Cac phuong phap giai ptlg va de thi dh cac nam

Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)

Gửi tặng: www.Mathvn.com

Bỉm sơn. 08.05.2011

www.mathvn.com 1

DĐ: 01694 013 498

MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông
Ví dụ như các công thức sau
sin 2 x  cos2 x  1
cos 2 x  2cos 2 x  1  1  2sin 2 x
sin 2 x  2 sin x cos x
sin 3x  3sin x  4sin 3 x …
Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay
không
sin 2 2 x  cos 2 2 x  1
cos 4 x  2cos 2 2 x  1  1  2sin 2 2 x
sin 4 x  2 sin 2 x cos 2 x
sin 9 x  3sin 3x  4sin 3 3 x …Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau
Với k  0 ta có
sin 2 kx  cos 2 kx  1
cos 2kx  2 cos2 kx  1  1  2sin 2 kx
sin 2kx  2sin kx cos kx
sin 3kx  3sin kx  4sin 3 kx

1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung

Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với
các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn
đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc
xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

1 1  7 
Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình:   4.sin   x
sin x  3   4 
sin  x  
 2 

Nhận xét:
3 7
Từ sự xuất hiện hai cung x  và  x mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một
2 4
cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc
đặc biệt
Giải:
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

www.mathvn.com 2

DĐ: 01694 013 498

 3  3 3
Ta có sin  x    sin x.cos  cos x.sin  cos x
 2  2 2

 7  7 7 2
sin   x   sin cos   x   cos .sin   x     sin x  cos x 
 4  4 4 2
Sử dụng công thức về các góc đặc biệt
 3   3   
Ta có sin  x    sin  x  2    sin  x    cos x
 2   2   2
 3      
Hoặc sin  x    sin  x    2   sin  x    cos x
 2   2   2
 7   7     2
sin   x   sin  2   x    sin  x     sin x  cos x 
 4   4   4 2

 7         2
Hoặc sin   x   sin  2   x      sin  x     sin x  cos x 
 4    4   4 2

sin  x  k 2   sin x
 sin  x    k 2    sin x

Chú ý:  , k   và  ,k 
cos  x  k 2   cos x
 cos  x    k 2    cos x

sin x  0 
Điều kiện:   sin 2 x  0  x  k , k  
cos x  0 2

1 1  
Phương trình    4sin  x  
sin x cos x  4
 sin x  cos x  2 2 sin x.cos x  sin x  cos x 

 
  sin x  cos x  2 2 sin x.cos x  1  0
 tan x  1
sin x  cos x  0
 
sin 2 x   2
 2 2 sin x.cos x  1  0 
 2
   
 x   4  k  x   4  k
 
  2 x     k 2   x     k  , k  
 4  8
 
 2 x  5  k 2  x  5  k 

 4 
 8
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
  5
x  k ; x    k ; x   k với k  
4 8 8

www.mathvn.com 3

DĐ: 01694 013 498
  5
Đs: x    k  , x    k , x   k ,  k   
4 8 8
Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos 3x  cos 2 x – cos x – 1  0
Giải:
Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức
nhân ba và nhân đôi của hàm cos
Phương trình  4cos3 x  3cos x  2cos2 x  1  cos x  1  0
 2 cos3 x  cos 2 x  2 cos x  1  0   2cos x  1  cos2 x  1  0
 1
2
  2 cos x  1 sin x  0  cos x   2

sin x  0
 2
  x   3  k 2 ;  k   

 x  k
2
Đs: x    k 2 , x  k k  
3
Cách 2:
Nhận xét:
3x  x
Ta có  x và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách
2
dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích
 cos 3x  cos x  – 1  cos 2 x   0  2sin 2 x.sin x  2sin 2 x  0
 2sin 2 x  2cos x  1  0
… tương tự như trên
Chú ý:
Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó
Công thức nhân ba cos 3x  4 cos 3 x  3cos x, sin 3 x  3sin x  4 sin 3 x
Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi
Ta có
cos 3x  cos  2 x  x   cos 2 x.cos x  sin 2 x.sin x   2 cos2 x  1 cos x  2cos x.sin 2 x
  2 cos 2 x  1 cos x  2cos x 1  cos 2 x   4cos3 x  3cos x
Tương tự cho sin 3x
Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 3cos 4 x – 8cos6 x  2 cos2 x  3  0
Giải:
Nhận xét 1:
Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau

www.mathvn.com 4

DĐ: 01694 013 498

cos 4 x  2cos 2 2 x  1  2  2 cos 2 x  1  1  8cos4 x  8cos 2 x  1
Cách 1:
Phương trình 4cos6 x  12 cos 4 x  11cos 2 x  3  0 (pt bậc 6 chẵn)
Đặt t  cos 2 x, 0  t  1
t  1
 
Khi đó ta có 4t  12t  11t  3  0   1 … bạn được giải tiếp được nghiệm x   k , k  , k  
3 2
t  4 2
 2
Nhận xét 2:

Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ
cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi
Cách 2:
Phương trình
3
 1  cos 2 x   1  cos 2 x 
3  cos 2 x  1  8 
2
  2   3  0  cos 2 x  2cos 2 x  3cos 2 x  2   0
2

 2   2 
  
cos 2 x  0 x  4  k 2 , k  
 
cos 2 x  1 
 x  k
Nhận xét 3:
Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình
tích
Cách 3:
 3(1  cos 4 x)  2 cos 2 x(4 cos 4 x  1)  0  6 cos 2 2 x  2 cos 2 x(2 cos 2 x  1)(2 cos 2 x  1)  0
 6 cos2 2 x  2 cos2 x (2cos 2 x  1) cos 2 x  0  cos 2 x 3cos 2 x  cos 2 x (2cos2 x  1)   0
 
  k
 cos 2 x  0  x  4  2

3(2cos 2 x  1)  2 cos 4 x  cos2 x  0

cos 2 x  1  sin x  0  x  k
Phương trình  2 cos 4 x  5cos 2 x  3  0   2
cos x  3 (loai )

 2
 
Đs: x   k , k  , k  
4 2

Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin x 1  cos 2 x   sin 2 x  1  cos x

Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân
đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
Phương trình  4sin x.cos2 x  2sin x.cos x  1  2 cos x
 2sin x.cos x(1  2cos x)  1  2cos x

www.mathvn.com 5

DĐ: 01694 013 498
 (1  2 cos x)(sin 2 x  1)  0
 2
 1  x   3  k 2
cos x 
 2 
  x    k
sin 2 x  1 
 4
2 
Đs: x    k 2 , x   k ,  k   
3 4

Bài 5: Giải phương trình 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3x
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương
trình bậc nhất đối với sin và cos
 3sin 3 x  4 sin 3 3 x  3 cos 9 x  1  sin 9 x  3 cos 9 x  1
  2
1 3 1   1  x  18  k 9
 sin 9 x  cos 9 x   sin  9 x      k 
2 2 2  3 2  x  7  k 2

