1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Cách giải phương trình chứa căn? Cho ví dụ?
1.    
 
    2
 
g x 0
g
f x g x
 
f x x
 
.
 Nếu vế phải không âm thì ta không cần đặt điều kiện.
 Ta có thể giải bằng cách bình phương hai vế bỏ qua điều kiện, nhưng ta phải dùng dấu  và sau đó
ta phải thử lại nghiệm với phương trình đã cho.
2.    
   
   
g x  0 v  0

g
f x
f x g x
 
f x x
 
Ví dụ 1. Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1. 2 x  x 2  2 2. 2 3x 9x1  x2
3. 2 2x2 x 16 16.
BTVN. Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1. 2 x  x 7  x 2 2. 2 1 1 2xx  
3. 2 46x  x  x  4
Ví dụ 2. Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1. 2 x 2x 4  2 x 2. 2 3x 9x 1  x  2 3.
2 2x 6x1  2 x .
BTVN. Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1. 2 2 2x 5x  x 4 2. 2 2x 1  x 1
3. 3x  7  x 1  2.
Phương trình vô tỉ
1. Dạng 1:     . . 0 a f x b f x c    . Đặt t=   fx , 0t  .
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1.    2 x 3 x  2  x  x  2  2 2.     
1
5 1 2 6 2 8
2
x
x x x
x

    

.
2. Dạng 2: a x     x  b  x    x  c  0 .
Đặt t= x     x .
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1.   2 9 1 x  1 x 5 1 x 13 2. 2 x4  x4  2x2 x 16 12
3. Dạng 3: n a  f  x  k b  f x  c .
Cách giải: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình hữu tỉ:
Đặt
  u  n a  f  x 

 u n
 a  f  x

 
k
 v  k

b  f  x 
 v  b  f  x

u v c
u v a b
  
. Ta có hệ phương trình: n k

   
.
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1. 2 2 x  x2  x  x5  3 2. 2 2 x 9  x 7  2
3. 3 x  2  x 1 1 4.
2 2 3x 5x8  3x 5x1 1
5. 3 3 2x 3  3x  2  3 6.
x x
x x x
21   21 
21

21   21

4. Dạng 4: . ax+b n n x  a  b .

2. Cách giải: Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 2.
Đặt n ax+b n y   y  ax  b . Ta có hệ phương trình:
   
x ay b
y
ax+b
n
n
 
.
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1. 2 x  x  2  2 2. 3 3 x  3 3x  2  2 .
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1. 2 2 2 3x 6x16  x 2x  2 x 2x4 . HD: Đặt 2 2 t x x  . ĐS: x=0; x=-2.
2. 5 4 1 2 2 1 1 x x x x         . HD: Đặt 1tx .
5. Dạng đặt ẩn phụ bằng cách phân đôi quy về phương trình hữu tỉ.
 Dạng: f  g  a . Đặt
a
f   t , g=
t .
a
2 2
 Dạng f  g  a . Đặt
a
a
f  t  .
, g=t-
2 2
 Ngoài ra ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ hữu tỉ.
1. 4 4 47  2x  35 2x  4 . HD: Đặt 4 4 47  2x  2  t; 35  2x  2  t . ĐS: x=23; x=-17.
2. 3 3 5x  7  5x 12 1. HD: Đặt 3 3 1 1
x   t  x   t  . ĐS: x=-3, x=4.
5 7 ; 5 12
2 2
3. 3 3 9 x 1  7 x 1  4 . ĐS: x=0.
4. 3 3 24 x  5 x 1. ĐS: x=9.
Câu 2. Cách giải phương trình chứa trị tuyệt đối? Cho ví dụ?
1.    
 
   
   
 
g x 0
f x g x f x g x
f x g x

  

  
2.    
   
   
f x g x
f x g x
 
 
f x g x
  
Ví dụ 1. Giải phương trình chứa trị tuyệt đối sau đây.
1. 3x1  22x . 2.   2 x 5x  4  x  4  0 3.
2 2 x  2x 8  x 1 .
BTVN. Giải phương trình chứa trị tuyệt đối sau đây.
1. x 2  2x 1. 2.   2 x 2x 3  x 3  0 . 3.
2 x 3x 1  2x 5
Ví dụ 2. Giải phương trình chứa trị tuyệt đối sau đây.
1. 3x 1  2x3 . 2. 2 2 23x  6 x  0
3. 5x7  2x1 .
BTVN. Giải phương trình chứa trị tuyệt đối sau đây.
1. x2  2x1 . 2. 2 2 3x 7x 1  x  x 5 . 3.
2x2  7x1
Câu 3. Cách giải bất phương trình chứa trị tuyệt đối.
1. f  x  g xg x  f x  g x hoặc    
   
   
f x g x
f x g x
  
 
f x g x
 
.

