Expresiones algebraicas, adición y sustracción de expresiones algebraicas, multiplicación y división de expresiones algebraicas, productos notables, fraccionario de productos notables

1. Expresiones Algebraicas
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
BARQUISIMETO ESTADO - LARA
Simara Sánchez

2. Expresiones algebraicas.
 Se llama expresión algebraica a toda expresión que se obtiene combinando constantes y variables
mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, elevando potencias y
extrayendo raíces.
 En una expresión algebraica esta conformada por bloques separados por los signos + o -. Cada
bloque es un termino de la expresión. Así, 4x³-5x²+1 tiene tres términos. En el termino 4x³, 4 es el
coeficiente y x³ es la parte literal. Dos términos que difieren solo en el coeficiente, teniendo la misma
parte literal, se llaman
 Términos semejantes, así 6x²y,
1
2
𝒙𝟐
𝒚, 𝟑 𝒙𝟐
𝒚
 son términos semejantes.

3. Expresiones algebraicas
 las expresiones algebraicas mas simples son los polinomios. Un polinomio de grado n en la
variable x, donde n≥0, es un expresión algebraica de la forma:
 p(x)=𝒂𝒏𝒙𝒏
+ 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏
+ . . . + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎,
 donde 𝒂𝟎, 𝒂𝟏 . . . 𝒂𝒏 son constantes, siendo 𝒂𝒏 ≠ 𝟎. 𝒂𝒔𝒊
 un polinomio de grado 0 es una constante 𝒑 𝒙 = 𝒂𝟎, 𝒂𝟎 ≠ 𝟎.
 Un polinomio de grado 1 es un polinomio de la forma 𝒑 𝒙 = 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎, 𝒂𝟏 ≠ 𝟎.
 Un polinomio de grado 2 es un polinomio de la forma 𝒂𝟐𝒙𝟐
+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎, 𝒂𝟐 ≠ 𝟎
 Un polinomio de grado 3 es un polinomio de la forma 𝒂𝟑𝒙𝟑
+ 𝒂𝟐𝒙𝟐
+ 𝒂𝒂𝒙 + 𝒂𝟎, 𝒂𝟑 ≠ 𝟎. Etc.
 También se clasifican los polinomios de acuerdo a su numero de términos. Los polinomios que
tienen un solo termino se llaman monomios, los que tienen dos binomios; y los que tienen tres
trinomios, etc. Así 𝟒𝒙𝟑
es un monomio; 𝟒𝒙𝟑
− 𝟓𝒙𝟐
es un binomio y 𝟒𝒙𝟑
− 𝟓𝒙𝟐
+ 𝟏 es un trinomio.

4. Adición y sustracción
 En esencia, la adición y sustracción de expresiones algebraicas, se reduce a sumar o restar
términos semejantes. Para sumar o restar términos semejantes se aplica la propiedad distributiva,
leyéndola de derecha a izquierda:
De acuerdo a esta propiedad, para sumar y restar términos semejantes, solo tenemos que sumar los
coeficientes así: 𝑎𝑏 ± 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 ± 𝑐) o bien, conmutando, 𝑏𝑎 ± 𝑐𝑎 = 𝑏 ± 𝑐 𝑎
De acuerdo a esta propiedad, para sumar o restar términos semejantes, solo tenemos que sumar o
restar los coeficientes así:
3𝑥2𝑧 + 8𝑥2𝑧 = 3 + 8 𝑥2 = 11𝑥2𝑧 y 3𝑥2𝑧 + 8𝑥2 = 3 − 8 𝑥2𝑧 = −5𝑥2𝑧
Ejemplos:
1. 5𝑥4 + 6𝑥3 − 2𝑥𝑧 − 8𝑧2 𝑦 − 2𝑥4 + 7𝑥𝑧 + 4𝑧2 =
= 5𝑥4 − 2𝑥4 + 6𝑥3 + −2𝑥𝑧 + 7𝑥𝑧 + −8𝑧2 + 4𝑧2 =
3𝑥4 + 6𝑥3 + 5𝑥𝑧 − 4𝑧2

