gelombang

1. Modul II
Spektrum dari bentuk Gelombang
2.1 PENGANTAR
Suara manusia adalah suatu besaran fisik, yg dihasilkan oleh pita suara dan
kemudian merambat melalui udara sehingga sampai ketelinga kita, telinga mendeteksi
variasi tekanan udara (dalam waktu), sehingga telinga dapat mendengar suara.
Rambatan suara manusia ini dapat digambarkan sebagai bentuk gelombang dalam
fungsi waktu. Dalam dunia telekomunikasi, suara manusia yang akan dikirim melalui
saluran komunikasi, biasanya dirubah dahulu menjadi sinyal listrik, sebagai variasi
tegangan atau arus listrik dalam fungsi waktu yang berbentuk gelombang, sehingga
sering disebut sebagai sinyal berbentuk Gelombang (Signal waveform).
Dalam dunia komunikasi, bentuk gelombang dalam waktu dari sinyal dapat
direpresentasikan dengan serangkaian gelombang-gelombang sinus dan kosinus.
Representasi semacam ini dinamakan spektrum dari sinyal itu. Istilah spektrum bisa
juga diartikan dengan kandungan frekwensi beserta level amplitudonya, jika kita ingin
menggambar spectrum, maka sumbu-x adalah frekwensi dan sumbu-y tinggi amplitudo.
Proses merubah /transformasi dari sinyal domein waktu (gelombang analog dlm waktu)
menjadi sinyal domein frekwensi (spektrum) dapat dilakukan dengan bantuan analisis
fourier. Analisa ini sangat berguna untuk memahami cara kerja peralatan transmisi data
dan modem. Alasan mengapa gelombang sinus (atau kosinus) dipilih sebagai bentuk-
gelombang dasar adalah karena respons suatu saluran pada gelombang jenis ini dapat
ditentukan dengan mudah secara matematis dan dengan pengukuran, dan hasilnya juga
dapat diperluas sehingga mencakup juga gelombang yang direpresentasikan oleh
(banyak) serangkaian gelombang-gelombang sinus atau kosinus.
Suatu bentuk-gelombang sinusoida diperlihatkan dalam Gambar 2.1(a), bentuk
ini dapat dilukiskan dengan persamaan sbb:
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 1

2. v = Vmax sin (2π f t) (2.1)
Gambar 2.1. (c) Bentuk-gelombang persegi; (d) Spektrum frekuensi dari gelombang
persegi; (e) Suatu gelombang persegi yg berisi tegangan dc positif; (f)
Spektrum frekuensi.
Sebagal alternatjf, bila titik-asal (origin) waktu-nol dimulai pada 0‘ (Lihat gambar 2.1.a)
dan bukannya pada 0, maka gelombang itu dapat dilukiskan oleh
v = Vmax cos (2π f t) (2.2)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 2
Gambar 2.1. (a) bentuk gelombang tegangan sinusoida. (b) Spektrum dari gelombang
sinusoida

3. Karena pilihan titik asal waktu adalah sembarang (arbitrary), maka pilihan untuk
melukiskan gelombang dengan sinus atau kosinus biasanya tidak penting. Perlu dicatat
bahwa Persamaan (2.1.) dapat dinyatakan sebagai:
Spektrum dari gelombang sinusoida adalah hanya suatu garis lurus dengan tiniggi V dan
ditempatkan pada frekwensi f pada sumbu frekuensi, seperti terlihat dalam Gambar
2.1(b). Spektrum amplitudo tidak memperhitungkan apakah gelombang itu
direpresentasikan oleb sinus atau kosinus. Suatu grafik sudut fase/frekuensi yang
terpisab dapat diperlihat kan bila informasi mi diperlukan.
2.2. Gelombang-gelombang periodik yg komplek
Setiap bentuk gelombang yang bukan gelombang sinus atau kosinus, yang
berulang kembali pada setiap selang waktu yang teratur (regular interval) dinamakan
gelombang berulang kompleks (complex repetitive wave). Periode T, dimana gelombang
berulang, disebut waktu periodik (periodic time). Contoh sinyal seperti ini adalah bentuk
gelombang persegi/kotak, gelombang segitiga, dll. Spektrum untuk setiap gelombang
periodik kompleks dapat diperoleh dengan metoda matematis yang dikenal sebagai
analisis Fourier. Menurut Yoseph Fourier, setiap gelombang komplek dapat diurai
menjadi gelombang-gelombang sinus/kosinus, dimana jika gelombang2 tadi dijumlahkan
maka akan menghasilkan bentuk gelombang komplek. Gelombang persegi yang
ditunjukkan dalam Gambar 2.1 (c) dapat direpresentasikan dengan deret Fourier
(Fourier series), penjumlahan gelombang sinus / kosinus dg frekwensi harmonisnya,
berikut:
Perhatikanlah bahwa bentuk simetris dari gelombang persegi terhadap sumbu-
sumbunya adalah serupa dengan suatu gelombang kosinus, dan karena itu deret pada
rumus (2.4) hanya mengandung suku-suku kosinus.
Deret tersebut mempunyai jumlah suku (termin) yang tak-berhingga banyaknya,
tetapi dapat dilihat bahwa amplitudo masing-masing suku mengecil sebanding dengan
1/n. Terlihat juga bahwa deret itu hanya mengandung harmonisa-harmonisa ganjil (yaitu,
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 3
(2.3)
(2.4)

