1. Мысли вслух
(о некоторых методических хитростях)
Рассмотрим еще один способ доказательства теоремы синусов.
Дано: ∆АВС, ω (О; R) – окружность, описанная вокруг ∆АВС.
∠А = α , ∠В = β , ∠С = γ .
Доказать: AC = BC = AB = 2 ⋅ R
sinβ sinα sinγ
Доказательство:
1) Проведем радиусы OB и OD окружности (OD ⊥ BC, OD∩BC=E).
BE=EC, так как ∆BOC – равнобедренный, OE – высота, проведенная к
его основанию, а значит, и медиана. ∠ BAC = ∠ BOE = α (так как они
опираются на равные дуги и ∠ BAC вписанный, он равен половине
дуги, на которую опирается, а ∠ BOE –
центральный и половина дуги BC заключена А
между его сторонами).
2) В ∆BOE BE = BO∙sin ∠ BOE , то есть . О
BC BC
= R ⋅ sin α . Это значит, что = 2R .
2 sin α
3) Аналогично доказывается и то, что: В С
Е
AB AC
= 2 ⋅ R, где γ = ∠С , а = 2 ⋅ R, где β = ∠B. D
sinγ sinβ
AC BC AB
Следовательно, = = = 2 ⋅ R , то есть требуемое
sinβ sinα sinγ
доказано.
Этот способ доказательства можно взять
Ai на вооружение при выводе формулы
О
180 0 , выражающей зависимость
a n = 2R ⋅ sin
n
стороны правильного многоугольника от
радиуса описанной около него окружности.
A2
Действительно, пусть ω(О; r) – окружность,
A1
ат описанная около правильного
многоугольника A1A2 A3 ...An .
Рассмотрим треугольник A1A2 Ai , где A1A2 - сторона a n правильного
многоугольника, а точка Ai - одна из вершин рассматриваемого правильного
многоугольника. Тогда ясно, что если ∠A1OA2 = α , а ∠A1Ai A2 = β , то

2. α 360 0 180 0 180 0
β= = = и a n = 2R ⋅ sin . И все!
2 2n n n
По-моему неплохо, а Вы как считаете?