Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang lingkaran, termasuk definisi, persamaan, pusat, dan jari-jari lingkaran. Terdapat beberapa soal dan penyelesaiannya mengenai menentukan persamaan, pusat, dan jari-jari lingkaran berdasarkan informasi yang diberikan.

1. LINGKARAN
 MATPEL : MATEMATIKA
 KELAS : XI
 OLEH : JERRY ERLANGGA
 SMKN 26 JAKARTA
1

2. LINGKARAN
PENDAHULUAN
DEFINISI LINGKARAN
LINGKARAN DENGAN PUSAT O JARI-JARI r
POSISI TITIK (a,b) PADA LINGKARAN
PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT(a,b) dan
JARI-JARI r
PERSAMAAN UMUM LINGKARAN
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
PENUTUP
2

3. 3

4. 4
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
persamaan lingkaran
yang memenuhi kriteria tertentu

5. 5
LingkaranLingkaran
tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama
terhadap suatu titik tetap.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari
dan titik tetap itu disebut
pusat lingkaran

6. 6
Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran
Pusat O(0,0) dan jari-jari r
MENURUT TEOREMA PHYTAGORAS PERSAMAAN
LINGKARAN MELALUI TITIK P(x, y) ADALAH:
xx22
+ y+ y22
= r= r22
x
O
rrr
P(x,y)
x
y
r = jari-jari

7. Pengantar untuk Lingkaran
7
rjari-jaridanO(0,0)diBerpusat
arannyaPers.Lingk}ryx|y){(x,L
atau}r0)(y0)-(x|y){(x,L
}r0)(y0)-(x|y){(x,L
r}OP|y){(x,L
BUKTINYA
222
222
22
=+≡
=−+≡
=−+≡
=≡

8. 8
222
ryxL
lingkaranpadab)P(a,titikPosisi
=+≡
r
P(x,y)
x
y
0
r
P(x,y)
x
y
0
r
P(x,y)
x
y
0
222
ryx
Lpadab)P(a,
=+ 222
ryx
Ldalamdib)P(a,
<+ 222
ryx
Lluardib)P(a,
>+

9. 9
Soal 1
Persamaan lingkaran
pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:
a. r = 5 adalah x2
+ y2
= 25
b. r = 2½ adalah x2
+ y2
= 6¼
c. r = 1,1 adalah x2
+ y2
= 1,21
d. r = √3 adalah x2
+ y2
= 3

10. 10
Soal 2
Persamaan lingkaran
pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1)
adalah….

11. 11
PenyelesaianPenyelesaian
Misal persamaan lingkaran yang
berpusat di O(0,0) dan jari-jari r
adalah x2
+ y2
= r2
melalui (3,-1) → 32
+ (-1)2
= r2
r2
= 9 + 1
= 10
Jadi, persamaan lingkarannya
adalah x2
+ y2
= 10

12. 12
Soal 3Soal 3
Pusat dan jari-jari lingkaran:
a. x2
+ y2
= 16 adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 4
b. x2
+ y2
= 2¼ adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½
c. x2
+ y2
= 5 adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = √5

13. 13
Soal 4Soal 4
Persamaan lingkaran yang sepusat
dengan lingkaran x2
+ y2
= 144
tetapi panjang jari-jarinya setengah
dari panjang jari-jari lingkaran
tersebut adalah….

14. 14
PenyelesaianPenyelesaian
Lingkaran x2
+ y2
= 144
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
r = √144 = 12 → ½r = 6
Persamaan lingkaran yang
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
r = 6 adalah x2
+ y2
= 62
x2
+ y2
= 36

15. 15
Soal 5Soal 5
Jika titik (2a, -5) terletak pada
lingkaran x2
+ y2
= 41 maka
nilai a adalah….

