тотожні перетворення виразів, які містять квадратні кореніГергель Ольга
Даний ресурс призначений для проведення уроку алгебри у 8 класі з теми «Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені». Навчальний матеріал відповідає діючий програми: Міністерство освіти і науки України. Математика. 8кл. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: “Перун”, 2005. Ресурс може бути використано і при викладанні предмета у класах із поглибленим вивченням математики. Розглянуто основні тотожні перетворення виразів із коренями, які вивчаються у шкільному курсі. Наведено завдання, які позволяють ефективно провести урок. Пропонуються завдання для самостійної роботи з подальшою перевіркою, завдяки яким вчитель зможе оцінити рівень засвоєння учнями навчального матеріалу. Ресурс може бути використаний учителями математики, а також учнями як на уроці, так і з метою повторення та узагальнення знань.
тотожні перетворення виразів, які містять квадратні кореніГергель Ольга
Даний ресурс призначений для проведення уроку алгебри у 8 класі з теми «Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені». Навчальний матеріал відповідає діючий програми: Міністерство освіти і науки України. Математика. 8кл. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: “Перун”, 2005. Ресурс може бути використано і при викладанні предмета у класах із поглибленим вивченням математики. Розглянуто основні тотожні перетворення виразів із коренями, які вивчаються у шкільному курсі. Наведено завдання, які позволяють ефективно провести урок. Пропонуються завдання для самостійної роботи з подальшою перевіркою, завдяки яким вчитель зможе оцінити рівень засвоєння учнями навчального матеріалу. Ресурс може бути використаний учителями математики, а також учнями як на уроці, так і з метою повторення та узагальнення знань.
Алгебра 7 клас. Збірник завдань для самостійних та контрольних робітСергій Ільчишин
Мякотіна Олена Миколаївна, Матвіюк Людмила Олександрівна, Сивак Ольга Дмитрівна, Гнатюк Анжела Георгіївна, Гораш Алла Іванівна,
СЗОШ№5, вчителі математики
Алгебра 7 клас. Збірник завдань для самостійних та контрольних робітСергій Ільчишин
Мякотіна Олена Миколаївна, Матвіюк Людмила Олександрівна, Сивак Ольга Дмитрівна, Гнатюк Анжела Георгіївна, Гораш Алла Іванівна,
СЗОШ№5, вчителі математики
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Єлизавета Жаріковаestet13
До вашої уваги історія про українську поетку, бойову медикиню, музикантку – Єлизавету Жарікову, яка з початку повномасштабної війни росії проти України приєдналася до лав ЗСУ.
Важливість впровадження стандарту ISO/IEC 17025:2019 у процес державних випро...tetiana1958
29 травня 2024 року на кафедрі зоології, ентомології, фітопатології, інтегрованого захисту і карантину рослин ім. Б.М. Литвинова факультету агрономії та захисту рослин Державного біотехнологічного університету було проведено відкриту лекцію на тему «Важливість впровадження стандарту ISO/IEC 17025:2019 у процес державних випробувань пестицидів: шлях до підвищення якості та надійності досліджень» від кандидата біологічних наук, виконавчого директора ГК Bionorma, директора Інституту агробіології Ірини Бровко.
Участь у заході взяли понад 70 студентів та аспірантів спеціальностей 202, 201 та 203, а також викладачі факультету та фахівці із виробництва. Тема лекції є надзвичайно актуальною для сільського господарства України і викликала жваве обговорення слухачів та багато запитань до лектора.
Дякуємо пані Ірині за приділений час, надзвичайно цікавий матеріал та особистий внесок у побудову сучасного захисту рослин у нашій країні!
Регіональний центр євроатлантичної інтеграції України, що діє при відділі документів із гуманітарних, технічних та природничих наук, підготував віртуальну виставку «Допомога НАТО Україні».
Тема 1 Числові нерівності та їх властивості (2 год)
1. На практиці часто доводиться порівнювати величини. Наприклад, площа
України (603,7 тис. км2
) більша за площу Франції (551 тис. км2
), висота гори
Роман-Кош (1554 м) менша від висоти гори Говерла (2061 м), відстань від Києва
до Харкова (450 км) дорівнює 0,011 довжини екватора.
Коли ми порівнюємо величини, нам доводиться порівнювати числа.
Результати цих порівнянь записують у вигляді числових рівностей або
нерівностей, використовуючи знаки: =, >, <.
Якщо число а більше за число b, то пишуть а > b; якщо число а менше від
числа b, то пишуть а < b.
Очевидно, що 12 > 7, -17 < 3,
15 11
23 23
> . Справедливість цих нерівностей випливає з правил
порівняння раціональних чисел, які вивчали в попередніх класах.