4. unsur-unsur pada frekuensi f, 3f, 5f dan seterusnya). Spectrum untuk gelombang
persegi ditunjukkan dalam Gambar 2.1(d).
Harus dipahami dengan jelas bahwa spektrum tersebut bukan hanya sekedar
cara lain (matematis) untuk melukiskan suatu gelombang. Di dalam gelombang persegi,
misalnya, komponen gelombang-gelombang kosinus (secara fisik) sama nyatanya
dengan bentuk-gelombang waktu aslinya dan benar-benar dapat disaring keluar dengan
menggunakan filter-filter yang selektif terhadap frekuensi-frekuensinya. Gambar 2.2.
memberikan gambaran bahwa penjumlahan dari beberapa komponen gelombang dg
frekwensi f, 3f, 5f, akan menghasilkan gelombang yg mendekati bentuk gelombang
persegi, digambarkan dengan garis putus-putus.
Gambar 2.2. Hasil penjumlahan 3 buah komponen sinusoida mendekati bentuk
gelombang persegi
Gelombang pada Gambar 2.1.(e) adalah gelombang hasil penjumlahan
gelombang pada gambar 2.1.(c) dengan sinyal DC (sinyal dg frekwensi nol), sinyalnya
seperti dinaikkan keatas. Spektrum frekwensi bertambah, dg munculnya komponen
pada frekwensi nol, lihat gambar 2.1.(f). Komponen frekuensi-nol ini tidak lain adalah
nilai rata-rata, atau nilai ‘dc’ dari sebuah bentuk gelombang, dan adalah juga nilai yang
akan terbaca pada suatu volt meter, seperti misalnya sebuah multimeter kumparan-
bergerak (moving coil meter). Setiap bentuk gelombang yang luasnya tidak simetris
terhadap sumbu waktu, pasti akan mernpunyai komponen frekuensi-nol (sinyal DC).
Deret untuk gelombang persegi dalam Gambar 2.1. (e) adalah
di mana terlihat bahwa komponen frekuensi-nol atau sinyal DC-nya adalah V.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 4
(2.5)

5. Rentetan pulsa-pulsa persegi yang tenlihat dalam Gambar 2.3 (a) mempunyai
spektrum seperti dalam Gambar 2.3 (b). Bentuk mi mempunyai sebuah komponen
frekuensi nol dan mengandung baik harmonisa-hanmonisa genap maupun ganjil (jadi,
komponen komponen pada frekuensi f, 2f, 3f, 4f, dan seterusnya, di mana f = I/T.
Amplitudo dari komponen spektrum tersebut tergantung pada perbandingan dan
“lebar” pulsa (waktu) dan waktu periodic, τ/T, sehingga deretnya diberikan oleh berikut
ini:
di mana x = πτ / T . Deret tersebut ditulis dengan cara ini karena fungsi (sin nx) / nx
adalah suatu fungsi matematis yang sangat terkenal dan dapat dengan mudah diperoleh
dalam bentuk daftar. Amplitudo dari harmonisa “yang ke-n” terlihat sama dengan
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 5
Gambar 2.3. (a) Rentetan pulsa-pulsa tegangan persegi yang berarah-positif; (b)
Spektrum frekuensi-nya; (c) Sebuah pulsa tegangan persegi tunggal
berarah-positif; (d) Fungsi kerapatan spektrum suatu pulsa tunggal
(2.6)
(2.7)

