AIST Conference 2015 http://aistconf.org/

1. Families of Heron Digital Filters
for Images Filtering
V.G. Labunets, F.S. Myasnikov, E.Ostheimer
Yekaterinburg , AIST-2015
Ural Federal University, pr. Mira, 19, Yekaterinburg,
620002, Russian Federation
Capricat LLC 1340 S. Ocean Blvd., Suite 209 Pompano
Beach 33062 Florida USA
1

2. 1. Основная цель
2. Постановка
проблемы
3. Предлагаемый
подход
4. Экспериментальные
результаты
2

3. 3

4. Основная цель
Основная идея данной работы заключается в получении
искаженного или зашумленного изображения в
первоначальном неповрежденном виде.
4

5. S1 S2
S3
S4
S5
Модель обрабатываемого изображения
Рассмотрим изображение следующей формы
( ) ( ) ( )f x s x η x
где - оригинальное К-канальное изображение,
- шум, воздействующий на
- искаженное шумом изображение
( )η x
( )f x
( )s x
( )s x
5

6. Восстановление полезного сигнала
Главная задача системы обработки сигналов состоит в том,
чтобы из зашумленного изображения с максимальной
точностью выделить полезное изображение и с
максимальной степенью подавить помеху, т.е. дать
максимально правдоподобную оценку полезному сигналу
 ( ) ( )ˆ( ) FILTER πs r s r r
Основная цель
6

7. S1 S2
S3
S4
S5
( ,
( 1, 1) ( 1, ) ( 1, 1)
( , 1) ( , 1)
( 1, 1) ( 1, ) ( 1,
)ˆ( ,
1
)
)
s i
f i j f i j f i j
f i j f i j
f i j f i j f i j
f i jj
 
 
    
 

 
 
    

Filter
Filter
Основная цель
7

8. 8

9. Упрощающее предположение 1. Для простоты будем считать,
что наблюдаемый сигнал является аддитивной смесью
полезного сигнала и шума
2
( ) ( ) ( ),  f r s r r rπ Z
Постановка проблемы
9

10. 1 1 2 2 1 2 1 2( | , ), 0, ( , ) ( , ) ( ) ( )p x i j m i j i j E i i j j           
Постановка проблемы
10
𝜋(𝑥)

11. Упрощающее предположение 2. Будем также предполагать,
что полезный сигнал (изображение) представляет собой
объединение областей, в которых сигнал принимает постоянные
значения (изображение типа “лоскутного одеяла”)
     , ) 1 2(
.( , ) , ,..., , ,...,m n Лоскут
N
Nm n s s s
 s   
Постановка проблемы
11

12. Упрощающее предположение 3. Будем предполагать, что
совместная плотность распределения вероятностей наблюдаемых
данных определяется совместной плотностью распределения
шума, т.е.
   1 2 1 2, ,..., , ,...,N Np x x x p x x x      
Более того, будем предполагать, что шум в во всех пикселях
действует независимо друг от друга, т.е.
   
1
1 2, ,...,
N
i
i
Nx x xp p x

        
Постановка проблемы
12

13.    
     
   
 
1 1 1 2 2 2
1 2
1
1
1
1 2
log log
log log
, ,...,
, , ...,
, ,...,
max max
экс экс экс
N N N
экс экс экс
N
opt
N
i
i
N
экс
i
i
N
экс
i
i
N
Эксперимент
f f f
p x
L x
L x
L x
p x x x
x x x
L L x x x
L
L



   

        
   

  
 







 
     




  
   

  1
N
экс
i
i
 
 
 
 
Постановка проблемы
13

14.    
   
   
   
1 2
1 1
1
1 1
1 2
log log
log
, ,...,
, ,...,
max min
i
экс
i
x
N
x
экс экс экс N
N
экс экс
i opt i
экс экс
i i
p
p
N N
B
i
i i
N
B
i
N Np p
i i
N A
A
const x x
sign x x
p x e
e
p x x x
L L x x x
L L
L




 

 
    

   
 
        
 


  



 

 



  
 

  
   
 

1
1
0
N p
i



Постановка проблемы
𝐿𝐶 𝑥 𝑥 𝜎, 𝑚 = 𝐴𝑒
𝑥−𝑚 𝑝
𝐵
14

15.    
   
 1 2
1
1
1
1
1
1
1
, ,...,
0
2
0
1
log
log
min
экс экс
i i
экс
i opt
экс
opt i opt
экс экс экс
N
N p
i
N N
эк
N
i
i
i
с
i
sign x x
p
x
p
x
N
x x x
x
L
L


 


   



    


 
    
 
 

 Med

 

 

  


Постановка проблемы
𝐿𝐶 𝑥 𝑥 𝜎, 𝑚 = 𝐴𝑒
𝑥−𝑚 𝑝
𝐵
15

16.    
   