16. 16
PenyelesaianPenyelesaian
Titik (2a, -5) terletak pada
lingkaran x2
+ y2
= 41,
berarti (2a)2
+ (-5)2
= 41
4a2
+ 25 = 41
4a2
= 41 – 25 = 16
a = 4 → a = 2 atau a = -2

17. 17
Soal 6Soal 6
Persamaan lingkaran yang koordinat
ujung-ujung diameternya A(2,-1)
dan B(-2,1) adalah….

18. 18
PenyelesaianPenyelesaian
Diameter = panjang AB
=
=
A(2,-1)
B(-
2,1)
diameter
22
))1(1()22( −−+−−
5220416 ==+

19. 19
Diameter = panjang AB
= 2√5
Jari-jari = ½ x diameter
= ½ x 2√5
= √5

20. 20
Koordinat pusat =
= (0,0)
A(2,-1)
B(-
2,1) Pusat





 −++−
2
)1(1
,
2
22

21. 21
Jadi,
persamaan lingkarang yang
jari-jari = √5 dan pusat (0,0)
adalah x2
+ y2
= (√5)2
x2
+ y2
= 5

22. Contoh 7
22
58yxpersamaandenganlingkaranterhadap(2,1)
dan(8,9)(3,7),(4,-5),titik-titikposisiTentukan
22
=+

23. Jawab :
23
lingkarandidalamterletak(2,1)maka
r512:(2,1)Posisi
lingkarandiluarterletak(8,9)maka
r14598:(8,9)Posisi
lingkaranpadaterletak(3,7)maka
r5873:(3,7)Posisi
lingkarandidalamterletak(4,-5)maka
r41)5(4:(4,-5)Posisi
58rdanO(0,0)Pusatnya
222
222
222
222
2
<=+
>=+
==+
<=−+
=

24. 24
(x – a)(x – a)22
+ (y - b)+ (y - b)22
= r= r22
Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jariPusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari
a
(a, b)b
(0,0)
Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran
Pusat (a,b) dan jari-jari rPusat (a,b) dan jari-jari r
x
y

25. 25
Soal 1Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
a. (x – 3)2
+ (y – 7)2
= 9
jawab: pusat di (3,7) dan
jari-jari r = √9 = 3
b. (x – 8)2
+ (y + 5)2
= 6
jawab: pusat di (8,-5) dan
jari- jari r = √6

26. 26
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
c. (x + 3)2
+ (y – 5)2
= 24
jawab: pusat di (-3,5) dan
jari-jari r = √24 = 2√6
d. x2
+ (y + 6)2
= ¼
jawab: pusat di (0,-6) dan
jari- jari r = √¼ = ½

27. 27
Soal 2
Persamaan lingkaran, pusat di (1,5)
dan jari-jarinya 3 adalah ….
Penyelesaian:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5
▪ Jari-jari r = 3 → r2
= 9
Persamaannya (x – 1)2
+ (y – 5)2
= 9

28. 28
Soal 3
Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0)
dan jari-jarinya 3√2 adalah ….
Penyelesaian:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0
▪ Jari-jari r = 3√2 → r2
= (3√2)2
= 18
Persamaannya: (x + 1)2
+ y2
= 18

29. 29
Soal 4
Persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (-2,-7)
dan melalui titik (10,2) adalah ….

30. 30
P(-2,-7)
A(10,2)
r
Penyelesaian:
Pusat (-2,-7)
→ a = -2, b = -7
Jari-jari = r = AP
AP =
r =
Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 2)2
+ (y + 7)2
= 225
22
2)7(10)2( −−+−−
1522581144 ==+ → r2
= 225

31. 31
Soal 5
Persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (4,-3)
dan melalui titik pangkal
adalah ….

32. 32
P(4,-3)
O(0,0)
r
Penyelesaian:
Pusat (4,-3)
→ a = 4, b = -3
Jari-jari = r = OP
OP =
r =
Jadi, persamaan lingkarannya
(x - 4)2
+ (y + 3)2
= 25
22
)03()04( −−+−
525916 ==+ → r2
= 25

33. 33
Soal 6
Persamaan lingkaran yang
berpusat di garis x – y = 1,
jari-jari √5 dan
melalui titik pangkal adalah ….

