Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020

1 ΜΠΕΚΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 (ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ)
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
1) Μέθοδοι επίλυσης βασικών εξισώσεων
• α’ βαθμού
• α’ βαθμού
• χν=α
• ανωτέρου βαθμού
2) Τεχνικές επίλυσης ειδικών εξισώσεων
• κλασματικές
• με απολυτά
• παραμετρικές α’ και β’ βαθμού
3) Ειδικές εφαρμογές στην εξίσωση β’ βαθμού
1ος Διδακτικός στόχος
ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ
ΓΕΝΙΚΑ
Για να λυθεί μια οποιαδήποτε εξίσωση θα πρέπει αρχικά να την φέρουμε στην κανονική
όπως μορφή ακολουθώντας τα γενικά βήματα τα οποία όπως οδηγούν στην τελική όπως
μορφή.
Τα βήματα είναι :
 Απαλοιφή παρονομαστών.
 Απαλοιφή παρενθέσεων.
 Όλα στο 1ο μέλος.
 Αναγωγές όμοιων όρων.
 Τελική μορφή ή αλλιώς κανονική μορφή.
ΣΧΟΛΙΟ
Η παραπάνω ενέργεια παρακάμπτεται για οποιαδήποτε εξίσωση όταν θα μπορώ :
• να παραγοντοποιήσω εξ αρχής την αρχική εξίσωση και να ‘χω :
. . 0 0 ή 0 ή 0α β γ= ⇔ α= β= γ= .
• να εφαρμόσω την τεχνική του “θέτω” μετασχηματίζοντας την αρχική εξίσωση σε
μια απλούστερη μορφή.
• να εφαρμόσω όπως τυχόν βασικές αρχές όπως :
2 2
0 0α + β = ⇔ α = β = και 2
0 0α = ⇔ α=
13.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 34
Μπέκας Δ. Χρήστος

ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ
Εφόσον έχουμε φέρει μια εξίσωση στην τελική της μορφή θα έχουμε :
ΕΞΙΣΩΣΗ Α’ ΒΑΘΜΟΥ
Η κανονική μορφή μιας τέτοιας εξίσωσης είναι αχ+β=0 με λύση :
0 ό έ ή ύ x
x 0 x
0 ί ί ύ
0 ό :
0 ί ί ό ή ό
β
αν α ≠ τ τε χω µοναδικ λ ση = − α
α + β = ⇒ α = −β ⇒  για β ≠ η εξ σωση ε ναι αδ νατη αν α= τ τε 
 για β= η εξ σωση ε ναι α ριστη ταυτ τητα
Παράδειγμα 1ο : Να λυθεί η εξίσωση: x 2 x 1 3x 1
3 2 6
− + −
− =− .
ΛΥΣΗ
Έχω ΕΚΠ(3,2,6)=6 , άρα έχουμε :
x 2 x 1 3x 1 x 2 x 1 3x 1
6 6 6
3 2 6 3 2 6
2(x 2) 3(x 1) (3x 1)
2x 4 3x 3 3x 1
2x 8
x 4
− + − − + −
− =− ⇒ − =−
⇒ − − + =− −
⇒ − − − =− +
⇒ −
⇒ =
ΕΞΙΣΩΣΗ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
Η κανονική μορφή μιας τέτοιας εξίσωσης θα 2
x x 0, 0α + β + γ= α ≠ και η λύση της βα-
σίζετε σε ειδικό τυπολόγιο.
Βρισκω την αλγεβρική παράσταση 2
Δ = β - 4αγ η οποία λέγεται διακρίνουσα της εξί-
σωσης και το πρόσημό της καθορίζει το πλήθος των ριζών της εξίσωσης.
Αναλυτικά έχω:
1,2
2 2
1,2
-β ± Δ
0 έ x =
2α
-β
x x 0, 0 4 0 έ x =
2α
0
ή
έ
ύ ί ά
μια ί δ λ
ί ί
ιπ

αν ∆ > ⇒ χω


α + β + γ = α ≠ ⇒ ∆ = β − αγ ⇒ αν ∆ = ⇒ χω

αν ∆ < ⇒ δεν χωκαµ αρ ζα

δ ο ρ ζες νισες ⇒
ρ

ζα ⇒

ΣΧΟΛΙΟ
Παράκαμψη του τυπολογίου σε μια εξίσωση β’ βαθμού έχει την μορφή :
• 2
x x 0, 0α + β = α ≠
• 2
x 0, 0α + γ= α ≠
• 2
x x ά ό έ ώα + β + γ = αν πτυγµα ταυτ τητας τ λειουτετραγ νου
• ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2x (x x )x x .x 0 (x x )(x x ) 0 x x 0ήx x 0+ + + = ⇔ + + = ⇔ + = + =
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (TIPS &TRICKS)
Αν οι συντελεστές α και γ της εξίσωσης: 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ (1) είναι ετερόσημοι,
τότε η (1) έχει δύο λύσεις άνισες.
Ο λόγος είναι ότι αφού αγ < 0, που σημαίνει – αγ > 0, οπότε η διακρίνουσα θα είναι
2
Δ = β - 4αγ > 0.
Έτσι η εξίσωση 2
3x +10x-13 = 0 έχει δύο άνισες ρίζες, αφού 39 0αγ = − < .
Όταν η διακρίνουσα Δ είναι τέλειο τετράγωνο, δηλ. 2
Δ = A , τότε για τις ρίζες της
εξίσωσης θα γράφουμε 1,2
-
x
2 2
β ± ∆ −β ± Α
= =
α
αντί για 1,2x
2
−β ± Α
=
Η σημασία ορισμένων εκφράσεων σχετικά με την 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ :
• έχει δύο ρίζες άνισες , σημαίνει ότι είναι Δ > 0 .
• έχει μία τουλάχιστον λύση , σημαίνει ότι είναι 0∆ ≥ .
• έχει μία διπλή ρίζα , σημαίνει ότι είναι Δ = 0 .
• δεν έχει πραγματικές ρίζες , σημαίνει ότι είναι Δ < 0 .
Παράδειγμα 2ο : Να λύσετε την εξίσωση : 2
2x +7x - 9 = 0
ΛΥΣΗ
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι :
2 2
- 4 7 4 2 ( 9) 121 0∆ = β αγ = − ⋅ ⋅ − = >
Επειδή Δ >0 , η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες .
Οι ρίζες είναι :
1
1,2
2
7 11
x 1
- 7 121 7 11 4
x
7 11 92 2 2 4
x
4 2
− +
= =β ± ∆ − ± − ± 
= = = ⇔ 
− −α ⋅  = = −


