Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Методы вычислений                             Метод Гаусса                    Кафедра теоретической механики              ...
Содержание1   Методы решения систем линейных уравнений2   Треугольные системы      Обратная подстановка      Прямая подста...
Методы решения систем линейных уравненийСистема линейных алгебраических уравнений         a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14...
Методы решения систем линейных уравненийМетоды решения СЛАУ  Точные методы                                    Приближенные...
Треугольные системы
Треугольные системы   Обратная подстановкаСЛАУ с верхней треугольной матрицей                           aij = 0 для i > j ...
Треугольные системы     Обратная подстановкаОбратная подстановка                                                    ...
Треугольные системы   Обратная подстановкаОбратная подстановкаАлгоритмx(n)=y(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1  x(i)=(y(i)-A(i,i+1:...
Треугольные системы   Прямая подстановкаНижняя треугольная матрица                                Aij = 0 для j > i       ...
Треугольные системы   Прямая подстановкаПрямая подстановка                                                          ...
Треугольные системы   Прямая подстановкаПрямая подстановкаАлгоритмx(1)=y(1)/A(1,1);for i=2:n  x(i)=(y(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-...
LU-разложение   Метода ГауссаИдея метода Гаусса   Приведение СЛАУ Ax = b к эквивалентной треугольной системе              ...
LU-разложение   Матричное описание LU разложенияМатрицы преобразования ГауссаДля n = 2 определим множитель Гаусса τ :     ...
LU-разложение   Матричное описание LU разложенияВектор множителей ГауссаАлгоритмВектор множителей Гауссаfunction t = gauss...
LU-разложение   Матричное описание LU разложенияПриведение к треугольному виду                      Mn−1 . . . M1 A = U   ...
LU-разложение   Матричное описание LU разложенияПриведение к треугольному видуАлгоритм  1    на k шаге есть матрица A(k−1)...
LU-разложение   Матричное описание LU разложенияLU разложение                        Mn−1 Mn−2 . . . M1 A = U             ...
LU-разложение   Матричное описание LU разложенияLU разложениеТеоремаДля матрицы A ∈ Rn×n существует LU-разложение, если   ...
LU-разложение     Матричное описание LU разложенияLU разложение   Исходная система:                                       ...
Метод Гаусса с выбором ведущего элементаНесостоятельность методаДля матрицы                                               ...
Метод Гаусса с выбором ведущего элементаВыбор ведущего элемента 1    Выбор главного элемента в столбце: для k = 2 поиск ma...
Метод Гаусса с выбором ведущего элементаПерестановочная матрицаПерестановка строкПерестановочная матрица – это матрица, от...
Метод Гаусса с выбором ведущего элемента                                               3 17 10          0 0 1       ...
Оценка погрешности
Оценка погрешности   Плохо обусловленные системыПлохо обусловленные задачи   Неточность задания правых частей и матрицы ко...
Оценка погрешности        Нормы матриц и векторовНормы векторовДля векторного n−мерного линейного нормированного пространс...
Оценка погрешности   Нормы матриц и векторовНормы матрицДля векторного n−мерного линейного нормированного пространства    ...
Оценка погрешности         Нормы матриц и векторовНормы матрицы, согласованные с нормами векторов                         ...
Оценка погрешности   Нормы матриц и векторовЧисло обусловленности матрицы, обусловленность СЛАУПусть правая часть f и невы...
Оценка погрешности       Нормы матриц и векторовДоказательство   ∆x = A−1 (∆f − ∆Ax − ∆A∆x) ⇒    ∆x ≤ A−1           ∆f + A...
Оценка погрешности   Нормы матриц и векторовЧисло обусловленности матрицы                                  µ = A−1        ...
Задачи
ЗадачиЗадание 4 1    Напишите программу решения СЛУ методом Гаусса с частичным      (полным* +5 баллов) выбором ведущего э...
ЗадачиСписок использованных источников 1    Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной      математике: Учебное ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Численные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.

9,227 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Численные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.

