adap penggunaan media sosial dalam kehidupan sehari-hari.pptx
Matdis 4-relasi-dan-fungsi
1. RELASI
Relasi antara Ayah dan anak, Ibu dengan anak, dll
Dalam aritmatika: Relasi “Lebih besar” atau “Lebih
kecil” digunakan untuk membandingkan dua buah
bilangan yang berbeda
Binary Relation/Relation = relasi antara 2 objek
2. RELASI DALAM HIMPUNAN
Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya
Memetakan setiap anggota pada himpunan A (x ∈ A)
dengan anggota pada himpunan B
(y ∈ B)
Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga
merupakan himpunan, yaitu himpunan yang berisi
pasangan berurutan yang mengikuti aturan tertentu,
contoh (x,y) ∈ R
Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan
himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A
× B)
3. NOTASI DALAM RELASI
Relasi antara dua buah objek dinyatakan dengan
himpunan pasangan berurutan
(x,y) ∈ R
contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan
anaknya, maka:
F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}
xRy dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y
4. CONTOH
Himpunan A : himpunan nama orang
A={Via, Andre, Ita}
Himpunan B : himpunan nama makanan
B={es krim, coklat, permen}
Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B
adalah:
5. CONTOH RELASI
A B
via
R permen
Andre coklat
Ita es krim
A : Domain
B : Kodomain
R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “
Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya
adalah A
7. CARA MENYATAKAN RELASI
• Diagram Panah
A R permen
permen
B
via
Andre coklat
coklat
Ita Es krim
es krim
• R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}
8. CARA MENYATAKAN RELASI
Himpunan pasangan berurutan
R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) ,
(Andre,es krim) , (Ita,es krim)}
Diagram Kartesius
p er m e n
co k la t
es krim
via andre ita
9. CARA MENYATAKAN RELASI
Tabel
Nama Makanan
Via Permen
Via Coklat
Andre Coklat
Andre Es Krim
Ita Es Krim
10. CARA MENYATAKAN RELASI
Matriks
Baris = domain
Kolom = kodomain
permen coklat Es krim
Via 1 1 0
Via 1 1 0
Andre 0 1 1
Andre 0 1 1
Ita 0 0 1 Ita 0 0 1
11. CARA MENYATAKAN RELASI
Graph berarah
hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu
himpunan (bukan antara dua himpuanan).
Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik
(disebut juga simpul atau vertex)
Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).
Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke
simpul b.
Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)
simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)
Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul
a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop
12. CARA MENYATAKAN RELASI
Contoh graph berarah
Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d,
b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.
13. LATIHAN 1
Z = {1,2,3,4};
R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z}
Nyatakan relasi tersbut dalam bentuk
Himpunan pasangan berurutan
Matrix
Graf
16. TRANSITIF
Sebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika:
xRy , yRz => xRz ; x,y, z ∈ A
Contoh:
R = {(a,d),(d,e),(a,e)}
17. SIMETRIK
Sebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika:
xRy, berlaku pula yRx untuk (x dan y) ∈ A
Cotoh:
A={a,b,c,d}
R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}
18. ASIMETRIK
Relasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi simetrik
Artinya
(a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R
Contohnya
R = {(a,b), (a,c), (c,d)}
19. ANTI SIMETRIK
Relasi R dikatakan antisimetrik jika, untuk setiap x
dan y di dalam A; jika xRy dan yRx maka x=y
20. EQUIVALEN
Sebuah relasi R dikatakan equivalen jika memenuhi
syarat:
Refelksif
Simeteris
Transitif
21. PARTIALLY ORDER SET
(POSET)
Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET)
jika memenuhi syarat:
Refleksif
Antisimetri
Transitif
22. LATIHAN 2
A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada
himpunan A !
Apakah relasi berikut asimetris, transitif?
R = {(1,2),(3,4),(2,3)}
Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?
R merupakan relasi pada himpunan Z, yang
dinyatakan oleh aRb jika dan hanya jika a=b atau a=–b
Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi
ekivalen !
23. OPERASI DALAM RELASI
Operasi himpunan seperti
irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan (beda
setangkup) juga berlaku pada relasi
Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasi dari
himpuna A ke himpunan B, maka R1 ∩ R2, R1 ∪
R2, R1 – R2, dan R1 ⊕ R2 juga adalah relasi dari A ke
B.
25. OPERASI DALAM BENTUK MARIKS
Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A
dinyatakan oleh matriks
Maka:
26. KOMPOSISI RELASI
Misalkan
R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B
T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah
relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :
T ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B
sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }
27. KOMPOSISI RELASI
Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}
Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :
R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}
Relasi dari B ke C didefisikan oleh :
T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Maka komposisi relasi R dan T adalah
T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}
28. KOMPOSISI RELASI
T ο R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}
R T
29. FUNGSI
Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi
Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x
anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota
himpunan B
Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan
unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.
Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.
30. FUNGSI
Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B,
kita dapat menuliskan dalam bentuk :
f:A→B
artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau
transformasi.
31. DOMAIN, KODOMAIN DAN
JELAJAH
f:A→B
A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B
dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.
Misalkan f(a) = b,
maka b dinamakan bayangan (image) dari a,
dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f
dinamakan jelajah (range) dari f.
32. Domain : A = {a,b,c,d}
Kodomain : B = {1,2,3,4,5}
1 adalah image dari a, 2 adalah image dari c
b adalah pre-image dari 3
Range dari fungsi tersebut adalah J = {1,2,3,5}
J B
33. PENULISAN FUNGSI
Himpunan pasangan terurut.
• Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam
bentuk :
f = {(2, 4), (3, 9)}
Formula pengisian nilai (assignment)
• f(x) = x2 + 10,
• f(x) = 5x
35. FUNGSI INJEKTIF
Fungsi satu-satu
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika
untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2
berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata
lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
a 1
b 2
c 3
d 4
5
36. FUNGSI SURJEKTIF
Fungsi kepada
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika
untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling
tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.
Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya
(semua kodomain adalah peta dari domain).
a 1
b 2
c 3
d
37. FUNGSI BIJEKTIF
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan
hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat
tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak
ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.
Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif
sekaligus fungsi surjektif.
a 1
b 2
c 3
d
4
38. FUNGSI INVERS
Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu
sendiri
f:A B di mana f(a) = b
f –1: B A di mana f –1(b) = a
Catatan: f dan f –1 harus bijective
39. OPERASI FUNGSI
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
Komposisi:
(f o g)(x) = f(g(x))
40. LATIHAN 3
f(x) = x2 + 1
g(x) = x + 6
Tentukan:
(f + g)(x)
(f – g)(x)
(f . g)(x)
(f o g)(x)
Invers dari g(x)