4x -4x +1 = 0
ΛΥΣΗ
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : 2 2
- 4 (-4) 4 4 1 0∆ = β αγ = − ⋅ ⋅ =
Επειδή Δ =0 , η εξίσωση έχει διπλή ρίζα .
Η διπλή ρίζα είναι :
4 1
x -
2 2 4 2
β −
= =− =
α ⋅
x +x +10 = 0
ΛΥΣΗ
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : 2 2
- 4 1 4 1 10 39 0∆ = β αγ = − ⋅ ⋅ = − <
Επειδή Δ < 0 , η εξίσωση είναι αδύνατη και δεν έχει λύση .
Παράδειγμα 5ο : Να λύσετε τις εξισώσεις :
2
5x = 0 , 2
2x - 8 = 0 , 2
2x + 7 = 0 , 2
x = 4x
ΛΥΣΗ
2
5x = 0 x 0⇔ =
2 2 2
2x - 8 = 0 2x 8 x 4 x 2 ή x = -2⇔ = ⇔ = ⇔ =
2 2 2 7
2x + 7 = 0 2x 7 x αδύνατη
4
⇔ =− ⇔ =−
2 2
x 0
x = 4x x - 4x=0 x(x 4) 0 ή
x 4 0 4
=

⇔ ⇔ − = ⇔ 
 − = ⇔ χ=
ΕΞΙΣΩΣΗ ν
x = α
Συνοπτικά η λύση τέτοιων εξισώσεων είναι :
v0,x
v ά :
0, ύ
x
v0 ,x
v ό :
v0,x -
 α > = ± α
αν = ρτιος 
α < αδ νατη ν = α ⇒ 
α > = α 
αν = περιττ ς 
α < = α 

Παράδειγμα 6ο : Να επιλυθεί η εξίσωση 4
x 37x 0+ =
ΛΥΣΗ
( )4 3 3 3x 37x 0 x x 27 0 x 0 ή x 27 x 27 x 3+ = ⇒ + = ⇒ = =− ⇒ =− − ⇒ =−
Παράδειγμα 7ο : Να επιλυθεί η εξίσωση 3 2
xλ =λ , για τις διάφορες τιμές του λ.
ΛΥΣΗ
Αν 0λ ≠ , τότε η εξίσωση γίνεται 3
x = λ . Επομένως :
όταν 0λ ≥ τότε 3
x= λ
όταν 0λ < τότε 3x =− λ
Αν 0λ = , τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα.
ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ : v
v 1 0α x +...+ α x + α = 0 ,με ν > 2
• Αν η κανονική μορφή είναι σαν την παραπάνω, ο μόνος γνωστός τρόπος επίλυσης
μέχρι και σήμερα είναι η κλασσική παραγοντοποίηση.
Μετασχηματίζουμε το πολυώνυμο του πρώτου μέρους σε γινόμενο και εφαρμόζω
την ιδιότητα . . 0 0 ή 0 ή 0α β γ= ⇔ α= β= γ= .
• Αν τώρα δούμε μια εξίσωση στην αρχική της μορφή την δυνατότητα παραγοντοποί-
ησης το κάνω χωρίς 2η σκέψη.
• Άλλες δυνατότητες που έχω για την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης είναι να εφαρμό-
σουμε τεχνικές όπως την τεχνική του «θέτω» ανάγοντας την αρχική εξίσωση σε υπο-
διαιστερο βαθμό.
Κλασικό παράδειγμα οι εξισώσεις 4ου βαθμού (διτετράγωνες) της μορφής :
4 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ όπου θέτουμε 2
x y= .
• Άλλες τεχνικές είναι οι βασικές αρχές της αριθμοθεωρίας σε αρχικό ή τελικό στάδιο
μορφής όπως : 2 2
0 0α + β = ⇔ α = β = και 2
0 0α = ⇔ α=

Παράδειγμα 8ο : Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( )2
x x 5 2x x 5 x 5 0− − − + − =.
ΛΥΣΗ
( ) ( )2
x x 5 2x x 5 x 5 0− − − + − =⇔ ( )( )2
x 5 x 2x 1 0− − + =⇔
( )( )
2
x 5 x 1 0− − =⇔ x 5 0− = ή ( )
2
x 1 0− =⇔ x 5= ή x 1 0− = (χ=1)
Παράδειγμα 9ο : Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( )( )
2
x 1 x 1 x 5+ =− + + .
ΛΥΣΗ
( ) ( )( )
2
x 1 x 1 x 5+ =− + + ⇔ ( ) ( )( )
2
x 1 x 1 x 5 0+ + + + =⇔
( )( )x 1 x 1 x 5 0+ + + + = ⇔ ( )( )x 1 2x 6 0+ + =⇔ ( )( )2 x 1 x 3 0+ + =⇔ x 1 0+ =ή
x 3 0+ =⇔ x 1= − ή x 3= −
Παράδειγμα 10ο : Να λυθεί η εξίσωση : 4 2
9x -37x + 4 = 0
ΛΥΣΗ
Έχουμε:
( )
2
θέτω χ24 2 2 2 2
4
9x -37x + 4 = 0 9 x -37x + 4 = 0 9 37 4 0 ή
1
9
=ψ
ψ =

⇔ ⇔ ψ − ψ + = ⇔ 

ψ =
Έτσι:
Αν ψ = 4 τότε : 2
4 x 4 x 2 ή x - 2ψ= ⇔ = ⇔ = =
Αν
1
ψ =
9
τότε : 21 1 1 1
x x ή x -
9 9 3 3
ψ= ⇔ = ⇔ = =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΗ Α’ ΒΑΘΜΟΥ
1)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α) ( ) ( ) ( )5 x 3 10 2 5x 10x 15 10x− + − + =− +
β)
7x 4 3x 5
x
5 2
+ −
− =
γ)
5x 3 3y
y 5
2 4
−
− = −
δ)
x 1 23 x 4 x
7
7 5 4
− − +
+ =−
ε) ( ) ( ) ( )
1 2 1 x
8 x x 1 x 6
6 3 2 3
− + − = + −
στ) ( ) ( )
1 1
2x 19 2x 2x 11
2 2
− − = −
ΕΞΙΣΩΣΗ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
2)Να λυθούν οι εξισώσεις
α) 2
2x x 1 0+ + =
β) 2
2x 6x 4 0− + − =
γ) ( ) 2
2x x 3 x 6− = −
δ) ( )2
x 2 1 x 2 0+ − − =
ε) 2
7x 4x 1 0− + =
στ) 2
2x 6x 3 0+ + =
3)Να λυθούν χωρίς την χρήση τυπολογίου οι παρακάτω εξισώσεις :
α) 2
2x 1 0+ =
β) 2
2x 4 0− =
γ) 2
2x x 0+ =
δ) ( ) 2
2x x 3 x− =
ε) 2
x 3x 2 0+ − =
στ) 2
x 3x 2 0− + =
ζ) 2
x 7x 12 0− + =
η) 2
x x 6 0+ − =
θ) 2
x x 2 0+ − =
ι) ( ) ( ) ( )2
x – 4 2x x – 4 x – 4 0x + + =
ια) ( )( )2
x – 2) – 2 x 4 x 0( − + =
ιβ) 2 2
x 1) x –1 0( + + =
ιγ) ( ) 2
3 x 1 x 0− =3
x x 0− =
4)Να λυθούν οι εξισώσεις:
α) ( )2 2
7x 5x 9 3 2x 1− += +
β) ( )
2
2x 1 5(x 2) 6+ + + =
γ) ( ) ( )
2 2
x 1 3x(x 2) x 1+ − + = −
δ) ( )( )2
3x 3 x 1 2x 1 2x 1− − − = +
ε) ( )
22
7x 3x 1 x 2− − = +
στ)
2
x 2
x 3
2
−
− =−
ζ)
2
2 2x 1 x
x x
6 3
−
− =−

