Istituto d’Istruzione Superiore Statale “R.Canudo”                 Liceo Scientifico “R.Canudo”                         Gi...
fonti e documenti elaborati per le lezioni                                funzioniepistemologia nell’apprendimento della m...
Insegnamento della matematica in ItaliaDallunità dItalia alla prima guerra mondialeNel 1867 si vollero introdurre nell’all...
Dopo la seconda guerra mondialeI principali progetti di riforma per la Scuola italiana dal 1945 furono iseguenti:1945Progr...
•   Programmi per gli Istituti Tecnici•   Proposta di Riforma Gonella; Programmi della Consulta DidatticaLa Riforma preved...
Lo spirito innovativo che traspare daiprogrammi liceali e che vede la matematicacome disciplina eminentemente formativa,vi...
Linfluenza bourbakistaL’ondata bourbakista che ha travolto negli anni 1950 il mondo accademico ela Scuola Secondaria ha po...
1959Gli anni ’60 si aprirono con vivaci dibattiti sull’insegnamento dellamatematica. Ci si chiede come gli sconvolgimenti ...
1960Commissione di Dubrovnik (Ragusa) e ProgrammiConseguenza diretta del Convegno parigino fu la costituzione diuna Commis...
1962-1964Vengono proposti programmi fortemente influenzati da unavisione bourbakista della matematica. In particolare, nel...
1966-1967•Programmi di Frascati (proposte)•Ai due Convegni di Frascati, promossi dall’UMI-CIIM,parteciparono numerosi doce...
Programma formulato per il biennio liceale                                      I Annoa) Nozioni elementari sugli insiemi ...
II Annoa) Introduzione intuitiva dei numeri reali, enunciazione delle relativeproprietà.• i polinomi (in una variabile, in...
III Anno• Il piano vettoriale geometrico: combinazioni lineari,coordinate, traslazioni.• Sistemi di equazioni lineari in d...
IV Anno• Equazione cartesiana della circonferenza, dell’ellisse,dell’iperbole e della parabola.• Generalità sulle funzioni...
V Anno• Solidi elementari e loro principali proprietà.• Integrale definito. Primitiva di una funzione. Volumi di solidi el...
Ripensamenti e complementi (a titolo esemplificativo)•Geometrie non euclidee con riferimenti storico-critici sullo svilupp...
Alcune polemicheIn Italia i risultati raggiunti a Royaumont e a Dubrovnik nonlasciarono indifferenti gli insegnanti della ...
Da questo momento in poi nella Scuola italiana è il caos. Delfatto che le “matematiche moderne” generassero nellaScuola it...
Posizione della Scuola Normale Superiore di PisaLa matematica bourbakista sicuramente non può non aver lasciatotracce in u...
Dal Piano Nazionale per lInformatica alle ultime riforme1966-1972Ingresso dell’Informatica nell’istruzione Tecnica1977-197...
L’evoluzione del concetto di limite                e delle sue rappresentazioni•Il primo Autore ricordato nella storia dei...
Formulazione rigorosa di Cauchy«Quanto ai metodi, ho cercato di dar loro tutto il rigore che si esige ingeometria, in modo...
• Cauchy voleva svincolare l’analisi dai procedimenti pocorigorosi (o scorretti) derivanti dall’applicazione teoricamenten...
La Matematica dellinfinitoAccostare Infinito e Matematica può sembrare collegamentoazzardato. LInfinito, come pure il suo ...
In effetti, secondo una visione che risale ai tempi dellanticaGrecia e che si è mantenuta radicata nei secoli fin quasi ai...
Dunque la Matematica va a combaciare, in questaprospettiva, con lAritmetica dei numeri 0, 1, 2, ...: tuttirigorosamente fi...
Contare o confrontare?Dobbiamo riconoscere che lInfinito non è tema completamente ecostituzionalmente estraneo alla Matema...
Questo era il pensiero di Aristotele e, come tutti sappiamo, sitrattava di opinione autorevole, non solo ai tempi dellanti...
Del resto, nei secoli da Aristotele a Gauss, vari spunti avevanointrodotto in Matematica lesigenza di studiare e definire ...
GALILEIMa che si può dire degli infiniti attuali? Negli stessi secoli, mentiautorevoli avevano tentato di avventurarsi in ...
Galileo conclude:io non veggo che ad altra decisione si possa venire che a direinfiniti essere tutti i numeri, infiniti i ...
Dunque, allinfinito possiamo, se non contare, confrontare edecidere se due insiemi sono o no ugualmente numerosi. Lideaè b...
L’albergo di HilbertCè un altro famoso argomento che corrobora questa impressione e vasotto il nome di Albergo di Hilbert....
Gli insiemi di CANTORMa chi diede la svolta fondamentale e decisiva allinteraquestione fu Georg Cantor (1845-1918):egli co...
Ad esempio, osservò che ci sono tanti punti nellintera retta quanti nelsegmento aperto ]0, 1[ (che pure è per altri aspett...
Un altro sorprendente risultato di Cantor collega il quadrato, o anche ilcubo, con il suo lato: luno e laltro hanno lo ste...
Nel Paradiso di CantorNel 1874, Cantor dimostrò che, al contrario di quel che tutti gliesempi precedenti lasciano presagir...
BIBLIOGRAFIA[1] Galilei G., Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a duenuove scienze, Elzeviri, Leida, 1638; Barber...
Intervista a Paolo ZelliniRiportiamo unintervista a Paolo Zellini in occasione delFestival della Matematica di Roma. Paolo...
Professor Zellini, lei sostiene che la matematica è nata percomunicare con gli dei e poi è diventata la lingua per descriv...
La «pietas» ha lasciato il posto alla complessità, che statrasformando tutte le scienze?«Sforzandosi di dare una misura de...
Può spiegare a un non addetto ai lavori che cosa fa unmatematico?«Il matematico risolve dei problemi, ma l’unico modo perc...
Vale a dire? Che cosa non fa?«Non esegue lunghi conteggi e anzi si sforza di trovare elegantiteorie che servano a evitarli...
Lei dice addirittura che le attuali tecniche di calcolo si rifanno allalogica antica. In che senso?«Il calcolo degli ultim...
Perché la matematica è considerata come la disciplinapiù innaturale?«In realtà la matematica è difficile anche per i matem...
Brevi considerazioni sull’infinito       di Paolo Pendenza
L’infinito non è solo un concetto matematico, ma ha sempreispirato scienziati, filosofi e artisti sia perché rappresenta u...
Dunque l’infinito è il principio senza limiti, da cui deriva ogni cosa eche non ha una forma che lo contenga. Viene alla m...
Questo concetto è ripreso da Aristotele, per il quale l’infinito è “ciò al difuori di cui, se si assume come quantità, è s...
Dunque Aristotele ammette solo l’infinito in potenza, che,relativamente alle grandezze fisiche, può essere di due tipi: qu...
Con l’infinito del secondo tipo, invece, un corpo può esserediviso a metà, e poi ancora a metà, superando inpiccolezza qua...
L’infinito aristotelico manca di quella caratteristica fondamentaleche si trova in Anassimandro che è il suo essere illimi...
Bisogna aspettare il XVI secolo affinché l’infinito diventi un simbolopositivo, in quanto espressione dell’infinita bontà ...
Qulche secolo dopo verrà fondata la teoria dei numeri transfiniticon la presenza di un infinito attuale, che Cantor, andan...
In queste parole si sente l’eco di Giordano Bruno, che associa l’ideadi infinito a quella di divino, e che giustifica l’es...
E forse vale la pena osservare che…Il fatto che la ricerca scientifica sia riuscita a riconoscere in modopreciso i limiti ...
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L’Infinito
Linfinito (dal latino finitus, cioè "limitato" con prefissonegativo in-) in filosofia è la qualità di ciò che non ha limit...
E’ utile notare come, sostanzialmente, il concetto di infinitosi sia sempre presentato in tre forme diverse: un infinitofi...
L’INFINITO NELLA CULTURA ROMANTICAA partire dall’ottocento, l’età del romanticismo, all’infinito -identificato con l’Assol...
La filosofia di Hegel costituisce indubbiamente una delle piùoriginali filosofie positive dell’infinito nell’età moderna, ...
La realtà è l’intero, la totalità che supera ogni opposizione: él’infinito, sintesi di tutte le determinazioni finite. Il ...
Neanche la natura, l’arte e la religione sono i luoghiprivilegiati dell’infinito: essi si limitano ad intuirlo, senzaelimi...
Nei secoli da Aristotele a Gauss, vari spunti avevanointrodotto in matematica lesigenza di studiare e definirelinfinito. A...
ISAAC NEWTONNel suo “Tractatus de quadraturacurvarum” Newton considerava lequantità matematiche come descritteda un moto c...
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZIl primo matematico ad utilizzare iltermine funzione in un suo manoscrittodel 1673 fu Leibniz nel...
In seguito la storia del concetto di infinito ha trovato i suoipiù concreti sviluppi con i fondamentali contributi di K.Ga...
Linfinito potenziale è rappresentato da estensioni, oquantità o collezioni o classi senza fine: dato un insiemefinito qual...
Sebbene già introdotto dai paradossi di Zenone (nel V secoloa.C.), l’infinito matematico deve attendere il seicento per un...
Il   calcolo   infinitesimale   si      occupa   di   studiare   ilcomportamento di una curva tramite le nozioni dicontinu...
Il calcolo differenziale si occupa dell’individuazione delle rette tangentiin ogni punto della curva, attraverso lo studio...
Il rapporto: è anche il rapporto tra dy e dx, ovvero il coefficiente angolare della retta tangente. Quindi, data una funzi...
Il calcolo integrale è legato al calcolo delle aree di superfici delimitate dacurve; effettua la somma di infinite parti p...
EVOLUZIONE DEL CONCETTO DI LIMITE
DAlembert         diede         unaformulazione del concetto di limite.Nellarticolo "limite" scritto perlEncyclopédie    c...
E’ però a Cauchy che si deve laprima elaborazione scientifica delconcetto di limite. Egli assunsecome fondamentale il conc...
Cauchy si era impegnato in un sistematico lavoro di ricostruzione rigorosadei concetti fondamentali del calcolo differenzi...
Lobiettivo era quello di descrivere in termini matematicirigorosi il comportamento di una funzione quando il suoargomento ...
DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITEDefinito un intorno di x0 come un qualunque intervallo apertocontenente x0, si dice che:“ il...
La presentazione è stata rielaborata sulle linee deiseguenti documenti trovati in rete:Una sfida del pensiero:http://www.f...
Gli alunni della V ECardascia Serena  Maselli Marina   Masi Cristina  Nettis Davide                   Torna alla copertina
il metodo di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale
Lápeiron di AnassimandroIl termine greco “ápeiron” venne coniato per la prima volta daAnassimandro per definire l’infinito...
Secondo Anassimandro l’apeiron è elemento divino, inquanto forza immortale ed indistruttibile, che abbraccia eregge l’univ...
Anassimandro               Anassimandro nacque nel 611 e morì               intorno al 547 a.C. Fu filosofo e si occupò   ...
Pitagora nacque a Samo nel 570 e morì nel 497. Venne inItalia e fondò una scuola a Crotone che fu ancheun’associazione rel...
I seguaci di Pitagora scoprirono che la diagonale di unquadrato non ha una unità di misura comune con i latidel quadrato; ...
Se i numeri sono insufficienti a descrivere le cose e in particolare i lororapporti si relega allora in posizione marginal...
Eudosso di CnidoEudosso di Cnido nacque nel 408 e morì nel 355 a.C.Matematico e astronomo greco, cui sono attribuiti risul...