 54 9

sin 5 x
Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình 1
5sin x
Giải:
Điều kiện: sin x  0
Phương trình  sin 5 x  5sin x  sin 5 x  5sin x
Nhận xét:
Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng
Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai
 sin 5 x  sin x  4 sin x  2 cos 3 x sin 2 x  4 sin x
 4 cos 3 x sin x cos x  4 sin x  cos 3x cos x  1
 3
2
 cos 4 x  cos 2 x  2  2 cos 2 x  cos 2 x  3  0   cos x   2 (loai )

 cos 2 x  1
 1  cos 2 x  0  2 sin 2 x  0  sin x  0 (loai )
Vậy phương trình vô nghiệm
Hướng 2: Phân tích cung 5 x  2 x  3x , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức
nhân hai, nhân ba
sin  3x  2 x   5sin x  sin 3x cos 2 x  sin 2 x cos 3 x  5sin x
2
  3sin x  4 sin 3 x  cos 2 x  sin 2 x   2 sin x cos x  4 cos 3 x  3cos x   5sin x  sin 2 x  cos 2 x 

 12sin 5 x  20 cos3 x sin 3 x  0  3sin 2 x  5cos 2 x  0 … vô nghiệm

www.mathvn.com 6

DĐ: 01694 013 498

Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm x   0;14 nghiệm đúng phương trình: cos 3x – 4 cos 2 x  3cos x  4  0

Giải:
Phương trình  4 cos3 x  3cos x  4  2 cos2 x  1  3cos x  4  0

 cos 3 x  2 cos 2 x  0  cos 2 x (cos x  2)  0

 cos x  0  x   k 
2

Vì x   0;14 nên 0   k   14
2
 3 5 7
Đs: x  ;x  ;x  ;x 
2 2 2 2
sin 3x sin 5 x
Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình 
3 5
Giải:
Phương trình 5sin 3x  3sin  x  4 x   5sin x  3  4sin 2 x   3  sin x cos 4 x  cos x sin 4 x 

 5sin x  3  4 sin 2 x   3sin x  cos 4 x  4 cos 2 x cos 2 x 
sin x  0  x  k 

5  3  4 sin x   3  cos 4 x  4 cos x cos 2 x  *
2 2


Phương trình  *  5 3  2 1  cos 2 x    3  2cos 2 x  2 1  cos 2 x  cos 2 x 
   
 5  1
cos 2 x  6  x   2   k
 12 cos 2 2 x  4 cos 2 x  5  0   
cos 2 x   1  x     k

 2 
 3

Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos 5 x  2 sin 3x cos 2 x  sin x  0
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 x  2 x  5 x ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng
thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý
Phương trình  3 cos 5 x  sin 5 x  sin x  sin x  0

3 1
 cos 5 x  sin 5 x  sin x
2 2

www.mathvn.com 7

DĐ: 01694 013 498

  
   x  12  k 3
 sin   5 x   sin x   k 
3  x     k 

 6 2
   
Đs: x   k , x    k , k  
18 3 6 2
Chú ý:
- Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos là a sin x  b cos x  c học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu
gặp phương trình a sin x  b cos x  a 'sin kx  b 'cos kx, k  0,1 thì làm thế nào, cứ bình tĩnh nhé, ta coi như
hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự
- Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau

Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình: sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x  2  cos 4 x  sin 3 x 
Giải:
Phương trình
 sin x 1  2sin2 x   cos x.sin 2x  3 cos3x  2cos 4x
1 3
 sin 3 x  3 cos 3x  2cos 4 x  sin 3x  cos 3 x  cos 4 x
2 2
   
 cos 4 x  cos  3 x    4 x    3 x    k 2
 6  6
 
 x   6  k 2
 k  
 x    k 2

 42 7
Hoặc:
1 3 1
 sin x   sin 3 x  sin x   3 cos 3 x  2(cos 4 x  sin x  sin 3x )
2 4 4
1 3 3 1
 sin 3 x  sin x  3 cos 3x  2 cos 4 x  sin x  sin 3 x
2 2 2 2
1 3
 sin 3 x  3 cos 3x  2cos 4 x  sin 3x  cos 3 x  cos 4 x
2 2

 2k 
Đs: x   , x    2k ,  k   
42 7 6
sin x  sin 2 x
Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trình:  3
cos x  cos 2 x
HD:
k 2
Điều kiện: cos x  cos 2 x  0  x  k 2  x 
3

www.mathvn.com 8

DĐ: 01694 013 498

3 1 3 1
 sin x  sin 2 x  3 cos x  3 cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x
2 2 2 2
     k 2
 cos 2 x    cos x    x  k 2  x   
 6  6 9 3

sin 4 2 x  cos 4 2 x
Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình:  cos 4 4 x
   
tan   x  tan   x 
4  4 
Giải:
Nhận xét:
        
Từ tổng hai cung   x     x   nên tan   x  tan   x   1 và cung 2x có thể đưa về cung 4x
4  4  2 4  4 
bằng công thức nhân đôi
  
cos  4  x   0
       1 
Điều kiện:   cos   x  .cos   x   0   cos 2 x  cos   0  cos 2 x  0
cos    x   0 4  4  2 2
 4
 


1
Phương trình  sin 4 2 x  cos 4 2 x  cos 4 4 x  1  2 sin 2 x cos 2 2 x  cos 4 4 x  1  sin 2 4 x  cos 4 4 x
2
 cos 2 4 x  1
1
 1  1  cos 2 4 x   cos 4 4 x  2 cos 4 4 x  cos 2 4 x  1  0   2
2 sin 4 x   1  loai 

 2
sin 2 x  0 k
 sin 4 x  0   x ,k 
 cos 2 x  0  loai  2

Chú ý:
- Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà
quy đồng và biến đổi thì…ra không
- Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình lượng giác có dạng phân thức
như trên nếu không khôn khéo thì rất … phức tạp.
- Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau
7     
(ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình: sin 4 x  cos 4 x  cot  x   cot   x 
8  3 6 

www.mathvn.com 9

DĐ: 01694 013 498
 k
Đs: x    , k 
12 2

 3 x  1   3 x 
Bài 12: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình: sin     sin   
 10 2  2  10 2 
Giải:
Nhận xét:
Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế
3 x  3x
khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung  và  có mối quan hệ với nhau như thế nào
10 2 10 2
  3x    3x   9 3 x   3 x  3 x
Thật vậy sin     sin       sin     sin 3    từ đó ta đặt t   và sử
 10 2   10 2   10 2   10 2  10 2
dụng công thức nhân ba là ngon lành