3. 2.    
   
   
f x g x
f x g x
 
 
f x g x
  
Ví dụ. Giải các bất phương trình sau.
1. 2 2x 3x 3  5x 9 2. 2 2 x  4x  3x  2x 4
3. 2x5  74x .
BTVN. Giải các bất phương trình sau.
1. 14x  2x1 2. 2 x  2  x
3. 2 2 x 4  x 5x  4.
Câu 4. Cách giải bất phương trình chứa căn thức.
1.    
 
0
 
0
  2
   g x


f x g x f x
  

 
f x g x
2.    
 
0
 
0
 
0
  2
    

g x
f x
f x g x
 
 
g x
f x g x
  

 
Ví dụ. Giải các bất phương trình sau.
1. 2 x  x12  7 x 2. 2 213x x  x3 3.
2 x 3x10  x2.
4. 2 1 x 2x 3x5  0 5.   2 3 6 x  x  2 2x 1  0 6.
2 3x 13x4 2 x  0 .
7. 2 2x  6x 1  x 1 8. x  3  7  x  2x 8 9.
2  x  7  x  3 2x .
Câu 5. Cách giải phương trình tích: Cho ví dụ?
     
 
 
 
0
 

. . 0 0
0
f x
f x g x h x g x
   

 h x

.
Ví dụ. Giải các phương trình sau đây.
1.   2 1 x x 2  0 2.   2 x 1 x 1 x 3.
   2 3 3 x  x 2 2 162x  0
Câu 5. Cách giải phương trình chứa ẩn mẫu số:
 
 
0
f x
g x
 ? Cho ví dụ?
Bước 1: Đặt điều kiện mẫu số gx  0 .
Bước 2: Phương trình
 
 
0   0
f x
f x
g x
   , chú ý sau khi giải pt nhớ so sánh với điều kiện.
Ví dụ. Giải các phương trình sau đây.
1.
2
x 
x
 
2
2
0
1
x


2.
2 2
2
x x


x
3.
3 2 6 9
0
x x x
 
x 4
x



4. Câu 6. Cách giải hệ phương trình hai ẩn? Cho ví dụ?
1. Dạng 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.
Cách giải: Ta dùng phương pháp thế!
- Từ phương trình bậc nhất ta tính ẩn này theo ẩn kia.
- Thế vào phương trình còn lại, ta được phương trình một ẩn và tính được giá trị ẩn đó.
- Suy ra giá trị ẩn còn lại. Rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ. Giải các hệ phương trình sau đây.
1.
2 2 10
 x  y


 x  y

4
2.
3 3 9
 x  xy


 x  y

1
3.
2 2 25
 x  y


 xy

12
4.
5
2 2
7
xy
x y xy
 

   
5.
2 2 2 6
2 3
 x  xy  y  x  y


 x  y

6.
x y
x xy y x y
  
2 4
2 2
3 2 5 4 0

      
2. Dạng 2. Hệ đối xứng loại I:
 
 
f x y
g x y
 
; 0
; 0
 
.
- Hệ đối xứng loại một là hệ mà khi ta thay x và y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi.
- Cách giải: Giải bằng cách đặt ẩn phụ.
o Biến đổi hệ phương trình về dạng tổng (x+y) và tích x.y.
o Sau đó đặt S=x+y và P=x.y. Thế S và P vào hệ ta được một hệ theo S và P.
o Giải hệ tìm được S và P. Sau đó suy ra x và y.
Chú ý. Cấn nhớ các hệ thức đối xứng của x và y sau đây.
2 1. x 2  y 2   x  y  2xy .
2. x 3  y 3 3   x  y  3xy  x  y  .
3.  x  y  2 2
  x  y  4xy .
4.  2
x  y  x  y  4xy .
5.
 2 2 2 x y x y x y 2xy
y x xy xy
  
  
2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x  y  x  y  x  y 2x y   x  y  2xy  2 xy
6.          
.
 
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau đây.
1.
2 2 10
 x  y


 x  y

4
2.
2 2 4
 x  xy  y


 x  y  xy

2
3.
2 2
12
    
2 2
16
x xy y
x y xy

  
4.
x y
y x
x y
13
6
5

  

   
.
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau đây.
1.
2 2 6
 x y  xy


 xy  x  y

5
2.
3 3 3 3 17
 x  x y  y


 x  xy  y

5
3.
3 3
   2

2 2
2
x y
x y xy

  
4.
3 3
   
78
97
x y xy
x y
4 4
  
.
3. Dạng 3. Hệ đối xứng loại II:
 
 
f x y
g x y
 
; 0
; 0
 
.

