* + у) (ху — 1) = з.
( х2 = 1 + 6 log4у
( у2 = у • 2х + 22х+1.
из

^ «-lSy+бв _ }
[ у _ х = 5.
I . „ . . „ 1
4
я
X — у = — .
6
(cos2х + cos2у = —
| Ея 4
1 =
[tg X ■ tg у = 3
1 , 2л
1* + У - 7 -
[tg х + tg у = 1
< л
/sin х — cosec х + sin у
(cos х = sec х -f cos у.
114

Найдите решения системы уравнений
/sin х — sin 2у
{cos х = sin у,
удовлетворяющие условиям О ^ у ^ я .
1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр:
а) а + b : с; б) а — b — с, где а да 12,839; b да 1,442; с да 1,2.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите
границу погрешности и границу относительной погрешности полу
ченного результата:
а) х + у, где х = 8,58 ± 0,1; у = 11,76 ± 0,2;
б) х ■ у, где х = 3,5 ± 0,05; у — 1,2 ± 0,1.
а) а — Ьс б) а — b + с, где а да 42,991; b « 20,9; с « 0,3.
а) х 4- у, где х = 7,32 ± 0,05; у = 23,1 ± 0,1;
б) х : у, где х = 43,6 ± 0,2; у = 2,3 ± 0,1.
а) а : b + 2ab — с; б) (а — Ь)2, где а як 7,45; Ь « 1,5; с ж
да 0,1397.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажи
те границу погрешности и границу относительной погрешности
полученного результата:
а) х + у — ху, где х = 9,9 ± 0,1; у = 0,0022978 ± 10~в;
б) х8 -f 2ху + у2 — Зх, где х = 7,8 ± 0,2; у = 11,2 ± 0,1.
115

а) а : b — 2Ьс + с; б) (а + Ь)2, где а да 3,65; b да 2,5; сда0,092.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, ука
жите границу погрешности и границу относительной погрешности
полученного результата:
а) х — у + ху, где х = 7,7 ± 0,1; у = 0,0034995 ± 10~6;
б) х2 — 2л:у + у2 — Зу, где х = 5,7 ± 0,1; у = 1,7 ± 0,2.
a) ab + ас — Ь б) (а + с)2, где а да 8,32; b да 0,367; с да 1,633.
2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажи
те границу погрешности и границу относительной погрешности полу
а) х + у + ху, где х = 6,8 ± 0,1; у = 0,0032997 + 10~7;
б) х* + Зху2 + 3х2у + у3, где х = 8,9 + 0,3; у = 11,1 ± 0,1.
а) а : b — с : b + а; б) (а + b)3, где а да 7,6; с да 0,0139; b да
да 1,4.
а) х — у — ху, где х = 5,3 ± 0,2; у = 0,0041997 ± 10~6;
б) у? + Ъху2 — Зх2у — у3, где х = 12,9 ± 0,2; у = 6,9 ± 0,1.
1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки:
а) 0,75 ■ 0,391 • 5,411; б) в)
3 2 ,32
2. С помощью логарифмической линейки Найдите неизвестный
х 4 5 ,9
член пропорции == г - ~ - .
^ к 79,8 0,0327
116

а) 34,5 • 732 • 0,0063; б) ]/ 4 ^ 3 ^ в)
2. С помощью логарифмической линейки найдите неизвестный
358 х
член пропорции ~ = — .
а) / 8|’^22|'?7; б) 3,442•14,52; в) ^ 3 5 ^ - 37,8.
2. Длины сторон треугольника равны 7,8 дм, 5,4 дм, 3,85 дм.
Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, если дли
на меньшей его стороны равна 24 м.
а) * б) 5,282 • 21,32; в) ^ 2 2 ^ - 42,8.
2. Длины сторон треугольника равны 12,7 см, 10,2 см, 5,6 см.
Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, если дли
на большей его стороны равна 42,1 дм.
а) ; б) 42,52 •4,232; в) ^ 3 2 Д ^ 21,8.
2. При помощи логарифмической линейки найдите массу ци
линдра, высота которого равна 32,4 см, радиус основания — 4,53 см,
если плотность материала бруска равна 4,79 г/см3.
г) •Г-° з ‘ 45892’7 : . б> 4>2уз ’ 5’383; в) ^ 5 Ж 2’ - ° .325-
2. При помощи логарифмической линейки найдите радиус осно
вания цилиндра, если его объем равен 2,45 дм3, а высота — 23,8 см.
117

