1. 臺北市立中山女高九十九學年度第二學期第一次段考高三自然組數學試題
班級﹕ 座號﹕ 姓名﹕ 得分﹕
一、 填充題﹕第 1 題每格 2 分﹐第 2～11 題每格 6 分﹐共 80 分﹒
1. 下列各題敘述正確請打「○」﹐錯誤請打「╳」﹒
（ ）(1) 若函數 f (x)在 x  a 連續﹐則 lim f ( x )  f (a) ﹒
x a
（ ）(2) 若函數 f (x)在 x  a 的極限值 lim f ( x ) 存在﹐則 f (x)在 x  a 連續﹒
x a
（ ）(3) 若函數 f (x)在 x  a 處可微分﹐則 f (x)在 x  a 處連續﹒
f ( x)  f (a )
（ ）(4) 若函數 f (x)在 x  a 處連續﹐則 lim 存在﹒
x a xa
（ ）(5) 若 lim( f ( x)  g ( x )) 存在﹐則 lim( f ( x)  g ( x ))  lim f ( x )  lim g ( x ) ﹒
x a x a xa x a
（ ）(6) 若多項式函數 f (x)滿足 f ' (a)  0﹐則 f (a)為 f (x)的一個極值﹒
（ ）(7) 若點(a , f(a))為多項函數 f (x)圖形的反曲點﹐則 f '' (a)  0﹒
（ ）(8) 若 f '' (a)  0﹐則點(a , f(a))為多項函數 f (x)圖形的反曲點﹒
（ ）(9) 若多項式 f (x)有因式(x  a)2﹐則 f ' (a)  0﹒
（ ）(10) 若 f ' (a)  0﹐則(x  a)2 為多項式 f (x)的因式﹒
x 1  2
2. lim  ____________﹒
x 3 x3
x 3  ax  b
3. 設 a﹐b 為實數﹐若 lim  3 ﹐則數對(a , b)  ____________﹒
x 2 x2  4
f (1  2h)  5
4. 設 f (x)  x4  3x3  4x2  2x  1﹐則 lim  ____________﹒
h 0 h
5. 設 f (x)  (x  1)(2x  1)(3x  1)﹐則 f ' (1)  ____________﹒
6. 函數 f (x)  x2  2x  3﹐則其圖形上以 P (  1 , 6)為切點的切線方程式為____________﹒
f ( x)
7. 設三次多項函數 f (x)在 x   2 有極大值 0﹐且 lim  9 ﹐則函數 f (x)的反曲點坐標為
x 1 x 1
____________﹒
8. 設(x2  3x  1)10 除以 x  1 的商式為 Q(x)﹐則多項式 Q(x)展開式中﹐所有項的係數和為
____________﹒
9. 三次多項函數 f (x)  x3  3x2  9x  k 在點 A 與 B 分別為圖形的極大值點與極小值點﹐若點
A﹑B 與坐標原點三點共線﹐則實數 k 值為____________﹒
10. 三次多項式函數 f (x)﹐若 f (1)  f ' (1)  0 且圖形的反曲點坐標為(0 , 2)﹐則 f (x) 
____________﹒
11. 設函數 f (x)  4x3  6ax2  6ax  3 在實數 上為遞增函數﹐則實數 a 值的範圍為
____________﹒
二、 計算證明題﹕每題 10 分﹐共 20 分﹒
1. 設 f (x)  x|x|﹐ x 
-1-

2. (1)試作 f (x)的圖形﹒
(2)說明 f (x)在 x  0 是否連續﹖
(3)說明 f (x)在 x  0 是否可微﹖
2. 已知函數 f (x)  x3  x2  2x  1﹐試求過點 P (1 , 1)且與函數 y  f (x)圖形相切的直線方程式﹒
解答
一、 填充題﹕
1.(1) 1.(2) 1.(3) 1.(4) 1.(5)
○ ╳ ○ ╳ ╳
1.(6) 1.(7) 1.(8) 1.(9) 1.(10)
╳ ○ ╳ ○ ╳
2. 3. 4. 5. 6.
1 4x  y  2
(0 ,  8)  22 2
4 0
7. 8. 9. 10. 11.
x3  3x  2a
(  1 ,  2) 10 3
2 0
二、 計算證明題﹕
1.(1) 1.(2) 1.(3)
f (x)在 x  f (x)在 x 
略
0 連續 0 可微分
2.
3x  y  2  0 或
xy20
-2-

