Presentazione di un'unità didattica sui limiti a cura del prof. Francesco Sorbaioli, insegnante presso l'IIS "Einaudi-Scarpa" di Montebelluna.

1. LA DEFINIZIONE
DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
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2. Breve storia del concetto di limite
• Spesso si considera come data di nascita del concetto di limite il 1821, perché in quell'anno L.
• A. Cauchy pubblica il suo Cours d'analyse, cioè l'opera che raccoglie le sue lezioni di analisi tenute
• presso l'École Polytechnique di Parigi. Qui Cauchy dà una definizione di limite in questi termini:
• "Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a
• un valore fissato, sì da differirne alle fine tanto poco quanto si vorrà, quest'ultima quantità è
• chiamata il limite di tutte le altre".
• Definisce poi sia la nozione di infinitesimo, una "variabile che ha zero come limite", sia quella di
• infinito, una variabile i cui successivi valori numerici "crescono sempre più, in modo da superare
• ogni numero dato". Tratta anche del limite di successioni, in particolare per la successione delle
• somme parziali delle serie.
• La formulazione che oggi usiamo per il limite di una funzione, è successiva ed è dovuta
• principalmente a Karl Weirstrass (1815-1897). A Cauchy va il merito di aver dato una rigorosa
• sistemazione ad un concetto che già da molto tempo era trattato dai matematici. Facendo un
• percorso a ritroso, possiamo osservare che già attorno alla metà del XVIII secolo, la voce limite
• appare nell'Encyclopedy di Diderot e d'Alembert. D'Alembert, che compila la voce assieme
• all'Abbé de la Cappelle, sostiene la necessità di porre la teoria del limite alla base del calcolo
• differenziale, calcolo che era stato scoperto da Leibniz e Newton alla fine del XVII secolo, basato
• sull'uso degli infinitesimi.
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3. • Le cosiddette “prime e ultime ragioni” della Philosophiae naturalis Principia mathematica (1687)
• di Newton non sono altro che un modo un po' contorto per esprimere che due rapporti tendono allo
• stesso limite. Il bolognese Pietro Mengoli nella sua Geometriae speciosae elementa (1659) aveva
• dedicato un capitolo alla teoria dei limiti, fornendo diverse proprietà e teoremi e mostrando di avere
• un'idea ben chiara di grandezza che tende all'infinito (quasi infinita), che tende a zero (quasi nulla)
• o di due grandezze che tendono allo stesso limite (quasi aequales). Ma già i greci calcolavano dei
• limiti di successioni, mediante il procedimento oggi detto metodo di esaustione.
• Il metodo d'esaustione, ideato da Eudosso di Cnido (c.a. 408-355 a.C.), è un procedimento per
• confrontare due grandezze omogenee (aree, volumi), non equiscomponibili rispettivamente in un
• numero finito di triangoli o parallelepipedi, attraverso il confronto per equiscomponibilità di
• grandezze omogenee incluse nella data o includenti la data e a questa approssimantesi.
• Col metodo d'esaustione Eudosso mostrò che una piramide è la terza parte del prisma avente
• la stessa base e stessa altezza, come pure un cono rispetto al cilindro con stessa base e stessa
• altezza. Ne fece uso anche Euclide, mediante il quale dimostrò che il rapporto tra l'area del cerchio
• e quadrato del diametro è costante, come pure tra volume della sfera e cubo del diametro.
• Il più geniale maestro nell'uso del metodo di esaustione fu Archimede, mediante il quale ottenne quelle
• che oggi noi diciamo le formule per trovare l'area del cerchio, la superficie o il volume di una sfera
• e altri risultati ancora.
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4. • Per esempio, Archimede approssimò il cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti a
• partire dal quadrato e raddoppiando via via il numero dei lati e sostanzialmente provò che le aree
• di tali poligoni tendono (quelli circoscritti per eccesso e quelli inscritti per difetto) a una stessa
• grandezza, che è l'area del cerchio.
• Sempre col metodo d'esaustione e approssimando l'area di un segmento di parabola con quella
• di poligoni ottenuti dall'unione di successivi e opportuni triangoli, mostrò che l'area del segmento di
• parabola è i 4/3 di quella del triangolo inscritto in tale segmento.