  1. 1. Методы вычислений Метод Гаусса Кафедра теоретической механики Юдинцев В. В. Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) yudintsev@termech.ru 6 марта 2013 г.Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 1 / 34
  2. 2. Содержание1 Методы решения систем линейных уравнений2 Треугольные системы Обратная подстановка Прямая подстановка3 LU-разложение Метода Гаусса Матричное описание LU разложения4 Метод Гаусса с выбором ведущего элемента5 Оценка погрешности Плохо обусловленные системы Нормы матриц и векторов6 Задачи Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 2 / 34
  3. 3. Методы решения систем линейных уравненийСистема линейных алгебраических уравнений   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + a15 x5 + . . . + a1n xn  = y1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 + a25 x5 + . . . + a2n xn  = y1 . .  .  . . .  an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + an4 x4 + an5 x5 + . . . + ann xn = yn Матричная форма: Ax = B       a11 a12 a13 . . . a1n x1 y1 a21 a22 a23 . . . a2n  x2  y2  A= . . . . , x =  . , y =  .         .. . . . . ... . .  . . . . an1 an2 an3 . . . ann xn yn Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 3 / 34
  4. 4. Методы решения систем линейных уравненийМетоды решения СЛАУ Точные методы Приближенные методы Метод Гаусса Метод простых итераций Метод прогонки Метод Зейделя LDL-разложение Метод градиентного спуска Метод квадратного корня Метод сопряженных градиентов Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 4 / 34
  5. 5. Треугольные системы
  6. 6. Треугольные системы Обратная подстановкаСЛАУ с верхней треугольной матрицей aij = 0 для i > j       a11 a12 ... a1n x1 y1  0 a22 ... a2n   x2   y2        . . . . . .  ... ...  ·  ...  =  ...        0 . . . an−1,n−1 an−1,n  xn−1  yn−1  0 ... 0 ann xn yn Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 6 / 34
  7. 7. Треугольные системы Обратная подстановкаОбратная подстановка       a11 a12 ... a1n x1 y1  0 a22 ... a2n   x2   y2        . . . . . .  ... ...  ·  ...  =  ...        0 . . . an−1,n−1 an−1,n  xn−1  yn−1  0 ... 0 ann xn ynРешение xn = yn /ann , xn−1 = (yn−1 − xn an−1,n )/an−1,n−1 , xn−2 = (yn−2 − xn−1 an−2,n−1 − xn an−2,n )/an−2,n−2 , ... n xi = yi − j=i+1 aij xj /aii Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 7 / 34
  8. 8. Треугольные системы Обратная подстановкаОбратная подстановкаАлгоритмx(n)=y(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(y(i)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);end Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 8 / 34
  9. 9. Треугольные системы Прямая подстановкаНижняя треугольная матрица Aij = 0 для j > i       a11 0 ... 0 x1 y1  a21 a22 ... 0        x2   y2   ... · = ... ... . . .  . . . . . . an,1 . . . an,n−1 ann xn yn Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 9 / 34
  10. 10. Треугольные системы Прямая подстановкаПрямая подстановка       a11 0 ... 0 x1 y1  a21 a22 ... 0   x2   y2   · =  ... ... ... . . .  . . . . . . an,1 . . . an,n−1 ann xn ynРешение x1 = y1 /a11 , x2 = (y2 − x1 a21 )/a22 , x3 = (y3 − x1 a31 − x2 a32 )/a33 , ... i−1 xi = yi − j=1 aij xj /aii Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 10 / 34
  11. 11. Треугольные системы Прямая подстановкаПрямая подстановкаАлгоритмx(1)=y(1)/A(1,1);for i=2:n x(i)=(y(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1))/A(i,i);end Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 11 / 34
  12. 12. LU-разложение Метода ГауссаИдея метода Гаусса Приведение СЛАУ Ax = b к эквивалентной треугольной системе 3x1 +5x2 = 9 6x1 +7x2 = 4 После умножения первой строки на 2 и вычитания её из второй строки: 3x1 +5x2 = 9 −3x2 = −14 3 5 1 0 3 5 = 6 7 2 1 0 −3 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 12 / 34
