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Project work marina cappucci
1. PROJECT WORK
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L’INTEGRALE INDEFINITO
“Non so come il mondo potrà giudicarmi ma a me sembra soltanto
di essere un bambino che gioca sulla spiaggia, e di essermi
divertito a trovare ogni tanto un sasso o una conchiglia più bella
del solito, mentre l'oceano della verità giaceva insondato davanti
a me.
Isaac Newton
Prof.ssa Marina Cappucci - Corso Zacademy
2014
2. FINALITÀ DELLO STUDIO DELLA
MATEMATICA
Lo studio della matematica, nel corso dei 5 anni di studi di scuola
secondaria di secondo grado, contribuisce alla formazione culturale
dell’alunno sviluppando quelle abilità richieste dalle figure
professionali, in particolare la disciplina aiuta lo studente a
• Consolidare le capacità logiche, di analisi e di sintesi
• Utilizzare processi di astrazione
• Esercitare a ragionare sia in modo deduttivo che induttivo
• Utilizzare un metodo di studio razionale e autonomo
• Utilizzare e comprendere formalismi matematici
• Applicare in contesti diversi le conoscenze acquisite
• Acquisire nuove tecniche e utilizzarle consapevolmente.
• Saper utilizzare un linguaggio tecnico appropriato.
• Matematizzare la realtà, quindi analizzarla, interpretarla e
sistematizzarla in modelli utilizzando le tecniche acquisite.
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3. In classe: prospettive per il futuro
E DOPO LA SECONDARIA?
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4. MATERIALI E CONTESTO
QUINTO ANNO DI SCUOLA
SECONDARIA DI
SECONDO GRADO
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5. BREVE STORIA DELLE ORIGINI DELL'ANALISI MATEMATICA
Verso la fine del XVII secolo 2 grandissimi scienziati, il tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1717) e
l'inglese Isaac Newton (1642-1727), si contesero il primato di chi avesse dato origine all'analisi
infinitesimale.
In realtà, le vere origini di questa importantissima branca della matematica sono molto più antiche: i
ragionamenti di Zenone d'Elea(molto celebre per il paradosso di Achille e la tartaruga), le dimostrazioni
di Eudosso, i calcoli di Archimede e, successivamente, i lavori di Cavalieri, Galilei, Torricelli, Pascal e
Fermat furono assolutamente determinanti per innestare le condizioni necessarie allo sviluppo di
questa nuova disciplina, che inizialmente, prese la denominazione di Calcolo sublime.
Newton aveva introdotto il metodo delle flussioni per risolvere questioni di natura fisica, come il
problema della velocità istantanea, mentre Liebniz aveva utilizzato il metodo delle differenze
infinitesime per risolvere questioni specificamente matematiche, come il problema della tangente a una
curva.
Dall'altro lato, Liebniz, aveva pubblicato il suo primo studio sul calcolo infinitesimale negli Acta
eruditorum del 1684 e impostato il suo lavoro in maniera completamente originale: parlava di valori che
erano "infinitamente piccoli", non pari a 0, ma comunque più piccoli di qualunque numero dato.
Liebniz, così come Newton, non riuscì tuttavia a spiegare il suo metodo di calcolo in maniera
soddisfacente, tanto che i suoi amici, leggendo il suo primo scritto, commentarono: "Un enigma più che
una spiegazione".
Dunque, in questa prima fase, i 2 scienziati si scambiarono lettere e segnali di reciproca stima.
La situazione cambiò profondamente quando, nel 1695, Newton venne a conoscenza che in Europa si
attribuiva il merito dell'invenzione del calcolo differenziale a Liebniz: da quel momento in poi i rapporti
tra i 2 scienziati si interruppero violentemente.
È necessario specificare che certamente il lavoro di Newton era antecedente a quello di Liebniz, tuttavia
l'inglese, come detto in precedenza, non pubblicò nulla.
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6. In effetti, ancora oggi, l'approccio alla differenziazione di Leibniz, ossia un approccio
geometrico, è quello generalmente adottato nei corsi di calcolo infinitesimale in tutto il mondo
e la notazione da egli utilizzata per la derivata è usata spesso anche oggi, mentre la notazione e
l'approccio in termini di moto fisico preferiti da Newton, vengono di rado utilizzati al di fuori
della fisica.
Si instaurò così una scottante questione, che mutò in aspra polemica: Liebniz era arrivato ad
introdurre l'analisi infinitesimale autonomamente, oppure, aveva saputo del nuovo calcolo che
Newton stava sviluppando e quindi aveva copiato? Liebniz respinse sempre le aspre accuse
imputategli, rivendicando con fermezza l'autonomia delle proprie ricerche, anche se non mise
mai in discussione il fatto che Newton avesse inventato per primo l'analisi infinitesimale.
La polemica continuò persino dopo la morte di Leibniz, comportando come conseguenza
l'interruzione, per diversi decenni, dello scambio scientifico tra la scuola inglese e quella
continentale.
Oggi non ha senso parlare del "vero padre" del calcolo infinitesimale: entrambi diedero
contributi fondamentali, che vennero ripresi e implementati dagli analisti successivi.
Inoltre, bisogna osservare che in queste prime formulazioni del calcolo, e in generale per tutto il
Settecento, era la derivazione ad esser considerata l'operazione principale, mentre
l'integrazione non era vista come un'operazione indipendente, bensì solo come l'inversa della
derivazione.
Il posto in secondo piano assunto dall'integrazione durò ben poco, visto che Augustin Louis
Cauchy e George Bernard Riemann svilupparono il concetto di integrale definito (indipendente
dalla derivazione), importantissimo per calcolare lunghezze, aree e volumi.
Un'ulteriore significativa generalizzazione della teoria dell'integrazione venne da Henry
Lebesgue, il quale nel 1902 propose una nuova definizione di integrale, la quale può essere
considerata l'estensione della definizione di integrale fornita da Riemann.
Da questo momento, l'integrazione assunse la stessa importanza della derivazione, se non
superiore. 6
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7. 7
QUESITO
Che si risolve con il
calcolo Integrale
La Matematica nella realtà quotidiana
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10. In classe – LAVORO DOCENTE -STUDENTI
Leggiamo insieme la presentazione in PPT
dell’Integrale indefinito dalle Risorse per
l’insegnante
Estrapoliamo le definizioni:
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12. Esempio di integrale indefinito
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Lavoro docente - studenti
Osservazione dei grafici di semplici funzioni e delle loro derivate con Derive
13. Osservazione: le operazioni di derivazione e integrazione sono l’una
l’inversa dell’altra (a meno di una costante)
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TEOREMA
14. Dal grafico di una funzione a quello
della sua derivata
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16. Notazione (da wikipedia)
Il simbolo che rappresenta l'integrale nella notazione matematica
fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo.
Il simbolo si basa sul carattere ſ (esse lunga), lettera che Leibniz
utilizzava come iniziale della parola summa, in latino somma,
poiché questi considerava l'integrale come una somma infinita
di addendi infinitesimali. Il simbolo di integrale nella letteratura
(da sinistra) inglese, tedesca e russa. Esistono leggere differenze
nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse:
il simbolo inglese è piegato verso destra, quello tedesco è dritto
mentre la variante russa è piegata verso sinistra.
ED ORA UN PO’ DI ESERCIZI…
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27. Valore aggiunto
- Modalità collaborativa
- Possibilità di utilizzo di materiale da più testi, anche
di anni diversi
- Utilizzo contemporaneo di cenni storici, teoria,
esercizi, software matematico, tutto “a portata di
mano” senza dover correre in laboratorio o in
biblioteca per accedere a questa o a quella risorsa
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