34. 34
Penyelesaian
Misal persamaan lingkarannya
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0
dan jari-jari r = √5 → r2
= 5
disubstitusi ke (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(0 – a)2
+ (0 – b)2
= 5
a2
+ b2
= 5 …..(1)

35. 35
▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1
a – b = 1 → a = b + 1
disubstitusi ke a2
+ b2
= 5
(b + 1)2
+ b2
= 5
b2
+ 2b + 1 + b2
= 5
2b2
+ 2b – 4 = 0 → b2
+ b – 2 = 0
(b + 2)(b – 1) = 0
b = -2 atau b = 1

36. 36
▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1
diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5
Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 1)2
+ (y + 2)2
= 5
▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2
diperoleh pusatnya (2,1), r = √5
Jadi, persamaan lingkarannya
(x – 2)2
+ (y – 1)2
= 5

37. 37
Soal 7
Persamaan lingkaran yang
berpusat pada perpotongan garis
y = x dengan garis x + 2y = 6
melalui titik O(0,0) adalah ….

38. 38
Penyelesaian
▪ pusat pada perpotongan garis
y = x dengan garis x + 2y = 6
substitusi y = x ke x + 2y = 6
x + 2x = 6
3x = 6 → x = 2
x = 2 → y = 2 → pusat (2,2)

39. 39
▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0)
r =
=
Jadi, persamaan lingkarannya
(x – 2)2
+ (y – 2)2
= 8
x2
– 4x + 4 + y2
– 4y + 4 = 8
x2
+ y2
– 4x – 4y = 0 → persamaan
lingkaran dalam bentuk umum
22
)02()02( −+−
844 =+ → r2
= 8

40. Persamaan Lingkaran dalam bentuk umumPersamaan Lingkaran dalam bentuk umum
Pusat (a,b) dan jari-jari rPusat (a,b) dan jari-jari r adalahadalah
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2 Diuraikan menjadi
2222222 rbbyyaaxx =+−++−
22222 22
rbabyaxyx =++−−+
022222 22
=−++−−+ rbabyaxyx
AaAa
2
1
2 −=⇔=− BbBb
2
1
2 −=⇔=−
CbarCbarCrba −+=⇔−+=⇔=−+ 22222222
CBAratau −−−= 22
2
1
2
1
)()(

41. 41
xx22
+ y+ y22
+ Ax + By + C = 0+ Ax + By + C = 0
Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran
dalam bentuk umumdalam bentuk umum
Pusat (-Pusat (-½½A, -A, -½½B)B)
r = CBA −−+− 2
2
12
2
1
)()(

42. 42
Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
x2
+ y2
– 2x – 6y – 15 = 0
jawab:
A = -2, B = - 6, C = -15
pusat di (-½A,-½B) → (1, 3)
jari-jari r =
=
)15(31 22
−−+
525 =

43. 43
Soal 2
Tentukan pusat lingkaran
3x2
+ 3y2
– 4x + 6y – 12 = 0
jawab:
3x2
+ 3y2
– 4x + 6y – 12 = 0
x2
+ y2
– x + 2y – 4 = 03
4
Pusat (-½( – ), -½.2)3
4
Pusat( , – 1)3
2

44. 44
Soal 3
Jika titik (-5,k) terletak pada
lingkaran x2
+ y2
+ 2x – 5y – 21 = 0
maka nilai k adalah…

45. 45
Penyelesaian
(-5,k) terletak pada lingkaran
x2
+ y2
+ 2x – 5y – 21 = 0
→ (-5)2
+ k2
+2(-5) – 5k – 21 = 0
25 + k2
– 10 – 5k – 21 = 0
k2
– 5k – 6 = 0
(k – 6)(k + 1) = 0
Jadi, nilai k = 6 atau k = -1

46. 46
Soal 4
Jarak terdekat antara titik (-7,2)
ke lingkaran x2
+ y2
– 10x – 14y – 151 = 0
sama dengan….