I
1. Упростите ( 2а 2 -1а : 2а 2 + Ь -----------— = ,
2 У а — Ь) Ь - 2 У а )'
2. Решите уравнение ———— = —( — — + — Ь 2у
(у — I)2 2 — у 1 + у 1
1. Упростите |0Т + 2 6 « ■ _ ) . ( 0Т _ « I
2b f a ) - J H — 2b j
„ „ 1 , 1 2у 3
2. Решите уравнение ; + — ~
1+ у -У 2 (1+.V)2
( Л , Г + 1 ( Л _ , ) + ( > _ , У
1. Упростите —
( V * — у )2 + у /* 2 — У2 ( ^ * + у) 2
2. При каких значениях переменной а равны соответственные
значения суммы дробей и — и их произведения?
а — 7 а + 3
/ 1 г
1. Упростите --------------
у2 у X6 х л
— ~ — + У2 _ У
2. При каких значениях переменной а равны соответственные
, „ з а — ю 0
значения разности дробей — — и и их произведения?
а — 12 а — 9
118

- L i - _L -1
, , т а 3 с2 — 36 2 . ■ 3 a J -f b 2 ca
1. Упростите — -f
(Сг + З)а3 + V b ) ( ^ _ 3)U 3 + V b)
1 i 2
2. Решите уравнение —— - ~г
у2 _ j уа+ 2
L JL J_—
А 4 I А 2 4 2 Л1
, . , 4а + ос , а с — 40
1. Упростите '
(.4 с 2 ) (у" а — ь) {4— с 2 ) ( У а — b)
1 2 1
2. Решите уравнение -— — = —— - +
2— у2 )4— 1 >2
1. Стороны треугольника пропорциональны числам 0,6; 0,8; 1.
Радиус описанной около треугольника окружности равен 14 см.
Определите периметр и площадь этого треугольника.
2. Решите систему неравенств
/21,7* — 4,5 < 4,7 х + 7,4
{ 3,2л: — 1 > 2* — 13.
, _ - 5 12
1. Стороны треугольника пропорциональны числам 1; —; — .
Радиус описанной около треугольника окружности равен 26 см.
Определите периметр и площадь этого треугольника.
х2 + Зх + 3 > 1 — 2х + х2
0 ,2 х — 0 ,4 > — 0 ,1 * — 0 ,1 .
119

Синусы углов треугольника пропорциональны числам 3; 4; 5.
Определите периметр и площадь этого треугольника, если наимень
шая его сторона равна 12 см.
2 (х — 2) (10* — 1) — 2(k 2 > 2х + 1
, Зх — 0,2 < 2х — 0,3.
1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 7;
24; 25. Определите периметр и площадь этого треугольника, если
наибольшая его сторона равна 15 м.
0,8л; — 2 (0,3л: + 0,7) < 0,4л: + 2
0,3 (1 — 2х) + 0,6л: > х + 4,7.
радиус описанной около него окружности равен 6,5 см.
' х2 + х + 1 ^ — 1 — 4х — х2
1*1 < 6.
радиус описанной около него окружности равен 19,5 см.
*3 + х + 1 > —2 — 9х — 2х2
|х| < 4.
1. Для функции у = Зх2 + 12х + 12 укажите множество зна
чений переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0.
2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен Зх2—
— 4х — 3 на множители.
3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат
числа 1^8 — 3 и ]/8~+3.
120

1. Для функции у = 37* — 6л;2— 6 укажите множество значе
ний переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0.
2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 5х2 +
+ Зх — 5 на множители.
3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат
числа У 5 — 2 и ]/5 + 2.
1. Разложите (если это возможно) многочлен 2л^ + Зх2 — 5
на множители.
2. При каких значениях параметра а {а ф 0) оба корня квадрат
ного трехчлена а2х2 + ах — 2 по модулю больше единицы.
3. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 + х — 1 = 0 .
1. Разложите (если это возможно) многочлен Зх* + 2х2 — 5
2. При каких значениях параметра а (а ф 0) оба корня квадрат
ного трехчлена а2х2 — ах — 6 по модулю больше или равны еди
нице.
3. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 — х — 1 = 0 .
1. Разложите (если это возможно) многочлен Зл:4— Юл:2 + 3
2. При каких значениях параметра b (Ь Ф 0) оба корня квадрат
ного уравнения 2Ь2х2 — Ьх — 1 = 0 по модулю меньше единицы.
3. Найдите сумму четвертых степеней корней квадратного урав
нения х2 + х — 1 = 0.
1. Разложите (если это возможно) многочлен 2xi + 5х2 + 2
2. При каких значениях параметра Ь (Ь ф 0) оба корня квадрат
ного уравнения 2Ь2хг — Ьх — 3 = 0 по модулю не превосходят еди
ницы.
3. Можно ли найти сумму четвертых степеней корней квадрат
ного уравнения х2 — х + 2 = 0?
121

