Apostash shmeiou apo_kabili

1. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 1/4
ΑΣΚΗΣΗ:
Δίνεται η συνάρτηση x
f(x) e x  και το σημείο  2 0A , .
α) Να βρείτε ποιο από τα σημεία   M x, f x της γραφικής
παράστασης fC της συνάρτησης f απέχει από το σημείο  2 0A ,
τη μικρότερη απόσταση.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή, έπειτα να φέρετε
την εφαπτομένη ε της fC στο σημείο 0(0,1)M και, στη συνέχεια,
να δικαιολογήσετε γεωμετρικά, γιατί το σημείο 0(0,1)M είναι το
σημείο   M x, f x της fC που απέχει από το σημείο  2 0A , τη
μικρότερη απόσταση.
ΛΥΣΗ:
α) Η απόσταση ( )d x του τυχαίου σημείου   M x, f x , x , της
γραφικής παράστασης, fC , της συνάρτησης f από το σημείο
 2 0A , δίνεται από τον τύπο:
        
222 2
( ) 2 0 2 ,x
d x x f x x e x x         (1)
Επομένως, αυτό που ζητείται είναι να βρούμε την ελάχιστη τιμή
της συνάρτησης d .
Είναι:
    
   
 
   
2
2 22 2
2 1 1 2 2
( )
2 2
x x x x
x x
x e x e e x e x
d x
x e x x e x
       
  
     
οπότε
   
22
( ) , ,
2
( )
x
d x x
x
g
e
x
x
  
  
(2)
όπου
 2
( ) 1 2 2,x x
g x e x e x x      . (3)
Όμως:
 
)
2 2
0
(
( ) 2 2 , ,2 2 ( )x
h x
x x
g x ex xe h xe

      (4)

2. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 2/4
όπου:
 ( ) 2 2 ,x
h x x e x    . (5)
Επειδή
 ( ) 3 ,x
h x x e x    ,
έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών
x  3 
( )h x  0 
( )h x  
3
min
2 e

στον οποίο παρατηρούμε ότι η συνάρτηση h παρουσιάζει
ελάχιστο για 3x  , το 3
( 3) 2 0h e
    , οπότε, θα ισχύει
( ) 0, γιακάθεh x x  ,
Επομένως, λόγω της (4), θα είναι:
0 γιακάθεg (x) x   ,
οπότε, η g θα είναι γνησίως αύξουσα και, επειδή (0) 0g  , θα
ισχύει:
( ) 0, γιακάθε 0 & ( ) 0, γιακάθε 0g x x g x x    .
Συνεπώς, λόγω της (2), θα ισχύει:
0 γιακάθε 0 & 0 γιακάθε 0d (x) , x d (x) , x     ,
απ’ όπου προκύπτει ότι η συνάρτηση d είναι γνησίως φθίνουσα
στο διάστημα  0, , γνησίως αύξουσα στο  0,  και
παρουσιάζει στο 0 ολικό ελάχιστο το  0 5d  .
Άρα, το σημείο  , ( )M x f x της γραφικής παράστασης fC της
συνάρτησης f που απέχει από το σημείο  2 0A , την ελάχιστη
απόσταση είναι το  0 0,1M και η ελάχιστη απόσταση  0AM είναι
ίση με 5 .

3. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 3/4
β) Επειδή  0 2f  , η εφαπτομένη ε της fC στο σημείο  0 0,1M
έχει εξίσωση
: 2 1ε y x  (6)
και επειδή η κλίση της «επιβατικής ακτίνας» 0AM του σημείου
 0 0,1M είναι ίση με 0
1
2
AMλ   , η 0AM θα είναι κάθετη στην
εφαπτομένη ε (ΣΧΗΜΑ).
Επειδή, όμως,
( ) 0, γιακάθεx
f x e x    ,
η συνάρτηση f είναι γνησίως κυρτή, οπότε η γραφική της
παράσταση fC θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη ε, με
εξαίρεση το σημείο  0 0,1M . Επομένως, τα σημείο  2 0A , και
κάθε σημείο   M x, f x της fC , με εξαίρεση το  0 0,1M , θα
βρίσκονται εκατέρωθεν της εφαπτομένης ε, οπότε το ευθύγραμμο
τμήμα AM θα τέμνει πάντοτε την ε σε κάποιο σημείο N . Έτσι θα
έχουμε (ΣΧΗΜΑ):
      2 2
0 2 1 5AM AN AM     ,

4. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 4/4
με τις ισότητες να ισχύουν, αν και μόνο αν το M συμπέσει με το
0M .
Με αυτόν τον τρόπο, δικαιολογήσαμε και γεωμετρικά ότι το
πλησιέστερο σημείο   M x, f x της fC στο σημείο  2 0A , είναι
το σημείο  0 0,1M και αποδείξαμε ότι η απόστασή του από το
 2 0A , είναι ίση με 5 ■