Sistem persamaan linear dan program linear membahas: 1. Pengertian sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta metode penyelesaiannya seperti grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. 2. Pengertian program linear sebagai metode untuk memecahkan masalah optimalitas dengan batasan yang dinyatakan dalam sistem pertidaksamaan linear.

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DAN PROGRAM LINEAR
DOSEN PENGAMPUH:
Prof. Dr. Abdul Rahman, M.pd.
Syahrullah Asyari, S.pd., Mpd.

2. 210101500009 210101501001
RINI
HANDAYAN
I
ZAFITRAH
RHAMADA
NI
KELOMPOK 5

3. Sistem Persamaan
Linear
01.
Sistem Persamaan linear adalah himpunan beberapa
persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien
persamaan adalah bilangan real.

4. 1). Pengertian dan Bentuk Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)
adalah system persamaan linear dengan dua
variable berpangkat satu.
Bentuk umum system persamaan linear dengan
dua variabel x dan y adalah
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏………………….(Persamaan 1)
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐………………….(Persamaan 2)
Dengan 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒃𝟏, 𝒃𝟐,𝒄𝟏, dan 𝒄𝟐 adalah bilangan
real ; 𝒂𝟏 dan 𝒃𝟏 tidak keduanya 0 ; 𝒂𝟐 dan 𝒃𝟐
tidak keduanya nol.
𝒙, 𝒚 : variabel berpangkat satu
𝒂𝟏, 𝒂𝟐 : koefisien variabel x
𝒃𝟏, 𝒃𝟐 : koefisisen variabel y
𝒂𝟏, 𝒂𝟐,𝒃𝟏, 𝒃𝟐,𝒄𝟏, 𝒄𝟐 : konstanta persamaan.
2). Himpunan Penyelesaian
Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel
Himpunan penyelesaian sistem
persamaan linear dengan dua variabel
adalah himpunan semua pasangan
terurut (𝒙, 𝒚) yang memenuhi setiap
persamaan linear pada sistem
persamaan tersebut. Metode
menentukan himpunan penyelesaian
suatu sistem persamaan linear dua
variabel (SPLDV) adalah metode grafik,
metode eliminasi, metode substitusi,
serta metode eliminasi dan subtitusi.
a. Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel

5. a). Metode Grafik
SPLDV terbentuk dari dua persmaan linear yang
saling terkait. Grafik persamaan linear dua variabel berupa
garis lurus.
Langkah Langkah menentukan himpunan
penyelesaian system persamaan linear dua variabel dengan
metode grafik :
1. Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu x dan sumbu
y pada masing masing persamaan linear dua variabel
Lanjutan

6. ᴥ Untuk persamaan 1
Diperoleh titk potong kurva 𝑥 + 𝑦 = 2 terhadap sumbu
koordinat yaitu titik (0,2) dan (2,0).
ᴥUntuk persamaan 2 :
Diperoleh titk potong kurva 4𝑥 + 2𝑦 = 7 terharap
terhadap sumbu koordinat yaitu titik (0,
7
2
) dan (
7
4
,0).
2. Gambarkan kedalam bidang koordinat cartesius
Dilakukan dengan menarik garis lurus dari titk (0,2) ke titik (2,0) dan dari titik (0,
7
2
) ke titik (
7
4
,0).

7. 3. Tentukan himpunan penyelesaian dengan melihat titik potong kedua garis lurus
Berdasarkan gambar grafik 𝑥 + 𝑦 = 2 dan 4𝑥 + 2𝑦 = 7, kedua garis lurus tersebut berpotongan pada sebuah
titik, yaitu titik (
3
2
,
1
2
). Sehingga himpunan penyelesaian system persamaan linear 𝑥 + 𝑦 = 2 dan 4𝑥 + 2𝑦 = 7
adalah {(
3
2
,
1
2
)}.