5. - Hệ đối xứng loại hai là hệ mà khi ta thay x và y cho nhau thì phương trình này trở thành pt kia.
- Cách giải: Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ cho nhau, ta được phương trình có dạng:
o    
x y
  
 
0
. ; 0
; 0
x y h x y
h x y
   
 
.
- Hệ phương trình ban đầu
0
xy
f x y
   

 
 
 
  
;0
h x y
f x y
;0
;0
 
 
  
Ví dụ. Giải các phương trình sau đây.
1.
2
   
x y 2
xy
y 2
x 2
xy
  
2.
2
   
x x y
y 2
y x
3 2
3 2
  
3.
3
   
x 2
x y
y 3
2
y x
  
Câu 8. Cách giải hệ phương trình hai ân, ba ẩn, bốn ẩn.
Phương pháp: Giải bằng cách bấm máy tính hoặc giải bằng phương pháp thế.
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau đây.
1.
2 2
     
   
   
x y
1 2 16
2 2
x y
2 1 2

    
2.
  
xy
1
xy
5

 
3.
   
x 12
y
  3
x x y
8 3 2 2 1

     
Ví dụ . Giải các hệ phương trình sau đây.
1.
a b c
a b c
a b c
    
2
2
4 2 1

   
    
2.
a b c
a b c
b a
   
16 4 2
4 2 2 0
4 0

    
   
. 3.
a b d
a b c d
a b c d
a b c d
    

2 2 2 0
14 2 6 4 0
29 8 6 4 0
21 8 2 4 0
     

     
     
Ví dụ . Giải các hệ phương trình sau đây.
x y z
x y z
x y z x y
   
8

    

     
1. 2 2 2
2 2 2
32 0
8 8 0
2.
   
a b
2 0
2 a 2 b c
1 0
a b c
  2   2 1 1 2
9

    

     
    
x y z
x y z
2 4 0
2 2 2
3.    
2 1 9
2 2 2
   
x y z
2 3 9

     

     
4.
x y z
  1  1 
5
  
 1 2 
1
 
x  2 y  z
 5  0
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau đây.

6. 1.
2
   

1 2 0
1  2  
0
13 6 4 0
2 2 2
2 2
1
3
a d
b d
b c d
a b c
a b c d

    

              
2.

        
2 2 2 2 2 2
 a 1  b c a  b 1   c
2

       
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a b c
1 2 2 1
1
3
3

          

    

Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau đây.
1.
  2 2 2
 x  y  z  x  y  z
 
3 8 4 14 15
2 2 2
x y z z
x 2 y 2 z 2
x z
6 1
4 2 3

     

    

2.
      2 2 2
      
x y z
x y z
1 2 1 9
1 2 1
2 1 2

  
  
 
Câu 9. Định lí viét của phương trình bậc hai 2 ax bx  c  0.
Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm 12, x x thì:
1 2
1 2 .
b
S x x
a
c
P x x
a

    

  

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt
0
0
a 
 
 
.
 Phương trình có hai nghiệm trái 1 2 0 x x   0P .
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
 
0
P 0
 
 
.
 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
 

0
0
0
S
P
  
  
.
 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
 

0
0
0
S
P
  
  
.
Ví dụ 1. Cho phương trình bậc hai 2 x 6x m 2  0 .
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Trái dấu.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Cùng dấu.
3. Tìm m để phương trình có hai nghiệm Dương phân biệt.
4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm Âm phân biệt.
Ví dụ 2. Cho phương trình bậc hai     2 m1 x  2m3 x m3  0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Trái dấu.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Cùng dấu
3. Tìm m để phương trình có hai nghiệm Dương phân biệt.
4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm Âm phân biệt.
Ví dụ 3. Cho phương trình   2 x  m2 xm1 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x thỏa mãn 2 2
1 2 x  x  9 .
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x thỏa mãn 1 2 3x  x 1.
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

7. 1. mx4 2m1 x2 m1 0 2.     4 2 m4 x 2 m2 x m1 0.
Câu 9. Định lí viét của phương trình bậc ba 3 2 ax bx  cx  d  0 .
Nếu phương trình bậc ba có ba nghiệm 1 2 3 x , x , x thì:
x x x
1 2 3
x . x .
x
1 2 3
b
a
d
a
. . .
1 2 2 3 1 3
c
x x x x x x
a

    

  


   
 Cách nhẩm nghiệm đặc biệt x0.
o Nếu a+b+c+d=0 thì phương trình có một nghiệm x0=1.
o Nếu a-b+c-d=0 thì phương trình có một nghiệm x0=-1.
o Nhẩm nghiệm 0
p
x
 với p là ước của d và q là ước của a.
q
 Sử dụng sơ đồ Horner:
a b c d
x0 a B C 0
o Với B=a.x0+b, C=B.x0+c.
x x
  
o Khi đó    3 2 2 0
0 2
0
ax 0 ax 0
ax 0
bx cx d x x Bx C
Bx C
          
   
.
Ví dụ 1. Giải các phương trình bậc ba bằng cách nhẩm nghiệm và sử dụng sơ đồ Horner.
1. 3 2 x 6x 11x 6  0 2. 3 2x  x 3  0 3.
3 2 x 5x  7x  2  0.
Ví dụ 2. Tìm tham số m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
1.     3 2 x  2m1 x 3 m4 xm12  0 2.   3 2 mx 2mx  2m1 x m1 0.
Ví dụ 3. Tìm tham số m để phương trình     3 2 mx  3m4 x  3m7 xm3 0 có ba nghiệm dương phân
biệt.