1 1 sin t  0
Phương trình sin t  sin 3t  sin t   3sin t  4sin 3 t   sin t 1  sin 2 t   0   2
2 2 1  sin t  0
3
TH 1: sin t  0  t  k  x   k 2 , k  
5
1  cos 2t 1  3 
TH 2: 1  sin 2 t  0  1   0  cos 2t   t    k 2  x    k 4 , k  
2 2 6 5 6
Chú ý:
3 x 3  3x
- Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau t   x  2t    t
10 2 5 10 2
- Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau
 
a. (BCVT – 1999) Giải phương trình: sin( 3 x  )  sin 2 x sin( x  )
4 4

đặt t  x 
4
 k
Đs: x   
4 2
 
b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình: 8cos3  x    cos 3x
 3

đặt t  x 
3

www.mathvn.com 10

DĐ: 01694 013 498

 
 x  6  k

2
Đs:  x    k , k  
 3

 x  k



c. (PVBCTT – 1998) Giải phương trình: 2 sin 3 ( x  )  2 sin x
4

đặt t  x 
4

Đs: x   k , k  
4

d. (QGHCM 1998) Giải phương trình: sin 3 ( x  )  2 sin x
4

Bài tập tự giải:


Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm x  ( ;3 ) của phương trình sau
2
5 7
sin( 2 x  )  3 cos( x  )  1  2 sin x
2 2
13 5 17
Đs: x   , 2 , , ,
6 6 6
Bài 2: (ĐHYTB – 1997) Giải phương trình
x   x    x 2   3x  
2 cos     6 sin     2sin     2sin   
 5 12   5 12  5 3   5 6
5 5 5
Đs: x   k 5 , x    k 5 , x    k 5 , k  
4 12 3

2. Biến đổi tích thành tích và ngược lại

Bài 1: Giải phương trình : sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x  sin 5 x  sin 6 x  0
Giải:
Nhận xét:
Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng
hoặc hiệu các góc bằng nhau
Phương trình   sin 6 x  sin x    sin 5 x  sin 2 x    sin 4 x  sin 3x   0

www.mathvn.com 11

DĐ: 01694 013 498

7 x  5x x 3x  7x 3x
 2sin  cos 2  cos 2   cos 2   0  4sin 2 cos 2  2 cos x  1  0
2   
 7x  k 2
sin 2  0 x  7
 
cos 3 x  0  k 2
  x   ;k  Z
 2  3 3
 2 cos x  1  0 
  x   2  k 2

 
 3

23 2
Bài 2: Giải phương trình : cos 3x cos 3 x  sin 3 x sin 3 x 
8
Giải:
Nhận xét:
Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà
ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
1 1 23 2
Phương trình  cos 2 x  cos 4 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x  
2 2 8
23 2 23 2
 cos 4 x  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x    cos 4 x  cos 2 2 x 
4 4
2  k
 4 cos 4 x  2 1  cos 4 x   2  3 2  cos 4 x   x  k  Z 
2 16 2
Cách khác:
Sử dụng công thức nhân ba
1 3  3 3  1 3
cos 3x cos 3 x  sin 3 x sin 3 x  cos 3 x  cos 3 x  cos x   sin x  sin x  sin 3 x    cos 4 x
4 4  4 4  4 4


Bài 1: (HVQHQT – 2000) Giải phương trình: cos x  cos 3 x  2 cos 5 x  0
 
 x  2  k 1  17
Đs:  với cos 1,2 
 x   1,2  k 8

 2
Bài 2: (ĐHNT 1997) Giải phương trình: 9 sin x  6 cos x – 3sin 2 x  cos 2 x  8

Đs: x   k 2
2
Bài 3: (ĐHNTHCM – 2000) Giải phương trình: 1  sin x  cos 3x  cos x  sin 2 x  cos 2 x

www.mathvn.com 12

DĐ: 01694 013 498


 x  k


Đs:  x    k 2
 3
  7
 x    k  , x   k 
 6 6
Bài 4: (ĐHYN – 2000) Giải phương trình: sin 4 x  tan x
 x  k
1  3
Đs:   với cos  
 x    k 2
 2
Bài 5: (ĐHYHN – 1996) Giải phương trình:  cos x – sin x  cos x sin x  cos x cos 2 x
 
 x  2  k
Đs: 
 x    k

 4
Bài 6: (ĐHHH – 2000) Giải phương trình:  2sin x  1 3cos 4 x  2 sin x – 4   4 cos 2 x  3
 
 x   6  k 2

7
Đs:  x   k 2
 6

 x  k

 2
Bài 7: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: cos3 x – sin 3 x  sin x – cos x

Đs: x   k 
4
Bài 8: (ĐTTS – 1996) Giải phương trình: cos3 x  sin 3 x  sin x – cos x

Đs: x   k 
2
Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trình: cos3 x  sin 3 x  sin 2 x  sin x  cos x
k
Đs: x 
2
Bài 10: (HVQY – 2000) Giải phương trình: cos2 x  sin 3 x  cos x  0
 x    k 2
1
Đs:   với cos   1
 x     k 2 2
 4
Bài 11: (HVNHHN – 2000) Giải phương trình: cos3 x  cos2 x  2sin x – 2  0

www.mathvn.com 13

DĐ: 01694 013 498

 
 x  2  k 2


Đs:  x    k 2
 2
 x  k 2



Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Giải phương trình: sin x  sin 2 x  cos 3 x  0
 x    k 2
1
Đs:   với cos   1
 x     k 2 2
 4
Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Giải phương trình: cos2 x – 4sin x cos x  0
 
x   k 1
Đs:  2 với tan  
 4
 x    k
Bài 14: (HVKTQS – 1999) Giải phương trình: 2sin 3 x – sin x  2 cos3 x – cos x  cos 2 x
 
 x   4  k 2

 k
Đs:  x  
 4 2
 x    k 2



Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình: 4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x
 
 x  2  k


Đs:  x   k 2
 4

 x  3  k 

 4

3. Sử dụng công thức hạ bậc
Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử
dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản

3
Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3 x 
2
Giải:
Nhận xét:

www.mathvn.com 14

DĐ: 01694 013 498
6x  2x
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung  4 x mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng
2
công thức biến đổi tổng thành tích sau đó nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích
 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  0  cos 4 x(2cos 2 x  1)  0
cos 4 x  0
 k 
 1x   x    k
cos 2 x   8 4 3
 2

Bài 2: (ĐH – B 2002) Giải phương trình: sin 2 3 x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng
thành tích đưa về phương trình tích
1  cos6 x 1  cos8x 1  cos10 1  cos12 x
Phương trình    
2 2 2 2
  cos12 x  cos10 x    cos 8 x  cos 6 x   0
 2 cos11x.cos x  2 cos 7 x.cos x  0
 cos x  cos11x  cos 7 x   0
 cos x.sin 9 x.sin 2 x  0  sin 9 x.sin 2 x  0
 
 sin 9 x  0  9 x  k x  k 9
   ,k 
sin 2 x  0  2 x  k x  k 

 2
 
Đs: x  k ; x  k , k  
9 2
Chú ý: Có thể nhóm  cos12 x  cos8 x    cos10 x  cos 6 x   0

x  x
Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình: sin 2    tan 2 x  cos 2  0
2 4 2

Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và nhóm các hạng tử đưa về phương trình
tích
Điều kiện: cos x  0
    2
1  cos  x  2   tan x 1  cos x
 
Phương trình    0
2 2
 1  sin x  tan 2 x  1  cos x  0  1  sin x  sin 2 x  cos 2 x  cos 3 x  0

www.mathvn.com 15

DĐ: 01694 013 498
 (sin x  cos x )(1  sin x cos x  cos x  sin x )  0
sin x  cos x  0

1  sin x cos x  cos x  sin x  0

Khi sin x  cos x  0  tan x  1  x   k ; k  
4
Khi 1  sin x cos x  cos x  sin x  0
1  t2
Đặt t  cos x  sin x  sin x cos x 
2
2
Ta được t  2t  1  0  t  1
   2 3
 cos  x     cos
 4 2 4
 
 x 
 3
 k 2   x  2  k 2
4 4 
 x    k 2

So với điều kiện ta chỉ nhận x    k 2
Cách 2:
1     sin 2 x 1
 1  cos  x    2
 (1  cos x)  (1  sin x) sin 2 x  (1  cos x) cos 2 x
2  2   cos x 2
 
sin x  1  x  2  k 2

 (1  sin x)(1  cos x)(sin x  cos x)  0  cos x  1   x    k 2

 tan x  1  
  x    k
 4

Kết hợp với điều kiện ta được x    k 2  x    k
4

Chú ý: Vì cos x  0  sin x  1 nên ta loại ngay được x   k 2
2

Đs: x    k 2 , x    k  ,  k   
4

Bài 4: (ĐH – A 2005) Giải phương trình: cos2 3 x.cos 2 x – cos2 x  0
Giải:
Cách 1:
1  cos 6 x 1  cos 2 x
Phương trình  .cos 2 x  0
2 2
1
 cos 6 x.cos 2 x  1  0   cos8 x  cos 4 x   1  0
2
2
 2 cos 4 x  1  cos 4 x  2  0

www.mathvn.com 16

DĐ: 01694 013 498

cos 4 x  1
 2 cos 2 4 x  cos 4 x  3  0  
cos 4 x   3  1 loai 
 2

 4 x  k 2  x  k  k   
2
Cách 2:
 
 cos 6 x cos 2 x  1  0  4cos3 2 x  3cos 2 x .cos 2 x  1  0  4 cos 4 2 x  3cos2 2 x  1  0
k
Đs: x  k  
2
Cách 3:
 cos 6 x cos 2 x  1
 cos 2 x  1  cos 6 x  1

 cos 2 x  1  cos 6 x  1
Khi cos 2 x  1 thì
cos 6 x  4cos3 2 x  3cos 2 x =1
Khi cos 2 x  1 thì
cos 6 x  4 cos3 2 x  3cos 2 x  1

Vậy hệ trên tương đương sin 2 x  0 cho ta nghiệm x  k
2
Chú ý: Một số kết quả thu được 1  sin x, cos x  1
sin a  1  cos b  1
sin a.cos b  1  
sin a  1  cos b  1
sin a  1  sin b  1
sin a.sin b  1  
sin a  1  sin b  1
cos a  1  cos b  1
cos a.cos b  1  
cos a  1  cos b  1

Tương tự cho trường hợp vế phải là 1

sin a  1  cos b  1
sin a.cos b  1  
sin a  1  cos b  1
sin a  1  sin b  1
sin a.sin b  1  
sin a  1  sin b  1
cos a  1  cos b  1
cos a.cos b  1  
cos a  1  cos b  1

www.mathvn.com 17

DĐ: 01694 013 498

 
Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trình cos 4 x  sin 4  x    1
 4
Giải:
Phương trình
2
   
2  1  cos  2 x  2  
 1  cos 2 x     1
  
 2   2 
 
 
 
 (1  cos 2 x )2  (1  sin 2 x ) 2  1  cos 2 x  sin 2 x  1  2 cos  2 x    1
 2
  1  
 cos  2 x      x   k   x    k , k  
 2 2 2 4
x 
2  3 cos x  2 sin 2
  
Bài 6: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:  2 4  1
2 cos x  1
Giải:
1
Điều kiện: cos x 
2
Phương trình
    1 3 
 (2  3 ) cos x  1  cos x    2 cos x  1   3 cos x  sin x  0  2 sin x 
2 cos x   0

  2   2 
 
    x  3  k
 
 2 sin  x    0  x   k    x   (2n  1)
 3 3 cos x  1 3

 2

Đs: x   k  , k  
3

Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trình sin 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x
Giải:
1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos 6 x
Phương trình     cos 2 x  cos 4 x  1  cos 6 x  0
2 2 2
 2 cos 3 x cos x  2 cos 2 3x  0  2 cos 3x(cos x  cos 3 x)  0  4 cos 3 x cos 2 x cos x  0
  
 x k
6 3

 
 x   k ,k  
 4 2

 x    k

 2

www.mathvn.com 18

DĐ: 01694 013 498

3(1  sin x )  x
Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình 3 tan 3 x  tan x  2
 8cos 2 x    0
cos x  4 2
Giải:
Phương trình  3 tan 3 x  tan x  3(1  sin x) 1  tan 2 x   4 1  sin x   0

 3 tan 3 x  tan x  3 1  sin x  tan 2 x  1  sin x   0
3tan 2 x 1  sin x  tan x   1  sin x  tan x   0
 1  sin x  tan x   3 tan 2 x  1  0

1 
TH 1: tan x    x  k , k  
3 6
TH 2: 1  sin x  tan x  0  sin x  cos x  sin x cos x  0 (pt đối xứng với sin và cos)

 2 1
Giải phương trình này ta được x     k 2 , k   với cos  
4 2
Bài 9: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x
Giải:
Nhận xét:
7x  x
Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và  2.2 x chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng công
2
thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình  sin 7 x  sin x  1  2sin 2 2 x   0
 2 cos 4 x.sin 3x  cos 4 x  0
cos 4 x  0
 cos 4 x  2 sin 3 x  1  0   1
sin 3 x 
 2
    
4 x  2  k x  8  k 4
 
 3x    k 2   x    k 2 , k  
 6  18 3
 
3x  5  k 2  x  5  k 2

 6 
 18 3
 2 5 2
Đs: x   k ;x  k , k  
18 3 18 3

www.mathvn.com 19

DĐ: 01694 013 498
  9
Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x + sin 4 ( x  )  sin 4 ( x  ) 
4 4 8
 2  6
Đs: x    k , k   với cos  
2 2
Bài 2: (ĐHQGHN – 1998) Giải phương trình: sin 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x
  k
x  6  3
Đs:  ,k 
 x    k

 4 2
 17 
Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình: sin 2 2 x – cos 2 8 x  sin   10 x 
 2 
  k
 x  20  10
Đs:  ,k 
 x    k