Il metodo di esaustione si proponeva di riempire, letteralmente, un’areacon delle figure note tali che la loro somma appro...
Archimede pensa la figura comecostituita da una serie di filipesanti, paralleli tra loro.Immagina poi nel piano una levaPQ...
INTEGRARE = determinare un’areaIn termini moderni si integra generalmente una funzione, ma in antichitàle funzioni non esi...
ArchimedeArchimede nacque a Siracusa nel 287 e morì nel 212 a.C.Studiò ad Alessandria dEgitto e rientrato a Siracusa, si a...
La dimostrazione di ArchimedeLa feconda ricerca di Archimede è considerata il punto culminante dellastoria dei procediment...
Marazia Marica 3 D Magistro Roberto 3 DGiannico Vincenza 3DSorressa Giuseppe 3H                 Torna alla copertina
INFINITO E INFINITESIMO POTENZIALE E ATTUALE
Introduzione in campo          filosofico”C’è un concetto che corrompe e  altera tutti gli altri. Non parlo del  Male, il ...
Sin dai tempi dell’antica Grecia l’infinito èstato al centro del dibattito filosofico, e perprimo fu identificato nel term...
Per Cusano l infinito, l assoluto, in ultima istanza Dio, non émai pienamente attingibile . Il concetto di dotta ignoranza...
Nonostante le teorie di Bruno non fossero spiegabiliscientificamente ma basate su un metodo puramentededuttivo, grazie all...
L’INFINITO COME POTENZA E ATTOGreci: l’infinito è ciò che non è compiuto, o ciò che non halimite.Il termine "infinito" non...
La "legittimità" del concetto di infinito attualeè, sul piano propriamente logico, unaconquista recente dovuta essenzialme...
NUMERI TRANSFINITIIntrodotti da Georg Cantor servono a fornire un importante strumento   di lavoro nella teoria degli insi...
A cura degli alunniPosa Costantino Luca Capozzi Alessandro    Ferrara Anna  Ventaglini Daniela   tutti della IV D alla cop...
L’Infinito
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Funzioni01 - Funzioni.Una relazione f fra due insiemi A e B si dice che è una funzione sesoddisfa le seguenti due condizio...
Esempi (diamo direttamente i graficicartesiani delle relazioni) :1.la relazione f indicata nel grafico a destranon è una f...
02 - Esempi di funzioni numeriche.Con i numeri si fanno principalmente le quattro operazioni e lelevamento a potenza. Non ...
Data una qualunque funzione numerica è di fondamentale importanzadisegnarne il grafico cartesiano. E’ importante osservare...
2.1.   y = 1 , y = 2 , y = -1 , y = -2 , y = 0Si tratta di rette parallele allasse delle x , perché dando alla xqualsiasi ...
2.2.   y=x La funzione y = x rappresenta la retta bisettrice del I edel III quadrante.
2.3.   y = -x La funzione y = -x rappresenta la retta bisettrice del II e del IVquadrante.
2.4.   y = x/2 , y = 2x , y = 3x , y = -2xSono tutte rette che passano per lorigine 0 . Si noti che la"pendenza" della ret...
2.5.   y = mxPossiamo affermare allora che ogni funzione del tipo y = mx , dove m èun numero qualunque, rappresenta una re...
Il fatto che la retta di equazione x = 0 (lasse delle ordinate) non è unafunzione lo si può dedurre anche considerando che...
2.6.    y = mx + pLe funzioni di primo grado (in x ) sono le funzioni più semplici.Esse sono riassumibili dalla espression...
2.7.   y = f(x)In generale, una qualunque funzione ad una sola variabile, è rappresentatada una curva del piano. (vedi fig...
03 - Funzioni a due variabili indipendenti.Le funzioni possono avere anche due variabili indipendenti. In questocaso vengo...
Vediamo come si rappresentano graficamente le funzioni a due variabiliindipendenti.Prendiamo un sistema di assi cartesiani...
.    04 - Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche    Torniamo ad una funzione ad una sola variabile indipendente y = f(...
• Una funzione si dice ingettiva se ogni immagine èimmagine di un solo elemento del dominio, ovvero senon cè nessun elemen...
05 - Invertibilità di una funzione.Una relazione può essere sempre invertita e la relazione inversa si ottieneinvertendo t...
Limmagine speculare può essere considerata anche come una rotazione di180° rispetto alla suddetta bisettrice.Proviamo allo...
06 - Altri esempi di funzione.Seguono alcuni esempi di funzioni numeriche da A a B , dove A e B sonoindicati nei rispettiv...
Ed ora due esempi di inversione di una funzione.
07 - Funzioni composte.Consideriamo ora la funzione y = f(x) da A a B e la funzione z = g(y) da B a CI loro grafici cartes...
A questo punto ci chiediamo : è possibile "andare" da x a z direttamente,senza passare da y ?Basta considerare la funzione...
Facciamo un esempio numerico di funzione composta.Supponiamo che :            y = f(x) corrisponda a y = 2x + 1e          ...
08 - Funzioni analitiche.Le funzioni analitiche si possono classificare in base alla natura dell’espressionenella quale co...
•  Le funzioni Trascendenti: sono le funzioni goniometriche, le esponenziali,   le logaritmiche (ma ci sono altre).Esempio...
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lavoro finale del PON 2011 Un approccio storico-epistemologico all'analisi infinitesimale

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Analisi infinitesimale

  1. 1. Istituto d’Istruzione Superiore Statale “R.Canudo” Liceo Scientifico “R.Canudo” Gioia Del Colle PON 2010-11 C1 “Un approccio storico-epistemologicoall’analisi infinitesimale” Esperto Nicola FilippopnioTutor Stella Loredana LippolisDirigente Scolastico Rocco Fazio
  2. 2. fonti e documenti elaborati per le lezioni funzioniepistemologia nell’apprendimento della matematica documentazione L’INFINITO evoluzione concetto limite Infinito infinito e infinitesimo relazione finale
  3. 3. Insegnamento della matematica in ItaliaDallunità dItalia alla prima guerra mondialeNel 1867 si vollero introdurre nell’allora ginnasio superiore lo studiodella geometria razionale e gli Elementi di Euclide come libro ditesto di geometria; non si pensò che la sistemazione logica euclideadoveva costituire il punto d’arrivo e non il punto di partenza dellostudio della geometria.
  4. 4. Dopo la seconda guerra mondialeI principali progetti di riforma per la Scuola italiana dal 1945 furono iseguenti:1945Programmi dei governi alleati per la Scuola media, i Licei e gli Istitutimagistrali.Nella Scuola media i riferimenti di carattere storico diventano opzionali ed ilprogramma acquista un taglio pratico sperimentale.I programmi per i Licei, invece, non presentano particolari novità e cosìpure i programmi per il ginnasio. Ciò che muta nel ginnasio è l’adozione diuna impostazione metodologica che conduca gradualmente i giovani allapiena consapevolezza dei concetti e delle proprietà.C’è comunque da rimarcare il fatto che le buone indicazioni metodologichenon trovano ampio consenso, né tra i docenti, né nei libri di testo.
  5. 5. • Programmi per gli Istituti Tecnici• Proposta di Riforma Gonella; Programmi della Consulta DidatticaLa Riforma prevedeva un ciclo medio triennale (con tre indirizzi: Classico, Tecnico, Normale) a seguito della Scuola elementare. Ai fini dell’elaborazione del Programma, fu costituita dal Ministero una Consulta Didattica, coordinata da Attilio Frajese. La Consulta stilò un programma secondo il quale « sarebbe opportuno evitare nelle prime classi del liceo l’introduzione di una sfilza di postulati, partendo invece da proprietà evidenti per avviare il processo dimostrativo. Inoltre la Consulta propose un’apertura verso le nuove correnti matematiche che stavano girando in Europa da circa dieci anni, affermano che sarebbe stato opportuno condurre lo studente alla rielaborazione critico-storica di qualche argomento precedentemente trattato, come saggio esemplificativo del processo ipotetico-deduttivo e del valore di rigore della matematica »
  6. 6. Lo spirito innovativo che traspare daiprogrammi liceali e che vede la matematicacome disciplina eminentemente formativa,viene meno nei programmi di Attilio Frajeseper gli Istituti Tecnici, nei quali la matematicaassume una valenza fortemente strumentalee subordinata alle materie professionalid’indirizzo.
  7. 7. Linfluenza bourbakistaL’ondata bourbakista che ha travolto negli anni 1950 il mondo accademico ela Scuola Secondaria ha portato un cambiamento radicale di impostazionemetodologica e di contenuti della didattica. Ciò può essere ad esempioverificato andando ad analizzare la variazione subita nel periodo daiprogrammi ministeriali e le conseguenti polemiche apparse su numeroseriviste di settore.
  8. 8. 1959Gli anni ’60 si aprirono con vivaci dibattiti sull’insegnamento dellamatematica. Ci si chiede come gli sconvolgimenti che lamatematica ha vissuto negli ultimi cinquant’anni, con la rapidatransizione da una visione euclideo-kantiana ad una nuovoassetto assiomatico di matrice hilbertiano-bourbakista, debbanomodificarne l’insegnamento. Nel 1959 a Royaumont, nei pressidi Parigi, si tiene un Convegno promosso dall’OECE, dal titolo Lenuove matematiche, con il preciso obiettivo di fare il puntosull’attuale situazione dell’insegnamento della matematica nellascuola secondaria. Durante una delle conferenze, JeanDieudonné, uno dei fondatori di Bourbaki, lanciò il grido A basEuclid ("abbasso Euclide"), a voler significare l’inattualità dellageometria greca ma, più in generale, di tutto l’insegnamentotradizionale.
  9. 9. 1960Commissione di Dubrovnik (Ragusa) e ProgrammiConseguenza diretta del Convegno parigino fu la costituzione diuna Commissione incaricata di riscrivere i programmi perl’introduzione delle nuove matematiche, epurate dall’ereditàellenica, nei cicli della Scuola secondaria. Nel documento sonosottolineati l’unitarietà ed il superamento di una visione separatadell’algebra e della geometria.1961Convegno UMI -CIIM a Bologna.Costituisce la riposta italiana alle proposte di Dubrovnik(Ragusa). Viene sottolineata l’importanza di un aggiornamentodell’insegnamento della matematica. I partecipanti vengonoinvitati a stilare proposte che tengano presente il carattere diunitarietà che la disciplina ha assunto.
  10. 10. 1962-1964Vengono proposti programmi fortemente influenzati da unavisione bourbakista della matematica. In particolare, nella premessa aiprogrammi proposti a Lido di Camaiore viene rilevata sia l’urgenza dimettere a disposizione degli insegnanti i necessari strumenti bibliografici,sia la necessità di organizzare corsi di aggiornamento da estendersi quantopiù possibile alla totalità dei docenti liceali. I partecipanti al Convegno, dopoampia discussione, si sono trovati concordi sul rilevare:• la funzione formativa della scuola liceale;• la necessità nella scuola liceale di un opportuno equilibrio delle discipline letterarie, artistiche, storiche, filosofiche, scientifiche (matematiche e sperimentali);• l’esigenza che tutte le discipline siano presenti nella scuola liceale come discipline formative e ordinate alla successiva specializzazioneuniversitaria e non come strumento per la sola preparazione tecnica e professionale;• l’esigenza che la scuola liceale dia accesso a tutte le facoltà universitarie; l’esigenza di una adeguazione dei contenuti e dei metodi attraverso un rinnovamento aperto al progresso scientifico e culturale, pedagogico e didattico.