3. 解析
一、 填充題﹕
1. (1)○
(2)╳﹐f (x)在 x  a 連續﹐則 f (x)在 x  a 的極值 lim f ( x ) 存在﹐
x a
( x  1)( x  3)
試算﹕ f ( x )  ﹐ lim f ( x)  4 ﹐但 f (x)在 x  1 處不連續
x 1 x 1
(3)○
(4)╳﹐連續函數不一定可微分
(5)╳﹐當 lim f ( x ) 與 lim g ( x) 存在時﹐ lim( f ( x )  g ( x))  lim f ( x )  lim g ( x ) 才成立
x a x a x a xa x a
3 2
(6)╳﹐f (x)  x ﹐f ' (x)  3x  0﹐a  0
圖形為
則 f (a)不是 f (x)的極值
(7)○
(8)╳﹐f '' (a)  0 時﹐須 x  a﹐f (x)的凹向與 x  a 時 f (x)的凹向相反﹐
則 x  a 處(a , f (a))才為 f (x)的反曲點﹒
f '' (x)  (x  1)2  0  x  1﹐f '' ( 1  )>0﹐f '' ( 1  )  0
則 x  1 處不為反曲點
(9)○
(10)╳﹐f (a)  f ' (a)  0 時  f (x)  0 有(x  a)2 的因式
( x  1  2)( x  1  2) x 1 4 1 1 1
2. lim  lim  lim   ﹒
x 3
( x  3)( x  1  2) x 3
( x  3)( x  1  2) x 3
x 1  2 22 4
3. 8  2a  b  0  b   8  2a
3
x  ax  8  2a ( x 3  8)  a ( x  2) x2  2x  4  a
lim  lim  lim 3
x2 x2  4 x2 x2  4 x 2 x2
444a
 3  a  0﹐b   8
4
故(a , b)  (0 ,  8)﹒
f (1  2h)  f (1)  f (1)  5
4. lim 2
h 0 2h
f (1  2h)  f (1)  5  5 f (1  2h)  f (1)
 lim( )  2  lim( )  2  f (1)  2
h 0 2h h 0 2h
 (4 x 3  9 x 2  8 x  2 )  2  22 ﹒
x 1
-3-

4. 5. f ' (x)  1  (2x  1)(3x  1)  (x  1)  2(3x  1)  (x  1)(2x  1)  3
f ' (1)  (1)  (1)(2)  (0)(2)(2)  0(1)(3)  2﹒
6. P (  1 , 6)代入  6  1  2  3﹐∴ P 點在 f (x)上
y6 x 1
故切線為  x  2 3  4x  y  2  0﹒
2 2
7. 設 f (x)  ax3  bx2  cx  d  0
f (  2)   8a  4b  2c  d  0……
f ' (x)  3ax2  2bx  c
f ' (  2)  12a  4b  c  0……
f (1)  0  a  b  c  d  0……
解  b  3a﹐c  0﹐d   4a
2b 6a
f '' (x)  6ax  2b  0﹐ x    1
6a 6a
又 f (x)  ax3  3ax2  4a  a(x  1)(x  2)2
f ( x)
lim 9  lim(a ( x  2)2 )  9  9a  9  a1
x 1 x 1 x 1
f (x)  x3  3x2  4﹐f (  1)   1  3  4   2
故反曲點為(  1 ,  2)﹒
8. f (x)  (x2  3x  1)10  (x  1)Q (x)  r
代入 x  1  (1  3  1)10  0  Q(1)  r  r  1
f ' (x)  10(x2  3x  1)9(2x  3)  Q (x)  (x  1)Q' (x)
f ' (1)  10(1  3  1)9(2  3)  Q (1)
Q (1)  10
故係數和為 10﹒
9. f ' (x)  3x2  6x  9  0  x3或 1
A (  1 , k  5)﹑B (3 , k  27)﹑O (0 , 0)
∵ A﹑B﹑O 共線﹐∴ mAO  mBO
k  5 k  27

1 3
故 k  3﹒
10. 設 f (x)  ax3  bx2  cx  d
f ' (x)  3ax2  2bx  c
f '' (x)  6ax  2b
a  b  c  d  0 a  1
3a  2b  c  0 c   3
 
  
2b  0 b  0
2  d
 d  2

故 f (x)  x3  3x  2﹒
-4-

5. 11. f ' (x)  12x2  12ax  6a 為遞增函數
∴ 12x2  12ax  6a  0  2x2  2ax  a  0
D  4a2  4  2  a  0  a2  2a  0  2a0
故 a 之範圍為  2  a  0﹒
二、 計算證明題﹕
x 0 1 2
1. (1)當 x  0﹐f (x)  x2﹐
y 0 1 4
x 0 1 2
當 x  0﹐f (x)   x2﹐
y 0 1 4
(2) lim f ( x)  lim ( x 2 )  0 ﹐ lim f ( x )  lim x 2  0

x 0 x0 x 0 x 0
又 lim f ( x)  f (0)  0
x0
∴ f (x)在 x  0 連續﹒
f ( x )  f (0) x2
(3) lim  lim  lim x  0
x 0  x 0 x  0 x x  0
f ( x)  f (0)  x2
lim  lim  lim ( x )  0
x 0  x0 x 0  x x  0
∴ f (x)在 x  0 處可微﹒
2. 設切點為(a , a3  a2  2a  1)
f ' (a)  3a2  2a  2﹐切線 y  (a3  a2  2a  1)  (3a2  2a  2)(x  a)
P (1 , 1)代入  1  a3  a2  2a  1  3a2  2a  2  3a3  2a2  2a
 2a3  2a2  2a  2  0  a1或 1
當 a  1 時﹐切點(1 , 1)﹑f ' (1)  3  切線 y  1  3(x  1)  3x  y  2  0
當 a   1 時﹐切點(  1 , 3)﹑f ' (  1)   1  切線 y  3   1(x  1)
 x  y  2  0﹒
-5-