 6 3
Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình: sin 2 4 x – cos 2 6 x  sin 10, 5  10 x 
  k
 x  20  10
Đs:  ,k 

 x   k

 2
Bài 5: (TCKT – 2001) sin 2 x  sin 2 3 x  3cos 2 2 x  0

  5 1
Đs: x    k  , x    k với k  , cos  
3 2 2
 5x 9x
Bài 6: (ĐHTDTT – 2001) Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2 sin 2 (  )  2 cos 2
4 2 2
  k
 x  12  6


Đs:  x   k  , k  
 4

 x     k

 8 2
17
Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình: sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x
16
 k
Đs: x   ,k 
8 4
17
Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trình: sin 8 x  cos8 x 
32

www.mathvn.com 20

DĐ: 01694 013 498
 k
Đs: x   ,k 
8 4
1
Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trình: sin 8 2 x  cos8 2 x 
8
 k
Đs: x   ,k 
8 4
Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các nghiệm của phương trình
 x 7
sin x sin 4 x  sin 2 2 x  4sin 2     thỏa mãn điều kiện x  1  3
 4 2 2
 7
Đs: x   ;
6 6
Bài 11: (ĐHSP HCM – A 2000) Giải phương trình:
x x  x 
sin sin x  cos sin 2 x  1  2 cos 2   
2 2  4 2
Đs: x  k  , k  

Bài 12: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình: 2cos2 2 x  cos 2 x  4sin 2 2 x cos 2 x
 k
Đs: x   ,k 
8 4

5. Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và một số đẳng thức quan trọng

2
1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x   sin x  cos x 
1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x  (sin x  cos x) 2
sin 2 x
sin x cos x 
2
 
sin x  cos x   sin x  cos x  sin 2 x  sin x.cos x  cos 2 x   sin x  cos x 1  sin x.cos x 
3 3

3
sin x  cos 3
x   sin x  cos x   sin 2
x  sin x.cos x  cos 2
x    sin x  cos x 1  sin x.cos x 
2
tan x  cot x  , cot x  tan x  2 cot x
sin 2 x
1 1 1 3 1
sin 4 x  cos 4 x  1  2 sin 2 x.cos 2 x  1  sin 2 2 x   cos 2 2 x   cos 4 x
2 2 2 4 4
cos x  sin x   cos  sin x  cos  sin x   cos 2 x
4 4 2 2 2 2

3 3 5
sin 6 x  cos 6 x  sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x  cos 4 x 
4 8 8
6 6 4 4 2 2
cos x  sin x  cos 2 x(sin x  cos x  sin x cos x)

www.mathvn.com 21

DĐ: 01694 013 498

   
sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
 4  4
x 1
1  tan x.tan 
2 cos x
cos x cos 2 x 1  sin x
Mối quan hệ giữa cos x và 1  sin x là  
1  sin x cos x(1  sin x ) cos x

2
 x x
Bài 1: (ĐH – D 2007) Giải phương trình:  sin  cos   3 cos x  2
 2 2

Giải:
x x x x
Phương trình  sin 2  2sin cos  cos 2  3 cos x  2
2 2 2 2
1 3 1
 sin x  3 cos x  1  sin x  cos x 
2 2 2
  1   1
 sin x.cos  cos x.sin   sin  x   
3 3 2  3 2
    
 x  3  6  k 2  x   6  k 2
   k  
 x    5  k 2  x    k 2

 3 6 
 2
 
Đs: x   k 2 , x    k 2 ,  k   
2 6
2
Bài 2: (ĐH – B 2003) Giải phương trình: cot x  tan x  4 sin 2 x 
sin 2 x
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện hiệu cot x  tan x và sin 2x ta xem chúng có mối quan hệ thế nào, có đưa về nhân tử chung
hay cung một cung 2x hay không
cos2 x  sin 2 x cos 2 x 2cos 2 x
Ta có   từ đó ta định hướng giải như sau
sin x cos x sin x cos x sin 2 x
sin x  0
 k
Điều kiện: cos x  0  sin 2 x  0  x 
sin 2 x  0 2


www.mathvn.com 22

DĐ: 01694 013 498

cos2 x  sin 2 x 2 cos 2 x 1
  4sin 2 x    2sin 2 x 
sin x cos x sin 2 x sin 2 x sin 2 x

 cos 2 x  2sin 2 2 x  1  2cos 2 2 x  cos 2 x  1  0
cos 2 x  1
 1
cos 2 x 
 2
Khi cos 2 x  1 thì sin x  0 không thỏa ĐK
1 1
Khi cos 2 x  thì cos 2 x  thỏa mãn điều kiện
2 4
1 
Vậy ta nhận cos 2 x   x    k
2 3

Đs: x    k ,  k   
3
Chú ý:
Từ mối quan hệ giữa tan x và cot x , giữa tan x và sin 2x ta có thể làm như sau
 1
cot x  t

Đặt t  tan x  
sin 2 x  2t

 1  t2

1 2t 1 t2
Ta được phương trình t 4 2 … bạn đọc giải tiếp nhé
t 1 t2 2t

    3
Bài 3: (ĐH – D 2005) Giải phương trình: cos 4 x  sin 4 x  cos  x   .sin  3 x     0
 4  4 2

Giải:
Nhận xét:
1    
Từ đẳng thức sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và hiệu hai cung  3x     x    2 x
2  4  4
Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x
1    1
Phương trình  2 sin 2 x cos 2 x  sin  4 x  2   sin 2 x   2  0
2   
  sin 2 2 x  cos 4 x  sin 2 x  1  0
 sin 2 2 x  sin 2 x  2  0

www.mathvn.com 23

DĐ: 01694 013 498

 sin 2 x  1  x   k ; k  
4

Đs: x   k ,  k   
4
13
Bài 4: Giải phương trình cos 6 x  sin 6 x  cos 2 2 x
8
Giải:
Nhận xét:
Đề bài xuất hiện cung 2x, ta nghĩ xem liệu hiệu cos6 x  sin 6 x có biểu diễn qua cung 2x để có nhân tử chung
hay không ta làm như sau
13
 (cos 2 x )3  (sin 2 x )3  cos 2 2 x
8
13
 (cos 2 x  sin 2 x )(cos 4 x  sin 4 x  sin 2 x cos 2 x)  cos 2 2 x
8
 1 1  13
 cos 2 x  1  sin 2 2 x  sin 2 2 x   cos 2 2 x  cos 2 x(8  2sin 2 2 x)  13cos 2 2 x
 2 4  8
cos 2 x  0 cos 2 x  0 cos 2 x  0
 2
 2
 2
8  2 sin 2 x  13cos 2 x 8  2(1  cos 2 x)  13cos 2 x  2 cos 2 x  13cos 2 x  6  0
cos 2 x  0   
 1  x  4  k 2
 cos 2 x   (k   )
 2  x     k
cos 2 x  6 (loai ) 
 6