1. Найдите пределы:
ч 3 — 5п п‘— 2я + 1 m V п2 + Зп — 2
a) lim ------------ -------------- г— ; б) lim -------— —--------.
ri~*со 4 -f- 2 ,5 я 1 — п п-юэ 1 4~3п
„ _ 6 —2я -
2. Докажите, что последовательность vn= — является убы-
10л — 1
вающей.
. . . 3 — 4 п 2л2 — п + З «гч 1 • 2 ] ^ п 2 + 7п — 5
a lim ------------ ■ ------------ 1— ; б) lim — ------------------
п-есо 4 + 1 ,Ел 3 — 2л2 п~оо Зп — 2
- _т 9л — 1
2. Докажите, что последовательность vn= является воз-
15л + 2
растающей.
5 + 2л + и2 4 — я3+ л7 ,. з у „4 + „з _ „
а) п т — г : — — • — — Г Т Т Т ; б) lim
Я-*00 1.5Л3 — 2 1 -J- пЗ О- fi»7> /
2. Является ли моното:
Проведите доказательство.
1,5л* — 2 1 + л З + 6я7’ ^ 0 0 1 — л — 2л2
п )
2. Является ли монотонной последовательность Ьп= ( !■ + —')?
. 3 — 2л + л2 4 — л4 -j- 5л8 ,. 2 V 1 — Пт + «4
a) lim ---------—— • --------—— ; б) lim — .
п-+оо 6л2 + 1 л8 — 2л + 3 П-+ОЭ 2л — 1 + Зл2
2. Является ли монотонной последовательность en = (l + —У* ?
л
122

ч I- 2 — З я + 0 ,7 я 2 5я — я5 Л |. 2 У 2п4 — я3 + 7я
a) lim --------------- !-------• —-------—; б) lim — --------.
оо 1 ,2я2 — 3 0 ,7 я 8 +. 2 п-оо 1 — Зп — 2п2
з,---------
2. Является ли монотонной последовательность хп = у п + 1 —
— у п . Проведите доказательство.
. 2 — Зя + я3 4 — 2п4+ 3 я 9 2 ^ 3 — 2я + 3я4
а) ]+т — 1----- • --------- —— ; б) п т
«-♦-оо 2п3 + 2 я9— 2я + 0 ,7 п-у со 1 — п + Зя2
2. Является ли монотонной последовательность у — у^п?
Докажите методом математической индукции, что при любом
п £ N число 5" + 2 - 2п делится на 3.
Докажите методом математической индукции, что при любом
п d N число 1п + 4 • 2" делится на 5.
Последовательность задана рекуррентно: — 2; а2 = 3; ап =
= 3an_x — 2an_i при п > 2. Докажите, что п-й член этой после
довательности может быть вычислен по формуле ап = 2я-1 + 1.
Докажите, что при любом натуральном п > 1 верно неравенство
я + ! я + 2 2я 24
123

Докажите, что при любом натуральном п справедливо равенство
( д + 1 ) ( я + 2 ) . . . ( 2 я - 1 ) 2 я
1 •3 •5 • . . . • (2л — 1)
Последовательность задана рекуррентно: ах = 1; ап+1 = ап +
-f 8п, для любого п с N. Докажите, что п-й член последователь
ности можно вычислить по формуле ап = (2п — I)2.
1. Сколькими способами пионерский отряд из 25 человек может
выбрать 5 пионеров: председателя совета отряда, его заместителя и
3 звеньевых?
/-*42 г <43 гЛ I ^ 3 I _ L Г®
^6 4 65. 10 *| 10 • 10 "Т* '-'Ю I 10ч Ь4 Ьо. (£
а) — — б)
С 2(С °+ С 2+ С* + С®)
1. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать судью
и 6 участников волейбольного матча?
3Cgg _ 3 ( С° + Cj + с ) + Су)
/-*45 ^ 4 4 * /->1 | р З г | /о7 | /-.9
° 7 0 — °6Э 9 ~ г ^ 9 * 9 9 • 9
1. Сколько существует семизначных нечетных чисел, составлен
ных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в записи числа встре
чается один раз?
2. Упростите:
a) C l + 2С 1Г*-1+ d + 2; б) С°2п + С*п+ '' ‘ + ^
Clk + C l + Cl +
124