• Possiamo quindi dire che le prime applicazioni del procedimento infinito di limite sono state per
• calcolare aree e volumi. Ma il limite è anche l'unico strumento con cui poter, per così dire,
• “maneggiare con sicurezza” tanto gli infinitesimi che gli infiniti. Oggi è il fondamento di tutto il
• calcolo differenziale e integrale, le cui applicazioni sono numerosissime, non solo in matematica e
• fisica, ma in tutte le scienze.
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5. Premesse di metodo
• Il concetto di limite è il fondamento concettuale del calcolo
infinitesimale. Il concetto di limite è più un mezzo che un fine,
il fine è introdurre la derivata e l'integrale.
• Il concetto di limite è di per sé molto interessante, perché
mostra come la matematica nei tempi moderni (dal 19° sec.)
abbia saputo “domare” i procedimenti infiniti, strappare
l’infinitesimo e l’infinito dal limbo delle idee vaghe o
contraddittorie, e ricondurlo alle idee già note attorno ai
numeri, per dare un ruolo fondamentale ai concetti di
grandezza variabile, funzione, variabile logica.
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6. Conseguenze didattiche :
• Dare rilievo inizialmente alla definizione di limite, la
comprensione del concetto, che non va confinato nel solo
piano intuitivo, ma affrontato anche nel suo aspetto formale.
• Questa comprensione è aiutata vedendo la definizione in
azione, il che accade quando questa entra in qualche
dimostrazione.
• Il concetto di derivata costituirà la prima forte motivazione per
cui “è valsa la pena” introdurre i limiti; avvicinare perciò i due
argomenti nel tempo.
• Allo studente non si deve chiedere di saper risolvere limiti
complicati, ma forme fondamentali.
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7. Obiettivi riguardo ai limiti:
• Concettuale: comprendere la definizione di asintoto,
continuità, derivata, integrale, e la dimostrazione di almeno
alcuni teoremi di calcolo differenziale.
• Computazionale: capire come si ricavano le formule di
derivazione delle funzioni elementari, saper trovare gli
asintoti di una funzione .
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8. La “preparazione remota” al calcolo
infinitesimale (negli anni precedenti)
• La familiarità col concetto di funzione reale di variabile reale
nei suoi vari aspetti logici, analitici, grafici.
• Funzione come elemento sintetico tra algebra, trigonometria,
geometria analitica, esponenziali e logaritmi.
• Funzione come sequenza di istruzioni da “montare e
smontare”, idea di composizione e dominio di una funzione
composta (es. log di… radice di…).
• Monotonia delle funzioni elementari e disequazioni.
• Padronanza dei grafici delle funzioni elementari.
• Dai grafici di funzioni elementari a quelli di traslate, dilatate,
riflesse.
• Funzioni definite “a pezzi” e funzione logica “se - allora”Prof. F. Sorbaioli
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9. La “preparazione remota” al calcolo
infinitesimale (negli anni precedenti)
• Uso di valori assoluti e disuguaglianze. Occorre
riprendere:
• Il concetto di valore assoluto;
• modulo della differenza come distanza sulla retta, significato
geometrico di disuguaglianze come
Il modulo del prodotto (quoziente) è il prodotto (quoziente) dei
moduli, mentre il modulo della somma...
disuguaglianza triangolare.
Come si scrive una catena di disuguaglianze.
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10. Quando x si avvicina a x0,
f(x) si avvicina a f(x0)
o a un altro valore reale l ?
1.LA DEFINIZIONE
Quando x si
avvicina a 0 la
funzione oscilla
indefinitamente.
f(x) non si avvicina
ad alcun valore
determinato.
Quando x
si avvicina a x0,
f(x) si avvicina a
un valore l che è
proprio f(x0).
x0 non appartiene
al campo di
esistenza.
Quando x
si avvicina a x0,
f(x) si avvicina a
un valore l che
non è f(x0).
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11. ESEMPIO
Cosideriamo la funzione:
.
Che cosa succede ai valori di f(x) quando x
si avvicina a 3?
1.LA DEFINIZIONE
x f(x)
2,9 5,8
2,99 5,98
2,999 5,998
2,9999 5,9998
x f(x)
3,1 6,2
3,01 6,02
3,001 6,002
3,0001 6,0002
6
è |x – 3| < .
Cioè, per ogni
numero reale
positivo e,
se
,
allora
.
