1. CHƯƠNG I. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG
TRÌNH TUYẾN TÍNH
§1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau
⎛1 3⎞ ⎛1 4⎞
⎜ ⎟ ⎛1 1 0 2⎞⎜ ⎟
6 5⎟ ⎛ 2 11 5⎞ ⎛ 1 2 −3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ 2 1⎟
1. ⎜ ⎜ ⎟ 4. ⎜ ⎟⎜0 1 1 0⎟⎜
⎜0 0⎟ ⎝ −7 3 2⎠ ⎝3 0 4 ⎠⎜1 0 2 1⎟ 3 2⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ 4 ⎟
⎝2 3⎠ ⎝ 3⎠
⎛ 4⎞ ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞
n
⎛ 2 −1 1⎞ ⎜ ⎟ 5. ⎜ ⎟ (n ∈ , 0 ≤ ϕ < 2π )
2. ⎜ ⎟ 2 (1 2) ⎝ sin ϕ cos ϕ ⎠
⎝ 1 2 1⎠ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎛1 a⎞n
⎜ 0 1 ⎟ , a ∈ R và n ∈
3. ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2 1⎞
Bài 2: Cho A = ⎜ ⎟ và f ( x ) = 3x + 2 x − 4 . Tính f ( A) .
2
⎝ 0 3⎠
Bài 3:
⎛x y⎞ ⎛ x 6 ⎞ ⎛ 4 x + y⎞
1. Tìm các số thực x, y , z , w sao cho 3 ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟.
⎝ z w ⎠ ⎝ −1 2 w ⎠ ⎝ z + w 3 ⎠
⎛ 2 1⎞
2. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A = ⎜ ⎟.
⎝ 0 1⎠
⎛ 1 1 3⎞ ⎛ 2 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −1 −2 ⎞
Bài 4: Cho các ma trận A = ⎜ 1 2 2 ⎟ , B = ⎜ −1 2 ⎟ , C = ⎜ ⎟ . Tính C B A .
t t t
⎜ 2 2 5⎟ ⎜ 3 2⎟ ⎝ 2 3 1⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bài 5: Tìm ma trận X trong các trường hợp sau
⎛ 2 1⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 1 2⎞
1. ⎜ ⎟ . X. ⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ 4 5⎠ ⎝ 5 3⎠ ⎝ 3 4⎠
⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 1 ⎞
2. ⎜ ⎟ . X − X .⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ 1 2⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 −1⎠
⎛ 1 2 2⎞ ⎛ 3 5⎞ ⎛ 1 5⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3. ⎜ 2 5 4⎟ X - ⎜ 7 6⎟ = 3 ⎜ 2 2⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 4 5⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝ −2 1⎠
§2. ĐỊNH THỨC

2. Bài 6: Tính các định thức sau đây
7 6 5 2 3 4 1 2 3 4
1. 1 2 −1 2. 5 6 7 2 3 4 1
3.
3 −2 2 8 9 1 3 4 1 4
4 1 2 3
1 2 3 4 a+x x x x2 + 1 xy xz
2 3 4 1 5. x b+x x 6. xy y +1
2
yz
4.
3 4 1 4 x x c+x xz yz z +1
2
4 1 2 3
Bài 7: Tính các định thức cấp n sau đây
1 2 3 ....... n − 1 n 1 2 3 ....... n −1 n
1 0 3 ....... n − 1 n 2 2 3 ....... n −1 n
1 2 0 ........ n − 1 n 3 3 3 ....... n −1 n
1. 3.
...................................... .... ..... ..... ....... ....... ...
1 2 3 ............ 0 n n −1 n −1 n −1 ....... n −1 n
1 2 3 ........ n − 1 0 n n n ....... n n
1 1 1 ....... 1 1
x a a a
1 2 2 ....... 2 2
a x a a
1 2 3 ....... 3 3
3. 4. a a x a
... ... ... ....... .... ....
1 2 3 ....... n − 1 n − 1
a a a x
1 2 3 ....... n − 1 n
Bài 8:Giải các phương trình sau đây
1 x x 2 x3
x x +1 x + 2
1 2 4 8
1. =0 2. x + 3 x + 4 x + 5 = 0
1 3 9 27
x+6 x+7 x+8
1 4 16 64
§3. HẠNG CỦA MA TRẬN
Bài 9: Tìm hạng của các ma trận sau