  11. 11. 1966-1967•Programmi di Frascati (proposte)•Ai due Convegni di Frascati, promossi dall’UMI-CIIM,parteciparono numerosi docenti universitari impegnati nellaricerca didattica e docenti di Scuola secondaria appositamenteinvitati. Al termine dei convegni furono formulati due programmi,uno per il Biennio (1966) ed uno per il Triennio dei licei (1967).•I programmi fanno riferimento a due finalità:•formare la mente del giovane introducendolo alla riflessione e alragionamento matematico•fornirgli alcuni semplici, ma fondamentali strumenti dicomprensione e di indagine.
  12. 12. Programma formulato per il biennio liceale I Annoa) Nozioni elementari sugli insiemi e sulle corrispondenze.• richiami sui numeri naturali - quozienti - resto - divisibilità- algoritmoeuclideo e numeri primi.• riesame comparativo delle operazioni con numeri interi (relativi)e razionali ed enunciazione delle relative proprietà formali.• espressioni letterali ed eguaglianze notevoli fra numeri rappresentabili daesse.• esercitazioni non complicate, nelle quali i numeri siano rappresentati ancheda lettere, per richiamare l’aritmetica già studiata e abituare a semplificare leoperazioni razionali.• ordinamento dei numeri interi e razionali - valori assoluti - proprietà formalidelle diseguaglianze - classi di resto• partizione di un insieme e relazioni di equivalenza.b) Il piano come insieme di punti e le rette come suoi sottoinsiemi• proprietà di ordinamento della retta e partizione del piano. Segmenti, figureconvesse: angoli e poligoni.
  13. 13. II Annoa) Introduzione intuitiva dei numeri reali, enunciazione delle relativeproprietà.• i polinomi (in una variabile, introdotti come funzione). Enunciatodel principio di identità dei polinomi - operazioni con polinomi - algoritmoeuclideo della divisione fra polinomi - il caso del divisore di primo grado;il teorema di Ruffini e le sue conseguenze.• generalità sulle equazioni - equazioni di primo grado in unincognita -problemi relativi - frazioni razionali fratte.• coordinate cartesiane sulla retta e sul piano - applicazioni - diagrammi disemplici funzioni.• illustrazione su esempi tratti dalle teorie svolte di qualche strutturasignificativa come quelle di anello, gruppo, corpo ed eventuale reticolo,spazio metrico.b) Congruenze (oppure isometrie) - confronto di segmenti -perpendicolarità - traslazioni, rotazioni e simmetrie - applicazioni aisegmenti, agli angoli, ai triangoli e ai poligoni - circonferenza e cerchio-poligoni regolari - teorema di Talete e teorema di Pitagora.
  14. 14. III Anno• Il piano vettoriale geometrico: combinazioni lineari,coordinate, traslazioni.• Sistemi di equazioni lineari in due incognite.• Equazione cartesiana della retta, sistema di due rette.• I radicali e le potenza con esponente razionale. Equazioni disecondo grado sopra il corpo reale.• Numeri complessi.• Prodotto scalare.• Elementi di trigonometria (seno, coseno, tangente). Teoremadi addizione; teorema di Carnot, teorema dei seni).• Gruppo delle congruenze e delle similitudini del piano.
  15. 15. IV Anno• Equazione cartesiana della circonferenza, dell’ellisse,dell’iperbole e della parabola.• Generalità sulle funzioni reali di variabile reale. Funzionimonotone e loro inverse. Funzione esponenziale e logaritmica.• Progressioni aritmetiche e geometriche.• Lo spazio come insieme di punti. Le rette e i piani comesuoi sottoinsiemi. Incidenza e parallelismo. Semispazi. Spaziovettoriale geometrico. Estensione allo spazio del prodottoscalare. Perpendicolarità. Distanze. Angoli di rette e piani.• Limiti, continuità, derivate. Area delle figure piane: poligoni,cerchio. Lunghezza della circonferenza.
  16. 16. V Anno• Solidi elementari e loro principali proprietà.• Integrale definito. Primitiva di una funzione. Volumi di solidi elementari.Aree delle superfici di rotazione.• Spazio vettoriale astratto. Suoi modelli e applicazioni.• Calcolo combinatorio. Elementi di calcolo delle probabilità e sempliciapplicazioni alla statistica, alla teoria degli errori, ecc...
  17. 17. Ripensamenti e complementi (a titolo esemplificativo)•Geometrie non euclidee con riferimenti storico-critici sullo sviluppo delpensiero matematico. Ampliamento proiettivo dello spazio affine oeuclideo e proprietà grafiche fondamentali.• Proprietà elementari delle coniche. Introduzione alla logica matematica.• Algebra di Boole.• Qualche tratto dell’evoluzione storica del pensiero matematico.• Cenni di teoria dei numeri. Varie forme di costruzione dei numeri reali.• Fondamenti della geometria.• Elementi di calcolo numerico.• Elementi di topologia con applicazioni alle matematiche elementari.• Elementi di geometria analitica dello spazio.• Elementi di teoria dei gruppi. Le trasformazioni elementari e i loro gruppi.• Sistemi di equazioni lineari.• Elementi della teoria dei giochi.• Aspetti algebrici dei problemi risolubili con riga e compasso.• Fondamenti della cinematica classica e della cinematica relativistica.• Equazioni di terzo grado ed equazioni di quarto grado.• Ricerca operativa. Programmazione lineare.
  18. 18. Alcune polemicheIn Italia i risultati raggiunti a Royaumont e a Dubrovnik nonlasciarono indifferenti gli insegnanti della Scuola secondaria. Siintuì subito la necessità di prestare particolare attenzione perevitare che la matematica moderna non si presentasse come uncapitolo nuovo riservato ad alcuni specialisti, ma come unaconcezione nuova di tutto l’edificio matematico. E, in attesa deiprogrammi ufficiali, ci si rese conto della necessità che ogniprofessore cercasse subito di completare le sue conoscenze,riflettesse sui problemi pedagogici che pone l’insegnamento deglielementi della matematica moderna, si compenetrasse della loroestrema importanza e apportasse la propria collaborazione allaricerca delle soluzioni.
  19. 19. Da questo momento in poi nella Scuola italiana è il caos. Delfatto che le “matematiche moderne” generassero nellaScuola italiana uno scompiglio senza precedenti, ci si rendeconto immediatamente sfogliando le riviste dedicate alladidattica della matematica del tempo. Ad esempio, trail 1965 ed il 1967 sulla rivista Archimede, si possono trovareinterminabili serie di articoli che mettono a nudo il disagiodegli insegnanti italiani nei confronti di una matematica chenon hanno i mezzi per concepire e che provano imbarazzonel cercare di trasmettere durante le lezioni.
  20. 20. Posizione della Scuola Normale Superiore di PisaLa matematica bourbakista sicuramente non può non aver lasciatotracce in una istituzione così prestigiosa e ricettiva nei confronti delleavanguardie della ricerca scientifica ma è fuori dubbio che tali traccenon siano rintracciabili nelle prove che di anno in anno hannoselezionato gli aspiranti normalisti. Al massimo, scorrendo i temi diammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa, si possonorintracciare cenni vaghi ai complementi e ripensamenti proposti neiconvegni di Frascati . Si può ritenere che alla Normale fu chiara ladistinzione tra Bourbaki e bourbakisti.
  21. 21. Dal Piano Nazionale per lInformatica alle ultime riforme1966-1972Ingresso dell’Informatica nell’istruzione Tecnica1977-1979Riforma della Scuola media1987avvio del Progetto P.N.I.1989Programmi P.N.I. per il Triennio
  22. 22. L’evoluzione del concetto di limite e delle sue rappresentazioni•Il primo Autore ricordato nella storia dei procedimenti infinitesimali èAnassagora di Clazomene (500?-428 a.C.), autore del celebre frammento:•«Rispetto al piccolo non vi è un ultimo grado di piccolezza, ma vi è sempreun più piccolo, essendo impossibile che ciò che è, cessi di essere perdivisione»(cit. in: Geymonat, 1970, p. 96).•Esso è riferibile ad una successione infinitesima: Anassagora descriveinfatti una quantità che può essere indefinitamente ridotta, senza maiannullarsi.• METODO DI ESAUSTIONE e QUADRATURA DELLA PARABOLA adopera di Archimede.•Trattato sulle “FLUSSIONI” di Newton. Sviluppo del calcolo infinitesimaleparallelamente a Leibniz.
  23. 23. Formulazione rigorosa di Cauchy«Quanto ai metodi, ho cercato di dar loro tutto il rigore che si esige ingeometria, in modo da non ricorrere mai a dei ragionamenti tratti dallageneralità dell’algebra. Ragionamenti di questo tipo, benché ammessiabbastanza comunemente, soprattutto nel passaggio dalle serieconvergenti alle serie divergenti e dalle quantità reali alle espressioniimmaginarie, non possono essere considerati, mi sembra, che comedelle induzioni adatte a far talvolta presentire la verità, ma che pocos’accordano con l’esattezza tanto vantata dellescienze matematiche»(trad. in: Bottazzini, Freguglia & Toti Rigatelli, 1992, p.326).
  24. 24. • Cauchy voleva svincolare l’analisi dai procedimenti pocorigorosi (o scorretti) derivanti dall’applicazione teoricamentenon fondata di metodi di comodo ed avvertiva la necessità difondare tutti i concetti su definizioni precise.• Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) diede lamoderna definizione di limite e di funzione continua: egliaffermò che la funzione y=f(x) è continua in x = c se per ognireale e>0 si può trovare un d in modo che per ogni x tale che|x-c| < d si abbia |f(x)-f(c)| < e.
  25. 25. La Matematica dellinfinitoAccostare Infinito e Matematica può sembrare collegamentoazzardato. LInfinito, come pure il suo corrispondentetemporale, lEterno, è tema adeguato per Religione, Filosofiao Letteratura, ma forse non per la scienza positiva. Meno chemai per la più positiva delle scienze e cioè la Matematica. Delresto, lInfinito (in-definito, in-determinato) è, per sua stessaetimologia e natura, ed anche per la comune opinione, ciò chesfugge ad ogni possibile classificazione e misura, mentre laMatematica tende a (e pretende di) classificare e misurareogni oggetto che esamina. Dunque, lInfinito non è argomentoda Matematica.
  26. 26. In effetti, secondo una visione che risale ai tempi dellanticaGrecia e che si è mantenuta radicata nei secoli fin quasi ainostri giorni, la Matematica è la scienza dei numeri naturali 0,1, 2, ..., semmai allargata a quegli insiemi numerici - gli interi, irazionali - che ai naturali sono direttamente collegati. Pitagorasosteneva che il numero (naturale) è la base di tutto.Oltre duemillenni dopo, Kronecker (1832-1891) ribadiva che gli interipositivi sono i soli numeri creati da Dio a voler significare chetrattare altri contesti non standard, come quello dei reali, eraquasi sacrilego
  27. 27. Dunque la Matematica va a combaciare, in questaprospettiva, con lAritmetica dei numeri 0, 1, 2, ...: tuttirigorosamente finiti per natura e rappresentazione (adifferenza dei reali, che scomodano allineamentidecimali senza limiti e confini).Si conferma così che non cè spazio comune perMatematica e Infinito. Eppure, a smentire tutte questepur ragionevoli premesse, va detto che la Matematicaè stata capace nella sua storia più recente di intuire,accarezzare ed anche misurare lInfinito, fin quasi asognare di dominarlo completamente.