47. 47
PenyelesaianPenyelesaian
Titik T(-7,2) disubstitusi ke
x2
+ y2
– 10x – 14y – 151
(-7)2
+ 22
– 10.(-7) – 14.2 – 151
49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0
berarti titik T(-7,2) berada
di dalam lingkaran

48. 48
Pusat x2
+ y2
– 10x – 14y – 151 = 0
adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7)
QT = PQ - PT
= 15 – 13 = 2
Jadi, jarak terdekat adalah 2
P(5,7)
Q
r
T(-7,2)
)151(75rPQ 22
−−+==
25225r ==
=PT
13169 ==
22
)72()57( −+−−

49. 49
KEDUDUKAN GARIS – GARIS TERHADAP LINGKARAN

50. 50

51. 51

52. 52

53. 53

54. 54

55. 55

56. 56

58. 58

59. 59

60. 60
0 (0,0)
P ),( 11 yx
l
Gradien garis OP =
1
1
1
1
0
0
x
y
x
y
mOP =
−
−
=
Garis l tegak lurus garis OP , maka
1
1
1
y
x
mmmOP −=⇔−= ll.
Persamaan garis l
)( 11 xxmyy −=−
)( 1
1
1
1 xx
y
x
yy −−=−
)()( 1111 xxxyyy −−=−
111111 xxxxyyyy .. +−=−
2
1
2
111 yxxxyy +=+
2
11 ryyxx =+
Persamaan garis singgung lingkaran dengan Pusat(0,0) dan jari – jari r
adalah
2
11 ryyxx =+

61. 61
Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r. adalah
A (a,b)
P ),( 11 yx
0 (0,0)
2
11 rbybyaxax =−−+−− ))(())((

62. Garis Singgung Lingkaran
62
A(1,-2)singgungdititik5yxL
LingkaranpadasinggunggarisPersamaanTentukan
1:CONTOH
22
=+≡
Persamaan garis singgung lingkaran di titik singgung
222
ryxL =+≡ ),( 11 yxP
adalah
2
11 ryyxx =+ ..
Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran
2
11 ryyxx =+ ..
Persamaan garis singgung lingkaran 521 =−+ .. yx
Persamaan garis singgung lingkaran 52 =− yx

63. 63
2
11
222
rb)b)(y(ya)a)(x(xasinggungny
garispersamaanmakarb)(ya)-(xLJika
=−−+−−
=−+≡
A(-3,1)singgungdititik254)-(yL
LingkaranpadasinggunggarisPersamaanTentukan
1:CONTOH
2
=+−≡ 2
1)(x
Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran
2
11 rbybyaxax =−−+−− ))(())((
Persamaan garis singgung lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran
254411 11 =−−+−− ))(())(( yyxx
25414131 =−−+−−− ))(())(( yx
Persamaan garis singgung lingkaran 253441 =−−+−− ))(())(( yx
Persamaan garis singgung lingkaran 2512344 =+−+− yx
Persamaan garis singgung lingkaran 934 =−− yx

64. Lingkaran Umum dengan bentuk
64
SinggungGaris0.CByAxyx 22
=++++
0C)y(y
2
B
)x(x
2
A
yyxx
adalah)y,T(xsinggungtitikmelaluiYang
1111
11
=++++++
A(2,1)singgungtitikmelalui021-8y4xyxL
lingkaranpadasinggunggarisPersamaanTentukan
:CONTOH
22
=+++≡

65. 65
Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran 0
22
1111 =++++++ Cyy
B
xx
A
yyxx )()(..
Persamaan garis singgung lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran
0211
2
8
2
2
4
2 =−+++++ )()( yxyx
02114222 =−+++++ )()( yxyx
Persamaan garis singgung lingkaran 02144422 =−+++++ yxyx
Persamaan garis singgung lingkaran 135401354 =+=−+ yxatauyx

66. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG MELALUI
SEBUAH TITIK DI LUAR LINGKARAN
A(5,1)titikmelaluiyxL
lingkaranpadasinggunggarisPersamaanTentukan
:CONTOH
22
yang13=+≡
Jawab
Misal titik(5,1) terletak di lingkaran L maka persamaan garis polarnya adalah
5x + y = 13 atau y = 13 – 5x
Di substitusikan ke 1322
=+≡ yxL
Maka 13513 22
=−+ )( xx
1325130169 22
=+−+⇔ xxx
015613026 2
=+−⇔ xx
0652
=+−⇔ xx
023 =−−⇔ ))(( xx
23 ==⇔ xataux
235133 −=−== )(, ymakax
325132 =−== )(, ymakax
),(sin 23 −ggungtitik
1323 =− yxadalahggunggarisPersamaan sin
),(sin 32ggungtitik
1332 =− yxadalahggunggarisPersamaan sin

67. 67
(2,3)
A ),( 15
(3,–
2 )

68. Persamaan Garis Singgung dengan
Gradien Tertentu (m)
68
1mrmxy
:adalahmgradiensertarjari-JaridanO(0,0)di
berpusatyangLingkaranSinggungGarisPersamaan
2
+±=

69. CONTOH
69
0123y-4x:LgarisdenganlurusTegakd.
0123y-4x:LgarisdenganSejajarc.
positifsumbu xterhadap30sudutMembentukb.
2gradienMempunyaia.
:diketahuiJika9xL
lingkaranpadasinggunggarispersamaanTentukan
0
22
=+
=+
=+≡ y

70. JAWAB
70
53-2xyatau532xy
adalahasinggungnygarisPersamaanJadi
532xy
1432xy
1mrmxy:asinggungnygarisPersamaan
2mGradiena.
2
=+=
±=
+±=
+±=
=

71. 71
positifsumbu xdengan30sudutMembentukb. 0
063y-atau x
063y-x:asinggungnyGarisPersamaanJadi
63y
3
6
3
1
y
3
2
.3
3
1
y
3
4
3
3
1
y
1
3
1
3
3
1
y
:asinggungnygarisPersamaan
=−
=+
±=⇔
±=⇔
±=⇔
±=⇔
+±=
x
x
x
x
x

72. c. Garis L:4x-3y+12=0 mempunyai
m=
72
3
4
5
3
4
yatau
5
3
4
yasinggungnygarisPersamaanJadi
5
3
4
y
3
5
.3
3
4
y
9
25
3
3
4
y1
9
16
3
3
4
y
asinggungnygarisPersamaan
3
4
mgradienmakasejajargarisnyaKarena
−=
+=
±=⇔
±=⇔±=⇔+±=
=
x
x
x
xxx

73. d. Persamaan garis singgung yang
tegak lurus grs.L=4x-3y+12=0
73
0154y3x
atau015-4y3xasinggungnygarisPersamaanJadi
15-3x4
4
15
4
3
-y
4
5
.3
4
3
-y
16
25
3
4
3
-y1
16
9
3
4
3
-y
4
3
mmakalurustegakgarisnyakarena
3
4
m 21
=++
=+
±=⇔
±=⇔
±=⇔
±=⇔+±=⇔
−==
y
x
x
x

74. 2 Lingkaran berpusat di A(a,b) dan
jari-jari r
74
1mra)-m(xb-y
:adalahasinggungnygarisPersamaan
2
+±=

75. CONTOH:
750153y4x
dan05-3y4x:asinggungnyGarisPersJadi
18--4x3-3ydan2433
108433
3
10
)2(
3
4
1
1
9
16
2)2(
3
4
-1-y
)1mr(2)m(x1-y
:JAWAB
0143L
garislurustegakyang4)1(2)(xL
lingkaranpadasinggunggarispersamaanTentukan
2
22
=++
=+
=+−=−
±−−=−
±+−=−
+±+=
+±+=
=−+−≡
=−++≡
xy
xy
xy
x
yx
y

76. 76
SELAMAT BELAJAR