ΕΞΙΣΩΣΗ XV=A
5)Να λυθούν οι εξισώσεις :
α) 5
x 0=
β) 11
x 1= −
γ) 5
x 2=
δ) 3
x 13= −
ε) 6
x 8= −
στ) 5
32x 1 0− =
ζ) 4
16x 81 0− =
η) 3
27x 8 0+ =
θ) 8
256x 1 0+ =
α) 7 3
7x 7x 0− =
β) 10 5
x 32x=
γ) 8 4
81x 16x 0− =
δ) 9 3
64x 27x 0+ =
ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
α) 3 2
x 2x 9x 18 0− − + =
β) 3 2
2x x 8x 4 0− − + =
γ) 3 2
x x x 1− = −
δ) 5 4
x x x 1+ = +
α) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
x 1 x 9 x 3 x 1− ⋅ − = + ⋅ −
β) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
5x 10 x 1 3x 6 x 1− ⋅ − = − ⋅ −
γ) ( )3 3 3
x x 30 3x+ =
9)Να λυθούν με την τεχνική του θέτω οι παρακάτω εξισώσεις :
α) ( ) ( )
6 3
x 2 8 x 2 0+ − + =
β) x4 - 6x2 + 8 = 0
γ) x4 - 3x2 - 4 = 0
δ) x4 - 2x2 - 15 = 0
ε) 6y4 + 17y2 = - 12
στ) ( )
24
(x - 4 ) 7 x 4 6 0− − + =
ζ) ( )2 2 2
(x - x ) 8 x - x 12 0− + =
η) 6 3
x 9x 8 0− + =
θ) 8 4
16x 17x 1 0− + =

9
ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΙΔΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ
Για την επίλυσης ρητών ή κλασματικών εξισώσεων που ανάγονται σε επί-
λυση εξισώσεων 1ου βαθμού ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
• Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές
• Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών
• Λύνουμε την εξίσωση ΕΚΠ=0, της ρίζες της οποίας εξαιρούμε από το σύ-
νολο των πραγματικών αριθμών. Για αυτό το νέο σύνολο ορίζεται η εξί-
σωση.
• Απαλείφουμε τους παρονομαστές
• Απαλείφουμε τις παρενθέσεις
• Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων
• Λύνω ανάλογα τον βαθμό
• Εξαιρούμε τις ρίζες που δεν ανήκουν στο σύνολο που ορίζεται η εξίσωση.
Παράδειγμα 11ο : Να λυθεί η εξίσωση : 2
1 3 5
2x 3 3x 2x x
+ =
− −
ΛΥΣΗ
2
1 3 5
2x 3 3x 2x x
+ =⇔
− − ( )
1 3 5
2x 3 x 3 2x x
+ =⇔
− −
( )
1 3 5
2x 3 x 2x 3 x
− =⇔
− −
(Πρέπει ( )x 2x 3 0 x 0− ≠ ⇔ ≠ και
3
x
2
≠ )
( ) ( )
( )
( )
1 3 5
x 2x 3 x 2x 3 x 2x 3
2x 3 x 2x 3 x
− − − = − ⇔
− −
( )x 3 5 2x 3−= − ⇔
x 3 10x 15− = − ⇔ x 10x 3 15− = − ⇔ 9x 12− =− ⇔
12
x
9
= ⇔
4
x
3
= .

10
Παράδειγμα 12ο : Να λυθεί η εξίσωση :
( )
3 30 3 5
4 2x 8 1 x 2 x 2 2x
+ = +
− − − −
ΛΥΣΗ
( )
3 30 3 5
4 2x 8 1 x 2 x 2 2x
+ = + ⇔
− − − −
( ) ( ) ( )
3 30 3 5
2 2 x 8 1 x 2 x 2 1 x
+ = + ⇔
− − − −
(Πρέπει ( )( )8 1 x 2 x 0− − ≠ )
( )( )
( )
( )( )
( )
3 30
8 2 x 1 x 8 2 x 1 x
2 2 x 8 1 x
− − + − − =
− −
( )( ) ( )( )
( )
3 5
8 2 x 1 x 8 2 x 1 x
2 x 2 1 x
= − − + − − ⇔
− −
( ) ( ) ( ) ( )12 1 x 30 2 x 24 1 x 20 2 x− + − = − + − ⇔
12 12x 60 30x 24 24x 40 20x− + − = − + − ⇔
12x 30x 24x 20x 12 60 24 40− − + + =− − + + ⇔ 2x 8=− ⇔ x 4= −
2
x 1
8
x 1 x 1
− =
− −
ΛΥΣΗ
Πρέπει : x 1 0 x 1− ≠ ⇔ ≠ . Έχουμε :
( ) ( ) ( )
( )
− = ⇔ − − − = − ⇔
− − − −
=± ±
⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = = =
=
2 2
12 2
1,2
2
x 1 x 1
8 x 1 8 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 78 36 8 6
x 8 x 1 1 x 8x 7 0 x
x 12 2
Η x =1 απορρίπτεται λόγω του περιορισμού . Άρα x = 7

11
ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
Για την επίλυση των εξισώσεων με απόλυτα διακρίνω τις παρακάτω κατηγο-
ρίες :
1Η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Εάν ( )A x = κ, όπου ( )A x αλγεβρική παράσταση με μεταβλητή το x και
κ ∈  . Τότε :
Αν 0κ > , έχουμε ( )A x = κ ⇔ ( )xΑ =κ ή ( )A x = −κ
Αν 0κ = , έχουμε ( )A x 0= ⇔ ( )x 0Α =
Αν 0κ < , η εξίσωση είναι αδύνατη
Εάν ( ) ( )A x B x= , όπου ( )A x , ( )B x αλγεβρικές παραστάσεις με μετα-
βλητή το x . Τότε :
( ) ( )A x B x= ⇔ ( ) ( )x B xΑ = ή ( ) ( )A x B x= −
Εάν ( ) ( )A x B x= , όπου ( )A x , ( )B x αλγεβρικές παραστάσεις με μεταβλητή
το x . Τότε :
( )B x 0≥ , τότε ( ) ( )x B xΑ = ή ( ) ( )A x B x= −
( )B x 0≥ , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη
Σε εξισώσεις με δυο η περισσότερα απόλυτα, πρέπει να κάνουμε απαλοιφή
απολυτών τιμών. Σε αυτό μας βοηθάει ο πίνακας πρόσημων των παραστάσεων
που βρίσκονται μέσα στα απόλυτα.
Εξισώσεις της μορφής : 2
αx + β x + γ = 0 , α 0≠
Επειδή
2 2
x = x η εξίσωση 2
x x 0α + β + γ = γράφεται :
2
x x 0 , 0α + β + γ= α ≠ (1) . Για τη λύση της (1) θέτουμε
x , 0= ω ω ≥ , οπότε η (1) γίνεται : 2
0 , 0αω + βω + γ= α ≠ .