Проте є й інший спосіб, більш універсальний, заснований на таких очевидних міркуваннях: якщо різниця
двох чисел є число додатне, то зменшуване більше за від'ємник, а якщо різниця від'ємна, то зменшуване менше
ніж від'ємник.
Ці міркування підказують, що зручно прийняти таке означення.
Означення. Число а вважають б і л ь ш и м за число b, якщо різниця
а — b є додатним числом. Число а вважають м е н ш и м від числа b, якщо різниця а — b є від'ємним
числом.
Це означення дозволяє задачу про порівняння двох чисел звести до задачі про
порівняння їх різниці з нулем. Наприклад, щоб порівняти значення виразів 3 - 4π і
6 - 5π , розглянемо їх різницю:
(3 - 4π ) - (6 - 5π )=3 - 4π - 6 + 5π =π -3.
Оскільки π -3 > 0, то 3 - 4π > 6 - 5π .
Зауважимо, що різниця чисел а і b може бути або додатною, або від'ємною, або дорівнювати нулю. Тоді для
будь-яких чисел а і b справедливе одне і тільки одне з таких співвідношень: а > b, а < b, а = b.
1. Порівняння чисел. Поняття числової нерівності.
Основні властивості числових нерівностей.
2. b a>b a Якщо a>b, то точка, яка відповідає числу
a на координатній прямій , знаходиться
Рис.1 справа від точки , яка відповідає числу b.
Для вислову «не більше» використовують знак ≤ ( читають : «менше або
дорівнює»), а для вислову «не менше» - знак ≥ ( читають : «більше або дорівнює»).
Якщо a < b або a = b,то нерівність a b≤ є правильною.
Якщо a > b або a = b,то нерівність a b≥ є правильною.
Наприклад, нерівності 7 ≤ 7, 7 ≤ 15, - 3 ≥ - 5 є правильними. Знаки < і > називають знаками строгої
нерівності, а знаки ≤ і ≥ - знаками нестрогої нерівності.
Розглянемо властивості числових нерівностей , які часто використовують при
розв’язуванні задач.
Властивість1. Якщо a > b, b > с, то a > с.
Доведення. Оскільки за умовою a > b і b > с, то різниця a-b і b-с є додатними
числами . Тоді додатною буде їх сума (a-b)+( b-с). Маємо(a-b)+( b-с)= a- с.
Отже, різниця a- с є додатним числом , а тому a > с. ▲
Аналогічно доводиться властивість: якщо a < b, b < с, то a < с.
С(с) B(b) A(a) Властивість1 можна проілюструвати
геометрично: якщо на координатній
Рис.2 прямій точка A(a) лежить праворуч від точки B(b) , а точка B(b) -
праворуч від точки С(с), то точка A(a) лежить праворуч від точки С(с) ( рис.2)
Властивість2. Якщо a > b і с – будь - яке число , то a+c > b+c.
Доведення . Розглянемо різницю (a+с)-( b+с). Маємо: (a+с)-( b+с)= a- b.
Оскільки за умовою a>b, то різниця a-b є додатним числом. Отже,
а+c>b+c. ▲
Аналогічно доводять властивість: якщо a < b і с - будь - яке число , то
3. а + c < b +с.
Оскільки дію віднімання можна замінити дією додавання (а- с = а+(-с)), то,
ураховуючи властивість2, можна зробити такий висновок .
Якщо до обох частин правильної нерівності додати або від обох частин правильної
нерівності відняти одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність .
Наслідок. Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу,
замінивши знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.
Доведення. Нехай нерівність a > b + с є правильною. Віднімемо від обох її
частин число с. Отримаємо: a - с > b +с - с, тобто a - с > b . ▲
Властивість3. Якщо a > b і с – додатне число , то ас > bс . Якщо
a>b і с- від’ємне число, то ас < bc .
Доведення. Розглянемо різницю ас - bc. Маємо: ас - bc =с(а-b) .
За умовою a > b, отже, різниця а- b є додатним числом.
Якщо с > 0, то добуток с(а-b) додатний, а отже, різниця ас - bc є
додатною, тобто ас > bc .
Якщо с < 0 , то добуток с(а-b) від’ємний, а отже, різниця ас- bc є
від’ємною, тобто ас<bc . ▲
Аналогічно доводять властивість: якщо а<b і с - додатне число, то ас< bc ;
якщо а < b і с - від’ємне число , то ас > bc.
Оскільки дію ділення можна замінити дією множення
1
,a c a
c
÷ = • ÷
то
ураховуючи властивість 3 можна зробити такий висновок.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити
на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити
на одне й те саме від’ємне число і поміняти знак нерівності на протилежний, то
отримаємо правильну нерівність.
