2. Standar Kompetensi:
Menggunakan aturan statistika, kaidah pemecahan, dan sifat-
sifat peluang dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar:
Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
dalam pemecahan masalah.
Menentukan ruang sampel suatu percobaan.
Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.
3. KAIDAH PENCACAHAN
Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia (Aturan Perkalian)
Misalkan terdapat n buah tempat tersedia, dengan:
k adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama,
k adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat
pertama terisi,
k adalah banyak cara untuk mengisi tempata ketiga setelah tempat
pertama dan kedua terisi,
… , demikian seterusnya.
k adalah banyak cara untuk mengsi tempat ke-n setelah tempat-
tempat pertama, kedua, ketiga, … , dan ke (n 1) terisi.
1
2
3
n
4. Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara
keseluruhan adalah
k k k … k
1 2 3 n
5. c + c + c + … + c
1 2 3 n
Misalkan terdapat n buah peristiwa yang saling lepas, dengan:
c adalah banyak cara pada peristiwa pertama,
c adalah banyak cara pada peristiwa kedua,
c adalah banyak cara pada peristiwa ketiga,
… . dan seterusnya.
c adalah banyak cara pada peristiwa ke-n.
Banyak cara n buah peristiwa itu secara keseluruhan adalah
1
2
3
n
6. Permutasi
Faktor dari Bilangan Asli
Definisi:
Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:
Lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial.
n! = 1 2 3 … (n 2) (n 1) n
1! = 1 dan 0! = 1
7. Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda
Definisi:
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur
itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (r n).
Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia
Banyak permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia
P n
r
P
n
n
8. P
n
n
= n (n 1) (n 2) … 3 2 1 = n!
r (n r)!
Banyak permutasi n unsur ditentukan dengan aturan:
Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia
ditentukan dengan aturan:
P
n
= n (n 1) (n 2) … (n r + 1) =
n!
9. Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur Sama
Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama (k n),
maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l
unsur yang sama, dan m unsur yang sama (k + l + m n), maka
banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
P =
n!
k!
P =
k!
n!
l!m!
10. Permutasi Siklis
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari
n unsur itu ditentukan denga aturan:
P (n r)!
=
siklis
11. Kombinasi
Definisi:
Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur
berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan
urutannya (r n).
Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia
Banyak kombinasi r unsur yang diambilk dari n unsur yang tersedia
ditentukan dengan aturan
C
n
r
r! (n r)!
n!
C
n
r
=
12. Kegiatan melempar sekeping mata uang logam (satu atau beberapa
kali) dinamakan percobaan.
Hasil percobaan pada pelemparan sekeping mata uang logam
adalah munculnya sisi gambar (G) atau munculnya sisi tulisan (T).
PERCOBAAN, RUANG, CONTOH, DAN KEJADIAN
GAMBAR TULISAN
{G} {T}
13. Himpunan dari semua hasil yang mungkin
muncul dalam percobaan melempar sekeping
mata uang logam, ditulis {G,T}, disebut ruang
contoh atau ruang sampel.
1.Ruang contoh atau ruang sampel adalah
himpunan dari semua hasil yang mungkin pada
sebuah percobaan.
2.Titik contoh atau titik sampel adalah anggota-
anggota dari ruang contoh atau ruang sampel.
14. Himpunan bagian dari ruang contoh S disebut kejadian atau
peristiwa (event).
1. Kejadian sederhana atau kejadian elementer
Kejadian sederhana atau kejadian elementer adalah suatu
kejadian yang mempunyai satu titik contoh.
Pada percobaan melempar dadu berisi enam, kejadian-
kejadian sederhana adalah:
• {1} yaitu kejadian munculnya mata dadu 1, dan
• {6} yaitu kejadian munculnya mata dadu 6.
Kejadian
15. 2.Kejadian majemuk
Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang
mempunyai titik contoh lebih dari satu.
Pada percobaan melempar dadu berisi enam, bebrapa
kejadian majemuk antaranya adalah:
• {3, 4} yaitu kejadian munculnya mata dadu lebih dari
2 tetapi kurang dari 5.
• {2, 4, 6} yaitu kejadian munculnya mata dadu genap.
16. PELUANG SUATU KEJADIAN DAN KOMPLEMENNYA
Menghitung Peluang dengan Pendekatan Frekuensi Nisbi
Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali.
1. Jika kejadian E muncul sebanyak k kali (0 k n), maka frekuensi
nisbi munculnya kejadian E ditentukan dengan rumus:
2. Jika nilai n mendekati tak-berhingga, maka nilai cenderung konstan
mendekati nilai tertentu. Nilai peluang munculnya kejadian E
ditentukan dengan rumus:
Catatan:
F (E): frekuensi nisbi munculnya kejadian E.