  28. 28. Contare o confrontare?Dobbiamo riconoscere che lInfinito non è tema completamente ecostituzionalmente estraneo alla Matematica. Gli stessi numeri naturali 0,1, 2, ... sono sì ciascuno singolarmente finito, ma costituisconocomplessivamente un insieme infinito. La loro successione si snocciolasenza limitazioni in una strada senza fine. Tuttavia, come già Aristoteleosservava, bisogna esercitare un po di finezza quando si parla di infinitoe distinguere la sua forma potenziale da quella attuale: la prima èumanamente accessibile, la seconda no.In altre parole, possiamo certamente convenire che ci sono successionisenza termine di oggetti matematici, quali i numeri naturali, edabbracciarne con la nostra percezione porzioni comunque grandi (linfinitopotenziale di cui sopra); ma, quanto ad afferrarne la totalità ed adidentificarla completamente come singolo ente (linfinito attuale), ebbene,questo è un altro discorso, inaccessibile ai limiti della nostra menteumana.Per dirla in latino e dare così maggiore autorità alla citazione: infinitumactu non datur.
  29. 29. Questo era il pensiero di Aristotele e, come tutti sappiamo, sitrattava di opinione autorevole, non solo ai tempi dellanticaGrecia ma nei lunghi secoli successivi. Del resto, ancora nel1831 (di nuovo, due millenni dopo Aristotele), colui che ècomunemente riconosciuto il più grande matematico, e cioèGauss, si esprimeva quasi negli stessi termini del suo illustrepredecessore. In una lettera al suo allievo Schumacher,scriveva: io devo protestare veementemente contro lusodellinfinito come qualcosa di definito: questo non è permesso inMatematica. Linfinito è solo un modo di dire, ed intende unlimite cui certi rapporti possono approssimarsi vicino quantovogliono.
  30. 30. Del resto, nei secoli da Aristotele a Gauss, vari spunti avevanointrodotto in Matematica lesigenza di studiare e definire linfinito e,se è per questo, anche il suo inverso matematico (linfinitesimo)nelle loro forme potenziali.Ad esempio, la necessità di garantire adeguate basi teoriche allostudio delle grandezze fisiche (come la velocità, la accelerazione ecosì via) aveva indotto già nel secolo diciassettesimo (e forse ancheprima) Newton, Leibniz ed altri a fondare - con qualcheimprecisione, qualche vaghezza e molte polemiche - il calcolodifferenziale, il relativo studio delle derivate e, appunto, luso degliinfinitesimi.Lobiettivo era quello di descrivere in termini matematici rigorosi ilcomportamento di una funzione quando il suo argomento siavvicina indefinitamente ad un punto, o supera ogni barriera versolinfinito.
  31. 31. GALILEIMa che si può dire degli infiniti attuali? Negli stessi secoli, mentiautorevoli avevano tentato di avventurarsi in questa zonaproibita, avvertendone però le anomalie e concludendo cheforse era il caso di lasciar perdere: è questo il caso di GalileoGalilei e di alcune sue riflessioni contenute nellopera del 1638e note con il nome di Paradosso di Galileo. Galileo considera inumeri naturali 0, 1, 2, 3 ... ed osserva che linsieme (infinito)dei loro quadrati 0, 1, 4, 9, ... è certamente più piccolo e, purtuttavia, contiene tanti elementi quanti erano i numeri dipartenza, perché ad ogni numero corrisponde in modobiunivoco il suo quadrato.
  32. 32. Galileo conclude:io non veggo che ad altra decisione si possa venire che a direinfiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, ... né lamoltitudine de quadrati essere minore di quella di tutti numeri,né questa essere maggiore di quella, ed, in ultimaconclusione, gli attributi di eguale, maggiore e minore nonaver luogo neglinfiniti ma solo nelle quantità terminate, edaggiunge: queste son di quelle difficoltà che derivano daldiscorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intornoallinfinito, dandogli quegli attributi che noi diamo alle cosefinite e terminate; il che penso che sia inconveniente.Al di là di questa conclusione, le riflessioni di Galileocontengono, magari solo in germe, suggerimenti stimolanti sucome potremmo pretendere di misurare linfinito
  33. 33. Dunque, allinfinito possiamo, se non contare, confrontare edecidere se due insiemi sono o no ugualmente numerosi. Lideaè brillante e sottile ed induce alla tentazione di approfondire.Pur tuttavia, cè una obiezione che sorge abbastanzaspontaneamente: ne vale realmente la pena?In effetti, si potrebbe sostenere che gli insiemi infiniti sono tutti,appunto, infiniti, e come tali hanno forzatamente lo stessonumero (infinito) di elementi. È dunque inutile soffermarsi inquesto genere di confronti, linfinito appiattisce tutto.Lesempio dei numeri e dei quadrati (i secondi apparentementemolto minori dei primi) sembra confermarlo.
  34. 34. L’albergo di HilbertCè un altro famoso argomento che corrobora questa impressione e vasotto il nome di Albergo di Hilbert. Si tratta, infatti, di un esempio cheDavid Hilbert (1862-1943) adoperava per divulgare presso i non addetti ailavori le sottigliezze di questa analisi dellinfinito.Lo ricordiamo brevemente. Gli alberghi di questo mondo sono tutti finitiSupponiamo allora di avere un albergo completo, in cui ogni stanza N hagià il suo ospite N. Se ad unora della notte arriva un nuovo cliente incerca di sistemazione, il portiere dovrà dichiarargli con rammarico di nonpoterlo ospitare ed indirizzarlo ad altro ricovero. Ma ammettiamo per unattimo di volare nellalbergo del Paradiso : lalbergo è ovviamente infinito,come si addice a tutto quel che è trascendente. Gli ospiti che lo popolanosono anchessi infiniti e lo riempiono completamente. Abbiamo dunque ilproblema di trovare un posto. "Non preoccupatevi" ci direbbe San Pietro"sistemiamo:lospite 0 nella camera 1,lospite 1 nella camera 2, ...lospite N nella camera N+1, ...e vi liberiamo la camera 0".Il tutto è lecito perché lalbergo è infinito
  35. 35. Gli insiemi di CANTORMa chi diede la svolta fondamentale e decisiva allinteraquestione fu Georg Cantor (1845-1918):egli considerò variecoppie di sottoinsiemi infiniti della retta reale R (e non solo)cercando possibili biiezioni.
  36. 36. Ad esempio, osservò che ci sono tanti punti nellintera retta quanti nelsegmento aperto ]0, 1[ (che pure è per altri aspetti enormemente piùpiccolo.Altri casi furono esplorati da Cantor.Ne elenchiamo alcuni particolarmente significativi.Linsieme N dei naturali 0, 1, 2, ... si potrebbe valutare ad occhio come lametà dellinsieme Z di tutti gli interi ...-2, -1, 0, 1, 2, ...; ma sono infinitientrambi, ed in effetti è possibile determinare una corrispondenza biunivocaf che li collega. Basta osservare che i naturali, a loro volta, si suddividono ametà tra pari 0, 2, 4, ... e dispari 1, 3, 5, ... e dunque trasformare gli interinon negativi nei primi e quelli negativi nei secondi.Lo stesso può dirsi di naturali N e razionali Q: tra i due insiemi cè unacorrispondenza biunivoca. Questo fu lingegnoso argomento con cui Cantorprovò nel 1895, in un articolo sui Mathematische Annalen, che i naturalisono tanti quanti i razionali (in realtà Cantor aveva già raggiunto questaconclusione nel 1874 sul Journal für Mathematik.
  37. 37. Un altro sorprendente risultato di Cantor collega il quadrato, o anche ilcubo, con il suo lato: luno e laltro hanno lo stesso "numero" di punti.Il teorema fu provato nel 1877 e suscitò incredulità e smarrimento tra imatematici dellepoca. Lo stesso Cantor ne rimase in un certo sensosorpreso e lo commentò in una lettera a Dedekind con le parole: "lo vedo, ma non lo credo".La ragione di tanto stupore è facile da capire: il risultato sembra confonderecurve, superfici e volumi e dunque enti geometrici di dimensione 1, 2 e 3abolendo ogni distinzione al riguardo e, in definitiva, minando le basi stessedella Geometria. Ma si trattava (e si tratta) solo di unimpressionesuperficiale, comprensibile in tempi che non avevano ancora sviluppatocompiutamente il concetto di spazio topologico.Come Dedekind osservò lucidamente, le biiezioni di Cantor sono - appunto- solo biiezioni e non hanno né pretendono di avere quel requisito dicontinuità che, se sussistesse, andrebbe a contraddire tante assodatecertezze. Segmento, quadrato, cubo hanno lo stesso numero di punti, manon sono per questo tra loro omeomorfi.
  38. 38. Nel Paradiso di CantorNel 1874, Cantor dimostrò che, al contrario di quel che tutti gliesempi precedenti lasciano presagire, non tutti gli infiniti sono uguali cisono più possibili modi di essere "infinito".In particolare, i punti della retta reale R non sono tanti quanti i numerinaturali N (diagonalizzazione). Non cè corrispondenza biunivocapossibile tra i due insiemi. In verità Cantor aveva già intuito una primadimostrazione di questa sorprendente novità già nel 1873 ma avevaatteso il parere e i suggerimenti di Dedekind per pubblicarla.Visto che gli insiemi infiniti non sono tutti in corrispondenza biunivocatra loro, ha senso classificarli proprio tramite il "numero" dei loroelementi. A questo fine, Cantor sviluppò la teoria dei numeri cardinali.
  39. 39. BIBLIOGRAFIA[1] Galilei G., Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a duenuove scienze, Elzeviri, Leida, 1638; Barbera, Firenze, 1898.[2] Leonesi S., Toffalori C., Il problema del continuo, Archimede,num. 2, 2003.
  40. 40. Intervista a Paolo ZelliniRiportiamo unintervista a Paolo Zellini in occasione delFestival della Matematica di Roma. Paolo Zellini, professoredi Analisi Numerica presso l’Università di Roma 2 e docentepresso il CNR di Roma, è autore del fortunato Breve storiadellinfinito, considerato da Calvino una delle migliori letturemai fatte.
  41. 41. Professor Zellini, lei sostiene che la matematica è nata percomunicare con gli dei e poi è diventata la lingua per descrivereil cosmo. E oggi?«Dopo che gli dèi si sono eclissati, la matematica è stata a lungovicino all’unico Dio. Agostino diceva che numero e Sapienza sono lastessa cosa e oggi Benedetto XVI si sforza di spiegare che il Logoscristiano deve comprendere quel sapere matematico che era statoparte integrante del logos greco. In epoca moderna la matematica haereditato dalla filosofia e dalla teologia diverse questioni, comel’esistenza dell’infinito e il principio di continuità nella catenadell’essere. Per decifrare simili questioni i matematici hanno messo incampo strumenti di ineguagliabile potenza, ma perdendo la pietas cheaveva spinto Eratostene a fare un’offerta agli dèi per aver imparato araddoppiare un cubo».
  42. 42. La «pietas» ha lasciato il posto alla complessità, che statrasformando tutte le scienze?«Sforzandosi di dare una misura della complessità deiprocessi di calcolo, la matematica si è proposta di risponderea domande fondamentali, come quella su cosa può o non puòfare il calcolatore. Sorprendentemente, ci sono problemi disemplice formulazione, ma con un’esplosione combinatoriache li rende praticamente insolubili. Dopo i risultati di Gödelsull’incompletezza dell’aritmetica, si toccano di nuovo i limitidella scienza».
  43. 43. Può spiegare a un non addetto ai lavori che cosa fa unmatematico?«Il matematico risolve dei problemi, ma l’unico modo percapire di quali problemi si tratta e con quali strumenti cerca dirisolverli sarebbe quello di occuparsene. Si capisce lamatematica solo “facendola”. Si può comunque dire che cosanon fa».