12
Παράδειγμα 14ο : Να λυθεί η εξίσωση |2x-3|=8.
ΛΥΣΗ
2x-3=8 ή 2x-3=-8 τότε
11 5
x    ή x
2 2
= = −
3x 1 2 1 3x 5 6x 2
2 6 3
− − − − −
= − .
ΛΥΣΗ
Μετασχηματίζω αρχικά την εξίσωση:
3x 1 2 1 3x 5 6x 2 3x 1 2 3x 1 5 2 3x 1
2 6 3 2 6 3
− − − − − − − − − −
= − ⇒ = −
Θέτω 3x 1 y− = οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται :
y 2 y 5 2y
2 6 3
− −
= − ⇔
y 2 y 5 2y
6 6 6
2 6 3
− −
= − ⇔ ( ) ( )3 y 2 y 2 5 2y− = − −
3y 6 y 10 4y− = − + ⇔ 2y 4− =− ⇔ y 2=
Επίσης :
3x 1 2− =⇔3x 1 2  ή  3x 1 2− = − =− ⇔
1
x 1 ή x
3
= = −
Παράδειγμα 16ο : Να λυθεί η εξίσωση x 3 3x 1− = −
ΛΥΣΗ
Για να ‘χει νόημα η εξίσωση πρέπει :
1
3x 1 0 x
3
− ≥ ⇒ ≥
Τότε :
x 3 3x 1  ή   x 3 3x 1− = − − =− + ⇔ ( ) ( )x 1    ή  x 1 ή= − απορ = δεκτ

13
Παράδειγμα 17ο : Να λυθεί η εξίσωση : 3 x 1 2 x 2 1+ − − =
ΛΥΣΗ
Βρισκω που μηδενίζονται τα περιεχόμενα των απολύτων και σχηματίζουμε
τον πίνακα πρόσημων των παραστάσεων χ+1 και χ-2 :
χ −∞ -1 2 +∞
χ+1 - + +
χ-2 - - +
Λύνω τότε την εξίσωση ξεχωριστά σε καθένα από τα παραπάνω διαστήματα :
Εάν χ<-1 τότε η αρχική εξίσωση γράφετε χωρίς τα απόλυτα :
( ) ( )3 x 1 2 x 2 1 3x 3 2x 4 1 x 8 x 8− − − − + = ⇒ − − + − = ⇒ − = ⇒ = − , δεκτή
Εάν -1<χ<2 τότε η αρχική εξίσωση γράφετε χωρίς τα απόλυτα :
( ) ( )
2
3 x 1 2 x 2 1 3x 3 2x 4 1 5x 2 x
5
+ − − + = ⇒ + + − = ⇒ = ⇒ = , δεκτή
Εάν χ>2 τότε η αρχική εξίσωση γράφετε χωρίς τα απόλυτα :
( ) ( )3 x 1 2 x 2 1 3x 3 2x 4 1 x 6+ − − = ⇒ + − + = ⇒ = − , απορ
Παράδειγμα 18ο : Να λυθεί η εξίσωση : 2
3x 5 x - 2 = 0−
ΛΥΣΗ
έ x
22 2
1 2
1
3x - 5 x - 2 0 3 x - 5 x - 2 0 3 5 2 0 2 ή
3
θ τω =ω
= ⇔ = ⇔ ω − ω − = ⇔ ω = ω = −
Επειδή x 0ω= ≥ , δεχόμαστε μόνο τη θετική ρίζα.
Έτσι έχουμε: 2 x 2 x 2 ή x -2ω= ⇔ = ⇔ = =

14
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Α’ & Β’ ΒΑΘΜΟΥ
Παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού ονομάζεται η εξίσωση x 0α + β = της
οποίας ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές της α ή β γ εκφράζεται με
γράμμα το οποίο καλείται παράμετρος. Για την επίλυση παραμετρικών εξι-
σώσεων 1ου βαθμού ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
• Κάνουμε πράξεις και φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή Ax B=
• Παραγοντοποιούμε τους συντελεστές Α και Β.
• Για τις τιμές της παραμέτρου που βρίσκουμε διερευνούμε την παραμε-
τρική εξίσωση δηλαδή:
-Για τις τιμές της παραμέτρου που είναι A 0≠ η παραμετρική εξίσωση έχει
μοναδική λύση την
B
x
A
=
-Την κάθε μια από τις ρίζες της A 0= λύνουμε την παραμετρική εξίσωση
η οποία σ’ αυτή την περίπτωση είναι αόριστη ή αδύνατη.
Παράδειγμα 19ο : Να λυθεί η εξίσωση : λ2χ-1=χ+λ ,λ∈R (ελεύθερη παρά-
μετρος).
ΛΥΣΗ
Φέρνω αρχικά την εξίσωση στην κανονική της μορφή (δηλαδή αχ=β) και
διακρίνω περιπτώσεις :
( )( )2 2
λ x -1= x + λ λ x - x = λ +1 λ -1 λ +1 x = λ +1⇒ ⇒
1) Εάν (λ-1)(λ+1) 0 λ 1 και λ -1≠ ⇔ ≠ ≠ τότε έχω μοναδική λύση
( )( )
λ +1 1
x= x=
λ -1 λ +1 λ -1
⇒
2) Αν (λ-1)(λ+1)=0 λ=1 ή λ=-1⇔ τότε :
α) Αν λ=1 τότε η εξίσωση γράφεται: 0x=2 αδύνατη.
β) Αν λ=-1 τότε η εξίσωση γράφεται: 0x=0 ταυτότητα.

15
Παράδειγμα 20ο : Να λυθεί η εξίσωση : ( )2
x 2 3 x 1µ − − µ= + .
ΛΥΣΗ
( )2
x 2 3 x 1µ − − µ= + ⇔ 2 2
x 2 3 x 1µ − µ − µ= + ⇔ 2 2
x x 2 3 1µ − = µ + µ + ⇔
( ) ( )2 1
1 x 2 1
2
 