1. Сколько существует семизначных чисел, не кратных пяти,
составленных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в записи
числа встречается один раз?
а) Ср~: + 2Cp~k+l + С* ; б)
с° + с1п+ с2п+ ... + С”
pi I рЗ | 1p2k—1
L 2fe Т Т • • • "Г ^ 2k
1. Группу из 16 человек нужно разделить на 3 бригады: из 4,
5 и 7 человек. Сколькими способами это может быть сделано?
С^+ 2СГт-' + С Г2 g C2m+ CL + С2т + •■•
С+1+ 2с г т- 2+ С+3 ’ с‘„+ с33„+ сп+ ... '
1. Группу из 18 человек нужно разбить на 3 бригады: из 4, 6
и 8 человек. Сколькими способами это может быть сделано?
cg + 2 c * - p - 4 c g +2 _ С*, + 4 + 4 + ---
c r 1+ 2c£ -'’ + cg+1 ’ с°р+ с2р + $ + . . . '
1. Найдите член разложения, содержащий х в степени — 1:
( У ^ + х)
2С + 2z q + 2«С? + 24С4 + 25С* + 2°С® + 27С77.
1. Найдите член разложения, содержащий у в нулевой степени:
V 7 - # ‘
—зс* + 32q — з3с 3 + 34q — ... — з8с « ,
125

В а р и а н т 3 Д С -4 0
1. Н айдите номер н аи больш его член а в р азлож ен и и
(1 + 0 ,1 )100.
2. В ы чи сл и те
/~*0 о /"*1 | о2 /-*2 оЗ /"*3 I q9 /°9L«g--- О •Ug -f- О •Од --- О Og —р . . . --- О 'Од
С 15 + С15 + ' ' • + С15
В а р и а н т 4 Д С -4 0
1. Н айдите номер н аи больш его члена в р азлож ен и и
(1 + 0 ,0 2 )300.
099 . __ 098 . /°1 _1_ 097 , /^99
99 z ^99 > z °99 “ ••• — ь 99
С9 + С9 + С9 + С9 + С?)
В а р и а н т 5 Д С -4 0
1. Н айдите номер н аи больш его члена в р азлож ен и и
+ 0 , 0 1)500.
(2 +
1 - 5С'00 + 52С|00 - 53C j00 + 54С(00
1 + ЗС‘5 + З^С|5 + 3*С35 + 34Сд5 + . . .
В а р и а н т 6 Д С -4 0
1. Н айди те номер наи больш его члена в р азлож ен и и (3 + 0 , 1)800.
280 _). 279Cgo -f 2 + 277Cgg + . . .
1 - 4с ‘6 + 4*С276 - 43С36 + 44Су6
В а р и а н т 1 Д С -4 1
1. Н айдите предел:
1* х* -- Зх -j- 2 j. *. 0 Л
a) lim — — ------; б) lim 3 c o s 2 x .
*н_ 1 2х* + х — 7 *_*о
• — »2
2 . В ы ч и сл и те l>m ^ „ •
* - 2 F Х + 7 — 3
126

а) 1,т о а . ч + о: б) ' 1т tg 4х.х~*—12.x -f- Зх — 9 *->-0
2. Вычислите lim —_
г-з У х + 1— 2
1. Найдите предел функции *|т — 2
r х-+2 ъх2— х — 3
. 3*2 + 7.* + 2 , , У ~ х — 2
a) lim -— —— — ; б) lim — ------ ------.
х-+—22х2 5х т-2 х-*4 j/~х -{- 5— 3
1. Найдите предел функции: lim —~ —
х-+—г 2х2 — Зх
. Зх2 +10х + 3 ^ 3 — V T
a) lim --------—------- ; б lim - т — - —
* ___ 3 2л:2 + 1х + 3 Ы К ^ - 5 - 2
п х
sin—
a) lim -------— ; б) lim У х2— 4х + 4.
х - 2 cos2 Зх х -*—5
2л:2 + 5х + 2
2) Вычислите , бл:2+ х — 1'
Т
127