  13. 13. LU-разложение Матричное описание LU разложенияМатрицы преобразования ГауссаДля n = 2 определим множитель Гаусса τ : 1 0 a1 1 0 a1 a = = 1 (1) − a2 a1 1 a2 −τ 1 a2 0В общем случае вектор множителей Гаусса определяется как: τ T = (0, . . . , 0, τk+1 , . . . , τn ), τi = ai /ak , (ak = 0) , i = k + 1, . . . n (2) k Матрица преобразования Гаусса Mk = E − τ eT k (3)      1 ... 0 0 ... 0 a1 a1 . . . ... ... . . . . . . . . .    . . .  . . .     0 ... 1 0 . . . 0   ak   ak  Mk a =   =  (4) 0  . . . −τk+1 1 . . . 0  ak+1   0      . . . ... ... . . . . . . . . .  . . .  . . . 0 . . . −τn 0 ... 1 an 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 13 / 34
  14. 14. LU-разложение Матричное описание LU разложенияВектор множителей ГауссаАлгоритмВектор множителей Гауссаfunction t = gauss(a) n=length(a); t=a(2:n)/a(1);Преобразование Гаусса Mk C = (E − τ eT )C = C − τ (eT C) k k (5)function C = gauss_app(C,t) n=size(C,1); % Количество строк матрицы C C(2:n,:)=C(2:n,:)-t*C(1,:); Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 14 / 34
  15. 15. LU-разложение Матричное описание LU разложенияПриведение к треугольному виду Mn−1 . . . M1 A = U (6)   1 4 7 A = 2 5 8  3 6 10     1 0 0 1 0 0 M1 = −2 1 0 , M2 = 0 1 0 −3 0 1 0 −2 1     1 4 7 1 4 7 M1 A = 0 −3 −6  , M2 M1 A = 0 −3 −6 0 −6 −11 0 0 1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 15 / 34
  16. 16. LU-разложение Матричное описание LU разложенияПриведение к треугольному видуАлгоритм 1 на k шаге есть матрица A(k−1) = Mk−1 . . . M1 A верхняя треугольная с 1 по k − 1 столбец. 2 множители Гаусса для Mk определяются по матрице-столбцу (k−1) A(k−1) (k + 1 : n, k), если ведущий элемент akk =0k=1;while A(k,k)~=0 && k<=n-1 t=gauss(A(k:n,k)); A(k:n,:)=gauss_app(A(k:n,:),t); k=k+1;end Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 16 / 34
  17. 17. LU-разложение Матричное описание LU разложенияLU разложение Mn−1 Mn−2 . . . M1 A = U (7) A = M−1 M−1 . . . M−1 U = LU 1 2 n−1 (8) Mk = E − τ (k) eT , k M−1 = E + τ (k) eT k k (9) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 17 / 34
  18. 18. LU-разложение Матричное описание LU разложенияLU разложениеТеоремаДля матрицы A ∈ Rn×n существует LU-разложение, если det(A(1 : k, 1 : k)) = 0 для k = 1 : n − 1Если LU-разложение существует и A не вырождена, тогдаLU-разложение единственно и det A = u11 u22 . . . unn Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 18 / 34
  19. 19. LU-разложение Матричное описание LU разложенияLU разложение Исходная система: Ax = f LU-разложение:      1 4 7 1 0 0 1 4 7 A = 2 5 8  = 2 1 0 0 −3 −6 3 6 10 3 2 1 0 0 1 L Ux = f y Решение нижней треугольной системы Ly = f Решение верхней треугольной системы Ux = y Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 19 / 34
  20. 20. Метод Гаусса с выбором ведущего элементаНесостоятельность методаДля матрицы 0 1 A= 1 0LU-разложение не существует, т.к. главная подматрица вырождена. −10−7 x1 + x2 = 1 x1 + 2x2 = 4Исключая x1 из первого уравнения и подставляя во второеx2 = (107 + 4)/(107 + 2). C точностью до 7 знач. цифрx1 = 0.000000, x2 = 1.000000.Исключая x1 из второго уравнения и подставляя в первоеx2 = (1 + 4 · 10−7 )/(1 + 2 · 10−7 ). С точностью до 7 знач. цифрx1 = 1.000000, x2 = 2.000000. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 20 / 34
  21. 21. Метод Гаусса с выбором ведущего элементаВыбор ведущего элемента 1 Выбор главного элемента в столбце: для k = 2 поиск max |aik | i 2 Выбор главного элемента в строке: для k = 2 поиск max |aki | i     a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13 a14  0 a22 a23 a24   0 a22 a23 a24  A(1) =  0  A(1) =  a32 a33 a34   0 a32 a33 a34  0 a42 a43 a44 0 a42 a43 a44 3 Выбор главного элемента в строке и столбце   a11 a12 a13 a14  0 a22 a23 a24  A(1) =   0  a32 a33 a34  0 a42 a43 a44 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 21 / 34
  22. 22. Метод Гаусса с выбором ведущего элементаПерестановочная матрицаПерестановка строкПерестановочная матрица – это матрица, отличающаяся от единичнойлишь перестановками строк:   0 0 0 1 1 0 0 0 P= 0 0 1 0  (10) 0 1 0 0Матрица взаимных перестановок – единичная матрица спереставленными двумя строками   0 0 0 1 0 1 0 0 P= 0  (11) 0 1 0 1 0 0 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 22 / 34