µ − = µ + µ + ⇔ 
 
( )( ) ( )( )1 1 x 2 1 1µ − µ + = µ + µ + .
( )( )1 1 0µ − µ + = ⇔ 1 0µ − = ή 1 0µ + = 1⇔ µ = ή 1µ = −
Αν 1µ ≠ και 1µ ≠ − τότε
( )( )
( )( )
2 1 1
x
1 1
µ + µ +
=
µ − µ +
.
Αν 1µ = τότε 0x 6= (αδύνατη)
Αν 1µ = − τότε 0x 0= (αόριστη)
Παραμετρική εξίσωση 2ου βαθμού ονομάζεται η εξίσωση της μορφής
2
x x 0, 0α + β + γ= α ≠ της οποίας ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές της
α ή β ή γ εκφράζεται με γράμμα το οποίο καλείται παράμετρος. Για την επί-
λυση παραμετρικών εξισώσεων 2ου βαθμού ακολουθούμε τα παρακάτω βή-
ματα:
• Κάνουμε πράξεις και φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή 2
x x 0α + β + γ =
• Βρισκω την διακρίνουσα της εξίσωσης
• Διακρίνω περιπτώσεις για την Δ δηλαδή όταν Δ>0, Δ=0 και Δ<0 και για τις
ανάλογες τιμές της παραμέτρου δίνω στην εξίσωση τις αντίστοιχες λύσεις
Παράδειγμα 21ο : Να επιλυθεί η εξίσωση: ( )2
2x x= α α −
ΛΥΣΗ
Φέρνουμε την εξίσωση σε κανονική μορφή κάνοντας την επιμεριστική ιδιό-
τητα, φέροντας στο πρώτο μέλος γνωστούς και αγνώστους, διατάσσοντας
κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x τους όρους της εξίσωσης.
( )2 2 2 2 2
2x x 2x x 2x x 0= α α − ⇒ = α − α ⇒ + α − α =
Η εξίσωση είναι παραμετρική γιατί οι συντελεστές 2
2α = β = α γ = −α πε-
ριέχουν την παράμετρο α. Έτσι η διακρίνουσα είναι:
( )2 2 2 2 2 2
4 4 2 8 9∆ =β − αγ =α − ⋅ ⋅ −α =α + α = α

16
Συνεπώς:
1
2
1,2
2
3 2
4 4 2
9 3
ή
2 2 2 4
3 4
4 4
−α + α α α
ρ= = =
−β ± ∆ −α ± α −α ± α
ρ= = = ⇔ 
⋅ α ⋅  −α − α − α
ρ = = = −α

Παράδειγμα 22ο : Να λύσετε την εξίσωση: 2 2
x -3kx - 10k = 0, k R∈
ΛΥΣΗ
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι:
( )
22 2 2 2
- 4 (-3k) 4 1 ( 10k ) 49k 7k 0∆ = β αγ = − ⋅ ⋅ − = = ≥
Επειδή Δ 0≥ , η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές . Οι λύσεις είναι:
2 1
1,2
2
3k 7k
x 5k
- ( 3k) 49k 3k 7k 2
x
3k 7k2 2 1 2
x 2k
2
+
= =β ± ∆ − − ± ± 
= = = ⇔ 
−α ⋅  = = −


17
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ
10)Να λυθούν και να διερευνηθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α)
( ) ( )5 x 2 2 x 3
3
x 2 x 3
− −
− =
+ +
β)
2
2
2x 1 7x 1 2x 3x 45
3x 3 6x 6 4x 4
+ − − −
= −
− + −
γ)
1
x 1−
+
1
x 1+
= 2
2
x 1−
δ)
3
x 2+
–
2
x
= 2
x 4
x 2x
−
+
ε) 2
x 1
x 1
+
−
+ 2
2
x 2x 1− +
= 0
στ)
( )
2x 3 x 5 11
6
2x 4 3 x 2 2
− −
−= −
− −
ΑΠΟΛΥΤΑ
α) 3x 1 4− =
β) 2x 1 0+ =
γ) 4x 3 7 0− + =
δ) 2 x 12=
ε) 3 1 x 12− =
στ) 2 3x 1 2 8− + =
ζ) ( )2 x 5 3 4− − =
η)
3 x
3 x
−
+
= 4
θ) 4 x 5 7− =
ι) 3 x 1 2− − =
α) 3 2x 3 4 2x 3 8− − = − +
β) 3 2 x 3 3 x 3 12− + = + −
γ) 2 2x 3 1 7 4 3 2x− + = − −
δ)
x 4
3
+
–
x 4
5
+
=
2
3
ε)
x 2 3 3x 6 2 2 x 1
1
3 9 18
− + − − − −
− = +
στ)
x 2 6 3x 21
3 2 4
− − −
− =
ζ) 3 2x 3 4 2x 3 8− − = − +

18
α) x 1 x 3− = −
β) x 2 2 x 1− = +
γ) 2
x 2x 1− + = 3x 5−
δ) x 1− x 2− = x 1−
ε) ( )
2 2
x 4 x 16 0− + − =
α) x 2 3x 1− = −
β) 2x 1 x 2− = −
γ) 3 2x 1 x 1− = +
δ) 21 2x 3 4x− = −
α) x 2 - 8 x + 7 = 0
β) x 2 - 3 x - 4 = 0
γ) 2
(x 1) x 1 2 0+ + + − =
δ) ( )x - 1 2 - 4 = 3 x - 1
ε) (2x-1)2- 2x-1- 6 = 0
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Α’ ΒΑΘΜΟΥ
16)Να λύσετε την εξίσωση λ(λ – 1)x = λ – 1 , για τις διάφορες τιμές λ∈  .
17)Να λύσετε την εξίσωση λ(λ – 1)x = 2
λ + λ , για τις διάφορες τιμές λ∈  .
18)Να λυθούν και να διερευνηθούν οι παρακάτω εξισώσεις
α) ( )2 x 7µ − + µ =
β) x 1 xα + α + =
γ) ( )x 8x 2 1 x 10µ + = µ − +
δ) ( )x 1 40 x 5 0− + µ − µ =

19
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
19)Η εξίσωση x2 + (m - 1) x - 1 = 0 έχει ρίζες οποιοσδήποτε κι αν είναι ο m.
Γιατί;
20)Αν η εξίσωση x2 - 4x + α = 0 έχει για διπλή ρίζα το 2, τότε ο α ισούται με:
Α. 1 Β. – 1 Γ. 4 Δ. - 4 Ε. 0
21)Ποιο είναι το κ όταν η εξίσωση 6x2 + 7x + κ = 0 έχει μια ρίζα διπλή;
22)Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση ( )2
x 4x 6 α α-1− + =
έχει μια ρίζα διπλή .
23)Δίνεται η εξίσωση 2x2 + 2x - μ + 3 = 0. Για ποιες τιμές του μ:
α) έχει δύο διαφορετικές ρίζες β) έχει μια διπλή ρίζα γ) δεν έχει ρίζες.
24)Δίνεται η εξίσωση x2 + 6x – 4λ + 1 = 0. Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση
έχει :
α) έχει δύο διαφορετικές ρίζες β) έχει μια διπλή ρίζα γ) δεν έχει ρίζες.
25)Να λυθούν και να διερευνηθούν οι εξισώσεις :
α) ( )2
x + λ+1 x 0+ λ =
β) ( ) 2
λ +1 x + λx -1= 0 , 1λ ≠ −
γ) ( ) 2
λ +1 x + λx -1= 0 ,λ ∈ 
26)Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) 2
m 3 x 2mx m 2 0− − + + =
για m 3≠ για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου αυτής.
27)Να βρεθεί ο α ∈  ώστε η εξίσωση ( )2
x 2 x 9 0− α + + = να έχει διπλή ρίζα
η οποία και να υπολογιστεί.
28)Αν η εξίσωση ( ) ( )2 2 2
2 2 x 4 7 x 2 0λ − λ − + λ + + λ = έχει ρίζα το -2 τότε να
βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λ.
29)Έστω η εξίσωση 2
x 5x 10 0λ + + =(1). Για ποιες τιμές του λ
α) Είναι αδύνατη στο  ;
β) Έχει άνισες ρίζες στο  ;
γ) Δύο ίσες ρίζες στο  ;