л х
sin — ________
a) lim — ; б) lim ]/x3+ 7.
cos (x — 1) * -2
2. Вычислите: lim .
х-*2 У х + 7 — 3
1. Найдите производную функции ср (х):
а) ф (х) = У 5 х в ■ е~х б) ср (х) = ~ .
In X
2. Найдите производную, пользуясь формулой дифференциро
вания сложной функции:
а) Н (х) = e,nsinЪх б) Н (х) = cos lg Зх.
1. Найдите производную функции <р (х):
а) ср (х) = У З х 1 • е~2х б) ср (х) =
Ctg л:
2. Найдите производную, пользуясь формулой дифференциро
вания сложной функции:
а) Н (х) = 10lgtgSx; б) Н (х) = sin In
1. Найдите производную функции / (х):
а) / (х) = 3 cos4х + 4 sin3х; б) /(х) = ^ ~ / *.
Зг—
е*~
2. Найдите производную функции:
a) g (х) = ех>~х; б) g (х) = In ((xV'2 — l)17 + 2).
128

1. Найдите производную функции / (х):
р Х . р X
а) / (*) = sin4X — COS4 Х б) /(х) — --------2------- •
2. Найдите производную' функции:
а) g (х) — In In С*4 + *); б) 3.
1. Найдите производную функции © (х):
а) 0 (х) = (sin х cos 4х + sin 4х cos л;)6; б) 0 (х) =
2 •*
In л:2'
2. Найдите производную функций:
а) -ф(х) = sin ех‘~х; б) ; (х) = lg (х^3 + 2х~1)5.
1. Найдите производную функции if (х):
а) 0 (х) = (cos х cos Ъх + sin х sin 5л')4; б) 0 (х)=
3~х
esmх
2) Найдите производную функции:
a) if (х) = cos е>х *х’ ; б) f (х) — 2,X~ ')U,
Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции
х'2+ Зх + 12
у = — !-------!— .
* х — 1
Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции
х2— 4х + 4
у = ------------ !— .
* X-f- 1
5 Заказ 48 129

Вариант 3
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию
х3— '2х2
ДС-43
У ~ ех
Вариант 4
In2х + 2 Inх
У ~ х •
ДС-43
Вариант 5
X3— х'!
У ~ е~х
ДС-43
2 in2 х + з In х
В полушар радиуса 3 вписан конус так, что вершина конуса ле
жит в центре полушара. При каком радиусе основания этот конус
будет иметь максимальный объем?
130

В полушар радиуса 4 вписан цилиндр так, что плоскость основа
ния цилиндра совпадает с плоскостью, ограничивающей полушар.
Чему должна быть равна высота цилиндра, чтобы этот цилиндр
имел наибольший объем?
Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра,
который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверх
ность.
Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, кото
рый при заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхность.
Картина высоты 1,5 м повешена на стену так, что ее нижний край
на 1,2 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены
должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее
благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения был
наибольшим)?
Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы
равен V, причем стороны основания относились бы как 2 : 3. Ка
ковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность
была наименьшей?
5*

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ
С УЧАЩИМИСЯ, ИНТЕРЕСУЮЩИМИСЯ МАТЕМАТИКОЙ
1. Найдите производную /' (х), если:
а) / (х) = sin (Зх — 2) • cos х;
б) / (х) = tg (х + 2) + ctg (Зх — 2).
3. Напишите уравнение касательной к графику функции у =
= sin (1 — 2х) в точке oj.
4. Напишите уравнение гармонического колебания, если диф
ференциальное уравнение этого колебания у" = —4у, амплитуда
равна ]/"3, а начальная фаза равна — .
8
1. Найдите производную /' (х), если:
а) / (*) = cos (4* + 3) ■ sin 2х;
б) / (х) = ctg (х — 3) + tg (2х — 5).
2. Найдите предел lim - ^ X
х-*0 4х
= cos (1 — Зх) в точке ; 1
4. Напишите уравнение гармонического колебания, если диф
ференциальное уравнение этого колебания у" — — 9у, амплитуда
равна ]/2 и начальная фаза равна
6
132

^ — pj sin + <xj + cos (я — P) sin (2я — a )cos
sin (я + a — P)
arccos (— K p ) + arcsin ( — -^ x ) + arctg (— У з ) .
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для ко
торых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера
венству
|sin t |> —.
2
4. Решите уравнение 3 tg 2л: = ]/3.
5. Постройте график функции f (х) — 3 sin 2х. а) Укажите
какой-нибудь промежуток, в котором функция возрастает от—ЗдоЗ;
б) напишите два промежутка, в которых / (х) < 0.
cos ( — а ] cos + Р] + cos (я — а ) cos (2я — Р)
sin ( у + а + Р
arcs,„ ( - КЗГ) + arccos ( - i ? ) + arctg< _
3. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют не
равенству
|tg/I > 2.
4 sin л: cos х — У З .
5. Постройте график функции / (х) = 2 cos —х. а) Укажите какой-
нибудь промежуток, в котором функция убывает от 2 до —2;
б) напишите два промежутка, в которых / (.х) > 0.