  44. 44. Vale a dire? Che cosa non fa?«Non esegue lunghi conteggi e anzi si sforza di trovare elegantiteorie che servano a evitarli».Dalla filosofia all’Ipod la matematica permea tutto: sono inumeri l’occulto motore della globalizzazione e del progresso?«La matematica, in effetti, entra in ogni cosa: dai suoi teoremidipendono l’elaborazione di immagini, il volo degli aerei, l’uso deimotori di ricerca, i modelli dell’economia. Parlare di progresso ètuttavia un po’ rischioso. La matematica è potente, ma non è dettoche accresca un vero progresso. Molti scienziati, quando siaccorgevano di contribuire a grandi rivoluzioni, hanno avvertito unasorta di catastrofe imminente. Norbert Wiener, uno dei padri dellacibernetica, aveva la sensazione di difendere un’enclave dirazionalità contro un universo caotico e sapeva che ogni scopertapoteva costringere a complicate rincorse per fronteggiarne i possibilieffetti».
  45. 45. Lei dice addirittura che le attuali tecniche di calcolo si rifanno allalogica antica. In che senso?«Il calcolo degli ultimi decenni si è sviluppato intorno a due pilastri: leequazioni della fisica matematica e il concetto di algoritmo. Gli algoritmiservono, tra l’altro, a tradurre le equazioni in puro calcolo aritmeticoeseguibile da un calcolatore. Ecco perché questi possono assomigliare aprocedure elementari del calcolo antico: in entrambi entrano in gioco leoperazioni fondamentali del calcolo aritmetico, che stanno a loro volta allabase della “computatio” algebrica moderna e dell’analisi matematica. Questiatomi di calcolo sono elementari, ma non altrettanto sono i problemi chepossono sollevare, se ci si chiede quale sia il grado di efficienza necessariaperché siano eseguibili in modo automatico. La somiglianza tra algoritmiantichi e moderni è comunque sorprendente. In molti metodi che servono arisolvere complessi sistemi di equazioni si ripetono gli stessi schemi dellamatematica indiana, cinese, greca e mesopotamica. Tra questi, occupa unposto preminente lo gnomone quadrato, la figura a squadra che aggiunta otolta a un quadrato genera un altro quadrato, più grande o più piccolo. In unprolungamento algebrico di questa figura consistono essenzialmente imetodi per risolvere un’equazione usati dai matematici arabi e poi da Viètee da Newton. Da questi metodi, in buona parte, è dipeso lo sviluppodell’algebra e dell’analisi».
  46. 46. Perché la matematica è considerata come la disciplinapiù innaturale?«In realtà la matematica è difficile anche per i matematici:basti pensare ai problemi irrisolti da lustri o da secoli e alladifficoltà di pensare per mezzo di manipolazioni di simboli,che sono già l’abbreviazione di concetti complessi».(Fonte: La Stampa)
  47. 47. Brevi considerazioni sull’infinito di Paolo Pendenza
  48. 48. L’infinito non è solo un concetto matematico, ma ha sempreispirato scienziati, filosofi e artisti sia perché rappresenta unasfida per l’intelletto, sia perché nel corso dei secoli gli sonostati attribuiti i più diversi significati simbolici.Già Anassimandro, nel VI secolo a.C., pone come origine delmondo l’apéiron, un’unica realtà originaria infinita, o piùletteralmente non-limitata, da cui hanno origine le coppie diopposti che governano il mondo: caldo e freddo, asciutto eumido, e così via. L’infinito, dunque, è un principio, ancheperché, avvisa Aristotele,“ogni cosa o è principio o deriva da un principio: ma dell’infinitonon c’è principio, ché sarebbe il suo limite.”
  49. 49. Dunque l’infinito è il principio senza limiti, da cui deriva ogni cosa eche non ha una forma che lo contenga. Viene alla menteil chaos che, secondo la tradizione orfica, rappresenta il principio ditutto; letteralmente chaos significa “spalancato”; il principio sarebbeun’apertura, uno spazio cavo e buio, un qualcosa di indistinto, unsenza-forma. L’infinito rappresenta allora ciò che non è generatoma che può generare qualunque forma, proprio perché esso non haforma: è indefinito, è una potenzialità assoluta.Per i pitagorici, ci testimonia Filolao, la comprensione dell’universoavviene grazie al numero:“è la natura del numero che fa conoscere e insegna ad ognuno tuttociò che è dubbio e ignoto”.Senza la natura del numero, che è una quantità finita, “tutte le cosesarebbero illimitate e oscure e incomprensibili”: l’infinito assumeuna connotazione negativa ed è associato alla mancanza diconoscenza.
  50. 50. Questo concetto è ripreso da Aristotele, per il quale l’infinito è “ciò al difuori di cui, se si assume come quantità, è sempre possibile assumerequalche altra cosa”; quindi è ciò che non è completo e che, perdefinizione, non può essere completabile. Il concetto di infinito sioppone, così, a quello di intero “al di fuori di cui non c’è nulla”, e che,perciò, è perfetto. Aristotele si pone, così, in contrasto conAnassimandro, il cui infinito è immutabile ed eterno, e quindi ha tutte lecaratteristiche della divinità.Aristotele, inoltre, distingue l’infinito in atto da quello in potenza; solo ilsecondo esiste: possiamo pensare all’infinito solo come a qualcosa checontinuamente diviene ma che mai raggiunge il suo essere infinito. Unesempio di infinito in potenza è la serie dei numeri naturali, chepossono essere pensati sempre più grandi di ogni quantità definita, mail termine ultimo non viene mai raggiunto. Un esempio moderno,invece, di infinito in atto è l’insieme di tutti i numeri razionali (cioè ditutte le frazioni) compresi fra 0 e 1: dati due numeri razionali, ne esistesempre un terzo che si trova fra i primi due (ad esempio la loro media);quindi fra due numeri razionali sono compresi sempre infiniti altrinumeri razionali.
  51. 51. Dunque Aristotele ammette solo l’infinito in potenza, che,relativamente alle grandezze fisiche, può essere di due tipi: quelloche si ottiene raddoppiando ripetutamente la grandezza di un corpoe quello che si ottiene dimezzando ripetutamente la grandezza di uncorpo. L’infinito del primo tipo non è ammissibile, perché siotterrebbe un ente materiale infinito che non può esistere né puòessere immaginato:“Se, difatti, si chiama corpo ciò che è limitato da una superficie, nonpotrebbe esserci corpo infinito né come intelligibile né comesensibile”;inoltre, poiché ogni elemento ha caratteristiche sue proprie (adesempio l’aria è fredda e il fuoco è caldo), se un elemento fosseinfinito distruggerebbe le caratteristiche che con esso contrastano,ma ciò, evidentemente, non è possibile.
  52. 52. Con l’infinito del secondo tipo, invece, un corpo può esserediviso a metà, e poi ancora a metà, superando inpiccolezza qualunque grandezza, ma senza mairaggiungere un limite ultimo. Quindi l’infinito applicato allegrandezze può essere solo un infinito per divisione, uninfinito comunque limitato da una forma.
  53. 53. L’infinito aristotelico manca di quella caratteristica fondamentaleche si trova in Anassimandro che è il suo essere illimitato:“come la materia così anche l’infinito è contenuto all’interno e laforma lo contiene”.Sembra che Aristotele, non potendo negare l’infinito senzacadere in paradossi - come un tempo che abbia inizio e fine ograndezze che non siano divisibili o numeri che non possonoessere superati – lo accetta cercando di “addomesticarlo”, dieliminare la sua carica distruttrice ponendolo all’interno di unaforma e permettendogli di essere solo in potenza. Anche da ciòderiva l’universo aristotelico formato da sfere concentriche alcentro delle quali si trova la Terra: un grande contenitore, uncosmo ordinato, finito e, soprattutto, limitato dal cielo estremodelle stelle fisse.
  54. 54. Bisogna aspettare il XVI secolo affinché l’infinito diventi un simbolopositivo, in quanto espressione dell’infinita bontà del creatore.Troviamo, così Thomas Digges, che nel 1576 scrive che il cielodelle stelle fisse “si estende verso l’alto in altezza sferica infinita”, eal “potere e maestà infiniti [di Dio] conviene solamente questo luogoinfinito”.E Giordano Bruno sostiene che “così si magnifica l’eccellenza diDio, si manifesta la grandezza dell’imperio suo: non si glorifica inuno, ma in soli innumerevoli: non in una terra, un mondo, ma induecento mila, dico in infiniti.”
  55. 55. Qulche secolo dopo verrà fondata la teoria dei numeri transfiniticon la presenza di un infinito attuale, che Cantor, andando siacontro la tradizione aristotelica che contro alcuni suoi illustricolleghi contemporanei, sosteneva potesse essere reale.Una sua dimostrazione dell’esistenza di un infinito attuale,partedal concetto di Dio e arriva, in primo luogo, alla conclusione dellapossibilità di unTransfinitum ordinatum traendola dall’altissimaperfezione della natura divina; deduce quindi dalla sua potenza ebontà infinita la necessità di una creazione effettivamentecompiuta di un Transfinitum.
  56. 56. In queste parole si sente l’eco di Giordano Bruno, che associa l’ideadi infinito a quella di divino, e che giustifica l’esistenza di un enteinfinito con la necessità di trovare nella creazione qualcosa cherispecchi “l’eccellenza di Dio”.L’infinito ha ispirato significati contrastanti ed estremi, è stato invocatocome simbolo del divino o come espressione di una inaccettabileinconoscibilità; oggi, tuttavia, in un periodo in cui le discussioni suifondamenti sembrano appartenere a un passato superato e lagiustificazione dei risultati scientifici si basa pragmaticamente sul fattoche essi funzionino, l’infinito è diventato un concetto che ha unanatura puramente quantitativa.
  57. 57. E forse vale la pena osservare che…Il fatto che la ricerca scientifica sia riuscita a riconoscere in modopreciso i limiti delle sue possibilità, ci sembra una prestazione dellospirito umano, più grande della tecnicizzazione del nostro mondo,tanto spesso ammirata.Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noifacciamo col nostro intelletto finito intorno a glinfiniti, dandogli quelliattributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che siainconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza,minorità ed egualità non convenghino a glinfiniti, de i quali non si puòdire, uno esser maggiore o minore o eguale allaltro.
  58. 58. Torna alla copertina
  59. 59. L’Infinito
  60. 60. Linfinito (dal latino finitus, cioè "limitato" con prefissonegativo in-) in filosofia è la qualità di ciò che non ha limiti oche non può avere una conclusione perché appuntoinfinito, senza-fine.Moltissimi pensatori, filosofi e scienziati hanno da sempreavuto a che fare con il concetto di infinito, in modi e formetra loro diverse, in contesti diversi e con significati diversi,ma tra loro intrecciati.
  61. 61. E’ utile notare come, sostanzialmente, il concetto di infinitosi sia sempre presentato in tre forme diverse: un infinitofisico (relativo, ad esempio, alle dimensioni dell’universo),un infinito metafisico (relativo, ad esempio, a Dio) ed uninfinito matematico (relativo, ad esempio, ai numeri). Laposizione che si può assumere di fronte a questi tipi diinfinito non può essere intermedia: o è positiva, o è negativa(vale a dire: o l’infinito esiste, in una di queste tre forme,oppure non esiste).