6. Dengan membiarkan T mendekati tak-berhingga, rentetan pulsa-pulsa persegi
akan mendekati sebuah pulsa tunggal seperti terlihat pada gambar 2.3 (c). Demikian
pula, sementara T  ∞ , f  0 dan jarak pemisah antara komponen-komponen
harmonisa mengecil, menjadi nol, sehingga spectrum menjadi kontinyu, seperti tampak
pada gambar 2.3. (d). Dengan bentuk kontinyu ini berarti tidak ada lagi frekwensi-
frekwensi harmonisa yang terpisah (diskrit), dan hanya selubung (envelope) dari
spectrum saja yang dapat ditentukan. Selubung ini diberikan oleh rumus berikut ini:
V(f) dalam hal ini adalah menggambarkan kerapatan spektrum (spectrum density) dan
satuannya adalah volt / frekwensi, V / Hz. Pulsa tunggal merupakan suatu contoh dari
gelombang tidak berulang (non-repetitive), dan telah dibahas disini karena sifat-sifatnya
dapat dengan mudah diturunkan dari sifat-sifat bentuk gelombang pulsa berulang.
Sebuah fungsi lain yang juga sering dijumpai dalam praktek adalah gelombang
gigi-gergaji, yang ditunjukkan pada gambar 2.4. (a) dibawah ini. Bentuk gelombang
seperti ini sering juga disebut bentuk segitiga lereng-curam (rising-ramp triangular
waveform). Deret fourier untuk bentuk ini adalah sbb:
Spektrumnya dapat dilihat pada gambar 2.4.(b).
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 6

7. Gambar 2.4. (a) Bentuk gelombang tegangan gigi-gergeji; (b) Spektrum frekuensinya.
2.3. Efek Bandwidth yg terbatas pada sinyal
Bandwidth yg terbatas dapat terjadi karena 2 hal, pertama memang medium
transmisinya memiliki jangkauan frekwensi yang terbatas. Kedua, secara sengaja
dibatasi oleh filter, karena tujuan tertentu. Untuk dapat mengetahui efek bandwidth yang
terbatas pada jaringan transmisi, kita dapat membayangkan sebuah sinyal listrik yang
mempunyai frekwensi spectrum (kandungan frekwensi) yang banyak dan amplitudonya
A. Seperti telah dinyatakan sebelumnya bahwa setiap fungsi periodic dapat diwakili oleh
sejumlah fungsi sinusoidal sederhana (analisis fourier). Setiap fungsi dg periode T
(frekwensinya f = 1 / T) dapat dianggap sebagai jumlah fungsi sinus yang frekwensinya
merupakan kelipatan integral dari f. Analisis Fourier ini dapat ditulis sbb:
Fungsi yang dibicarakan ini diwakili oleh serangkaian komponen sinusoidal (spectrum)
dg amplitude yang berbeda (semakin turun dg naiknya frekwensi) pada frekwensi f, 2f,
3f dan seterusnya, ini yang disebut sbg Harmonisa / Harmoni. Bila sebuah Biola digesek
dan memancarkan frekwensi natural (aslinya/alaminya) 200 Hz, maka dia akan
mempunyai frekwensi harmoni pada frekwensi 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz dan seterusnya,
dimana besar amplitudonya An semakin mengecil dg naiknya frekwensi, amplitudonya
sangat kecil pada frekwensi Harmonisa yang tinggi.
Bila kita ingin mengirim sinyal asli tadi persis suara aslinya, maka kita harus
mentransmisikan semua harmonisa tadi. Jika kita tidak mentransmisikan semua
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 7