Bài 5: (GTVT – 1998) Giải phương trình tan x  cot x  2(sin 2 x  cos 2 x )
Giải:
cos x  0
Điều kiện   sin 2 x  0
sin x  0
sin x cos x
tan x  cot x  2(sin 2 x  cos 2 x)    2(sin 2 x  cos 2 x )
cos x sin x
1 2
  2(sin 2 x  cos 2 x)   2(sin 2 x  cos 2 x)
sin x cos x sin 2 x
 1  sin 2 x (sin 2 x  cos 2 x)  1  sin 2 2 x  sin 2 x cos 2 x

cos 2 x  0  k  k
 cos 2 2 x  sin 2 x cos 2 x   x  x  , k 
 tan 2 x  1 4 2 8 2
Bài 6: (QGHN – 1996) Giải phương trình tan x  cot x  2cot 3 2 x
Giải:

www.mathvn.com 24

DĐ: 01694 013 498

cos x  0
 k
Điều kiện sin x  0  sin 2 x  0  x 
sin 2 x  0 2

sin x cos x
tan x  cot x  2 cot 3 2 x    2 cot 3 2 x
cos x sin x
2 cos 2 x
  2cot 3 2 x   cot 2 x  cot 3 2 x
sin 2 x
cot 2 x  0   k
 2  2 x   k  x   ,k 
cot 2 x  1 (loai) 2 4 2

2(cos6 x  sin 6 x)  sin x cos x
Bài 7: (ĐH – A 2006) Giải phương trình: 0
2  2 sin x
Giải:
1
Điều kiện: sin x 
2
Phương trình  2(cos 4 x  sin 4 x  sin 2 x cos 2 x )  sin x cos x  0
 2  6sin 2 x cos 2 x  sin x cos x  0  3sin 2 2 x  sin 2 x  4  0
 
  x  4  k 2
 sin 2 x  1  x   k   ;k  
4  x  5  k 2

 4
5
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x   k 2 ; k  
4


1  sin x  cos 2 x  sin  x 
 
 4 1
Bài 8: (ĐH – A 2010) Giải phương trình:  cos x
1  tan x 2
Giải:
tan x  1
Điều kiện: 
cos x  0
 
Phương trình  2sin  x   1  sin x  cos2x  1 tan x .cos x
 4
sin x  cos x
  sin x  cos x1 sin x  cos2x  .cos x
cos x
 sin x  cos 2 x  0

www.mathvn.com 25

DĐ: 01694 013 498

sin x  1 loai   
 x   6  k 2
 2 sin 2 x  sin x  1  0    k  
sin x   1  x  7  k 2

 2 
 6
 7
Đs: x    k 2 , x   k 2 , k  
6 6
sin 4 x  cos 4 x 1 1
Bài 9: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình:  cot 2 x 
5 sin 2 x 2 8 sin 2 x
Giải:
Điều kiện: sin 2 x  0
Phương trình
1
2 2 1  sin 2 2 x
1  2 sin x. cos x 1 1 2 1 1 9
  cos 2 x    cos 2 x   cos 2 2 x  5 cos 2 x   0
5 2 8 5 2 8 4
 9
cos 2 x  2 (loai)

cos 2 x  1  x     k

 2 6
Bài 10: (ĐH – B 2005) Giải phương trình: 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0
Giải:
2
Phương trình  sin x  cos x   sin x  cos x   cos2 x  sin 2 x  0
 (sin x  cos x)(1  2 cos x )  0
    
sin  x  4   0  x   4  k
    ;k 
 1 x   2
cos x   2  k 2
 
 3
2
Đs: x    k 2  k   
3
x
Bài 11: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: tan x  cos x – cos 2 x  sin x(1  tan x.tan )
2
HD:
cos x  0

Điều kiện:  x
cos 2  0


www.mathvn.com 26

DĐ: 01694 013 498
x x x x
sin x.sin cos x.cos  sin x.sin cos
x 2  2 2  2 1
Ta có: 1  tan x.tan  1  
2 x x x cos x
cos x.cos cos x.cos cos x.cos
2 2 2
Phương trình
sin x
 tan x  cos x  cos 2 x   cos x (1  cos x )  0  cos x  1(cos x  0)  x  k 2
cos x
Đs: x  k 2 ; k  

x
Bài 12: (ĐH – B 2006) Giải phương trình: cot x  sin x(1  tan x tan )  4
2
Giải:

sin x  0
 
Điều kiện: cos x  0  x  k , k  
 2
x
cos  0
 2
 x
 sin 
sin x 2 4
Phương trình  cot x  sin x  1  . 
 cos x x
 cos 
 2
 x x
 cos x.cos 2  sin x.sin 2 
 cot x  sin x  4
x
 cos x.cos 
 2 
x
cos
 cot x  sin x. 2 4
x
cos x.cos
2
cos x sin x
   4  1  4 sin x.cos x
sin x cos x
   
1 2x  6  k 2  x  12  k
 sin 2x     , k 
2  5  x  5  k
2x   k 2

 6 
 12
 5
x  k ; x   k với k  
12 12

www.mathvn.com 27

DĐ: 01694 013 498
 5
Đs: x   k ; x   k ,  k   
12 12
2 cos 4 x
Bài 13: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: cot x  tan x 
sin 2 x
HD:
Điều kiện: sin 2 x  0  cos 2 x  1
Phương trình
cos x sin x cos 4 x
    cos 2 x  cos 4 x  2 cos 2 2 x  cos 2 x  1  0
sin x cos x sin x. cos x
cos 2 x  1 (loai )

cos 2 x   1  x     k
 2 3
2
Đs: x    k ; k  
3

1  2 sin x  cos x
Bài 14: (ĐH – A 2009) Giải phương trình:  3.
1  2 sin x 1  sin x 
Giải:
sin x  1

Điều kiện:  1
sin x   2

Phương trình  1  2sin x  cos x  3 1  2sin x 1  sin x 
 cos x  2sin x cos x  3  3 sin x  2 3 sin 2 x
 cos x  3 sin x  sin 2 x  3 1  2sin 2 x 
1 3 1 3
 cos x  3 sin x  sin 2 x  3 cos 2 x  cos x  sin x  sin 2 x  cos 2 x
2 2 2 2
   
 cos x.cos  sin x.sin  sin 2x.sin  cos2x.cos
3 3 6 6
   
 cos  x    cos  2 x  
 3  6
 
    x  2  k 2
 2 x     x    k 2   ;k 
6  3  x     k 2

 18 3
 2
x  k , k  
18 3
 2
Đs: x    k , k  
18 3

www.mathvn.com 28

DĐ: 01694 013 498

cos x cos 2 x 1  sin x
Hoặc:  
1  sin x cos x(1  sin x ) cos x
Phương trình thành:
(1  2sin x )(1  sin x)  sin x  cos 2 x
 3  3
(1  2sin x ) cos x cos x  s in2x
   
