Документ описывает числа Фибоначчи и различные алгоритмы их вычисления, акцентируя внимание на высокой скорости роста последовательности. Он сравнивает наивный рекурсивный метод с улучшенным алгоритмом, использующим массив для хранения значений, отмечая, что наивный метод работает значительно медленнее. В заключении подчеркивается важность выбора правильного алгоритма для достижения эффективных вычислений.

1. Введение:
числа Фибоначчи
Александр Куликов
Онлайн-курс «Алгоритмы: теория и практика. Методы»
http://stepic.org/217

2. Определение
Fn =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0, n = 0 ,
1, n = 1 ,
Fn−1 + Fn−2, n > 1 .
2 / 11

3. Определение
Fn =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0, n = 0 ,
1, n = 1 ,
Fn−1 + Fn−2, n > 1 .
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
2 / 11

4. Скорость роста
Лемма
Fn ≥ 2n/2
для n ≥ 6 .
3 / 11

5. Скорость роста
Лемма
Fn ≥ 2n/2
для n ≥ 6 .
Доказательство
Индукция по n.
3 / 11

6. Скорость роста
Лемма
Fn ≥ 2n/2
для n ≥ 6 .
Доказательство
Индукция по n.
База: F6 = 8 = 26/2
, F7 = 13 > 27/2
= 8
√
2.
3 / 11

7. Скорость роста
Лемма
Fn ≥ 2n/2
для n ≥ 6 .
Доказательство
Индукция по n.
База: F6 = 8 = 26/2
, F7 = 13 > 27/2
= 8
√
2.
Переход: при n ≥ 8
Fn = Fn−1 + Fn−2 ≥ 2(n−1)/2
+ 2(n−2)/2
≥ 2 · 2(n−2)/2
= 2n/2
.
3 / 11

8. Формула
Факт
Fn =
1
√
5
(︃(︃
1 +
√
5
2
)︃n
−
(︃
1 −
√
5
2
)︃n)︃
.
4 / 11

9. Формула
Факт
Fn =
1
√
5
(︃(︃
1 +
√
5
2
)︃n
−
(︃
1 −
√
5
2
)︃n)︃
.
Fn ≈
1
√
5
(︃
1 +
√
5
2
)︃n
=
(1,618 . . .)n
√
5
.
4 / 11

10. Экспоненциальная скорость роста
F20 = 6765
5 / 11

11. Экспоненциальная скорость роста
F20 = 6765
F50 = 12586269025
5 / 11

12. Экспоненциальная скорость роста
F20 = 6765
F50 = 12586269025
F100 = 354224848179261915075
5 / 11

13. Экспоненциальная скорость роста
F20 = 6765
F50 = 12586269025
F100 = 354224848179261915075
F1000 = 4346655768693745643568852767
5040625802564660517371780402
4817290895365554179490518904
0387984007925516929592259308
0322634775209689623239873322
4711616429964409065331879382
9896964992851600370447613779
5166849228875
5 / 11

14. Вычисление чисел Фибоначчи
Вычислить Fn
Вход: целое число n ≥ 0.
Выход: Fn.
6 / 11

15. Вычисление чисел Фибоначчи
Вычислить Fn
Вход: целое число n ≥ 0.
Выход: Fn.
Функция FibRecursive(n)
если n ≤ 1:
вернуть n
иначе:
вернуть FibRecursive(n − 1) + FibRecursive(n − 2)
6 / 11

16. Время работы
Через T(n) обозначим число строк кода, выполняемых
FibRecursive(n).
7 / 11

17. Время работы
Через T(n) обозначим число строк кода, выполняемых
FibRecursive(n). Тогда
T(n) = 2 для n ≤ 1
и
T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + 3 для n > 1 .
7 / 11

18. Время работы
Через T(n) обозначим число строк кода, выполняемых
FibRecursive(n). Тогда
T(n) = 2 для n ≤ 1
и
T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + 3 для n > 1 .
Следовательно, T(n) ≥ Fn.
7 / 11

19. Время работы
Через T(n) обозначим число строк кода, выполняемых
FibRecursive(n). Тогда
T(n) = 2 для n ≤ 1
и
T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + 3 для n > 1 .
Следовательно, T(n) ≥ Fn.
T(100) ≈ 1,77 · 1021
С частотой 1GHz будет работать несколько десятков тысяч
лет.
7 / 11

20. Почему так медленно?
Fn
Fn−1
Fn−2
Fn−3 Fn−4
Fn−3
Fn−4 Fn−5
Fn−2
Fn−3
Fn−4 Fn−5
Fn−4
Fn−5 Fn−6
...
8 / 11

21. Почему так медленно?
Fn
Fn−1
Fn−2
Fn−3 Fn−4
Fn−3
Fn−4 Fn−5
Fn−2
Fn−3
Fn−4 Fn−5
Fn−4
Fn−5 Fn−6
...
8 / 11

22. Другой алгоритм
Как бы мы вычисляли числа Фибоначчи вручную:
0, 1
9 / 11

23. Другой алгоритм
Как бы мы вычисляли числа Фибоначчи вручную:
0, 1, 1
0 + 1 = 1
9 / 11

24. Другой алгоритм
Как бы мы вычисляли числа Фибоначчи вручную:
0, 1, 1, 2
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
9 / 11

25. Другой алгоритм
Как бы мы вычисляли числа Фибоначчи вручную:
0, 1, 1, 2, 3
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
9 / 11

26. Другой алгоритм
Как бы мы вычисляли числа Фибоначчи вручную:
0, 1, 1, 2, 3, 5
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
9 / 11

27. Другой алгоритм
Как бы мы вычисляли числа Фибоначчи вручную:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
9 / 11

28. Более быстрый алгоритм
Функция FibArray(n)
создать массив F[0 . . . n]
F[0] ← 0
F[1] ← 1
для i от 2 до n:
F[i] ← F[i − 1] + F[i − 2]
вернуть F[n]
10 / 11

29. Более быстрый алгоритм
Функция FibArray(n)
создать массив F[0 . . . n]
F[0] ← 0
F[1] ← 1
для i от 2 до n:
F[i] ← F[i − 1] + F[i − 2]
вернуть F[n]
Выполняет 2n + 2 строки кода.
T(100) = 202.
10 / 11

30. Заключение
Ввели числа Фибоначчи.
Наивный алгоритм работает непозволительно
медленно даже на небольших входных данных.
Улучшенный алгоритм работает очень быстро.
Секрет успеха — в правильном алгоритме.
11 / 11