3. ⎛ 1 3 5 −1⎞
⎜ ⎟ ⎛ 2 −1 3 −2 4 ⎞
1. ⎜ 2 −1 −3 4 ⎟ ⎜
2. ⎜ 4 −2 5 1 7⎟
⎟
⎜ 5 1 −1 7 ⎟ ⎜ 2 −1
⎜ ⎟ ⎝ 1 8 2⎟ ⎠
⎝ 7 7 9 1⎠
⎛ 0 2 −4 ⎞
⎜ ⎟ ⎛ 2 −4 3 1 0⎞
⎜ −1 −4 5 ⎟ ⎜
1 −2 1 −4
⎟
2⎟
3. ⎜ 3 1 7 ⎟ 3. ⎜
⎜ ⎟ ⎜0 1 −1 3 1⎟
⎜ 0 5 −10 ⎟ ⎜ ⎟
⎜2 3 ⎟ ⎝ 1 −7 4 −4 5⎠
⎝ 0 ⎠
Bài 10: Tùy theo tham số m , hãy tìm hạng của các ma trận sau
⎛ 1 2 3⎞ ⎛3 1 1 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1. ⎜ 4 5 6⎟ 2. ⎜
2 2 4 3⎟
⎜ 7 8 9⎟ ⎜m 4 10 1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝10 m 12⎠ ⎝1 7 17 3⎠
⎛m 1 1 1 ⎞
⎜ ⎟
Bài 11: Cho ma trận A = ⎜ 1 m 1 m ⎟ . Tìm m để r ( A) < 3 .
⎜ 1 1 1 m2 ⎟
⎝ ⎠
§4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Bài 12: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp biến đổi sơ
cấp
⎛1 0 3⎞ ⎛1 3 2⎞ ⎛1 3 5⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1. ⎜ 2 1 1 ⎟ 2. ⎜ 2 1 3 ⎟ 3. ⎜ 5 0 1 ⎟
⎜ 3 2 2⎟ ⎜3 2 1⎟ ⎜3 1 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 2 0 1⎞ ⎛ 2 1 0 2⎞ ⎛1 1 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
4. ⎜1 1 2 0⎟ 5. ⎜ 2 2 1 0⎟ 6. ⎜0 1 1 0⎟
⎜ 0 1 1 2⎟ ⎜0 2 2 1⎟ ⎜0 0 1 1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2 0 1 1⎠ ⎝ 1 0 2 2⎠ ⎝1 0 0 1⎠
§5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 13: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau
⎧ x1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 ⎧ x1 + 3x 2 + 5 x3 + x 4 = 0
⎪ ⎪
1. ⎨ x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 2 2. ⎨ 4 x1 − 7 x 2 − 3x3 − x 4 = 0
⎪x + 7x − 5x − x = 0 ⎪3x + 2 x + 7 x + 8 x = 0
⎩ 1 2 3 4 ⎩ 1 2 3 4
Bài 14: Giải và biện luận các hệ phương trình sau

4. ⎧mx + y +z = 1 ⎧ x + y + (1 − m )z = m + 2
⎪ ⎪
1. ⎨ x + my + z = m 2. ⎨(1 + m )x − y +2 z = 0
⎪ x + y + mz = m 2 ⎪ 2x − my +3z = m+2
⎩ ⎩
⎧ x1 +3x 2 +2 x 3 +4 x 4 = 1
⎧x 1 −2 x 2 +x 3 +2 x 4 = 1 ⎪2 x
⎪ ⎪ 1 +5x 2 +2 x 3 +9 x 4 = 1
3. ⎨x 1 +x 2 −x 3 +x 4 = m 4. ⎨
⎪x +7x 2 −5x 3 −x 4 = 4m ⎪ x1 +5x 2 +6 x 3 + mx 4 = 3
⎩ 1 ⎪ x1 +3x 2 +4 x 3 +3x 4 = 2
⎩
⎧ x1 +2 x 2 −x3 = 2
⎧ 2x1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 ⎪2 x
⎪ ⎪ 1 −3x 2 +7x 3 = −1
5. ⎨ x 1 + 2 x 2 − x 3 + 4 x 4 = 2 6. ⎨
⎪x + 7x − 4 x + 11x = m ⎪− x 1 +x 2 +3x 3 = 6
⎩ 1 2 3 4
⎪ 5x 1 +x 2 +2 x 3 = m
⎩
⎧ x1 +2 x 2 +3x 3 + mx 4 = m+2
⎪x +x 2 +x 3 + mx 4 = m +1
⎪ 1
⎪
7. ⎨2 x 1 +3x 2 +4 x 3 +2 mx 4 = 2m + 3
⎪3 x +4 x 2 +2 x 3 +3mx 4 = 3m + 1
⎪ 1
⎪ x1
⎩ +x 2 +2 x 3 +2 mx 4 = m2 + m + 2
⎧mx +y +z = m
⎪
Bài 15: Cho hệ phương trình ⎨ 2 x + (1 + m )y + (1 + m )z = m − 1 . Tìm tham số m
⎪ x +y + mz = 1
⎩
để hệ phương trình trên có nghiệm.
⎧ax −3y + z = −2
⎪
Bài 16: Cho hệ phương trình ⎨ax + y +2 z = 3 (I), trong đó a, b là tham số.
⎪3x +2 y + z = b
⎩
1. Xác định a, b để hệ (I) là hệ Cramer. Khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo a, b .
2. Tìm a, b để hệ (I) vô nghiệm.
3. Tìm a, b để hệ (I) có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát của hệ.
⎧ x 1 − 3x 2 + 4 x 3 − x 4 = 0
⎪
⎪2 x1 + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0
Bài 17: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình ⎨ .
⎪3x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0
⎪ x 1 + 4 x 2 − 6 x 3 + 3x 4 = 0
⎩