   
3 cos x  sin x  
3 sin 2 x  cos 2 x  0  sin  x    sin  2 x    0
 3  6
 3x   x 
 2sin    cos     0
 2 12  2 4
Hoặc là:
 3x   3x   2
sin     0    k  x    k (biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các
 2 12  2 12 18 3
 11 23
cung là , , , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu)
18 18 18
Hoặc là:
x  x   
cos     0     l  x  3  l 2
2 4 2 4 2 2
(khi đó sin x  1 thỏa điều kiện ban đầu)

Bài 1: (HVCTQG – 1999) 8 2 cos 6 x  2 2 sin 3 x sin 3 x  6 2 cos 4 x  1  0

Đs: x    k , k  
8
1 2
Bài 2: (ĐHMĐC – 2001) Giải phương trình: 48   1  cot 2 x.cot x   0
cos x cos 2 x
4

 k
Đs: x   ,k 
8 4
6. Sử dụng các công thức lượng giác đưa phương trình ban đầu về các các phương trình đơn giải đối
với một hàm lượng giác

a. Đưa về phương trình đẳng cấp

Bài 1: (ĐH – B 2008) Giải phương trình: sin 3 x  3 cos 3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x
Giải:
Nhận xét:

Thay cos x  0  x   k ,  k    vào phương trình ta được sin 3 x  0  sin x  0
2

www.mathvn.com 29

DĐ: 01694 013 498

nên x   k   k    không phải là nghiệm của phương trình
2
Khi cos x  0 chia cả hai vế của phương trình cho cos3 x ta được

tan 3 x  3  tan x  3.tan 2 x  tan x  tan 2 x  1  3  tan 2 x  1  0
 tan x  1
 
  tan 2 x  1 tan x  3  0  
 tan x   3
 
 x   4  k
 ;k  
 x     k

 3
  
Đs: x   k ; x    k ,  k   
4 2 3
Bài 2: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình 1  3 tan x  2 sin 2 x
Giải:
Cách 1: Điều kiện: cos x  0
sin x
Phương trình 1  3  4 sin x cos x  cos x  3sin x  4sin x cos 2 x
cos x
Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho cos3 x
Ta được
1 tan x
2
3  4 tan x  1  tan 2 x  3 tan 1  tan 2 x   4 tan x
cos x cos 2 x
 3 tan 3 x  tan 2 x  tan x  1  0   tan x  1  3 tan 2 x  2 tan x  1  0


 tan x  1  x    k , k   vì 3tan 2 x  2 tan x  1  0 vô nghiệm
4
Chú ý:
- Ta có thể chia từ đầu hai vế của phương trình cho cos2 x
- Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tan x và sin 2x ta nghĩ tới mối quan hệ như giữa chúng
2 sin x cos x
2sin x cos x 2 tan x 2 2 tan x
sin 2 x  2 2
 2
hoặc sin 2 x  2 sin x cos x  cos x  từ đó ta
sin x  cos x 1  tan x 1 1  tan 2 x
cos 2 x
đặt t  tan x
Cách 2:

www.mathvn.com 30

DĐ: 01694 013 498
2t
Đặt t  tan x  sin 2 x 
1  t2
4t
Khi đó ta được 1  3t  2
 3t 3  t 2  t  1  0  (t  1)(3t 2  2t  1)  0
1 t

 t  1  tan x  1  x    k
4

 
Bài 3: (ĐHQG HCM – 1998) Giải phương trình sin 3  x    2 sin x
 4
Giải:
Nhận xét:
   
Từ phương trình ta nhận thấy bước đầu tiên phải phá bỏ sin 3  x   để đưa cung  x   về cung x
 4  4
 
từ công thức sin x  cos x  2 sin  x   … đến đây rùi là ra cùng một cung x rùi
 4
Cách 1:
 
Ta có 2 sin  x    sin x  cos x
 4
    1
 2 2 sin 3  x    (sin x  cos x) 3  sin 3  x    (sin x  cos x) 3
 4  4 2 2
Phương trình
1
 (sin x  cos x )3  2 sin x  (sin x  cos x)3  4sin x * (pt đẳng cấp bậc ba)
2 2
Vì cos x  0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos3 x
Ta được
(tan x  1)3  4 tan x (1  tan 2 x )  (tan x  1)(3 tan 2 x  1)  0

 tan x  1  x    k  (k  )
4
Cách 2:
Từ phương trình (*)
(*)  (sin x  cos x )3  4 sin x  (sin x  cos x)(sin x  cos x) 2  4sin x
 (sin x  cos x )(1  2sin x cos x)  4 sin x   cos x  3sin x  2 sin 2 x cos x  2sin x cos 2 x  0
 cos x(2sin 2 x  1)  sin x (2 cos 2 x  3)  0  cos x(cos 2 x  2)  sin x(cos 2 x  2)  0
cos 2 x  2 (loai) 
 (cos 2 x  2)(cos x  sin x )  0    x    k (k  Z)
 tan x  1 4
Bài 4: (HVQY – B 2001) Giải phương trình 3sin x  2 cos x  2  3 tan x
Giải:
 3 tan x cos x  2cos x  2  3tan x  cos x (3 tan x  2)  2  3tan x

www.mathvn.com 31

DĐ: 01694 013 498

 2
3tan x  2  0
   tan x   3  tan    x    k , k  
  x  2k
cos x  1 cos x  1 



Bài 1: (BCVT – 2001) Giải phương trình: 4 sin 3 x cos 3 x  4 cos 3 x sin 3 x  3 3 cos 4 x  3
  k
 x   24  2
Đs:  k 
 x    k

 8 2
Bài 2: (ĐHNT – 1996) Giải phương trình: cos3 x – 4sin 3 x – 3cos x sin 2 x  sin x  0
 
 x   4  k
Đs:  k  
 x     k

 6
Bài 3: (ĐHH – 1998) Giải phương trình: cos3 x  sin x – 3sin 2 x cos x  0
 
 x  4  k

Đs:  x  1  k   k    với tan 1  1  2; tan  2  1  2
 x    k
2


Bài 4: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: cos3 x – sin 3 x  sin x – cos x

Đs: x   k   k   
4
Bài 5: (HVKTQS – 1996) Giải phương trình: 2cos3 x  sin 3 x
 
Đs:  x  4  k   k    với tan   2

 x    k
Bài 6: (ĐHD HCM – 1997) Giải phương trình: sin x sin 2 x  sin 3 x  6cos 3 x
 x    k
Đs: 
 x     k
 k    với tan   2
 3
Bài 7: (ĐHYHN – 1999) Giải phương trình: sin x  cos x  4sin 3 x  0

