1. Matriks, Relasi dan Fungsi
Kelompok 4
Oleh:
1. Yudha saputra
2. Ayu mayang sari
3. Liza agustiana
4. Milianti
2. matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk
persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen
atau anggota matriks. Bilangan yang menjadi elemen dari sebuah matriks
disusun dengan diapit oleh tanda kurung siku [] atau tanda kurung biasa
().
Ukuran dari sebuah matriks dapat di simbolkan dengan rumus berikut
ini:
Dengan :
A = Nama Matriks
m = jumlah baris
n = jumlah kolom
mxn = ordo matriks
baris
kolom
3. Ordo matriks adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom.
Transpose matriks adalah perubahan baris menjadi kolom
dan kolom menjadi baris
Kesamaan dua matriks
Dua matriks dikatakan sama apabila :
1. Memiliki ordo yang sama
2. Nilai pada elemen matriks juga harus sama
4. Untuk menentukan determinan dari suatu matriks yang
berordo 2×2 matriks A yang biasa ditulis |A| adalah
Sedangkan untuk yang berordo 3x3
Invers Matriks
5. Macam-Macam Matriks
Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar yang
semua elemennya sama dengan nol, kecuali
elemen pada diagonal utamanya.
Matriks identitas, dilambangkan dengan I ,
adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1
Matriks segitiga atas / bawah
Contoh matriks segitiga atas Contoh matriks segitiga bawah
6. Matriks setangkup (symmetry), A adalah
matriks simetri jika AT = A.
Matriks 0 / 1 (zero-one),
Matriks 0 / 1 adalah matriks yang setiap
elemennya hanya bernilai 0 atau 1.
Matriks Nol yaitu Matriks yang dimana
elemen-elemennya bernilai Nol.
Matriks Simetris adalah matriks yang
elemen-elemen dibawah dan diatas diagonal utama
adalah simetris, artinya elemen pada sel mn
sama dengan elemen pada sel nm.
9. Relasi adalah himpunan bagian antara A(domain) dan B
(kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang
ada pada himpunan A secara tunggal, dengan elemen yang pada
B.
Misalnya ada contoh:
Himpunan A : himpunan nama orang
A= {Via, Andre, Ita}
Himpunan B : himpunan nama makanan
B= {es krim, coklat, permen}
Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:
13. Graph berarah
hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan (bukan antara
dua himpuanan).
Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul
atau vertex)
Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).
1. Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.
2. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)
3. simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)
4. Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke
simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop
• Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi
pada himpunan {a, b, c, d}.
14. Jika diberikan relasi R pada himpunan A ke himpunan
B, kita bisa mendefinisikan relasi baru dari B ke A
dengan cara membalik urutan dari setiap pasangan
terurut di dalam R. Relasi baru tersebut dinamakan
inversi dari relasi semula.
Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R-1, adalah
relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh : R-1 = {(b,a) |
(a,b) R }
15. Contoh 3.14
Misalkan
Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan
Maka kita peroleh
R-1 adalah invers dari relasi R, yaitu dari Q ke P dengan
Maka kita peroleh
16. Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,
Maka matriks yang merepresentasikan relasi R-1, misalkan N
17. Contoh 3.15
A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}.
Relasi R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan
Relasi R2 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B
R1 R2 = {(a,a)}
R1 R2 = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
R1 – R2 = {(b,b),(c,c)}
R2 – R1 = {(a,b),(a,c),(a,d)}
R1 R2 = {(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
18. Definisi :
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan
B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
Komposisi R dan S , dinotasikan dengan S o R = {(a,c)|a
A, c C, dan untuk beberapa b B, (a,b) R, dan (b,c)
S
19. Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan
C = {s, t, u}
Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :
R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}
Relasi dari B ke C didefisikan oleh :
T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Maka komposisi relasi R dan T adalah
T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c,
t), (c, u)}
20. T ο R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}
22. 1. Refleksif, Relasi R pada himpunan A disebut refleksif
jika (a,a) R untuk setiap a A
Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi
R = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)}
bersifat reflekstif karena terdapat elemen yang
berbentuk
(a,a), yaitu (1,1),(2,2),(3,3) dan (4,4).
Relasi R = {(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} tidak
bersifat reflektif karena (3,3) R.
23. 2. Setangkup dan tak setangkupDefinisi :
Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk
semua a,b A, jika (a,b) R, maka (b,a) R.
Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
a. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}
bersifat setangkup karena jika (a,b) R maka (b,a)
juga R.
Disini (1,2)dan(2,1)R begitu juga (2,4) dan (4,2)R
b. Relasi R {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} tidak setangkup
karena (2,3) R, tetapi (3,2) R
Sifat-Sifat Relasi
24. Relasi R pada himpunan A disebut tolak setangkup jika
untuk semua a,b A , (a,b) R dan (b,a) R hanya jika
a = b
c. Relasi R {(1,1),(2,2),(3,3)} tolak setangkup karena (1,1)
R dan 1=1 , (2,2) R dan 2=2 , (3,3) R dan 3=3.
Perhatikan bahwa R juga setangkup.
d. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} tolak setangkup karena
(1,1) R dan 1=1 , dan (2,2) R dan 2=2.
Perhatikan bahwa R tidak setangkup.
Sifat-Sifat Relasi
25. 3. Menghantar
Sifat-Sifat Relasi
Definisi 3.9
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) R dan
(b,c) R, maka (a,c) R, untuk a, b, c A
Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
Relasi R {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} bersifat menghantar.
Periksa dengan membuat tabel berikut :
Pasangan berbentuk
26. Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah
aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
ATURAN :
setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.
tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan
dalam bentuk :
f : A → B
artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
A B
27. Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu
sendiri
f : A B di mana f(a) = b
f –1: B A di mana f –1(b) = a
Catatan: f dan f –1 harus bijective (berkoresponden satu-
ke-satu )
Contoh:
Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}
adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu.
Inversi fungsi f adalah f -1 = {(u,1),(v,2),(w,3)}.
Jadi f adalah fungsi invertible (dapat dibalikkan).
28. Fungsi : disebut fungsi komposisi atau fungsi majemuk.
SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI
1 . ))(())(( xfgxgf
2 . ))()(()))((( xhgfxhgf
Diketahui : , dan
Tentukan :
A .
B .
C .
D .
E .
Contoh
29. ,
JAWAB
))(( xgf ))(( xgf
)1( 2
xf
3)1(2 2
x
12 2
x
A . B . ))(( xfg ))(( xfg
)32( xg
1)32( 2
x
1)9124( 2
xx
8124 2
xx
21
)1(5
3
5
C . ))(( xgfh ))()(( xgfh
)1)(( 2
xfh ))1(( 2
xfh
)12( 2
xh
2)12(
)12(5
2
2
x
x
32
510
2
2
x
x
D .)1)(( fh ))1(( fh
)31.2( h
![ matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk
persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen
atau anggota matriks. Bilangan yang menjadi elemen dari sebuah matriks
disusun dengan diapit oleh tanda kurung siku [] atau tanda kurung biasa
().
Ukuran dari sebuah matriks dapat di simbolkan dengan rumus berikut
ini:
Dengan :
A = Nama Matriks
m = jumlah baris
n = jumlah kolom
mxn = ordo matriks
baris
kolom](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)