P (E): peluang munculnya kejadian E.
F (E) =
n
k
P (E) = lim F (E) = lim k
n
n n
17. Menghitung Peluang dengan
Pendekatan Definisi Peluang Klasik
Misalkan dalam sebuah percobaan menyebabkan
munculnya n hasil yang mungkin dengan masing-masing
hasil mempunyai kesempatan yang sama (equelly likely).
Jika kejadian E dapat muncul sebanyak k kali, maka
peluang kejadian E ditentukan dengan rumus:
P (E) = k
n
18. Menghitung Peluang dengan
Menggunakan Ruang Contoh
Misalkan S adalah ruang contoh dari sebuah percobaan
dan masing-masing dari anggota S memilki kesempatan
yang sama untuk muncul. Jika E adalah suatu kejadian
dengan E S maka peluang kejadian E ditentukan
dengan rumus:
n(E) adalah banyak anggota dalam himpunan kejadian E,
n(S) adalah banyak anggota dalam himpunan ruang
contoh S.
P (E) =
n(E)
n(S)
19. Kisaran Nilai Peluang
Kisaran nilai peluang kejadian E mempunyai
batas dari 0 sampai 1.
Jika P (E) = 0 maka dikatakan E adalah kejadian
yang mustahil terjadi.
Jika P (E) = 1 maka dikatakan E adalah kejadian
yang pasti terjadi.
20. Frekuensi Harapan suatu Kejadian
Frekuensi harapan adalah abnyak kejadian atau
peristiwa yang diharapkan dapat terjadi pada sebuah
percobaan.
Misalkan sebuah percobaan dilakukan sebanyak n kali
dan P(E) adalah peluang kejadian E. Frekuensi harapan
kejadian E ditentukan dengan aturan:
F (E) = n P(E)
h
21. Peluang Komplemen suatu Kejadian
Jika E adalah komplemen kejadian E, maka
peluang kejadian E ditentukan dengan aturan:
P(E) adalah peluang kejadian E dan P(E) dalah
peluang komplemen kejadian E.
P (E) = 1 P(E)
22. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
Menghitung Peluang Gabungan Dua Kejadian
Peluang Gabungan Dua Kejadian
Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam
ruang contoh S, maka peluang kejadian A B dientukan
dengan aturan
P (A B) = P(A) + P(B) P(A B)
23. Peluang Gabungan Dua Kejadian
yang Saling Lepas
Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas,
maka peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas
itu ditentukan dengan aturan
P (A B) = P(A) + P(B)
24. Menghitung Peluang Gabungan
Dua Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bebas
jika kejadian A tidak terpengaruh oleh kejadian B atau sebaliknya
kejadian B tidak terpengaruh oleh kejadian A.
Catatan:
Bedakan pengertian antara dua kejadian yang saling bebas dengan
pengertian dua kejadian yang saling lepas yang telah dibahas
sebelumnya.
Jika kejadian A dan kejadian B saling bebas maka berlaku
Sebaliknya, jika P(A B) P(A) P(B) maka kejadian A dan kejadian
B tidak saling bebas
P (A B) = P(A) P(B)
25. Menghitung Peluang Kejadian Bersyarat
S
B
A
B
A/B
Ruang contoh semula Ruang contoh yang baru Kejadian bersyarat A/B
Proses terbentuknya kejadian bersyarat A/B
• Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu,
ditentukan dengan aturan
• Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu,
ditentukan dengan aturan
P (A/B)
P (B)
, P (B) 0
P(A B)
=
P (B/A)
P (A)
, P (A) 0
P(A B)
=
26. Peluang Kejadian pada Pengambilan Contoh
Pengambilan kartu yang dilakukan secara acak disebut
pengambilan contoh acak.
Proses pengambilan contoh sebuah kartu sebanyak dua kali
secara berurutan dapat dilakukan denga cara sebagai
berikut
1. Pengambilan contoh dengan pengembalian
Misalkan kartu pertama telah diambil. Kartu ini
dikembalikan lagi sehingga jumlah kartu tetap seperti
jumlah kartu semula. Kemudian kartu-kartu tersebut
dikocok lagi, baru diambil kartu kedua. Proses
pengambilan contoh dengan cara seperti ini disebut
pengambilan contoh dengan pengembalian.
27. 2. Pengambilan contoh tanpa pengembalian
Misalkan kartu pertama telah diambil. Kartu yang telah
diambil itu tidak dikembalikan. Jika jumlah kartu semula n,
maka jumlah kartu berikutnya menjadi ( n 1). Kartu-kartu
sebanyak (n 1) buah itu dikocok, kemudian diambil kartu
kedua. Proses pengembalian contoh dengan cara seperti
ini disebut pengambilan contoh tanpa pengembalian.