20
ΕΙΔΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
Θεώρημα
Αν 1 2χ , χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ , S τo άθροισμα
και P το γινόμενό τους, τότε θα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις :
1 2
β
S = x +x = -
α
και 1 2
γ
P = x x =
α
⋅ (τύποι του Vieta)
Απόδειξη
1 2
β Δ β Δ 2β β
S x x
2α 2α 2α α
− + − − −
= + = + = =−
2
2 2 2
2 2
β Δ β Δ β Δ β β 4αγ γ
P .
2α 2α 4α 4α α
− + − − − − +
= = = =
ΣΧΟΛΙΑ
1) Αν 1 2χ , χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ και S,P το
άθροισμα και γινόμενο τους αντίστοιχα, τότε η αρχική εξίσωση μετασχη-
ματίζετε σε 2
x -Sx + P = 0 .Η απόδειξη είναι :
αν 2 2 2β γ
0 ό αχ βχ γ 0 χ — χ 0 χ Sx P 0
α α
α ≠ τ τε + + = ⇔ + = ⇔ − + =
2) To είδος ριζών μιας εξίσωσης 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ μπορεί να προβλεφ-
θεί από τον παρακάτω πίνακα :
{P < 0} τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσημες
{ }Δ 0, P > 0, S > 0≥ ⇔ {τότε η ( 1 ) έχει δύο ρίζες θετικές}
{ }Δ 0, P > 0, S < 0≥ ⇔ {τότε η ( 1 ) έχει δύο ρίζες αρνητικές}
{ }Δ > 0, P > 0, S > 0 ⇔{τότε η (1) έχει δύο ρίζες θετικές και άνισες}
{ }Δ > 0, P > 0, S > 0 ⇔{τότε η (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές και άνισες}
{Δ > 0, S = 0} ⇔ {τότε η ( 1 ) έχει δύο ρίζες αντίθετες}
{Δ > 0, P = 1} ⇔ {τότε η ( 1 ) έχει δύο ρίζες αντίστροφες}
3) Μπορούμε να βρούμε τις ρίζες 1χ και 2χ μιας εξίσωσης χωρίς να τη λύ-
σουμε, βρίσκοντας δύο αριθμούς με άθροισμα 1 2x +x και γινόμενο 1 2x x⋅

21
Παράδειγμα 23ο : Δίνεται η εξίσωση 2
x -3x + 2 = 0 . Αν 1χ και 2χ οι ρίζες
της τότε: 1 2χ + χ =3 και 1 2χ χ =2⋅ .
Γινόμενο 2 έχουν οι αριθμοί: 1 , 2. Άρα 1 2χ =1, χ =2
Αν γνωρίζουμε τις ρίζες 1 2χ , χ μιας εξίσωσης , τότε μπορούμε να βρούμε
την εξίσωση αυτή .
Παράδειγμα 24ο : Η εξίσωση με ρίζες 1 2χ =2 , χ =3 είναι 2
x -5x + 6 = 0
αφού 1 2S = x +x 2 3 5= + = και 1 2P = x x 2 3 6⋅ = ⋅ =
Αν γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών 1χ και 2χ τότε
μπορούμε να βρούμε τους αριθμούς αυτούς λύνοντας την
2
x - Sx P 0+ =όπου 1 2S x x= + και 1 2P x x= ⋅
Παράδειγμα 25ο : Οι αριθμοί που έχουν άθροισμα 2 και γινόμενο -2 εί-
ναι οι ρίζες της εξίσωσης 2
x - 2x - 2 0= (1) . Για να τους βρούμε λύ-
νουμε την (1) . 1
1,2
2
x 1 32 12 2 2 3
x 1 3
2 2 x 1 3
= +± ±
= = =± =
= −
ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ
Ισχύουν :
( )
22 2
1 2 1 2 1 2x x x x 2x x+ = + − και ( ) ( )
33 3
1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 3x x x x+ = + − +

22
Παράδειγμα 26ο : Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2
x 2x 2 0− − =να
υπολογιστούν οι παραστάσεις:
α) 1 2x x+ β) 1 2x x γ)
1 2
1 1
x x
+ δ) 2 2
1 2x x+ ε) 3 3
1 2x x+ .
ΛΥΣΗ
α) 1 2
2
x x 2
1
β −
+ =− =− =
α
.
β) 1 2
2
x x 2
1
γ −
⋅ == =−
α
.
γ) 2 1
1 2 1 2
x x1 1 2
1
x x x x 2
+
+ = = =−
⋅ −
.
δ) ( ) ( )
22 2 2
1 2 1 2 1 2x x x x 2x x 2 2 2 4 4 8+ = + − ⋅ = − − = + = .
ε) ( ) ( ) ( )
33 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 3x x x x 2 3 2 2 8 12 20+ = + − ⋅ + = − ⋅ − ⋅ = + = .

23
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
30)Να προσδιορίσετε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων χωρίς να υπολογίσετε
την διακρίνουσα τους.
α) x2 + 6x + 8 = 0 β) x2 - 8x + 15 = 0
γ) x2 + x - 12 = 0 δ) 3x2 - 7x + 2 = 0
31)Να σχηματίσετε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού που να έχει ρίζες τους α-
ριθμούς:
α) x1 = 4, x2 = 3 β) x1 = 4, x2 =
1
4
γ) x1 = α + β x2 = α - β δ) x1 = 5 + 2 , x2 = 5 - 2
32)Να βρείτε δύο αριθμούς :
α) με άθροισμα
5
6
και γινόμενο
6
1
β) με άθροισμα 2 και γινόμενο -1
33)Να βρεθεί το κ, όταν η εξίσωση κx2 - 4x - 35 = 0 έχει άθροισμα ριζών ίσο
με 1;
34)Ποιο είναι το κ όταν η εξίσωση 2x2 + κ (x - 6) = 0 έχει ρίζες των οποίων το
γινόμενο είναι -
1
2
;
35)Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες της εξίσωσης − − =2
x 6x 7 0 να υπολογιστούν οι
παραστάσεις:
α) +1 2x x β) 1 2x x γ) +
1 2
1 1
x x
δ) +2 2
1 2x x ε) +3 3
1 2x x .