  62. 62. L’INFINITO NELLA CULTURA ROMANTICAA partire dall’ottocento, l’età del romanticismo, all’infinito -identificato con l’Assoluto - viene definitivamente accordatauna posizione centrale in molti sistemi filosofici, ma anchenell’immaginario collettivo.Tipica dell’uomo romantico è la SEHNSUCHT, ovvero quella‘tensione all’infinito’ caratterizzata da uno stato diirrequietezza e incessante sforzo nel ricercare qualcosa diirraggiungibile e illusorio, come illusoria è la convinzione dipoter superare le barriere del finito, la caducità delle cose.
  63. 63. La filosofia di Hegel costituisce indubbiamente una delle piùoriginali filosofie positive dell’infinito nell’età moderna, distampo romantico. La realtà è un organismo unitario di cuitutto ciò che esiste è manifestazione e momentonecessario, perciò tale organismo coincide con l’Infinito ocon l’Assoluto, mentre le sue manifestazioni corrispondonoal finito.
  64. 64. La realtà è l’intero, la totalità che supera ogni opposizione: él’infinito, sintesi di tutte le determinazioni finite. Il problemapiù grosso, per Hegel, è quello di superare la scissione tra ilfinito e l’infinito, che sembra caratterizzare la realtà. Nella‘Fenomenologia dello Spirito’ la coscienza diventa infeliceperché é consapevole della limitatezza dell’individuo, delfinito, rispetto all’eternità e all’infinità del divino. L’uomo sisente nulla dinnanzi all’assoluto, ed è convintodell’impossibilità di superare questa scissione.
  65. 65. Neanche la natura, l’arte e la religione sono i luoghiprivilegiati dell’infinito: essi si limitano ad intuirlo, senzaeliminarne il carattere trascendente.E’ solo nella filosofia, territorio della ragione dialettica, che sipuò raggiungere e comprendere l’Assoluto, ricostruendo -attraverso il movimento dialettico - il processo direalizzazione della ragione stessa nella realtà (e quindi anchedell’Assoluto, in cui è compresente il divino e il razionale).
  66. 66. Nei secoli da Aristotele a Gauss, vari spunti avevanointrodotto in matematica lesigenza di studiare e definirelinfinito. Ad esempio, la necessità di garantire adeguate basiteoriche allo studio delle grandezze fisiche aveva indotto giànel secolo diciassettesimo (e forse anche prima) Newton,Leibniz ed altri a fondare - con qualche imprecisione,qualche vaghezza e molte polemiche - il calcolodifferenziale, il relativo studio delle derivate e, appunto,luso degli infinitesimi.
  67. 67. ISAAC NEWTONNel suo “Tractatus de quadraturacurvarum” Newton considerava lequantità matematiche come descritteda un moto continuo, e le lineegenerate dal moto continuo dei punti.Secondo lui questa genesi aveva luogonella natura delle cose, riconoscibilenel moto dei corpi. 1642 - 1727
  68. 68. GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZIl primo matematico ad utilizzare iltermine funzione in un suo manoscrittodel 1673 fu Leibniz nella sua opera “Novamethodus promaximise et minimis Itemquetangentibus, qua nec irrationalesquantitates moratur”(Nuovo metodo per trovare i massimi e iminimi, e anche le tangenti, non ostacolatodalle quantità irrazionali).Con questo termine indicava una quantità 1646 - 1716che varia da punto a punto in una curva.
  69. 69. In seguito la storia del concetto di infinito ha trovato i suoipiù concreti sviluppi con i fondamentali contributi di K.Gauss, K. Weierstrass, G. Cantor, J. Dedekind, L. Brouwer, eD. Hilbert.E’ opportuno, però, prima di introdurre l’analisiinfinitesimale, distinguere l’infinito potenziale e l’infinitoattuale.
  70. 70. Linfinito potenziale è rappresentato da estensioni, oquantità o collezioni o classi senza fine: dato un insiemefinito qualunque di elementi, ce ne è sempre uno diverso. Inumeri naturali sono, nel giudizio unanime, una collezionepotenzialmente infinita.Se invece ammettiamo che i numeri naturali siano una seriefinita di numeri, il processo del calcolo volgerà a untermine.Quindi non esiste una potenziale infinità di numeri e perciòl’infinità è in atto.
  71. 71. Sebbene già introdotto dai paradossi di Zenone (nel V secoloa.C.), l’infinito matematico deve attendere il seicento per unasua elaborazione più sistematica. L’analisi infinitesimale,dovuta soprattutto a Leibniz e a Newton, nasce dallanecessità di trovare una soluzione a problemi qualil’individuazione delle caratteristiche di una curva, il metododi tracciare le tangenti nei suoi punti, il calcolo di aree evolumi, la determinazione della velocità nello studio delmoto dei corpi.
  72. 72. Il calcolo infinitesimale si occupa di studiare ilcomportamento di una curva tramite le nozioni dicontinuità e limite. I “compiti” sono divisi tra il calcolodifferenziale e il calcolo integrale.Entrambe, però, riconducono all’operazione fondamentale,ovvero il calcolo del limite.
  73. 73. Il calcolo differenziale si occupa dell’individuazione delle rette tangentiin ogni punto della curva, attraverso lo studio della derivata. Perottenere una definizione valida in generale, ci si avvale del concetto dilimite. Data la funzione y = f(x), sia A un punto di ascissa x = cappartenente alla sua curva rappresentativa.Si ha: A(c; f(c)). Se l’ascissa c delpunto A viene incrementata di unvalore h positivo arbitrariamente“piccolo “, che Newton chiamavaevanescente, in corrispondenza, lafunzione passa dal valore f(c) alvalore f(c + h).
  74. 74. Il rapporto: è anche il rapporto tra dy e dx, ovvero il coefficiente angolare della retta tangente. Quindi, data una funzione f(x), definita in un intervallo [a,b], si chiama derivata di f(x) nel punto c interno all’intervallo il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale:
  75. 75. Il calcolo integrale è legato al calcolo delle aree di superfici delimitate dacurve; effettua la somma di infinite parti piccole quanto si vuole (partiinfinitesime). Considerata una funzione y = f(x), il cui grafico sia quello rappresentato in figura, il calcolo dell’area della superficie delimitata dai segmenti AB, AC, BD e dall’arco CD di curva si ottiene dividendo il segmento AB in parti uguali, e sommando i rettangoli ottenuti. Più sono le n parti in cui viene diviso il segmento AB, più la somma delle aree deirettangoli si avvicinerà all’area del trapezoide. L’area del trapezoideallora è data dalla somma di infiniti termini infinitesimi che siindica con: ∫f(x)dx.
  76. 76. EVOLUZIONE DEL CONCETTO DI LIMITE
  77. 77. DAlembert diede unaformulazione del concetto di limite.Nellarticolo "limite" scritto perlEncyclopédie chiamava unaquantità limite di una secondaquantità (variabile) se questaseconda quantità si avvicinava allaprima così tanto che la differenzafosse inferiore a qualsiasi quantitàdata (senza effettivamentecoincidere con essa). Limprecisionedi questa definizione la rese JEAN BAPTISTE LE RONDinaccettabile per i suoi D’ALEMBERT (1717 – 1783)contemporanei.
  78. 78. E’ però a Cauchy che si deve laprima elaborazione scientifica delconcetto di limite. Egli assunsecome fondamentale il concetto dilimite di DAlembert, ma gli conferìuna maggiore precisione:"Quando i valori successivi attribuitia una variabile si avvicinanoindefinitamente a un valore fissatocosì che finiscono con il differire da AUGUSTINE LOUISquesto per una differenza piccola CAUCHY(1789 – 1857)quanto si vuole, questultimo vienedetto il limite di tutti gli altri".
  79. 79. Cauchy si era impegnato in un sistematico lavoro di ricostruzione rigorosadei concetti fondamentali del calcolo differenziale.Il progetto culturale di Cauchy appare chiaro: egli voleva svincolare l’analisidai procedimenti poco rigorosi (e talvolta nettamente scorretti) derivantidall’applicazione teoricamente non fondata di metodi di comodo. La Théoriedes fonctions analytiques era stata una delle opere più studiate dal giovaneCauchy. Se egli ora concordava con Lagrange sulla necessità di fondare inmodo rigoroso il calcolo infinitesimale, senza limitarsi a giustificarne i metodicon il successo nelle applicazioni o il ricorso a considerazioni intuitive, neprendeva tuttavia apertamente le distanze quando si trattava di individuarnei fondamenti: gli argomenti di natura algebrica erano liquidati come “delleinduzioni adatte a far talvolta presentire la verità, ma che poco s’accordano conl’esattezza tanto vantata delle scienze matematiche”.
  80. 80. Lobiettivo era quello di descrivere in termini matematicirigorosi il comportamento di una funzione quando il suoargomento si avvicina indefinitamente ad un punto, o superaogni barriera verso linfinito. Proprio allepoca di Gauss, loperadi Cauchy e Weierstrass aveva prodotto (neanche due secolidopo Newton) una adeguata risposta al problema e una rigorosaintroduzione teorica a questo argomento così delicato.
  81. 81. DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITEDefinito un intorno di x0 come un qualunque intervallo apertocontenente x0, si dice che:“ il limite, per x che tende a x0, di f(x) è uguale a l ” se e solo se perogni intorno di l, esiste un intorno di x0 tale che, per ogni xappartenente a questo intorno (escluso tutt’al più x0), f(x)appartenga all’intorno di l fissato inizialmente.Questa espressione è dovuta al lavoro di Heine, basatocomunque sugli studi di Cauchy e Weierstrass.
  82. 82. La presentazione è stata rielaborata sulle linee deiseguenti documenti trovati in rete:Una sfida del pensiero:http://www.freewebs.com/moebiusring/infinito3.html1)L’Evoluzione del concetto di infinito;2)L’infinito nella cultura romantica;3)L’infinito nel sistema filosofico di Hegel;La matematica dell’infinito:http://matematica-old.unibocconi.it/infinito/lettera48.pdfLo sviluppo storico del concetto di funzione:http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/FunzioniDistribuzioni.pdf
  83. 83. Gli alunni della V ECardascia Serena Maselli Marina Masi Cristina Nettis Davide Torna alla copertina
  84. 84. il metodo di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale
  85. 85. Lápeiron di AnassimandroIl termine greco “ápeiron” venne coniato per la prima volta daAnassimandro per definire l’infinito. Questo termine nonriassume pienamente il concetto di infinito ma indica qualcosache “non ha limite”, cioè “illimitato”. Anassimandro diceva:“principio non è né l’acqua né un altro dei cosiddetti elementi,ma una certa natura infinita”. L’apeiron non va concepitocome una miscela dei vari elementi, ma piuttosto come unamateria in cui gli stessi non sono ancora distinti e che perciò èanche indefinita.
  86. 86. Secondo Anassimandro l’apeiron è elemento divino, inquanto forza immortale ed indistruttibile, che abbraccia eregge l’universo. Dall’infinito si generano realtà tra lorodifferenti, addirittura contrarie, le quali si alternano sullascena del mondo, si tolgono spazio e si limitanoreciprocamente, pagando infine la loro “colpa” , ovvero illimite, causa delle contrapposizioni.
  87. 87. Anassimandro Anassimandro nacque nel 611 e morì intorno al 547 a.C. Fu filosofo e si occupò anche di politica. Per primo tra i filosofi greci, scrisse un libro di filosofia naturale, denominato in tempi posteriori “Della natura”. Sinteressò anche di astronomia e geografia e il suo mappamondo ebbe grande importanza: concepisce la Terra non più come una superficie piatta ma come un cilindro che si libra nel mezzo del mondo, privo di ogni moto per la sua equidistanza dagli estremi. Gli esseri viventi sono per Anassimandro originati dal mare e luomo stesso deriva da altri viventi più semplici.