Đs: x   k   k   
4
Bài 8: (ĐHQGHN – 1996) Giải phương trình: 1  3sin 2 x  2 tan x

www.mathvn.com 32

DĐ: 01694 013 498

 
Đs:  x   4  n  n    với tan   3  17
1,2
 4
 x  1,2  n

Bài 9: (ĐHNN I – B 1999) Giải phương trình: sin 2 x  tan x  1  3sin x  cos x – sin x   3
 
 x   4  k
Đs:  k  
 x     k

 3

b. Đưa về phương trình bậc hai, bậc ba, bậc 4… của một hàm lượng giác

Bài 1: Giải phương trình 2sin 2 x  tan 2 x  2
Giải:
Cách 1:
Điều kiện: cos x  0
2 tan 2 x
Phương trình   tan 2 x  2  2 tan 2 x  tan 2 x  tan 4 x  2  2 tan 2 x
1  tan 2 x
 tan 2 x  1   
4 2
 tan x  tan x  2  0   2  tan x  1  tan     x    k (k  )
 tan x  2 (loai)  4 4

Cách 2:
sin 2 x
 2sin 2 x  2
 2  2sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  2cos 2 x
cos x
 2(1  cos 2 x ) cos 2 x  1  cos 2 x  2 cos 2 x  2 cos 2 x  2 cos 4 x  1  cos 2 x  2 cos 2 x

cos 2 x  1 (loai)
 2 cos 4 x  cos 2 x  1  0   2  2 cos 2 x  1  0
cos x  1

 2
  k
 cos 2 x  0  2 x   k  x   (k  Z)
2 4 2
Chú ý:
1
Đối với phương trình cos 2 x  ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm khi kết hợp và so sánh
2
với điều kiện phức tạp nên ta hạ bậc là tối ưu nhất
1
Bài 2: Giải phương trình sin 8 x  cos8 x 
8
Giải:
1 1
 (sin 4 x) 2  (cos 4 x )2   (sin 4 x  cos 4 x) 2  2 sin 4 x cos 4 x 
8 8

www.mathvn.com 33

DĐ: 01694 013 498
2 4
 1  1 1 1  1
  1  sin 2 2 x   2(sin x cos x) 4   1  sin 2 2 x  sin 4 2 x  2  sin 2 x  
 2  8 4 2  8
1 1 1
 1  sin 2 2 x  sin 4 2 x  sin 4 2 x   8  8sin 2 2 x  2 sin 4 2 x  sin 4 2 x  1
4 8 8
 sin 2 x  8sin 2 x  7  0  sin 2 x  1  sin 2 2 x  7  1 (loai)
4 2 2

  k
 cos 2 x  0  2 x   k   x   ,k 
2 4 2
Chú ý:
Có thể dùng công thức hạ bậc và đặt t  cos 2 x

Bài 3: (ĐH – B 2004) Giải phương trình: 5sin x – 2  3 1  sin x  tan 2 x

Giải:
Phương trình  5sin x(1  sin 2 x)  2(1  sin 2 x )  3sin 2 x  3sin 3 x
 2sin 3 x  sin 2 x  5sin x  2  0
Đặt t  sin x với t   1;1
 2t 3  t 2  5t  2  0  t  1)(2t 2  3t  2)  0
t  1

1
 t 
 2
t  2 loai
  
 
x  k 2  x   k 2
2 6
 5
Đs: x   k 2 ; x   k 2 ,  k   
6 6

Bài 4: (QGHN – 1996) Giải phương trình tan 2 x  tan x. tan 3x  2
Giải:
cos x  0
Điều kiện: 
cos 3x  0
 sin x sin 2 x 2sin 2 x cos x
tan 2 x  tan x.tan 3 x  2  tan x(tan x  tan 3 x)  2  2 2
cos x cos x cos3 x cos x cos x cos 3 x
  sin 2 x  cos x cos 3 x  cos 2 x  1  4 cos4 x  3cos2 x  4cos 4 x  4 cos2 x  1  0
  k
 (2 cos 2 x  1) 2  0  cos 2 x  0  2 x   k   x   ,k 
2 4 2
1
Bài 5: Giải phương trình 2 tan x  cot 2 x  2 sin 2 x 
sin 2 x
Giải:

www.mathvn.com 34

DĐ: 01694 013 498

cos x  0
Điều kiện:   sin 2 x  0
sin 2 x  0
sin x cos 2 x 1 sin x sin 2 x
2   2 sin 2 x  2  cos 2 x  2sin 2 2 x  1  0
cos x sin 2 x sin 2 x cos x
 4 sin 2 x  cos 2 x  2(1  cos 2 2 x )  1  0  2(1  cos 2 x)  cos 2 x  3  cos 2 2 x  0
cos 2 x  1 (loai) (vì sin 2 x  0)
1
 2 cos 2 x  cos 2 x  1  0  
2
1  cos 2 x  
cos 2 x   2
 2
2 
 2x    2k   x    k  , k  
3 3
1 1
Bài 6: Giải phương trình s in2x  sin x    2cot2 x
2 sin x sin 2 x
Giải:
Điều kiện: sin x  0, cos x  0
Phương trình  s in 2 2x  sin 2 x.sin x  cos x  1  2cos2 x
 4 cos 2 x sin 2 x  2cos x.sin 2 x  cos x  1  4 cos 2 x  0
 4 cos 2 x(1  cos 2 x)  2 cos x (1  cos 2 x)  cos x  1  4 cos 2 x  0
 4 cos 4 x  2 cos3 x  cos x  1  0
 (cos x  1)(4 cos3 x  2 cos 2 x  2 cos x  1)  0
 (cos x  1)(2 cos x  1)(2 cos 2 x  1)  0
cos x  1   x    k 2
   k 
cos x  1  x     k 2
 2  3
 cos 3 x  sin 3x 
Bài 7: (ĐH – A 2002)Tìm nghiệm x  (0;2 ) của phương trình: 5  sin x    cos 2 x  3
 1  2sin 2 x 

Giải:
Ta có: cos 3x  sin 3 x  4 cos3 x  3cos x  3sin x  4sin 3 x 
4(cos x  sin x )(1  sin x cos x)  3(cos x  sin x)  (cos x  sin x )(1  4sin x cos x )
Và 1  2 sin 2 x  1  4sin x cos x
Khi đó phương trình thành:
1 
5sin x  5 cos x  5sin x  cos 2 x  3  2 cos2 x  5cos x  2  0  cos x   x    k 2 ; k  
2 3
 1 5 
Xét 0   k 2  2   k   k  0 vì k   ta được x 
3 6 6 3
 1 7 5
Xét 0    k 2  2   k   k  1 vì k   ta được x 
3 6 6 3
 5
Đs: x  ; x 
3 3

www.mathvn.com 35

Cac phuong phap giai ptlg va de thi dh cac nam

Cac phuong phap giai ptlg va de thi dh cac nam

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

Similar to Cac phuong phap giai ptlg va de thi dh cac nam

Similar to Cac phuong phap giai ptlg va de thi dh cac nam (20)

More from Duy Duy

More from Duy Duy (20)

Cac phuong phap giai ptlg va de thi dh cac nam