5. Adición y sustracción
 Ejercicios:
 Hallar la suma:
1. 2𝑥𝑦2 + 5𝑥𝑦2= 2 + 5 𝑥𝑦2 = 7𝑥𝑦2
2. 5𝑥4 + 6𝑥3 − 2𝑥𝑧 − 8𝑧2 𝑦 − 2𝑥4 + 7𝑥𝑧 + 4𝑧2 =
= 5𝑥4
− 2𝑥4
+ 6𝑥3
+ −2𝑥𝑧 + 7𝑥𝑧 + −8𝑧2
+ 4𝑧2
=
3𝑥4
+ 6𝑥3
+ 5𝑥𝑧 − 4𝑧2
 Restar:
 3𝑥2 −
2
5
𝑥𝑦 − 2𝑦2 de 12𝑥2 − 2𝑥𝑦 −
1
3
𝑦2
12𝑥2 − 2𝑥𝑦 −
1
3
𝑦2
−3𝑥2 +
2
5
𝑥𝑦 + 2𝑦2
9𝑥2 −
8
5
𝑥𝑦 +
5
3
𝑦2

6. Adición y sustracción
 Restar:
 3𝑥2 −
2
5
𝑥𝑦 − 2𝑦2 de 12𝑥2 − 2𝑥𝑦 −
1
3
𝑦2
12𝑥2 − 2𝑥𝑦 −
1
3
𝑦2
−3𝑥2 +
2
5
𝑥𝑦 + 2𝑦2
9𝑥2 −
8
5
𝑥𝑦 +
5
3
𝑦2
 5𝑧4𝑦 − 8𝑥3 + 3𝑥𝑦2 de −10𝑧4𝑦 − 16𝑥3 + 6𝑥𝑦2
−10𝑧4𝑦 − 16𝑥3 + 6𝑥𝑦2
5𝑧4𝑦 − 8𝑥3 + 3𝑥𝑦2
−5𝑧4𝑦 − 8𝑥3 + 3𝑥𝑦2

7. Multiplicación
 Para multiplicar expresiones algebraicas se hace uso retirado de la ley distributiva, así por ejemplo,
tenemos:
 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 𝑐 + 𝑑 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑
 Hallar el producto 3𝑥3
− 5𝑥2
+ 7 (4𝑥3
+ 𝑥2
− 6)
 Solución: 3𝑥4 − 5𝑥3 + 7 (4𝑥3 + 𝑥2 − 6)
=3𝑥4
4𝑥3
+ 𝑥2
− 6 − 5𝑥2
4𝑥3
+ 𝑥2
− 6 + 7 4𝑥3
+ 𝑥2
− 6 =
= 12𝑥7 + 3𝑥6 − 18𝑥4 + −20𝑥6 − 5𝑥4 + 30𝑥2 + 28𝑥3 + 7𝑥2 − 42 =
=12𝑥7
+ 3𝑥6
− 20𝑥5
+ −18𝑥3
− 5𝑥4
+ 28𝑥3
+ 30𝑥2
+ 7𝑥2
− 42
=12𝑥7
+ 3𝑥3
− 20𝑥5
− 23𝑥4
+ 28𝑥3
+ 37𝑥2
− 42

8. Multiplicación
 Otra manera: se colocan en filas los dos factores, ordenando sus términos se acuerdo a su
grado(creciente o decreciente)se multiplica cada expresión de la segunda fila por la expresión de la
primera fila. Los resultados se colocan los términos de bajo los términos de sus semejantes, luego se
suman
3𝑥4 − 5𝑥2 + 7
4𝑥3 + 𝑥2 − 6
12𝑥7 − 20𝑥5 + 28𝑥3
+3𝑥6 − 5𝑥4 + 7𝑥2
−18𝑥4 + 30𝑥2 − 42
12𝑥7
+ 3𝑥6
− 20𝑥5
− 23𝑥4
+ 28𝑥3
+ 37𝑥2
− 42
Multiplicando 4𝑥3
𝑝𝑜𝑟 (1)
Multiplicando 𝑥2 𝑝𝑜𝑟 (1)
Multiplicando -6 por (1)