 
 
22
2
1
1
2
1
2
1
1 1 1 1 1 1
0
3
0
0
1 1 1 1 1 1
log
log
log
экс экс
i i
экс экс
i i
экс
i
экс
opt i i
N p
i
N
i
N
i
N N N N N N
экс экс экс экс экс
i i i i j
i i i i i j
sign x x
p
sign x x
x
x x
N N N N N N
x x x x x
L
L
L




     

   



   


  

  
         
   



    
 

 







 
2
1
экс
N
i

Постановка проблемы
𝐿𝐶 𝑥 𝑥 𝜎, 𝑚 = 𝐴𝑒
𝑥−𝑚 𝑝
𝐵
16

17. Примеры среднего
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1
... 1 2 ... 1 2
( , ,..., )
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,...,N k
N
N
N N i
i
w w w N w w w
x x x
x x x x x x x
N
x x x x x x


  


Aggreg
M
1. Арифметическое среднее
ean
2. Взвешенное ср
Arithm
Aggreg Mean
еднее
1 2 ... 1 2
1 1
1
)
1
( , ,..., )k
N
N N
iw w w N i i iN
i i
i
i
x x x w x w x
w  


   

Arithm
17

18. Примеры среднего
1 2 1 2
1
1 2 1 2
1
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
N
pp
p N p N i
i
N
N N i
i
x x x x x x x
N
x x x x x x x
N


 
 


3.Степенные p -средние
3.1.Обычное средн
A
ее (p = 1)
3.2. Квад
ggreg Mean
Aggreg Me
ратичное сред
an
нее (
2
2 1 2 2 1 2
1
1 2 1 2 1 2
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )
N
N N i
i
N N N
x x x x x x x
N
x x x x x x x x x

 
 
 
 
 

p = 2)
3.3. -среднее (p = )
3.4. - -среднее (p = - )
Aggreg Mean
Aggreg Mean Max
Aggr 1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )N N Nx x x x x x x x x  eg Mean Min
18

19. Примеры среднего
1 2 1 2
1
1 2 1 2
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
1
(
N
N
Geo N Geo N i
i
Har k Har N N
i i
x x x x x x x
x x x x x x
x
x



 
 


4. Геометрическое среднее
5. Гармоническое среднее
6. Min-, Max -средние
Aggreg Mean
Aggreg Mean
Aggreg 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
, ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,..., )
(
N N
N N
Med N N
N N
r
rank
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x






Min
Aggreg Max
Aggreg Med
Aggr
7. Mедиан
eg Max
Aggr
а
8.r - Р
eg
анг
2 1 2, ,..., ) ( , ,..., )N r Nx x x x x Rank
19

20. 20

21. Среднее и медиана по Герону
     
   
, /3 /3,
, , , .
a b a ab b aa ab bb
a b aa ab bb
     

MeanHeron
MedHeron Med
В данной работе вводится новый класс фильтров для
обработки мультиспектральных изображений, названный
обобщенными арифметическими и медианными
фильтрами Герона.
Классические определения среднего и медианы по
Герону двух чисел a и b имеют вид:
21

22. Среднее и медиана по Герону
 
2 1
2 1 2
2
( ,..., ) ,
( 1)
( , ,..., ) .
N i j
i j
N i j
i j
x x x x
N N
x x x x x




 
  
 MeanHeron
MedHeron Med
Пусть N - набор из положительных реальных
чисел. Очевидный способ обобщения уравнения на
набор чисел состоит в организации
квадратных корней из различных попарных
произведений
Среднее и медиана по Герону N положительных чисел
есть:
1 2( , ,..., )Nx x x
1 2( , ,..., )Nx x x
( 1) / 2N N 
,i jx x i j
1 2( , ,..., )Nx x x
22

23.  
 
( , )
( , )
( , )
( , )
2 1 2 9 1 2 2 3 8 9
( , )( , )
36
45
2 1 2 9 1 2 2 3
( , )( , )
ˆ( , ) ( , ) , ,..., , , ,...,
ˆ( , ) ( , ) , ,..., , , ,
i j
i j
i j
i j
m n Mm n M
m n Mm n M
s i j x m n x x x x x x x x x
s i j x m n x x x x x x x


  
   
  
 
MeanHeron Arithm
MedHeron Med 8 9
36
45
..., x x
  
 
  
Фильтр Герона
23

24. Фильтр Герона
i jx x
1 1x x
3x1x
1x
1x
2x
2x
2x
3x
3x
1 2x x 1 3x x
2 2x x 2 3x x
3 3x x
24

25. 25

26. Полученные результаты
Экспоненциальный шум
26

27. Полученные результаты
Шум типа «соль-перец»
27

28. Полученные результаты
СКО при нормальном шуме
0
5
10
15
20
25
Fmean Fmed Fheron
28

29. Полученные результаты
СКО при экспоненциальном шуме
0
5
10
15
20
25
Fmean Fmed Fheron
29

30. Полученные результаты
СКО при равномерном шуме
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Fmean Fmed F(min+max/2) Fheron
30

31. Полученные результаты
31
-, - Усредняющий фильтр
-, - Фильтр Герона

32. 32