24
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
§3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΘΕΜΑ 2Ο
Θεμα 2.1 Δίνεται η εξίσωση: ( )2 2
9 x 3λ − =λ − λ , με παράμετρο λ∈R (1)
α)Επιλέγοντας τρείς διαφορετικές πραγματικές τιμές για το λ, να γράψετε
τρείς εξισώσεις.
β)Προσδιορίσετε τις τιμές του λ∈R, ώστε η (1) να έχει μία και μοναδική λύση.
γ)Βρείτε την τιμή του λ∈R, ώστε η μοναδική λύση της (1) να ισούται με 4.
Θεμα 2.2 Δίνεται η εξίσωση: ( ) ( )( )2
1 x 1 2λ − = λ + λ + με παράμετρο λ∈R
α)Να λύσετε την εξίσωση για 1λ = και για 1λ = − .
β)Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την
απάντησή σας.
Θεμα 2.3 Δίνονται οι παραστάσεις: 2x 4Α= − και x 3Β= − όπου ο x εί-
ναι πραγματικός αριθμός.
α)Για κάθε 2 x 3≤ < να αποδείξετε ότι A B x 1+ = − .
β)Υπάρχει x∈[2,3) ώστε να ισχύει A B 2+ =; Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας.
Θεμα 2.4 Δίνεται η παράσταση:
3 5
5 3 5 3
Α= +
− +
α)Να δείξετε ότι: 4Α = .
β)Να λύσετε την εξίσωση: x A 1+ =.

25
Θεμα 2.5 Δίνεται η εξίσωση: 2
( 3)x 9α + = α − , με παράμετρο α∈R.
α)Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις:
i)Όταν 1α =
ii)Όταν 3α = −
β)Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και
να προσδιορίσετε τη λύση αυτή.
§3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΘΕΜΑ 2Ο
Θεμα 2.6 Δίνεται η εξίσωση ( )2
x 2 x 4 1 0− λ + λ − = , με παράμετρο λ∈R.
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης.
β)Αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R.
γ)Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή
του λ ισχύει: 1 2 1 2x x x x+ = ⋅ .
Θεμα 2.7
α)Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 3− =.
β)Αν α,β με α < β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να
λύσετε την εξίσωση 2
x x 3 0α ⋅ + β ⋅ + = .
Θεμα 2.8
α)Να λύσετε την εξίσωση x 2 3− =
β)Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης
του παραπάνω ερωτήματος.
x 2 x 4 1 0+ λ + λ − = , με παράμετρο λ∈R.
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης.
β)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε
λ∈R.

26
γ)Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή
του λ ισχύει: ( )
2
1 2 1 2x x x x 5 0+ + ⋅ + =
Θεμα 2.10 Δίνονται οι παραστάσεις
1 x
A
x 1
+
=
−
και 2
2
B
x x
=
−
, όπου ο x είναι
πραγματικός αριθμός.
α)Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει:
x 1≠ και x 0≠ .
β)Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A B= .
Θεμα 2.11
α)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: 2
2x 10x 12− + =
β)Να λύσετε την εξίσωση:
2
2x 10x 12
0
x 2
− + −
=
−
Θεμα 2.12 Δίνεται η παράσταση:
2
2
x 4x 4
2x 3x 2
− +
Κ =
− −
α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2
2x 3x 2− − .
β)Για ποιες τιμές του x∈R ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την α-
πάντησή σας.
γ)Να απλοποιήσετε την παράσταση K.
Θεμα 2.13 Δίνονται οι αριθμοί:
1
A
5 5
=
+
και
1
B
5 5
=
−
α)Δείξτε ότι:
1
A B
2
+ =
β)Δείξτε ότι :
1
A B
20
⋅ =
Θεμα 2.14 Δίνεται το τριώνυμο 2
x x 5λ + λ − , όπου λ∈R.
α)Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός 0x 1= , να προσδιορίσετε την
τιμή του λ.
β)Για 3λ = , να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο.

27
Θεμα 2.15 Δίνεται το τριώνυμο: 2
2x 5x 1+ −
α)Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, 1x και β)Να
βρείτε την τιμή των παραστάσεων: 1 2x x+ , 1 2x x⋅ και
1 2
1 1
x x
+
γ)Να προσδιορίσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς
1
1
x
και
2
1
x
.
Θεμα 2.16 Δίνεται το τριώνυμο ( )2
x 3 1 x 3− + − + .
α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: ( )
2
3 1∆= +
β)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο.
Θεμα 2.17
α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2
3x 2x 1− − .
β)Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση:
( ) 2
x 1
A x
3x 2x 1
−
=
− −
και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε.
γ)Να λύσετε την εξίσωση: ( )A x 1=
Θεμα 2.18 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν :
2α + β = και 2 2
30α β + αβ = −
α)Να αποδείξετε ότι: 15α ⋅β = − .
β)Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β
και να τους βρείτε.
x 1 x 6 0− λ − + = , (1) με παράμετρο λ∈R.
α)Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ.
β)Για 1λ = να λύσετε την εξίσωση (1)

28
x ( 1)x 1 0,λ − λ − − = με παράμετρο 0λ ≠ .
α)Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό −2.
β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε 0λ ≠ .
Θεμα 2.21 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
4α ⋅β = και 2 2
20α β + αβ = .
α)Να αποδείξετε ότι: 5α + β = .
β)Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να
τους βρείτε.
Θεμα 2.22 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
1α + β = − και 3 2 2 3
2 12α β + α β + αβ = −
α)Να αποδείξετε ότι: 12α ⋅β = − .
β)Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να
τους βρείτε.
Θεμα 2.23
α)Να βρείτε για ποιες τιμές του x η παράσταση
2
2
2x 1 1
x x 1 x
−
Π= +
− −
έχει νόημα
πραγματικού αριθμού.
β)Για τις τιμές του x που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση:
2
2
2x 1 1
0
x x 1 x
−
+ =
− −
Θεμα 2.24 Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 20 cmΠ = και εμβαδόν
2
E 24 cm= .
α)Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των
πλευρών αυτού του ορθογωνίου.
β)Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.

29
Θεμα 2.25
Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε: 12α + β = και
2 2
272α + β = .
α)Με τη βοήθεια της ταυτότητας 2 2 2
( ) 2α + β = α + αβ + β , να δείξετε ότι:
64α ⋅β = − .
β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς
α, β.
γ)Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α, β
Θεμα 2.26 Δίνονται οι αριθμοί:
1
3 7
Α =
−
,
1
3 7
Β =
+
α)Να δείξετε ότι: 3Α + Β = και
1
2
Α ⋅ Β =
β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς
Α,Β.
Θεμα 2.27 Το πάτωμα του εργαστήριου της πληροφορικής ενός σχολείου
είναι σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις (x 1)+ μέτρα και x μέτρα.
α)Να γράψετε με τη βοήθεια του x την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώ-
ματος.
β)Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι 90 τετραγωνικά μέτρα,
να βρείτε τις διαστάσεις του.
Θεμα 2.28 Δίνεται το τριώνυμο: 2
x x 2− κ − , με κ∈R
α)Να αποδείξετε ότι 0∆ > για κάθε κ∈R, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύ-
μου.
β)Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2
x 3x 2 0− − = (1),
i)Βρείτε το άθροισμα 1 2S x x= + και το γινόμενο 1P x= ⋅ 2x των ριζών της (1)
ii)Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες 1ρ , 2ρ , όπου
1 12xρ = και 2 22xρ = .