8. Pada metode eliminasi ini untuk menentukan himpunan penyelesaian
dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya ialah dengan cara
menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan
tersebut. Apabila variabelnya 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦, untuk menentukan variabel 𝑥 kita
harus mengeliminasi variabel 𝑦 terlebih dahulu, atau sebaliknya.
Adapun cara menentukan himpunan penyelesaian dengan metode
eliminasi dari persamaaan 1 dan persamaan 2 pada metode grafik adalah:
1. Menghilangkan salah satu variable dari SPLDV yang ada. Misalkan variable
𝑥 yang akan dihilangkan maka kedua persamaan harus dikurangkan. Karena
koefisien variable 𝑥 pada SPLDV tersebut tidak sama, maka harus
disamakan terlebih dahulu.
b). Metode Eliminasi
Lanjutan

9. 2. Menghilangkan variable yang lain dari SPLDV tersebut, yaitu variable 𝑦. Karena koefisien
variable 𝑦 pada SPLDV tersebut tidak sama, maka harus disamakan terlebih dahulu.
3. Menetukan himpunan penyelesaian SPLDV
Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah {(
3
2
,
1
2
)}.

10. Metode Substitusi adala suatu metede untuk menyelesaikan sebuah
sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih
dahulu kita nyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari
suatu persamaan, selanjutnya menyubstitusikan (menggantikan) variabel
itu dalam persamaan yang lainnya.
Adapun cara menentukan himpunan penyelesaian dengan metode
subtitusi dari persamaan 1 dan persamaan 2 yang pada metode grafik
adalah
1. Tuliskan masing masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2)
𝑥 + 𝑦 = 2……(1)
4𝑥 + 2𝑦 = 7…(2)
2. Pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1). Kemudian, nyatakan salah
satu variabelnya dalam bentuk variable lainnya.
c). Metode Substitusi

11. 𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 = −𝑦 + 2….(3)
3. Nilai variable x pada persamaan (3) menggatikan variable x pada
persamaan (2)
4. Nilai 𝑦 pada persamaan (4) menggantikan variable y pada salah satu
persamaan awal, misalkan persamaan (2)

12. 5. Menentukan himpunan penyelesaian
Sehingga, himpunan penyelesaiannya adalah {(
3
2
,
1
2
)}.

13. Adapun cara menentukan himpunan penyelesaian
dengan metode subtitusi dari persamaan 1 dan persamaan
2 yang ada pada metode grafik adalah :
1. Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi
d). Metode Eliminasi dan Substitusi
5. Menentukan himpunan penyelesaian
Sehingga, himpunan penyelesaiannya adalah {(
3
2
,
1
2
)}.

14. Selanjutnya, disubstitusikan nilai 𝑦 =
1
2
ke persamaan 𝑥 + 𝑦 = 2 sehingga diperoleh:
Sehingga, himpunan penyelesaiannya adalah {(
3
2
,
1
2
)}.

15. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem
persamaan linear dengan tiga variabel.
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z
adalah :
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 ……………………
(.. Persamaan 1)
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 ……………………
(.. Persamaan 2)
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3 ……………………
(.. Persamaan 3)
Dengan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑑1, 𝑑2, dan 𝑑3, bilangan real, dan
𝑎1, 𝑏1,dan 𝑐1, tidak ketiganya 0, 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2, tidak ketiganya 0 dan
𝑎3, 𝑏3, 𝑐3,tidak ketiganya 0.
𝑥, 𝑦, 𝑧 : variabel berpangkat satu
𝑎1, 𝑎2,𝑎3 : koefisien variabel x
𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 : koefisisen variabel y
𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 : koefisien variable z
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3,𝑏1, 𝑏2,𝑏3, 𝑐1, 𝑐2,𝑐3,𝑑1, 𝑑2, 𝑑3 : konstanta persamaan.
1). Pengertian dan Bentuk
Sistem
Persamaan Linear Tiga
Variabel
b. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

16. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah himpunan semua triple
terurut (x, y, z) yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut.
Penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan
penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik.
a.). Metode Eliminasi
Penyelesaian SPLTV (dalam variabel x, y, dan z) dengan mengunakan metode eliminasi ditentukan
dengan langkah – langkah sebagai berikut :
1. Eliminasi salah satu variabel , x atau y atau z, sehingga diperoleh SPLDV.
2. Selesaikan SPLDV pada langkah (a) dengan mengeliminasi variabel kedua untuk mendapatkan nilai
variabel ketiga atau mengeliminasi variabel ketiga untuk mendapatkan variabel kedua.
3. Ulangi langkah (a) dan (b) dengan pemilihan variabel berbeda sampai didapatkan nilai dari ketiga
variabel.
2). Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

17. Contoh 1
Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut
x+y+2z=9…….(1)
2x+4y-3z=1….(2)
3x+6y-5z=0….(3)
Penyelesaian:
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh
Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh

18. Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5) sehingga diperoleh
Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5) sehingga diperoleh
Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh

19. Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh
Eliminasi y dari persamaan (6) dan (7) sehingga diperoleh
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}

20. b). Metode Subtitusi
Penyelesaian SPLTV (dalam variabel x, y, dan z) dengan mengunakan metode substitusi ditentukan
dengan langkah – langkah sebagai berikut :
1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai
fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
2. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah (a) ke dua persamaan yang lainnya sehingga
diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah (b).
4. Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah ( c ) ke salah satu persamaan semula untuk
memperoleh nilai variabel yang ketiga.
Menentukan himpunan penyelesaian dengan metode subtitusi untuk contoh 1) yaitu
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9…….(1)
2𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 1….(2)
3𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 = 0….(3)
Persamaan 1) diubah menjadi 𝑥 = 9 − 𝑦 − 2𝑧 … … . (4)

21. Subtitusikan persamaan (4) ke persamaan (2)
Subtitusikan persamaan (4) ke persamaan (3)

22. Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan (6)
Subtitusikan 𝑧 = 3 ke persamaan (5)

23. Subtitusikan 𝑦 = 2 dan 𝑧 = 3 ke persamaan (1)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}

24. 3). Metode Eliminasi-Subtitusi
Menentukan himpunan penyelesaian dengan metode eliminasi subtitusi untuk contoh 1) yaitu
x+y+2z=9…….(1)
2x+4y-3z=1….(2)
3x+6y-5z=0….(3)
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh
Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh

25. Eliminasi 𝑥 dari persamaan (4) dan (5) sehingga diperoleh
Subtitusi 𝑦 = 2 ke persaman (5), sehingga diperoleh
Subtitusi 𝑥 = 1 dan 𝑦 = 2 ke persamaan (1) sehingga diperoleh
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}.

26. Program Linear
02.

27. Program linear adalah suat metode atau suatu cara untuk
memecahkan masalah menjadi optimal (maksimum atau minimum)
yang memuat batasan-batasan yang dapat diubah atau diterjemahkan
ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Program linear juga
membutuhkan kemampuan untuk mengubah bahasa cerita menjadi
bahasa matematika atau model matematika. Model matematika
adalah bentuk penalaran manusia dalam menerjemahkan
permasalahan menjadi bentuk matematika (dimisalkan dalam
variabel x dan y) sehingga dapat diselesaikan. Masalah program
linear adalah menentukan nilai 𝑥1, 𝑥2, … . . , 𝑥𝑛 yang
memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi sasaran/tujuan,
𝑧 𝑥1, 𝑥2, … . . , 𝑥𝑛 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ . . +𝑐𝑛𝑥𝑛 dengan
kendala/keterbatasan:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛(≤, =, ≥)𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤, =, ≥ 𝑏2
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛(≤, =, ≥)𝑏𝑚
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
Daerah Layak/Daerah Penyelesaian/Daerah Optimum) Daerah
penyelesaian masalah program linear merupakan himpunan semua
titik (x, y) yang memenuhi kendala suatu masalah program linear.