8. frekwensi Harmonisa tadi (karena alasan bandwidth yg terbatas) maka sinyal yg ada
hanya merupakan pendekatan saja dari sinyal aslinya. Nada biola tadi akan sangat
terdengar nyata jika direproduksi pada perangkat hi-fi yang frekwensinya berjangkauan
sampai 18.000 Hz. Tapi jika sinyal biola ini dikirim melalui saluran telepon yang
bandwidthnya adalah 3 kHz, bisa dipastikan suara asli biola akan hilang, suara yg
terdengar nyaris bukan suara biola, karena banyak frekwensi Harmoninya yang tidak
terkirim.
Hal yang sama juga terjadi pada transmisi data, jika kita hanya memiliki
bandwidth yang terbatas dan kita ingin mengirim data dg laju bit yg maksimal, maka kita
tidak dapat mengirim semua frekwensi Harmoninya. Ingat ketika mengirim data Bit
faktanya kita mengirim pulsa kotak, dan pulsa kotak memiliki kandungan frekwensi
harmonisa yg komplek (lihat paragraph 2.2), satu pulsa kotak pada hakekatnya
dihasilkan oleh penjumlahan sinyal sinusoida dg frekwensi f, ditambah frekwensi
harmoni 3f, 5f dst.
Hal ini diilustrasikan dengan gambar 2.5 Dibawah ini. Suatu pengiriman data dg
laju 2000 bps, dengan menggunakan bandwidth yang berbeda-beda. Jika menggunakan
bandwidth 500 Hz, hasilnya bahkan tidak menyerupai pulsa bit sama sekali, bit satu
tidak terbaca, karena sinyal yang dikirim hanya sinyal sinus dg frekwensi 500 Hz. Jika
menggunakan bandwidth 1000 Hz, sinyal terkirim adalah sinyal sinus dg frekwensi 1000
Hz, masih memungkinkan utk dibaca tapi membutuhkan peralatan canggih utk bisa
memulihkan bit-nya. Pada bandwidth 2000 Hz, sinyal terkirim sudah semakin mirip, dg
peralatan yg baik bit 1 dan bit 0 dapat dikenali. Jika menggunakan bandwidth 4000 Hz,
sinyal terkirim sangat mirip dengan aslinya, apalagi jika menggunakan bandwidth 6000
Hz.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 8

9. Jadi bandwidth yang terbatas atau proses filter, akan berdampak pada tidak
terkirimnya frekwensi harmoni yang lainya, jika sinyal hanya terkirim harmoni
pertamanya saja maka hasilnya akan buruk. Kita dapat melihat pulsa kotak dibawah ini
(gambar 2.6), dimana pulsa persegi/kotak merupakan penjumlahan dari frekwensi
harmoni pertama, ketiga, kelima dst. Jika pulsa dg laju 2000 bps, dan bandwidth yg
digunakan hanya 2000 Hz maka yg terkirim hanya harmoni pertamanya saja, jadi
berupa sinyal sinus dg frekwensi 2000 Hz, Harmoni ketiga dan kelima tidak dapat
terkirim, sinyal kurang mirip dg sinyal aslinya. Sinyal terkirim akan mendekati aslinya jika
frekwensi harmoni ketiga dan kelima juga dikirim, artinya pengiriman membutuhkan
bandwidth minimal 10.000 Hz. Itulah mengapa pada perlatan hi-fi suara musik sangat
mendekati aslinya karena dia menggunakan jangkauan Bandwidth sampai 18.000 Hz.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 9
Gambar 2.5. Efek bandwidth pada kualitas transmisi pulsa.
Gambar 2.6. Tiga harmonik pertama yang menyusun pola bit 0 1 0 1 0 1 0 1 Jumlah ketiga
harmoni pertama perkiraan mewakili pola gelombang bit yang ditransmisikan,

10. Jadi bandwidth yang terbatas atau proses filter, akan berdampak pada tidak
terkirimnya frekwensi harmoni yang lainya, jika sinyal hanya terkirim harmoni
pertamanya saja maka hasilnya akan buruk. Kita dapat melihat pulsa kotak dibawah ini
(gambar 2.6), dimana pulsa persegi/kotak merupakan penjumlahan dari frekwensi
harmoni pertama, ketiga, kelima dst. Jika pulsa dg laju 2000 bps, dan bandwidth yg
digunakan hanya 2000 Hz maka yg terkirim hanya harmoni pertamanya saja, jadi
berupa sinyal sinus dg frekwensi 2000 Hz, Harmoni ketiga dan kelima tidak dapat
terkirim, sinyal kurang mirip dg sinyal aslinya. Sinyal terkirim akan mendekati aslinya jika
frekwensi harmoni ketiga dan kelima juga dikirim, artinya pengiriman membutuhkan
bandwidth minimal 10.000 Hz. Itulah mengapa pada perlatan hi-fi suara musik sangat
mendekati aslinya karena dia menggunakan jangkauan Bandwidth sampai 18.000 Hz.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Nacep Suryana, M.Sc. SISTEM KOMUNIKASI 9
Gambar 2.5. Efek bandwidth pada kualitas transmisi pulsa.
Gambar 2.6. Tiga harmonik pertama yang menyusun pola bit 0 1 0 1 0 1 0 1 Jumlah ketiga
harmoni pertama perkiraan mewakili pola gelombang bit yang ditransmisikan,