Наслідок. Якщо аb > 0 і a > b, то
1 1
.
a b
<
Доведення. Поділимо обидві частини нерівності a > b на додатне число ab. Отримаємо
правильну нерівність ,
a b
ab ab
> тобто
1 1
.
b a
< Звідси
1 1
.
a b
< ▲
4. Звернемо увагу: вимога, щоб числа a і b були однакового знака (ab>0), є
суттєвою. Справді, нерівність 5>-3 є правильною, проте нерівність
1 1
5 3
<
−
є
неправильною.
Аналогічні властивості мають і нестрогі нерівності. Наприклад, якщо а ≥ b і с- будь - яке число, то a+
с ≥ b +с.
Приклад. Відомо , що 4 2.a− ≤ < − Доведіть, що
7
7 1.
3 5a
− < ≤ −
+
Розв’язання. Маємо: 4 2.a− ≤ < − Тоді за властивістю 3 отримуємо 12 3 6.a− ≤ < − Застосовуючи
властивість 2, одержимо 7 3 5 1.a− ≤ + < − Користуючись наслідком з властивості 3, можна записати, що
1 1
1
7 3 5a
− ≥ > −
+
, тобто
1 1
1
3 5 7a
− < ≤ −
+
. Звідси
7
7 1.
3 5a
− < ≤ −
+
Приклад 1. Порівняйте числа: і ;
Доведення.
• =
Відповідь: > .
Приклад 2. Доведіть нерівність:
(5 – 3y)2
≥ 3y (y - 2) + 1;
Доведення.
2. Розв’язування вправ на порівняння чисел і доведення
числових нерівностей.
6. Нерівність доведено.
Приклад 6. Порівняйте числа a і d, якщо:
b – a < 0 і d – b < 0.
Розв’язання.
d < b; b < a. Тому d > a, тобто a > d.
Приклад 7. Порівняйте числа і , якщо :
0 < b < a i c > 0.
Розв’язання.
0 < b < a; c > 0.
Приклад 8. Доведіть твердження:
1) якщо a < b i b ≤ c, то a < c;
Доведення.
a – b < 0; b – c < 0; c – d < 0;
a – d = (a - b) + (d - c) < 0; a < d.
Твердження доведено.
2) якщо a < b, b < c i c < d < 0;
Доведення.
a – d = (a - b) + (b - c) + (c - d) < 0; a<d.
7. Твердження доведено.
3) якщо a ≥ b i c < 0, то ac ≤ bc.
Доведення.
a – b ≥ 0; c < 0; ac – bc = (a - b) ∗ c ≤ 0; ac ≤ bc.
Твердження доведено.
4) якщо a < 0; b < 0; a< b, то .
Доведення.
.
Відмітимо, що b – а > 0 (оскільки a < b);
ab > 0 (оскільки a < 0; b < 0). Таким чином
Твердження доведено.
Приклад 9. Доведіть нерівність:
a3
+ 8 ≥ 2a2
+ 4a, де а ≥ -2.
Доведення:
(a3
+ 8) – (2a2
+ 4a) = a3
– 2a2
+ 8 – 4a = a2
(a - 2) – 4( a – 2) = (a2
- 4) (a - 2) = (a - 2)2
(a
+ 2) ≥ 0, бо (a - 2)2
(a + 2) ≥ 0; a + 2 ≥ 0 (оскільки a ≥ -2).
a3
+ 8 ≥ 2a2
+ 4a.
Нерівність доведено.
8. Приклад 10. Довести нерівність:
якщо a>0, b>0.
Доведення.
Утворимо різницю лівої і правої частин нерівності й перетворимо її:
=
Різницю ми подали у вигляді дробу, чисельник якого невід’ємний, бо є квадратом
деякого числа, а знаменник – додатний як добуток додатних чисел. Тому цей дріб,
а значить і різниця, невід’ємні : Отже, нерівність є
правильною для будь-яких додатних чисел a і b.
Якщо в доведеній нерівності взяти b=1, то матимемо правильну нерівність:
, де a>0.
Отже, сума двох додатних взаємно обернених чисел не менша від 2.
Приклад 11. Довести, що нерівність 10а2
– 6а + 2ab + b2
+ 2 > 0 є правильною для
будь-яких дійсних чисел a і b.
Доведення.
10а2
– 6а + 2ab + b2
+ 2 = (9а2
– 6а + 1) + (а2
+ 2ab + b2
) +1 = (3а - 1)2
+ (a + b)2
+ 1.
Оскільки (3а - 1)2
≥ 0, (a + b)2
≥0 для будь-яких дійсних чисел a і b, то (3а - 1)2
+ (a
+ b)2
+ 1 > 0.