  88. 88. Pitagora nacque a Samo nel 570 e morì nel 497. Venne inItalia e fondò una scuola a Crotone che fu ancheun’associazione religiosa e politica e i suoi insegnamenti sidiffusero in tutta l’Italia meridionale.Ai Pitagorici si deve la creazione della matematica comescienza; riconobbero il numero come sostanza di tutte lecose. Di conseguenza le opposizioni tra le cose si riduconoad opposizioni tra numeri: dispari e pari. Il dispari è un’entità limitata, perfetta e simbolo del bene. Il pari è un’entità illimitata, imperfetta e simbolo del male.
  89. 89. I seguaci di Pitagora scoprirono che la diagonale di unquadrato non ha una unità di misura comune con i latidel quadrato; perciò la radice quadrata di due non puòessere espressa come rapporto di due numeri interi.Questa scoperta fa crollare la costruzione sviluppatadai pitagorici che poneva la scienza del numero allabase di tutto.
  90. 90. Se i numeri sono insufficienti a descrivere le cose e in particolare i lororapporti si relega allora in posizione marginale la teoria dei numeri e siva sviluppando una teoria che permetta di operare direttamente suirapporti.Da questo momento in poi tutti i risultati sulle grandezze verrannoespressi sempre in termini di rapporto o proporzione. In altre parole, lamisura delle grandezze, tra le quali figurano le aree delle figure pianee i volumi dei solidi, non verrà espressa con un numero maconfrontando la grandezza in questione con altre grandezze simili, inmodo da stabilire una rete di relazioni quantitative.Da ciò deriva il metodo di esaustione di Eudosso di Cnido.
  91. 91. Eudosso di CnidoEudosso di Cnido nacque nel 408 e morì nel 355 a.C.Matematico e astronomo greco, cui sono attribuiti risultati di grandeimportanza, fondamentali per il costituirsi della matematica come scienza. Erastudioso e studente di Platone. Secondo Archimede, egli sviluppò la teoria delle proporzioni che consentì di superare le difficoltà che si incontrano per trattare i numeri irrazionali; questa teoria sarà ripresa negli Elementi di Euclide e in sostanza consente di trattare rigorosamente i numeri reali pensati come rapporti di grandezze.
  92. 92. Il metodo di esaustione si proponeva di riempire, letteralmente, un’areacon delle figure note tali che la loro somma approssimasse l’areacercata.È un procedimento logico, simile alla quadratura, adoperato percalcolare larea di figure geometriche aventi contorni curvilinei (comedel caso del cerchio, o dellarea sottesa da un ramo di parabola e larelativa corda).“PRINCIPIO DI ARCHIMEDE”Date due aree disuguali èpossibile, aggiungendo a sestesso leccesso di cui lamaggiore supera la minore,superare ogni area finita data.
  93. 93. Archimede pensa la figura comecostituita da una serie di filipesanti, paralleli tra loro.Immagina poi nel piano una levaPQ, il cui fulcro sia un puntoconveniente O di PQ, e fa credereche se quei fili venissero trasportatiparallelamente ed applicati in P, essicol loro peso farebbero equilibrioad un’altra figura S’, di area nota,aventeil baricentro in Q . Dalla leggedi equilibrio della leva che egli, nellasua prima opera,aveva scoperto edimostrato, Archimedericava il pesoapplicato in P, e quindi l’area S .La parte euristica del procedimento , per le nostre abitudini mentali di oggi ,sta nell’avere sostituito la serie dei rettangoli approssimanti S, di cuiArchimede avrebbe fatto uso in una dimostrazione rigorosa , mediante unaserie di fili paralleli che costituiscono , per così dire , dei rettangoliinfinitesimi .
  94. 94. INTEGRARE = determinare un’areaIn termini moderni si integra generalmente una funzione, ma in antichitàle funzioni non esistevano e i problemi di integrazione erano di naturageometrica. Geometria e funzioni, apparentemente concetti distaccati,hanno generato ed adottato lo stesso metodo di analisi.Il procedimento adottato nell’antichità parte da un sistema di analisiinfinitesimale chiamato metodo di esaustione.Archimede fu il primo ad affrontare problemi geometrici applicandonozioni di meccanica e di statica, riuscendo addirittura a costruire unmetodo che anticipava di ben diciotto secoli il calcolo integrale.
  95. 95. ArchimedeArchimede nacque a Siracusa nel 287 e morì nel 212 a.C.Studiò ad Alessandria dEgitto e rientrato a Siracusa, si applicò ai suoi studi: lamatematica, la fisica, la geometria, l’ottica e l’astronomia.Il suo nome è legato a fondamentali studi dell’idrostatica (equilibrio dei liquidi) esoprattutto sul calcolo delle aree e dei volumi.Il padre Fidia molto stupito dall’intelligenza del figlio, decise di presentarlo al reGerone II, che lo tenne sempre in grande considerazione. Nel 212 a.C. le truppe romane saccheggiarono la città di Siracusa; un soldato entrò in casa di Archimede e gli chiese chi fosse, ma Archimede, preso dal suo lavoro, gli rispose male, quindi il soldato sentendosi offeso lo uccise. Archimede volle che sulla sua tomba fosse scolpita una sfera racchiusa da un cilindro (che indicava il rapporto fra il volume dei due solidi).
  96. 96. La dimostrazione di ArchimedeLa feconda ricerca di Archimede è considerata il punto culminante dellastoria dei procedimenti infinitesimali nell’Antichità: Archimede calcola aree,volumi, baricentri con tecniche spesso geniali, straordinariamente prossimeall’integrazione. Il ruolo essenziale del metodo di esaustione nel contestodella ricerca geometrica archimedea è quello di garantire i risultatiinizialmente intuiti con tali metodi empirici, ovvero di conferire il definitivorigore alle loro dimostrazioni.“Quel metodo, a differenza del processo di limite, non è un metodo analiticodi ricerca che conduca alla scoperta, ma fornisce solo il mezzo perdimostrare, per assurdo, un risultato che si suppone già noto”Questo aspetto è centrale dal punto di vista metodologico: il metodo diesaustione non ha mai valore euristico (relativo alla ricerca).Mediante esso Archimede non giunge ad un risultato, ma dimostra una tesiche deve essere già supposta, intuita mediante procedimenti diversi.
  97. 97. Marazia Marica 3 D Magistro Roberto 3 DGiannico Vincenza 3DSorressa Giuseppe 3H Torna alla copertina
  98. 98. INFINITO E INFINITESIMO POTENZIALE E ATTUALE
  99. 99. Introduzione in campo filosofico”C’è un concetto che corrompe e altera tutti gli altri. Non parlo del Male, il cui limitato impero è l’Etica; parlo dell’Infinito.” J.L. Borges
  100. 100. Sin dai tempi dell’antica Grecia l’infinito èstato al centro del dibattito filosofico, e perprimo fu identificato nel termine ”apeiron”che vuol dire letteralmente ”senza limiti”, ecioè ”illimitato”. Col passare degli anni,questo concetto è stato interpretato inmodi differenti da una serie di filosofi-matematici che hanno contribuito acostruire l’immagine che ognuno di noi hadell’infinito: dalla sconvolgente scopertapitagorica dei numeri irrazionali alle arditeteorizzazioni medievali, alla furia mistica diBruno e di Cusano, dalle innovazioniscandalose di Cartesio, sino all’abbaglianteparadiso di Cantor.
  101. 101. Per Cusano l infinito, l assoluto, in ultima istanza Dio, non émai pienamente attingibile . Il concetto di dotta ignoranza vuol proprio sottolineare l inattendibilità da parte dell uomo dell assoluto: il rapporto tra la nostra conoscenza e Dio (l assoluto) é lo stesso che si instaura tra un poligono inscritto e la circonferenza alla quale é inscritto: il poligono e lacirconferenza , per definizione, non saranno mai uguali tuttavia man mano che si moltiplicano i lati del poligono ci si avvicina sempre di più alla circonferenza; così l uomo può avvicinarsi sempre di più a Dio senza mai raggiungerlo definitivamente.
  102. 102. Nonostante le teorie di Bruno non fossero spiegabiliscientificamente ma basate su un metodo puramentededuttivo, grazie alle scoperte tecnologiche dellaRivoluzione astronomica, si sono dimostrate più chefondate mettendo le basi per ulteriori ricerche.Secondo Bruno, luniverso è costituito da uninfinità dimondi, i quali possono essere abitati come la Terra.Mentre i singoli mondi sono in perpetuo divenire,luniverso nel suo complesso è invece immoto ed eterno,non avendo nulla al di fuori di sé e racchiudendo essostesso tutto lessere. Dio, in quanto infinito, può creareesclusivamente infinità. Lintelletto delluomo mira, conformemente allessenzadelluniverso, alla conoscenza dellinfinito. Linfinità è il centro attorno al quale questoruota, senza peraltro poterlo mai raggiungere. Il moto dellintelletto è perciòsostenuto da un "eroico furore", che conduce ad una progressiva elevazione dellaconoscenza e che culmina nellunità col divino. Come ciascun mondo delluniverso èal contempo centro e circonferenza, così ogni uomo è strumento dellunico infinitoche lo condiziona, ma che è a sua volta condizionato dalla realizzazione allinfinito diciascuna potenzialità umana.
  103. 103. L’INFINITO COME POTENZA E ATTOGreci: l’infinito è ciò che non è compiuto, o ciò che non halimite.Il termine "infinito" non designa una realtà ma un processo, sichiama infinito quello che ha sempre qualcosa oltre a sé(concezione "operativistica" dellinfinito).Infinito potenziale è qualche cosa che noi costruiamoindefinitamente, ma non che esiste già come sistema dato ditutte le cose.Infinito attuale è qualche cosa realmente esistente cometale in atto, introdotto successivamente nel neoplatonismocon il concetto di iperuranio e poi entrato a far parte dellatradizione teologica e filosofica cristiana.
  104. 104. La "legittimità" del concetto di infinito attualeè, sul piano propriamente logico, unaconquista recente dovuta essenzialmente ailavori svolti da Dedekind, il quale nel 1872 dàla definizione di insieme infinito, e da Cantor,il quale qualche anno dopo si accorge chenon tutti gli insiemi infiniti sono dello stessotipo, introducendo la nozione di numerotransfinito.
  105. 105. NUMERI TRANSFINITIIntrodotti da Georg Cantor servono a fornire un importante strumento di lavoro nella teoria degli insiemi.Come per i numeri finiti vi sono due modi in cui la nozione di numero può essere estesa ai numeri transfiniti: come numeri ordinali e come numeri cardinali.• Il più piccolo numero ordinale transfinito è ω.• Il primo numero cardinale transfinito è Aleph-zero, cioè la cardinalità (numero degli elementi di un insieme) dellinsieme infinito dei numeri interi.• Il successivo numero cardinale è Aleph-uno, .Lipotesi del continuo afferma che non esistono numeri cardinali intermedi tra Aleph-zero e la cardinalità del continuo, cioè la cardinalità dellinsieme dei numeri reali: questo equivale ad affermare che Aleph-uno esprime la cardinalità dellinsieme dei numeri reali.