  23. 23. Метод Гаусса с выбором ведущего элемента       3 17 10 0 0 1 6 18 −12A = 2 4 −2  → P1 = 0 1 0 → P1 A = 2 4 −2  → 6 18 −12 1 0 0 3 17 10     1 0 0 6 18 −12 → M1 = −1/3 1 0 → M1 P1 A = 0 −2 2 → −1/2 0 1 0 8 16     1 0 0 1 0 0 → P2 = 0 0 1 → M2 = 0 1 0 → 0 1 0 0 1/4 1   6 18 −12 → M2 P2 M1 P1 A = 0 8 16  0 0 6 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 23 / 34
  24. 24. Оценка погрешности
  25. 25. Оценка погрешности Плохо обусловленные системыПлохо обусловленные задачи Неточность задания правых частей и матрицы коэффициентов может приводить к большим погрешностям результата x + 10y = 11 100x + 1001y = 1101 Решение x = 1, y = 1 x + 10y = 11.01 100x + 1001y = 1101 Решение x = 11.01, y = 0.00 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 25 / 34
  26. 26. Оценка погрешности Нормы матриц и векторовНормы векторовДля векторного n−мерного линейного нормированного пространства 1-норма n d 1 = |ui | i=1 2-норма (евклидова) n 1/2 2 d 2 = |ui | i=1 ∞-норма d ∞ = max |ui | i≤i≤n Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 26 / 34
  27. 27. Оценка погрешности Нормы матриц и векторовНормы матрицДля векторного n−мерного линейного нормированного пространства Норма матрицы (подчиненная норме вектора) Au A = sup = max Au (12) u =0 u u =1 Свойства нормы A+B ≤ A + B (13) λA = |λ| B (14) AB ≤ A B (15) A = 0, тогда и только тогда, когда A = 0 (16) Норма матрицы A согласована с нормой вектора u, если Au ≤ A u (17) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 27 / 34
  28. 28. Оценка погрешности Нормы матриц и векторовНормы матрицы, согласованные с нормами векторов n A 1 = max |aij | (18) 1≤j≤n i=1 n A ∞ = max |aij | (19) 1≤i≤n j=1 A 2 = max λi (AT · A) (20) 1≤i≤nДля нормы (19): Au ∞ = max | j aij uj | ≤ max j |aij ||uj | ≤ (max j |aij |)max |uj | = i i i j Au ∞(max j |aij |) u ∞ ⇒ u ∞ ≤ max j |aij | i i Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 28 / 34
  29. 29. Оценка погрешности Нормы матриц и векторовЧисло обусловленности матрицы, обусловленность СЛАУПусть правая часть f и невырожденная матрица коэффициентов AСЛАУ Ax = f (21)получили приращения ∆f, ∆A (A + ∆A)(x + ∆x) = f + ∆f (22)Тогда, если выполняются условия: ∆A A = 0, µ < 1, µ = A A−1 Aоценка относительной погрешности решения определяется: ∆x µ ∆f ∆A ≤ + (23) x 1 − µ ∆A A f A Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 29 / 34
  30. 30. Оценка погрешности Нормы матриц и векторовДоказательство ∆x = A−1 (∆f − ∆Ax − ∆A∆x) ⇒ ∆x ≤ A−1 ∆f + A−1 ∆A x + A−1 ∆A ∆x ∆A ∆A ∆x ≤ A−1 ∆f f f + A−1 A A x + A−1 A A ∆x µ = A−1 A f т.к. f = Ax ≤ A x ⇒ A ≤ x ∆A ∆f f ∆A ∆x 1−µ A ≤µ f A +µ A x ≤ ∆f ∆A ∆f ∆A ≤µ f x +µ A x =µ f + A x ∆x µ ∆f ∆A ≤ + x 1 − µ ∆A A f A Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 30 / 34
  31. 31. Оценка погрешности Нормы матриц и векторовЧисло обусловленности матрицы µ = A−1 A (24)Число обусловленности характеризует чувствительность решенияСЛАУ к погрешности исходных данных (∆A, ∆f) µ ≈ 1 . . . 10 µ > 102 – плохо обусловленные системыДля x + 10y = 11 100x + 1001y = 1101 1001 −10 A 1 = 1101, A−1 = , A−1 = 1011 1 4 µ = A−1 A > 106 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 31 / 34
  32. 32. Задачи
  33. 33. ЗадачиЗадание 4 1 Напишите программу решения СЛУ методом Гаусса с частичным (полным* +5 баллов) выбором ведущего элемента. 2 Оцените относительную погрешность решения если известно, что относительная погрешность каждого элемента правой части не превышает 10%. 3 Напишите программу разложения матрицы A на нижнюю L и верхнюю U треугольные: A = LU 4 Напишите программу вычисления определителя матрицы A Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 33 / 34
  34. 34. ЗадачиСписок использованных источников 1 Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие - М.: Интернет-Университет Информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 2 Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1999. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 марта 2013 г. 34 / 34

×