28. Untuk menyelesaikan masalah program linear dua variabel,
dengan metode grafik agar dapat ditentukan himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaannya. Adapun Langkah langkah untuk
menggambarkan grafik adalah sebagai berikut:
1). Gambarkan setiap pertidaksamaan sebagai suatu persamaan
garis lurus. Namun, jika tanda pertidaksamaan menggunakan
tanda “<”atau “> ", maka garisnya putus-putus.
2). Setiap garis akan membagi dua bidang kartesius, untuk
menentukan daerah penyelesaian, ambil sembarang titik di
salah satu bagian bidang tadi, misalnya titik A. Kemudian
ujian kebenaran pertidaksamaan dengan menggunakan titik A.
Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka bidang asal titik A
merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai salah, maka
bidang yang bukan asal titik A merupakan daerah
penyelesaian.
3). Ulangi langkah 1 dan 2 untuk semua pertidaksamaan yang
telah dirumuskan. Kemudian, perhatikan irisan atau daerah
yang memenuhi untuk setiap pertidaksamaan yang diberikan.
4). Perhatikan syarat non – negatif untuk setiap variabel. Nilai
variabel tidak selalu positif.
Adapun teknik menentukan daerah himpunan
penyelesaian :
1) Buat sumbu koordinat kartesius
2) Tentukan titik potong pada sumbu x dan y dari
semua persamaan-persamaan linearnya.
3) Sketsa grafiknya dengan menghubungkan antara
titik-titik potongnya.
4) Pilih satu titik uji yang berada di luar garis.
5) Substitusikan pada persamaan
6) Tentukan daerah yang dimaksud
Nilai suatu fungsi sasaran ada dua
kemungkinan, yaitu bernilai maksimum atau
minimum. Istilah nilai minimum atau nilai
maksimum, disebut juga nilai optimum atau
nilai ekstrim.

29. Contoh
Sebuah pesawat udara berkapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh
membawa bagasi 60 kg dan kelas ekonomi hanya 20 kg. Pesawat hanya dapat menampung bagasi 1.440 kg. Jika harga
tiket kelas utama Rp600.000,00 dan kelas ekonomi Rp400.000,00, pendapatan maksimum yang diperoleh adalah
Jawab :
Misalkan : 𝑥 = banyaknya penumpang kelas utama
𝑦 = banyaknya penumpang kelas ekonomi

30. Jadi, berdasarkan pertidsaksamaan tersebut, model matematikanya adalah
Total penumpang : 𝑥 + 𝑦 ≤ 48
Berat bagasi : 60𝑥 + 20𝑦 ≤ 1.440; disederhanakan menjadi 3𝑥 + 𝑦 ≤ 72
Banyak penumpang di kelas utama (𝑥) ≥ 0
Banyak penumpang di kelas ekonomi (𝑦) ≥ 0
Gambar daerah himpunan penyelesaian

31. Menetukan titik titik perpotongannya :
 Perpotongan garis garis 𝑥 + 𝑦 = 48 dan 3𝑥 + 𝑦 = 72
Dengan melakukan Teknik eliminasi dan subtitusi didapatkan 𝑥 = 12; 𝑦 = 36 atau (12,36)
 Titik titik sudut yang lain adalah (0,0), (24,0), (0,48)
Menguji titik potong
 Untuk (12,36) disubtitusikan ke fungsi objektifnya:
600.000(12)+400.000(36)=7.200.000+14.400.000=21.600.000
 Untuk (24,0) disubtitusikan ke fungsi objektifnya :
600.000(24)+400.000(0)=14.400.000+0=14.400.000
 Untuk (0,48) disubtitusikan ke fungsi objektinya :
600.000(0)+400.000(48)=0+19.200.000=19.200.000
Dengan demikian pendapatan maksimum diperoleh jika banyaknya penumpang pada kelas utama
adalah 12 dan banyaknya penumpang pada kelas ekonomi adalah 36 dengan keuntungan Rp.
21.600.000

32. THANK YOU