1. Найдите cos + -j-j, если ctg а = 1 и я < а < - ^ .
a) cos 1839°; б) tg — .
8
3. Докажите тождество У 3 cos х — sin х = 2 cos ^ + x j.
4. Найдите экстремумы функции у = х — cos 2х.
5. Решите неравенство cos ^0,5х — j ■
(
ft ft
а + — 1, если cos а — —0,5 и — < а < л .
113 яa) sin 3856°; б) ctg -
7
3. Докажите тождество cos а + sin а — У 2 cos a j.
4. Найдите экстремумы функции у = х + sin 2х.
I п Y~2 ~
5. Решите неравенство sin (2х -f- — I ^ ------
1. Найдите s (х), зная, что s' (х) — 6х2— 2х и что s (0) = 5.
31
2
2. Найдите j* (cos х — sin х)2 dx.
о
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х3; у — 0; х — —2.
134

1. Найдите функцию, обращающуюся в нуль при х = 1, если про
изводная от этой функции равна Зх2— 2х + 1.
1
2. Найдите J (У х— I)2dx.
О
л л „
у = sin х; х = — - ; х = — ; у = 0.
а) у = 2 • 4х — 1/2; б) у = е2х • sin (1 — 2х).
2. Решите уравнение:
а) 2'*"11 = 16 • 4~0'5; б) 3*+1 — 3* = 2.
3. Изобразите схематически график функции у = 0,9Х~3 и на
пишите уравнение касательной в точке (3; 1).
а) у = 3 • 9* — Y 3; б) у = е~2х+1 ■ cos 2х.
2. Решите уравнение:
а) з^+ч = з-1 • 91-5; б) 2Х+1 + 2х = 3.
3. Изобразите схематически график функции у — (2,2) r+3 и
напишите уравнение касательной в точке (— 3; 1).
1. Определите знаки чисел:
a) log j я; б) In 0,8 — 0,8.
"е”
2. Найдите область определения функции / (х) = In (х2 + Зх —
— 28). Найдите производную /' (х).
1о£г (х — 5 )2 < lo g 2 (З х + I ) 2.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = ех~1; у = 0; х = 0; х = 2.

1. Определите знаки чисел:
a) In (2е) — 1; б) log0,24 • log24,3.
2. Найдите область определения функции h (х) = In (8 — 2х —
— х2). Найдите производную ti (х).
logo,5 (х + 5)2 > log3>5 (Зх — I)2.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2х; у = 0; х — 0; х = 1.
1. Решите систему уравнений методом исключения переменных
2х + у — Зг = О
х + у + 2 = 3
3х 2у — z — 4.
Найдите множество решений системы
х ^ у 2
ху > 1
х ^ 2.
I 1 I
2+ у 2
* + log6у = —2.
х ' + у = 5
11
1. Решите систему уравнений методом исключения переменных
З л: — у + z = О
х + у + z = 2
2 л; у z = 3.
2. Найдите множество решений системы
' х < >’2
-v2+ у2 < 4
1у < 1.
3. Решите систему уравнений

In х2 < In 4х.
2. Докажите методом математической индукции, что при любом
натуральном п справедливо неравенство
3 + 6 + ... + 3 • 2"-1 = 3 • (2Л— 1).
1 — sin (0 ,5 я + .2 х )_______
cos (х — 2я ) + sin (1 -;'5л -j- Зл:)
Может ли значение данного выражения быть 0,5? Ответ обосновать.
4. Напишите уравнение касательной, параллельной оси абсцисс,
к графику функции
у = е х+з е-х_
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у —
— —х2 + 4х и прямой у —. х.
Вариант 1 ДС-5 2
In (—Зх) > In х2.
2. Докажите методом математической, индукции, чтошри любом
натуральном п справедливо равенство
—3 + 3 + ... + (6л — 9) = Зя2 — 6п.
1 — sin (2х + 1 ,5я )
sin (я — Зх) — sin (— х)
Может ли значение данного выражения быть равным 0,5? Ответ
обосновать.
= ех + ег~х, параллельной оси абсцисс.
у — х? и у = У х .

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ

Similar to ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ (20)

More from Garik Yenokyan

More from Garik Yenokyan (20)

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