9. Multiplicación
 Multiplicación de expresiones algebraicas:
Hallar el producto: 𝑥 + 5 2𝑥 − 3 𝑥 − 1 =
= 𝑥 2𝑥 − 3𝑥 𝑥 − 1 + 5 2𝑥 − 3 𝑥 − 1
= 2𝑥 𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 + 10𝑥 − 15 𝑥 − 5
=2𝑥 𝑥 + −3𝑥 + 10𝑥 + − 𝑥 − 15 𝑥 − 5 = 2𝑥 𝑥 + 7𝑥 − 16 𝑥 − 5
1. 3𝑥4
− 7𝑥3
+ 6 5𝑥3
+ 4𝑥3
− 12 =
3𝑥4
5𝑥3
+ 4𝑥2
− 12 − 7𝑥3
5𝑥3
+ 4𝑥2
− 12 + 6 5𝑥3
+ 4𝑥2
− 12
15𝑥7
+ 12𝑥6
− 12𝑥4
+ −35𝑥5
− 28𝑥4
+ 84𝑥2
+ (30𝑥3
+ 24𝑥2
− 72)=
15𝑥7
+ 12𝑥6
− 35𝑥5
+ −36𝑥4
− 28𝑥4
+ 30𝑥3
+ 84𝑥2
+ 24𝑥2
− 72 =
15𝑥7
+ 12𝑥6
− 35𝑥5
− 64𝑥4
+ 30𝑥3
+ 108𝑥2
− 72
2) 𝑥 + 8 3𝑥 − 4 𝑥 − 1
𝑥 3𝑥 − 4 𝑥 − 1 + 8 3𝑥 − 4 𝑥 − 1 =
3𝑥 𝑥 − 4𝑥 − 𝑥 − 1 + 24𝑥 − 32 𝑥 − 8 =
3𝑥 𝑥 + −4𝑥 + 20𝑥 + ( 𝑥 − 32 𝑥 − 8 =
3𝑥 𝑥 + 20𝑥 − 33 𝑥 − 8

10. Divisiones de expresiones algebraicas
 La división algebraica es un método algorítmico que resulta al dividir dos polinomios llamados
dividendo y divisor con el fin de obtener otra expresión llamada cociente. La división de polinomios
contempla 3 métodos, la división larga de polinomios, el método de Horner y el método de Ruffini
(división sintética).
 Algoritmo de la división
Si p(x) y d(x) son polinomios, siendo d(x) distinto del polinomio nulo, entonces existen dos únicos
polinomios q(x) y r(x) tales que
𝑝 𝑥 = 𝑑 𝑥 ∙ 𝑞 𝑥 + 𝑟 𝑥 , 1 donde r(x) es el polinomio nulo o de grado menor que el de d(x)
La igualdad de (1) anterior también se puede describir así:
𝑝(𝑥)
𝑑(𝑥)
= 𝑞 𝑥 +
𝑟(𝑥)
𝑑(𝑥)
El polinomio p(x) es el dividendo, d(x) es el divisor, q(x) es el cociente y r(x) es el residuo o el resto.
Cuando r(x) es 0 tenemos que:
𝑝(𝑥)
𝑑(𝑥)
= 𝑞(𝑥) o bien que p(x)=q(x)d(x)
En este caso, decimos que la división es exacta y que p(x) es divisible por d(x).

11. Divisiones de expresiones algebraicas
La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica; Si se tiene la división
−5𝑥 − 2𝑥2
+ 12 ÷ (𝑥 + 4)
−2𝑥2
− 5𝑥 + 12 ÷ 𝑥 + 4
−2𝑥2
𝑥
= −2𝑥
−2𝑥2
− 5𝑥 + 12 ÷ 𝑥 + 4 = −2𝑥 +
−
−2𝑥2
− 8𝑥
0 + 3𝑥 + 12
3𝑥
𝑥
= 3
−2𝑥2
− 5𝑥 + 12 ÷ 𝑥 + 4 = −2𝑥 +
−
−2𝑥2
− 8𝑥
3𝑥 + 12
−3𝑥 + 12
0
4.se vuelve a dividir el primer término
que quedó en el dividendo (3x)
por el primero del divisor (x) y se repite el
proceso anterior.
1.Se ordenan de manera decreciente los
términos de los polinomios, quedando
la división:
2.Se obtiene el primer término del
cociente dividiendo el primer término
del dividendo (–2x 2 ) por el primer
término del divisor (x) 3.Se anota como cociente (-2x) y
se multiplica por el divisor (x+4), se
anotan los productos debajo del
dividendo y se realiza la sustracción
Se ha obtenido cociente –2x + 3 y
resto 0