30
ΘΕΜΑ 4Ο
Θεμα 4.1 Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημή-
τρης τερμάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντιστοίχους χρόνους (σε λεπτά)
At , Bt , tΓ και t∆ , για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: A Bt t< , A Bt 2t
t
3
Γ
+
=
και A Bt t t t∆ ∆− = − .
α)i)Να δείξετε ότι: A Bt t
t
2
∆
+
=
ii)Να βρείτε τη σειρά με την οποία τερματίσανε οι αθλητές.
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Δίνεται επιπλέον ότι ισχύει: A Bt t 6+ =και A Bt t 8⋅ =
i)Να γράψετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς At
και Bt
ii)Bρείτε τους χρόνους τερματισμού των τεσσάρων αθλητών.
Θεμα 4.2 Δίνεται η εξίσωση: ( ) ( )2 2 2
x 1 x 1 0λ − λ − λ − + λ − = , (1) με παρά-
μετρο λ∈R
α)Να βρεθούν οι τιμές του λ∈R, για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθμού.
β)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ∈R που βρήκατε στο (α) ερώτημα η (1)
παίρνει τη μορφή: ( )2
x 1 x 1 0λ − λ + + =
γ)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ∈R που βρήκατε στο (α) ερώτημα η (1)
έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.
δ)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2ου βαθμού.
Θεμα 4.3 Δίνεται η εξίσωση 2 2
x 4x 2 0− + − λ = (1) με παράμετρο λ∈R.
α)Αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ∈R, η (1) έχει δυο ρίζες άνισες.
β)Αν 1x και 2x είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1):
i)Να βρείτε το 1 2S x x= + .
ii)Να βρείτε το 1 2P x x= ⋅ ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού λ.

31
γ)Αν η μια ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 3+ τότε:
i)να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 3−
ii)να βρείτε το λ.
Θεμα 4.4 Δίνεται το τριώνυμο: ( )2 2
x 1 xλ − λ + + λ , λ∈R−{0}
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώ-
νυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R−{0}
β)Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα
1 2S x x= + συναρτήσει του 0λ ≠ και να βρείτε την τιμή του γινομένου
1 2P x x= ⋅ των ρίζων.
γ)Αν 0λ < , τότε:
i)το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την
απάντησή σας.
ii)να αποδείξετε ότι 1 2 1 2x x 2x x+ ≥ , όπου 1x , 2x είναι οι ρίζες του παραπάνω
τριωνύμου.
Θεμα 4.5 Δίνεται το τριώνυμο: ( ) ( )2 2
f x x 1 x= λ − λ + + λ , με 0λ >
νυμο έχει ρίζες θετικές για κάθε 0λ > .
β)Αν οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου πα-
ραλληλογράμμου, τότε:
i)να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.
ii)να βρείτε την περίμετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ και να απο-
δείξετε ότι 4Π ≥ για κάθε 0λ > .
iii)για την τιμή του λ που η περίμετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 4, τι
συμπεραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Θεμα 4.6
α)Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: 4 2
x 7x 12 0− + =. Να δείξετε ότι η εξίσωση
αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσ-
διορίσετε.

32
β)Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη
διτετράγωνη εξίσωση: 4 2
x x 0+ β + γ = (1) με παραμέτρους β, γ∈R. Να δείξετε
ότι: Αν 0β < , 0γ > και 2
4 0β − γ > , τότε η εξίσωση (1) έχει τέσσερις διαφορε-
τικές πραγματικές ρίζες.
x 5x 0α − + α = , με παράμετρο 0α ≠ .
α)Να αποδείξετε ότι αν
5
2
α ≤ , τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς αριθ-
μούς, που είναι αντίστροφοι μεταξύ τους.
β)Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν 2α = .
γ)Να λύσετε την εξίσωση:
2
1 1
2 x 5 x 2 0
x x
   
+ − + + =   
   
Θεμα 4.8 Δίνεται η εξίσωση: 1 2S x x= + με παράμετρο λ∈R.
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (1).
β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για
κάθε λ∈R.
γ)Αν 1x , 2x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1), να βρεθούν οι τιμές του λ∈R
για τις οποίες ισχύει: ( )1 .
Θεμα 4.9
α)Να λύσετε την εξίσωση: 2
x 3x 4 0− − = (1).
β)Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει:
2 2
3 4 0α − αβ − β = .
i)Να αποδείξετε ότι ο αριθμός
α
β
είναι λύση της εξίσωσης (1).
ii)Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β.
Θεμα 4.10 Δίνεται η εξίσωση: 2 2
x x 0− + λ − λ = με παράμετρο λ∈R (1)
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση
έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R

33
β)Για ποια τιμή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες;
γ)Αν
1
2
λ ≠ και 1x , 2x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε
για ποιες τιμές του λ ισχύει ( )
( )1 2
1 2
1
d x ,x
d x ,x
=
Θεμα 4.11 Μία υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν
εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός x, να δίνει ως εξαγόμενο τον
αριθμό λ που δίνεται από τη σχέση: ( )
2
2x 5 8xλ= + − (1)
α)Αν ο εισαγόμενος αριθμός είναι το −5, ποιος είναι ο εξαγόμενος;
β)Αν ο εξαγόμενος αριθμός είναι το 20, ποιος μπορεί να είναι ο εισαγόμενος;
γ)Να γράψετε τη σχέση (1) στη μορφή ( )2
4x 12x 25 0+ + − λ = και στη συνέ-
χεια:
i)να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός x, ο
εξαγόμενος αριθμός λ δεν μπορεί να είναι ίσος με 5.
ii)να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του εξαγόμενου αριθμού λ.
Θεμα 4.12 Δίνεται η εξίσωση 2
x x 0− β + γ = με β, γ πραγματικούς αριθ-
μούς.
Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει
1 2x x 4+ =, τότε:
α)Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β.
β)Να αποδείξετε ότι 4γ < .
γ)Δίνεται επιπλέον η εξίσωση (1)
Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η
εξίσωση (1) δεν έχει πραγματικές ρίζες.

34
Θεμα 4.13 Δίνεται η εξίσωση , όπου α, β δύο θετικοί αριθμοί.
α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι: .
β)Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των αριθμών α, β, έτσι ώστε η εξίσωση να έχει
δύο ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των α, β.
γ)Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι και , τότε να αποδείξετε ότι: .
Θεμα 4.14 Δίνεται η εξίσωση , με παράμετρο λ∈R−{0}.
α)Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή
σταθερή.
β)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ.
γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον
άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με 2 μονάδες.
Θεμα 4.15 Δίνεται το τριώνυμο , λ∈R−{0}.
νυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R−{0}.
β)Αν , είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα συναρτήσει
του και να βρείτε την τιμή του γινομένου των ριζών.
γ)Αν , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε
την απάντηση σας.
δ)Για κάθε , αν , είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι .
Θεμα 4.16 Δίνεται το τριώνυμο , λ∈R−{0}.
νυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R−{0}.
β)Αν , είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα συναρτήσει
του και να βρείτε την τιμή του γινομένου των ριζών.
γ)Αν , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε
την απάντηση σας.

Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020

Similar to Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020 (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020