1. Мысли вслух
(о некоторых методических «хитростях»)
При решении неравенств методом интервалов полезно учитывать, что
если функция y = f( x ) монотонно возрастает на J, то выражение
f( a ) − f( b ) имеет тот же знак, что и выражение a − b . Например,
выражение t 2 − t 1
имеет тот же знак, что и выражение t 2 − t 1. (Именно из первого следует
второе, так как обратное утверждение может оказаться ложным, ввиду
того, что t 2 и t 1 вместе или порознь могут не принадлежать области
определения функции y = f( x ) ).
Если же функция y = f( x ) монотонно возрастает (или убывает) и
определена при всех действительных значениях х, то неравенства
f( t 2 )〉f( t 1 ) и t 2 〉t( t 2 〈t 1 ) оказываются равносильными.
1
Выражение a − a c при a 〉1 имеет тот же знак, что и ( b − c ) , и
b
противоположный, если 0〈a 〈1. Оба этих случая можно объединить в
один:
выражения a b − a c и ( а − 1)( b − c ) имеют одинаковый знак.
Аналогично выражения loga b и ( а − 1)( b − 1) также имеют один знак.
При этом нельзя не учитывать, что замена множителя loga b
выражением ( а − 1)( b − 1) приводит к расширению области определения.
Пример. Решите неравенство
(9 x 2 −3 x +1
− 730 ⋅ 3x
2
−3 x
)
+ 81 ⋅ ( log 2 ( x − 3) + log 0,5 ( x 2 − 2x − 1) )
≥ 0.
x 2 − 5 x − 5 − 10x + 31
Решение.
(9 x 2 −3 x +1
− 730 ⋅ 3x
2
−3 x
)
+ 81 ⋅ ( log 2 ( x − 3) + log 0,5 ( x 2 − 2x − 1) )
≥ 0. ⇔
x 2 − 5 x − 5 − 10x + 31
⇔
(9 ⋅ 3 ( 2 x 2 −3 x ) 2
)
− 730 ⋅ 3 x −3 x + 81 ⋅ ( log 2 ( x − 3) + log 0,5 ( x 2 − 2x − 1) )
≥ 0. ⇔
( x 2 − 10 x + 25 ) − 5 x − 5 + 6

9 ⋅  3x
2
−3 x 1
( )
−  ⋅ 3x −3 x − 81 ⋅ ( x − 3 − x 2 + 2x + 1)
2
⇔ 
9
≥ 0 ∧ ( x 〉3) ∧ ( x 2 − 2x − 1〉 0) ⇔
x − 5 − 5⋅ x − 5 + 6
2

2. ⇔
(3 x 2 −3 x
)( 2
)
− 3−2 3x −3 x − 34 ⋅ ( x 2 − 3x + 2)
≤ 0 ∧ ( x 〉3) ∧ ( x − 1) − 2〉 0 ). ⇔
(
2
( x − 5 − 2) ⋅ ( x − 5 − 3)
⇔
(x− 3x + 2 ) ⋅ ( x 2 − 3x − 4) ⋅ ( x 2 − 3x + 2)
2
≤ 0 ∧ ( x 〉3). ⇔
( x − 5 − 2) ⋅ ( x − 5 + 2) ⋅ ( x − 5 − 3) ⋅ ( x − 5 + 3)
x 2 − 3x − 4
⇔ ≤ 0 ∧ ( x 〉3). ⇔
(x −5 2 2
)(
−2 ⋅ x −5 −3
2 2
)
( x + 1) ⋅ ( x − 4) x −4
≤ 0 ∧ ( x 〉3). ⇔ ≤ 0 ∧ ( x 〉3). ⇔
( x − 7 ) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 8) ⋅ ( x − 2) ( x − 7 ) ⋅ ( x − 8)
⇔ ( x = 4 ) ∨ ( x 〉 3 ) ∧ ( ( x − 4 ) ⋅ ( x − 7 ) ⋅ ( x − 8 ) 〈 0 ) ). ⇔
(
⇔ ( x = 4) ∨ ( ( x 〉3) ∧ ( ( x 〈 4 ) ∨ ( 7〈 x 〈8) ) ). ⇔ ( x = 4 ) ∨( ( 3〈 x 〈 4 ) ∨ ( 7〈 x 〈8) ). ⇔
⇔ ( 3〈 x ≤ 4) ∨ ( 7〈 x 〈8).
Ответ: ( 3;4] ∪ ( 7;8).
Замечание. Необходимо обратить внимание учащихся на прием, который
используется в процессе решения этой задачи:
x − a ≥ 0. ⇔ ( x − a ) ⋅ ( x + a ) ≥ 0. ⇔ x 2 − a 2 ≥ 0. ⇔ ( x − a ) ⋅ ( x + a ) ≥ 0.
Можно также иметь ввиду, что x + a − x + b ≥ 0. ⇔
(
⇔( x + a − x + b ) ⋅ x + a + x + b ≥ 0. ⇔ )
⇔ ( x + a ) − ( x + b ) ≥ 0. ⇔ a − b ≥ 0.