La condizione per avere |f(x) – 6| < e
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12. 1.LA DEFINIZIONE
DEFINIZIONE
Limite finito per x che tende a x0
Si dice che la funzione f (x) ha per limite
il numero reale l per x che tende a x0,
e si scrive
,
quando, comunque si scelga un numero
reale positivo f, si può determinare un
intorno completo I di x0 tale che risulti
per ogni x appartenente a I, diverso (al
più) da x0.
In simboli .
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13. Fissiamo ε > 0. Individuiamo un intorno I di x0
tale che per ogni .
Se riduciamo e, troviamo un intorno di x0 più
piccolo.
Qual è il significato intuitivo della
definizione?
2.IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE
L’esistenza del limite assicura che:
se x si avvicina indefinitamente a x0,
f(x) si avvicina indefinitamente a l .
In simboli .
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14. Per ogni ε troviamo l’insieme dei valori
di x che soddisfano la condizione
3. LA VERIFICA
ESEMPIO
Verifichiamo che .
e verifichiamo che contenga un intorno
di 2.
Quindi ,
cioè
da cui si ricava .
In temini di intervalli: ,
che è un intorno di 2.
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15. 4. LE FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
Una funzione f è continua in x0
DEFINIZIONE
Una funzione f è continua nel suo dominio
D, se è continua in ogni punto di D.
Se una funzione è continua in un punto,
il valore del limite in quel punto è
semplicemente il valore della funzione.
se x0 appartiene al dominio di f
e il limite in x0 coincide con f(x0),
cioè:
.
Funzioni continue in intervalli reali
La funzione costante
f(x) = k, continua in tutto R.
La funzione polinomiale
f(x) = a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an, continua in tutto R.
La funzione radice quadrata
, continua in R+
U {0}.
Le funzioni goniometriche (esempi)
f(x) = sen(x), continua in tutto R.
f(x) = cotg(x), continua in R – {kp, }.
La funzione esponenziale
f(x) = ax
, con a > 0, continua in tutto R.
La funzione logartimica
f(x) = logax, con a > 0, , continua in R+
.
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16. Il limite esiste e vale 3.
Inoltre, in un intorno di 0 (lo 0
escluso) la funzione assume
sempre valori maggiori di 3.
La funzione tende a 3
da valori più grandi.
5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO
DEFINIZIONE
Se la funzione f è tale che
e assume, in un intorno di x0, sempre
valori maggiori di l,
Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si
avvicina indefinitamente a l, ma da valori
maggiori.
si dice che f(x) tende a l per eccesso
e si scrive:
.
ESEMPIO
Verifichiamo che .
Fissato e > 0, cerchiamo le x per cui
0 < (4x2
– 3) – (–3) < e ,
ossia 0 < 4x2
< e .
La seconda, 4x2
< e , è soddisfatta per
.
La prima relazione, 0 < 4x2
, dà .
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17. 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO
DEFINIZIONE
Se la funzione f è tale che
e assume, in un intorno di x0, sempre
valori minori di l,
Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si
avvicina indefinitamente a l, ma da valori
minori.
si dice che f(x) tende a l per difetto
e si scrive:
.
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18. 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO
DEFINIZIONE
Si scrive
e si dice che l è il limite destro di f in x0, se
soddisfa una speciale condizione di limite
applicata agli intorni destri di x0.
Se x si avvicina indefinitamente a x0 da
valori più grandi, f(x) si avvicina
indefinitamente a l.
A differenza della definizione standard di
limite, la disuguaglianza
deve essere soddisfatta nell’intorno destro
di x0, .
Se x si avvicina indefinitamente a x0 da
valori più piccoli, f(x) si avvicina
indefinitamente a l.
DEFINIZIONE
Si scrive
e si dice che l è il limite sinistro di f in x0, se
soddisfa una speciale condizione di limite
applicata agli intorni sinistri di x0.
A differenza della definizione standard di
limite, la disuguaglianza
deve essere soddisfatta nell’intorno
sinistro di x0, .
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19. 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO
ESEMPIO
Consideriamo la funzione
e verifichiamo che
, .
Limite destro
Verifichiamo se |f(x) – 3| < e è soddisfatta
in un intorno destro di 1.
Soddisfatta in .
Limite sinistro
Verifichiamo se |f(x) – 2| < e è soddisfatta
in un intorno sinistro di 1.
Soddisfatta in .
| (2x + 1) – 3 | < e
- e < 2x – 2 < e
| (3x – 1) – 2 | < e
- e < 3x – 3 < e
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