  106. 106. A cura degli alunniPosa Costantino Luca Capozzi Alessandro Ferrara Anna Ventaglini Daniela tutti della IV D alla copertina Torna
  107. 107. L’Infinito
  108. 108. Torna alla copertina
  109. 109. Funzioni01 - Funzioni.Una relazione f fra due insiemi A e B si dice che è una funzione sesoddisfa le seguenti due condizioni : 1) D(f) = A (cioè il dominio della relazione deve essere uguale al primoinsieme A); 2) Per ogni elemento di A esiste uno ed un solo elemento di B che glicorrisponde (cioè ogni elemento del dominio deve avere un solo elementocorrispondente, detto anche immagine, nel codominio)Le funzioni sono quindi dei particolari tipi di relazione, cioè una funzione èuna relazione mentre una relazione non è in generale una funzione. Peresserlo, una relazione, deve soddisfare le due condizioni precedenti.
  110. 110. Esempi (diamo direttamente i graficicartesiani delle relazioni) :1.la relazione f indicata nel grafico a destranon è una funzione perché il dominio di fnon è uguale ad A .2.anche in questo caso la relazione f non èuna funzione perchélelemento c di A ha due immagini.3.la relazione f è in questo caso unafunzione.Le funzioni sono fra gli oggetti piùimportanti di tutta la matematica (così comedella fisica).
  111. 111. 02 - Esempi di funzioni numeriche.Con i numeri si fanno principalmente le quattro operazioni e lelevamento a potenza. Non sempre,però, queste operazioni hanno un risultato.Non hanno risultato le seguenti operazioni : - la divisione di qualunque numero per 0 cioè : 1 / 0 , 2/ 0 , 10 / 0 , -1 / 0 , ... , 0 / 0 - la potenza : 0 °mentre bisogna ricordare che ogni numero (eccetto 0 ) elevato alla 0 dà 1 , cioè : 1 ° = 3 ° = 10 ° = (-4) ° = ... = 1 .Si ricordi anche che x ¹ = x .Possiamo affermare che tutti i numeri, da meno infinito a più infinito, cioè l’insieme dei numerirazionali e irrazionali, costituiscono l’insieme dei numeri reali. Essi si possono porre su di una rettaorientata (dotata di una freccia).Una generica funzione numerica si indica con la scrittura : y = f(x)dove x è la variabile indipendente, appartenente al dominio della funzione, ed y è la variabiledipendente, appartenente al codominio della funzione.Il simbolo f(x) significa che se si dà un valore alla x , facendo i calcoli indicati dalla funzione stessa,si ottiene un valore (uno solo !) della y .Una funzione può "contenere" altre funzioni quali la radice quadrata, il seno, il coseno, la tangente, illogaritmo, lesponenziale ecc.
  112. 112. Data una qualunque funzione numerica è di fondamentale importanzadisegnarne il grafico cartesiano. E’ importante osservare che lafunzione e il suo grafico sono due cose distinte. Quindi non bisognaconfondere la funzione con il suo grafico.La funzione, così come è scritta in termini simbolici, ci "dice" moltopoco. Il suo grafico, invece, ci dà in maniera visiva e sintetica tutte leinformazioni di cui abbiamo bisogno.Ecco allora che lo studio di funzione, il disegnarne il grafico,costituisce uno dei capitoli centrali di tutta la matematica. Riportiamoqui come esempio i grafici di alcuni funzioni numeriche (li riportiamotutti su uno stesso sistema di riferimento).
  113. 113. 2.1. y = 1 , y = 2 , y = -1 , y = -2 , y = 0Si tratta di rette parallele allasse delle x , perché dando alla xqualsiasi valore, si ottiene sempre una y costante. Si noti chela funzione y = 0 coincide con lasse delle x .
  114. 114. 2.2. y=x La funzione y = x rappresenta la retta bisettrice del I edel III quadrante.
  115. 115. 2.3. y = -x La funzione y = -x rappresenta la retta bisettrice del II e del IVquadrante.
  116. 116. 2.4. y = x/2 , y = 2x , y = 3x , y = -2xSono tutte rette che passano per lorigine 0 . Si noti che la"pendenza" della retta y = 3x è maggiore di quella della retta y = 2x.In generale, la pendenza è maggiore quanto più è grande in valoreassoluto (cioè privato del segno) il numero (coefficiente) chemoltiplica la x .
  117. 117. 2.5. y = mxPossiamo affermare allora che ogni funzione del tipo y = mx , dove m èun numero qualunque, rappresenta una retta che passa per lorigine.Viceversa, ogni retta che passa per lorigine è rappresentata da unafunzione del tipo y = mx . Questa seconda affermazione è vera conuna sola eccezione :- la retta che coincide con lasse delle y non è rappresentabile da unafunzione di quel tipo, anzi non è neppure una funzione, perché alvalore x = 0 corrispondono infinite immagini (per cui cade uno dei duepresupposti perché una relazione sia una funzione).
  118. 118. Il fatto che la retta di equazione x = 0 (lasse delle ordinate) non è unafunzione lo si può dedurre anche considerando che la retta y = mxha una pendenza che cresce al crescere del valore di m . Per valori dim sempre più grandi, la retta tenderà a diventare verticale senza peròmai esserlo veramente. Solo se m avesse valore infinito, allora laretta diverrebbe esattamente verticale, quindi coincidente con lassedelle y , ma linfinito non è un numero, per cui nessuna funzione deltipo y = mx può rappresentare una tale retta (verticale).(per semplicità abbiamo disegnato solo le semirette del I quadrante).
  119. 119. 2.6. y = mx + pLe funzioni di primo grado (in x ) sono le funzioni più semplici.Esse sono riassumibili dalla espressione y = mx + p dove m e psono due numeri reali qualunque.Per esempio : y = 2x + 1 y = 3x - 2Orbene, tutte le funzioni del tipo y = mx + p sono rappresentateda una retta.
  120. 120. 2.7. y = f(x)In generale, una qualunque funzione ad una sola variabile, è rappresentatada una curva del piano. (vedi figura a destra)Le rette viste sopra, in matematica, sono allora delle curve, anche se "dritte".
  121. 121. 03 - Funzioni a due variabili indipendenti.Le funzioni possono avere anche due variabili indipendenti. In questocaso vengono simbolicamente indicate dallespressione : z = f(x, y)dove le variabili x ed y , le variabili indipendenti appunto, possonoassumere valori qualunque mentre la variabile dipendente z è ottenutadi conseguenza calcolando lespressione matematica che caratterizzala funzione stessa.
  122. 122. Vediamo come si rappresentano graficamente le funzioni a due variabiliindipendenti.Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali a tre dimensioni 0xyz .Diamo poi valori a caso alle variabili indipendenti x ed y . Otterremo diversipunti del piano 0xy . Facciamo questo in modo da ottenere una certa regione(dominio) del piano 0xy .Abbiamo così individuato un insieme di coppie ordinate (x, y) . Adesso, perciascuna di queste coppie calcoliamo il valore z = f(x, y) . Otteniamo quindi,per ogni coppia (x, y) un numero z . Immaginiamo allora che questo numeroz sia la "quota" di ciascuna coppia (x, y) . Otterremo allora una superficiedello spazio.Ogni funzione del tipo z = f(x, y) , a due variabili numeriche indipendenti,rappresenta così una superficie dello spazio.
  123. 123. . 04 - Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Torniamo ad una funzione ad una sola variabile indipendente y = f(x) che rappresenta una curva nel piano 0xy . Consideriamo che il dominio di questa funzione sia linsieme A . Supponiamo che B sia un insieme di valori della y . Supponiamo che A ed B siano due intervalli (segmenti limitati). Si hanno allora alcuni casi di particolare importanza. •
  124. 124. • Una funzione si dice ingettiva se ogni immagine èimmagine di un solo elemento del dominio, ovvero senon cè nessun elemento del codominio che èimmagine di più elementi del dominio;•Una funzione si dice surgettiva se il codominiodella funzione coincide col secondo insieme (nel nostrocaso B, cioè f(A)=B );• Una funzione si dice biunivoca se ècontemporaneamente ingettiva e surgettiva.
  125. 125. 05 - Invertibilità di una funzione.Una relazione può essere sempre invertita e la relazione inversa si ottieneinvertendo tutte le coppie ordinate che fanno parte della relazione. Si ha allorache il dominio della relazione diventa il codominio della relazione inversa eviceversa.Cioè se la coppia (a, b) appartiene alla relazione R, la coppia (b,a) apparterràalla relazione inversa R‾¹.Graficamente, per "disegnare" la relazione inversa, basta fare limmaginespeculare del grafico della relazione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante :
  126. 126. Limmagine speculare può essere considerata anche come una rotazione di180° rispetto alla suddetta bisettrice.Proviamo allora ad invertire una funzione. Supponiamo che la funzione f siapiù a 1. Facendo limmagine speculare del suo grafico rispetto alla bisettricedel I e III quadrante si ha però una sorpresa "spiacevole" :la funzione che si ottiene, f ‾ ¹ , non è più una funzione. Ad un elemento deldominio corrispondono più elementi del codominio. Cade così uno deipresupposti perché una relazione sia una funzione.Proviamo adesso ad invertire una funzione biunivoca. In questo caso siottiene una funzione.Abbiamo così scoperto un teorema della massima importanza inmatematica : "Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca".
  127. 127. 06 - Altri esempi di funzione.Seguono alcuni esempi di funzioni numeriche da A a B , dove A e B sonoindicati nei rispettivi grafici.
  128. 128. Ed ora due esempi di inversione di una funzione.
  129. 129. 07 - Funzioni composte.Consideriamo ora la funzione y = f(x) da A a B e la funzione z = g(y) da B a CI loro grafici cartesiani, per esempio, siano :Se rappresentiamo le due funzioni con i diagrammi di Venn otteniamo: (si noti che la rappresentazione con i diagrammi di Venn fornisce un altro interessante e "suggestivo" modo di visualizzare una funzione).
  130. 130. A questo punto ci chiediamo : è possibile "andare" da x a z direttamente,senza passare da y ?Basta considerare la funzione composta (detta anche funzione di funzione) : z = g(f(x))che si ottiene sostituendo alla y di g(y) il suo valore f(x) :La funzione composta quindi fornisce una "scorciatoia" matematica che legadue funzioni, facendoci andare da x direttamente a z .Con i diagrammi di Venn si ha :
  131. 131. Facciamo un esempio numerico di funzione composta.Supponiamo che : y = f(x) corrisponda a y = 2x + 1e z = g(y) corrisponda a z = y ² .La funzione composta z = g(f(x)) sarà allora : z = (2x + 1) ²che si ottiene semplicemente sostituendo alla y di g(y) la f(x).
  132. 132. 08 - Funzioni analitiche.Le funzioni analitiche si possono classificare in base alla natura dell’espressionenella quale compare la variabile indipendente x. ;Si hanno•Le funzioni algebriche che possono essere: a) razionali: se le operazioni che si devono eseguire sulla x sono solo quelle diaddizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza di x adesponente intero. Le razionali si distinguono, a loro volta in: a.1. intere se la x non sta al denominatore e se l’elevamento a potenza di x non ha esponente negativo; Esempio: a.2. fratte se la x sta al denominatore oppure l’elevamento a potenza di x ha esponente negativo.Esempio: b) Irrazionali: se si deve eseguire sulla variabile indipendente x l’operazione di estrazione di radice o l’elevamento a potenza di x con esponente frazionario (oltre alle abituali operazione). Anche le funzioni irrazionali possono essere intere e fratte.Esempio:
  133. 133. • Le funzioni Trascendenti: sono le funzioni goniometriche, le esponenziali, le logaritmiche (ma ci sono altre).Esempio: Prospetto delle funzioni. intere razionali fratte algebriche intere funzioni analitiche irrazionali fratte esponenziali trascendenti logaritmiche goniometriche Torna alla copertina

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