12. Productos notables
Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir
mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas.
1. (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
2. 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2
− 𝑏2
producto de la suma por la diferencia
3. (𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
cuadrado de una diferencia
4. (𝑎 + 𝑏)3= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 cubo de una suma
5. (𝑎 − 𝑏)3= 𝑎3 − 3𝑎2 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 cubo de una diferencia
Ejemplo: a: 2𝑥3 + 5 2𝑥3 − 5 𝑏: 4𝑎2 −
3
𝑏
2
𝑐: (4𝑥2 − 3𝑦)3
A: 2𝑥3 + 5 2𝑥3 − 3 = (2𝑥3)2− 5
2
= 4𝑥6 − 5
B: 4𝑎2 −
3
𝑏
2
= (4𝑎2)2−2 4𝑎2 3
𝑏
+
3
𝑏
2
= 16𝑎4 −
24𝑎2
𝑏
+
9
𝑏2
C:(4𝑥2 − 3𝑦)3= (4𝑥2)3−3 4𝑥2 2 3𝑦 + 3(4𝑥2)(3𝑦)2 − (3𝑦)3 = 64𝑥6 − 3 16𝑥4 3𝑦 + 3 4𝑥2 9𝑦2 − 27𝑦3
= 64𝑥6 − 144𝑥4𝑦 + 108𝑥2𝑦2 − 27𝑦3

13. Factorización
 Factor Común: Consiste en simplificar todos los términos del polinomio por un mismo coeficiente, ya
sea una letra o un numero, o la combinación de ellos.
𝐴𝐵 ± 𝐴𝐶 = 𝐴(𝐵 ± 𝐶)
Ejemplo: 𝑎. 12𝑥3
𝑦𝑧 + 18𝑥2
𝑦2
𝑏. 10𝑎5
− 15𝑎4
+ 20𝑎2
a. Coeficientes 12 y 18 tienen como factores a 2, 3 y 6. tomamos el mayor 6. en la parte literal, aparecen
en dos los términos las variables x e y. tomamos estas dos variables con el menor exponentes: 𝑥2
𝑒 𝑦.
El factor común es 6𝑥2
𝑦. Luego:
12𝑥3
𝑦𝑧 + 18𝑥2
𝑦2
= 6𝑥2
𝑦 2𝑥𝑧) + 6𝑥2
𝑦 3𝑦 = 6𝑥2
𝑦 2𝑥𝑧 + 3𝑦
b. El factor común de los tres términos es 5𝑎2. Luego
10𝑎5 − 15𝑎4 + 20𝑎2 = 5𝑎2 2𝑎3 − 5𝑎2 3𝑎2 + 5𝑎2 4 = 5𝑎2(2𝑎3 − 3𝑎2 + 4)
Factor común por agrupación de términos: vemos que los 4 términos no tienen un factor común distinto
de 1. pero si los agrupamos en parejas de dos términos que tienen factores comunes, tenemos: 3𝑥3 −
2𝑥𝑦 − 6𝑥2 + 4𝑦 = 3𝑥3 − 6𝑥2 + −2𝑥𝑦2 + 4𝑦2 = 3𝑥2 𝑥 − 2 − 2𝑦2 𝑥 − 2
(3𝑥2 − 2𝑦2)(𝑥 − 2)

14. Bibliografía
 Calculo diferencial para Administración y Economía
© Jorge Sáenz
Inversora: hipotenusa
Segunda edición 2007
Barquisimeto estado Lara